LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

Transcripción

1 LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y paralelas de área A separadas entre sí por una pequeña distancia Y. Fig. 1 Fluido contenido entre los láminas Al tiempo t<0 el sistema está en reposo, para t=0 a la lámina inferior se le imprime un movimiento de dirección x con una velocidad constante V x -Las capas de fluido en contacto con la placa inferior adquieren un movimiento de dirección x y lo propagan a las capas superiores en la dirección y. -A mayores t el perfil de velocidad se va modificando hasta alcanzar el estado estacionario (no existen más variaciones con el tiempo). -En estas condiciones la fuerza F x necesaria para mover la placa inferior con velocidad constante V x será, de acuerdo con el modelo de Newton: -La constante de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido. -Esta ecuación es válida para flujo laminar y no todos los fluidos la cumplen. Aquellos que si la cumplen reciben el nombre de fluidos newtonianos.

2 La Ley de Newton de la viscosidad es en realidad una relación de comportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen. Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos τ yx y el gradiente de velocidad (dv x /dy). Notación de τ yx La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada, en este caso, la del eje coordenado x. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección del eje coordenado y es normal al plano y = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo τyx. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección x. Entonces, considerando a τ yx como una fuerza aplicada: τ ik Primer índice: dirección de la superficie Segundo índice: dirección de la fuerza Considerando a τ yx como un flujo de cantidad de movimiento: τ ik Primer índice: dirección de la propagación de momentum Segundo índice: dirección del momentum

3 Transporte molecular y convectivo de momentum El transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la transferencia de movimiento entre las moléculas. También existe un flujo de momentum debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de movimiento tiene que ver con el flux másico ρ v, que atraviesa un plano dado del fluido. El flux másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho plano, así en el plano xy tenemos: El flux convectivo de momentum es el producto del flux másico por la velocidad, es decir ρ vv. Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano x =x0 es ρv x v Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que corresponden a las direcciones de las componentes de la velocidad. El flux combinado de momentum es la suma del flux molecular de momentum, que corresponde a los esfuerzos totales más el flux convectivo de momentum. Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera. La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad).

4 Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal. Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en la dirección de dicha componente. Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura 1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen y determina la dirección de los ejes coordenados. 2.Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones]. 3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura. 4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando corresponda. 5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo. 6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener así la ecuación diferencial correspondiente.

5 7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)]. 8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad ( de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección seleccionada. 9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la velocidad. 10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente. 11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad. 12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la distribución de velocidad (el perfil de velocidad). 13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa.