El supermercado XYZ desea conocer el comportamiento del mismo en una sola hora de un día típico de trabajo.

Transcripción

1 El supermercado XYZ desea conocer el comportamiento del mismo en una sola hora de un día típico de trabajo. El supermercado cuenta con 3 departamentos: Abarrotes, Embutidos y. Solamente el Departamento de Embutidos no cuenta con autoservicio. En él se encuentran laborando dos empleados que atienden el Departamento. A la salida del supermercado hay 3 cajas donde los clientes pueden formarse para pagar el importe del consumo; sin embargo, en c/u de ellas se dispone de artículos denominados de impulso (que los clientes pueden tomar para comprar mientras esperan ser atendidos). Los clientes llegan al supermercado tardando en promedio 2 minutos de acuerdo a la distribución poisson. Según una encuesta, el 70% de los clientes solamente visita un solo departamento; el 20% a 2 departamentos y el resto a todos los departamentos. De los que visitan un solo departamento, el 80% elige el de Abarrotes, el 15% el de y el resto el de Embutidos. De los que visitan 2 departamentos, el 75% lo hacen a los de Abarrotes y de ; el 20% a los de Abarrotes y Embutidos y el resto a los de Embutidos y. Sin embargo, si un cliente visita el departamento de Embutidos y los empleados están ocupados, el 50% de ellos prefiere retirarse y no comprar nada en el departamento. Si un cliente solamente visita (y compra algo) en el departamento de Embutidos, no tiene que formarse en la caja a la salida del supermercado, a menos que tome artículos de impulso. El 90% de los clientes toman por lo menos 1 artículo de impulso. Los clientes tardan en desplazarse entre los diferentes departamentos en promedio 15 segundos según la distribución exponencial, al igual que de los departamentos hacia las cajas a la salida. El tiempo que tardan los clientes en los departamentos de autoservicio (Abarrotes y Frutas y Verduras) depende del número de artículos que tomen para comprar, y en promedio tardan 15 segundos por artículo. El número de artículos que toman se comporta según la distribución geométrica con media de 3 artículos. En el departamento de Embutidos, los empleados atienden a los clientes según la distribución normal con media de 2 minutos y desviación estándar de 30 segundos. En las cajas a la salida, los clientes toman artículos de impulso según la distribución geométrica con una media de 1 artículo por cliente. Las cajeras a la salida tardan en atender a los clientes dependiendo del número de artículos, tardando en promedio 5 segundos por artículo.

2 Como ya se ha explicado, lo primero que se debe hacer es obtener los parámetros que serán utilizados como valores de entrada al modelo, y éstos son: los arribos al sistema, los tiempos de servicio en cada una de las estaciones de servicio y las tablas empíricas respectivas a los datos estadísticos con los que se cuenta. Arribos al sistema: Éstos se comportan según la distribución poisson, con una media de 2 minutos por cliente, y, como también ya se había explicado, se debe generar una tabla empírica de arribos al sistema debido a que, en la distribución poisson, para generar un solo valor de variable aleatoria se requieren muchos números aleatorios y si se hiciera de la manera como se vio en la unidad III sería muy tardado, por lo que es mejor hacer una tabla empírica. Ésta se hace exactamente igual que como se realizó en el ejercicio anterior. Se usa para ello la fórmula f x = e λ λ x probabilidad de ocurrencia del evento x. Tabla empírica del tiempo que tardan los clientes en arribar al supermercado x! que genera la Tiempo (minutos) Probabilidad probabilidad acumulada rango de los números aleatorios Tiempos de servicio Abarrotes 15*Número de artículos (segundos) Embutidos Éste se comporta según la distribución normal con media (µ) de 2 minutos y desviación estándar (σ) de 30 segundos y como para generar valores de variable aleatoria por la distribución normal se requieren muchos números aleatorios, como se vio en la unidad III, es preferible, igual que la poisson, generar una tabla empírica, pero ésta se realiza de la siguiente manera: Considere que la curva de distribución normal es como la que se presenta a continuación

3 Ahora suponga que rebanamos la curva en 7 porciones de la misma longitud (σ), 3 al lado izquierdo, 3 al lado derecho y 1 al centro. Lo siguiente es determinar el área bajo la curva en cada una de las porciones (que representa la probabilidad de ocurrencia de que un suceso caiga en cada esa rebanada en particular. Esto se hace con la tabla de áreas bajo la curva de la distribución normal que se utilizó en la unidad II, considerando que del centro a la primer línea es de ½ σ (que se considera como z en la tabla). Para la parte central, z=1/2, y el valor de la tabla es , pero como solo es del centro a la derecha, el área en realidad es (aunque como se ve en la figura anterior representa solo la mitad central (que está en amarillo), por lo que toda el área es el doble, es decir, La siguiente rebanada (la que está en azul a la derecha del centro) representa un valor de z = (1 + ½ σ) = 1.5 σ, que en la tabla resulta en , pero ha de considerarse que el área azul es solo de , que representa La siguiente rebanada (la que está en amarillo a la derecha del centro) representa un valor de z = (2 + ½ σ) = 2.5 σ, que en la tabla resulta en , pero ha de considerarse que el área amarilla es solo de , que representa La siguiente rebanada (que es la sobrita en el lado derecho de la curva) se obtiene simplemente como la diferencia de , es decir, Finalmente, no hay que olvidar que lo que aparece al lado derecho del centro es exactamente igual a lo del lado izquierdo, por lo que ya se puede determinar la tabla empírica que sería como sigue:

4 Tiempo (minutos) Tabla empírica de tiempo de servicio en el departamento de embutidos Rebanada Probabilidad probabilidad acumulada rango de los números aleatorios 0. (30 ) µ - 3σ (60 ) µ - 2σ (1 30 ) µ - σ µ (2 30 ) µ + σ µ + 2σ (3 30 ) µ + 3σ *Número de artículos (segundos) Artículos de impulso El tiempo de servicio en este apartado es cero, puesto que lo hacen cuando están formados en la fila en las cajas a la salida del supermercado. Cajas a la salida del Supermercado 5*Número de artículos (segundos) Número de artículos que cada cliente toma para comprar Abarrotes El número de artículos se comporta según la distribución geométrica con media de 3 artículos por cliente, con lo que, sustituyendo en la fórmula para calcular valores de variable aleatoria según la distribución geométrica, se tiene Por lo tanto, p = EX = = 1 = 0.25 q = 1 p = = x = log r log q = log r log(0.75) Que será la fórmula que nos indicará el número de artículos que cada cliente toma para comprar en la sección de Abarrotes (y de hecho también en la sección de Frutas y Verduras) Embutidos

5 Aquí no hay que olvidar que en esta sección existen empleados que se encargan de efectuar el cobro de la mercancía, por lo que no es necesario determinar el número de artículos, ya que incluso aquellos clientes que solo compran en la sección de embutidos, no tienen que pasar a cajas El número de artículos se comporta según la distribución geométrica con media de 3 artículos por cliente, con lo que, sustituyendo en la fórmula para calcular valores de variable aleatoria según la distribución geométrica, se tiene Por lo tanto, p = EX = = 1 = 0.25 q = 1 p = = x = log r log q = log r log(0.75) Que será la fórmula que nos indicará el número de artículos que cada cliente toma para comprar en la sección de (y de hecho también en la sección de Abarrotes) Artículos de Impulso El número de artículos se comporta según la distribución geométrica con media de 1 artículos por cliente, con lo que, sustituyendo en la fórmula para calcular valores de variable aleatoria según la distribución geométrica, se tiene Por lo tanto, p = EX = = 1 = 0.5 q = 1 p = = x = log r log q = log r log(0.5) Que será la fórmula que nos indicará el número de artículos que cada cliente toma para comprar en la sección de Artículos de Impulso. Tiempos de desplazamiento entre departamentos (incluidas las cajas a la salida) Además, el problema especifica que los clientes tardan 15 segundos en desplazarse entre los diferentes departamentos del supermercado, el cual debe contabilizarse para determinar el momento en el cual llegan a cada una de las secciones. Cuáles y cuántas secciones se visitan

6 Finalmente, hay que determinar las tablas empíricas que deben determinar la cantidad de secciones que cada cliente visita en el supermercado y cuáles serían las mismas. Tabla empírica del número de secciones visitadas por los clientes Número Probabilidad Probabilidad Acumulada rango de los números aleatorios Tabla empírica de las secciones visitadas por los clientes cuando es solo una de ellas Sección Probabilidad Probabilidad Acumulada rango de los números aleatorios Abarrotes (A) (FV) Embutidos (E) Tabla empírica de las secciones visitadas por los clientes cuando son 2 de ellas Sección Abarrotes (A) y (FV) Abarrotes (A) y Embutidos (E) Embutidos (E) y (FV) Probabilidad Probabilidad Acumulada rango de los números aleatorios Además, el problema especifica que si un cliente visita la sección de embutidos y lo empleados están ocupados, existe un 50% de probabilidad de que el cliente se retire sin comprar nada (ya que probablemente tenga prisa y decide no esperar). Con esto podemos generar una tabla empírica que represente si se queda o se retira, como sigue: Tabla empírica de decisión cuando los empleados de la sección de embutidos están ocupados Decisión Probabilidad Probabilidad Acumulada rango de los números aleatorios Sí (S) No (N)

7 Finalmente, el problema también especifica que el 90% de los clientes toma por lo menos un artículo de impulso. Con esto se puede generar una tabla empírica que defina si los clientes toman o no artículos de impulso, como sigue: Tabla empírica de decisión de tomar artículos de impulso Decisión Probabilidad Probabilidad Acumulada rango de los números aleatorios Sí (S) No (N) Y con esto ya se concluye lo relativo a los parámetros iniciales de la simulación por lo que ya se puede proceder a la misma