INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN

Transcripción

1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Si deseamos estimar la proporción p con que una determinada característica se da en una población, a partir de la proporción p' observada en una muestra de tamaño n, sabemos que la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal con q=1-p Como la proporción p de la población es desconocida, se aproxima por la de la muestra siempre que n>100. Entonces para un nivel de confianza 1-a, p pertenece al intervalo: EJEMPLO Una máquina fabrica piezas de precisión y en una caja de 200 piezas, recibida por un cliente han aparecido 7 piezas defectuosas, a un nivel de confianza del 99% entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de piezas defectuosas fabricadas por la máquina? La proporción de piezas defectuosas en la muestra es 7/200=0,035 Con p'=0,035 q'=0,965 n=200, la distribución muestral de proporciones se distribuye N(p ; 0,013). Para 1-α=0,99 α/2=0,005 z α/2 =2,575 Intervalo de confianza (0,035-2,575*0,013;0,035+2,575*0,013)= =(0,002;0,068) Tiramos 200 veces una moneda y 120 sale cara; al 95% entre qué valores se puede esperar que esté la verdadera proporción de caras obtenidas con la moneda?

2 Contraste de hipótesis Una hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna característica de una población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones con la realidad que observamos. Si dentro del margen de error que nos permitimos admitir, hay coincidencia, aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazaremos. La hipótesis emitida se suele designar por H o y se llama Hipótesis nula porque parte del supuesto que la diferencias entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia. La hipótesis contraria se designa por H 1 y se llama Hipótesis alternativa Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto estamos ante una hipótesis unilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor) estamos ante uno unilateral. Se trata pues, de extraer conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida, sobre el valor de un parámetro desconocido de la población. El método que seguiremos es el siguiente: 1. Enunciar la hipótesis 2. Elegir un nivel de significación α y construir la zona de aceptación, intervalo fuera del cual sólo se encuentran el α100% de los casos más raros. A la zona de rechazo la llamaremos región crítica, y su área es el nivel de significación. 3. Verificar la hipótesis extrayendo una muestra cuyo tamaño se ha decidido en el paso anterior y obteniendo de ella el correspondiente estadístico (media o proporción en nuestro caso). 4. Decidir. Si el valor calculado en la muestra cae dentro de la zona de aceptación se acepta la hipótesis y si no se rechaza.. Nivel de significación En la contrastación de hipótesis puede producirse un riesgo de rechazo de la hipótesis para algún valor concreto del intervalo de confianza aunque la hipótesis sea válida en el resto del intervalo. Esta probabilidad se denomina riesgo de error o nivel de significación, y se denota por a.

3 Si se acepta la hipótesis, se considera que la diferencia entre el valor del parámetro contemplado en la hipótesis nula y el que le corresponde según la muestra es no significativa. Cuando se rechaza la hipótesis nula para un valor de a = 5%, la diferencia se dice que es significativa. Si la hipótesis nula se rechaza con un valor de a = 10%, se dice que la diferencia es muy significativa. POSIBLES ERRORES EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS El contraste de hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio que nos permite decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza, o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. En este proceso podemos incurrir en dos tipos de errores según sea la situación real y la decisión que tomemos. Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, cometemos un error de tipo I, mientras que si la aceptamos debiendo ser rechazada diremos que hemos cometido un error de tipo II. Minimizar los errores no es una cuestión sencilla, un tipo suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra.

4 CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Queremos contrastar una hipótesis acerca del valor de la media poblacional a partir de los resultados de una muestra. El proceso que seguimos es: Contraste bilateral Ho: µ = µ o H1: µ µ o 1) Establecer la hipótesis Contraste unilateral Ho: µ µ o H1: µ > µ o buscamos z α/2 tal que P(-z α/2 z z α/2 )=1-α Las medias muestrales se distribuyen buscamos z α tal que P(z z α )=1-α 2) Elegir el nivel de significación α y determinar la zona de aceptación a partir del Intervalo de confianza x 3) Verificación x 4) Decisión x rechazamos H o x rechazamos H o

5 EJEMPLOS Contraste bilateral Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, a un nivel de significación de 0,05? H o : µ = 6 ; H 1 : µ 6 (contraste bilateral) si H o es cierta las medias muestrales se distribuyen N(6;0,4) Para α=0,05 α/2=0,025 z α/2 =1,96 Calculamos la zona de aceptación: (6-1,96*0,4 ; 6+1,96*0,4)= (5,22;6,78) El valor obtenido en la muestra es x=5,6 y como 5,6 (5,22;6,78) aceptaremos la hipótesis nula En otra muestra de 81 estudiantes se obtuvo una nota media de 6,2. Se confirma la hipótesis anterior a un nivel de significación de 0,01? Contraste unilateral Se cree que la altura media de los habitantes de cierta población es como mucho 170 cm, con una desviación típica de 8 cm. En una muestra de 100 personas se observa una altura media de 172 cm. Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 5%? H o : µ 170 ; H 1 : µ > 170 (contraste unilateral) Las medias muestrales se distribuyen N(170;0,8) Para α=0,05 z α =1,645 Calculamos la zona de aceptación (- ; 170+1,645*0,8)=(- ; 171,32) El valor obtenido en la muestra es m=172 y como 172 (- ; 171,32) rechazaremos la hipótesis nula Si el nivel de significación fuese 0,01 se aceptaría la hipótesis anterior.

6 CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN Queremos contrastar una hipótesis acerca de la proporción en una población a partir de los datos extraídos de una muestra. Contraste bilateral H o : p = p o H 1 : p p o 1) Establecer la hipótesis Contraste unilateral H o : p p o H1: p < p o buscamos z α/2 tal que P(-z α/2 z z α/2 )=1-α Las proporciones muestrales se distribuyen buscamos z α tal que P(z z α )=1-α 2) Elegir el nivel de significación α y determinar la zona de aceptación a partir del Intervalo de confianza p 3) Verificación p 4) Decisión p rechazamos H o p rechazamos H o

7 EJEMPLOS Se realizan 200 lanzamientos de una moneda y salen 120 caras, podemos aceptar que la moneda no está trucada con un nivel de significación del 5%? H o : p=0,5 ; H 1 : p 0,5 (contraste bilateral) Si H o es cierta la distribución muestral es N(0,5;0,035) Para α=0,05 α/2=0,025 z α/2 =1,96 Zona de aceptación (0,5-1,96 * 0,035 ; 0,5+1,96 * 0,035)= =(0,431;0,569) La proporción de caras en la muestra ha sido 120/200=0,6 que no pertenece a la zona de aceptación, por lo que no aceptamos la hipótesis nula, es decir creemos que la moneda está trucada Una máquina fabrica piezas de precisión y se garantiza que la proporción de piezas correctas producidas es al menos del 97%. Un cliente recibe un lote de 200 piezas y aparecen 8 piezas defectuosas; a un nivel de confianza del 95% rechazará el lote por no cumplir las condiciones de la garantía? H o : p 0,97 ; H 1 : p<0,97 (contraste unilateral) La distribución muestral es N(0,97;0,01) Para α=0,05 z α =1,645 zona de aceptación (0,97-1,645*0,01 ; + )= (0,95 ; + ) La proporción de piezas correctas en la muestra es p = 192/200=0,96 y como 0,96 (0,95; + ) se acepta la hipótesis nula y por tanto el lote. Si la muestra hubiese sido de 300 piezas con 285 correctas, se aceptaría el lote al 10% de significación?