Intervalos para la diferencia de medias de dos poblaciones

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1 8.. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 89 distribuye de modo gaussiana. Para ello se tomó una muestra de 5 individuos (que podemos considerar piloto), que ofreció los siguientes resultados: x = 70 cm S = 0 cm Calcular el tamaño que debería tener una muestra para que se obtuviese un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de significación α = 0, 0 (al 99 %) y con una precisión de d = cm. Solución: Obsérvese que sobre la muestra piloto, el error cometido al estimar el intervalo al 95 % fue aproximadamente de 4 cm por lo que si buscamos un intervalo de confianza tan preciso, el tamaño de la muestra, n, deberá ser bastante mayor. En este caso se obtiene: n z 0,995 0, 06 =, 58 0, Por tanto, si queremos realizar un estudio con toda la precisión requerida en el enunciado se debería tomar una muestra de 694 individuos. Esto es una indicación de gran utilidad antes de comenzar el estudio. Una vez que el muestreo haya sido realizado, debemos confirmar que el error para el nivel de significación dado es inferior o igual a cm, utilizando la muestra obtenida Intervalos para la diferencia de medias de dos poblaciones Consideremos el caso en que tenemos dos poblaciones de modo que el carácter que estudiamos en ambas (X y X ) son v.a. distribuidas según leyes gaussianas ( ) X N µ, σ

2 90 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones ( ) X N µ, σ En cada una de estas poblaciones se extrae mediante muestreo aleatorio simple, muestras que no tienen por que ser necesariamente del mismo tamaño (respectivamente n y n ) X X, X,..., X n X X, X,..., X n Podemos plantearnos a partir de las muestras el saber qué diferencias existen entre las medias de ambas poblaciones, o por ejemplo estudiar las relación existente entre sus dispersiones respectivas. A ello vamos a dedicar los siguientes puntos. Intervalo para la diferencia de medias homocedáticas Supongamos que dos poblaciones tengan varianzas idénticas (homocedasticidad),σ. Es decir σ = σ = σ. Por razones análogas a las expuestas en el caso de una población una población, se tiene que χ n = (n )Ŝ σ χ n = (n )Ŝ σ χ n χ n χ reprod. = χ n +n = χ n +χ n χ n +n De manera similar al caso de la media de una población, si las varianzas fuesen conocidas, podemos definir la v.a. Z = (X X ) (µ µ ) σ + σ n n = (X X ) (µ µ ) σ ( n + n ) N (0, )

3 8.. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9 Cuando las varianzas de las poblaciones son desconocidas, pero podemos asumir que al menos son iguales, el siguiente estadístico se distribuye como una t de Student con n + n grados de libertad: Z T n +n = n + n χ n +n = (X X ) (µ µ ) Ŝ n + n t n +n (8.) donde se ha definido a Ŝ como la cuasivarianza muestral ponderada de Ŝ y Ŝ Ŝ = (n )Ŝ + (n )Ŝ n + n Si α es el nivel de significación con el que deseamos establecer el intervalo para la diferencia de las dos medias, calculamos el valor t n +n, α/ que deja por encima de si α/ de la masa de probabilidad de T n +n P[T n +n > t n +n, α/] = α P[ T n +n t n +n, α/] = α Repitiendo un proceso que ya hemos realizado en ocasiones anteriores, tenemos una probabilidad de α de que a extraer una muestra aleatoria simple ocurra: T n +n t n +n, α/ (X X ) (µ µ ) Ŝ + n n t n +n, α/ µ µ (X X ) + t n +n, α/ Ŝ n + n Luego el intervalo de confianza al nivel α para la diferencia de esperanzas de dos poblaciones con la misma varianza (aunque esta sea desconocida) es:

4 9 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones µ µ = (X X ) ± t n +n, α/ Ŝ n + n Ejemplo Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman y otras que no) y se obtienen los siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos: Madres fumadoras n = 35 mujeres, x = 3, 6 Kg Ŝ = 0, 5 Kg Madres no fumadoras n = 7 mujeres, x = 3, Kg Ŝ = 0, 8 Kg En ambos grupos los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las mismas. Calcular en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo. Solución: Si X es la v.a. que describe el peso de un niño que nace de madre no fumadora, y X el de un hijo de madre fumadora, se tiene por hipótesis que µ, µ, σ, tales que X N ( µ, σ ) X N ( µ, σ ) Si queremos estimar en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo, podemos estimar un intervalo de confianza para µ µ, lo que nos dará la diferencia de peso esperado entre un niño del primer grupo y otro del segundo. El estadístico que se ha de aplicar para esta cuestión es: (x x ) (µ µ ) Ŝ + t n +n = t 35+7 = t 60 n n

5 8.. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 93 donde Ŝ = (n )Ŝ + (n )Ŝ n + n = 34 0, , 8 60 = 0, 49 = Ŝ = 0, 6473 Consideramos un nivel de significación que nos parezca aceptable, por ejemplo α = 0, 05, y el intervalo buscado se obtiene a partir de: 0,4 { }} { (3, 6 3, ) (µ µ ) , 6473 } {{ } 0,658 t 60; 0,05/ = t 60;0,975 = = µ µ = 0, 4 ± 0, 658 = µ µ = 0, 4 ± 0, 336 con lo cual se puede decir que un intervalo de confianza para el peso esperado en que supera un hijo de madre no fumadora al de otro de madre fumadora está comprendido con un nivel de confianza del 95 % entre los 0, 068 Kg y los 0, 73 Kg.

6 94 Bioestadística: Métodos y Aplicaciones { ( }} ){ X N µ, σ ( ) X N µ, σ } {{ }?? poblaciones normales X, X medias de las muestras Ŝ, Ŝ cuasivarianzas de las muestras n, n tamaños de las muestras Intervalos de confianza para µ µ Si σ = σ (desconocidos) µ µ (X X ) ± t n +n, α/ Ŝ + n n Si σ σ (desconocidos) µ µ (X X ) ± t f, α/ Ŝ n + Ŝ n Ŝ = (n )Ŝ + (n )Ŝ n + n donde f = (Ŝ ) + Ŝ n n (Ŝ ) + n + n n + (Ŝ n ) Welch. Cuadro 8.: Intervalos de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones normales, calculados a partir de sendas muestras independientes de cada una de ellas.los resultados dependen de que podamos suponer cierta o no la condición de homocedasticidad.