Actividad: Elabora un resumen de la información que se muestra a continuación y analiza los procedimientos que se muestran.

Transcripción

1 Actvdad: Elabora u resume de la formacó que se muestra a cotuacó y aalza los procedmetos que se muestra. Fudametos matemátcos de la electróca dgtal Sstemas de umeracó poscoales E u sstema de esta clase, u úmero se represeta por medo de ua cadea de dígtos, dode cada poscó del dgto tee u peso asocado. Así, el valor del úmero es ua suma poderada de los dígtos. E u sstema poscoal geeral, la base puede ser cualquer etero b 2, y u dgto e la poscó tee u peso b ; u puto base permte que se utlce tato potecas egatvas como postvas de la base. La forma de expresó de u úmero N cualquera es: aa 1 a a0 a 1 a p Dode exste dígtos a la zquerda del puto base y p dígtos a la derecha. S el puto se omte, se supoe que se ecuetra a la derecha del dgto del extremo derecho. El valor de dcho úmero puede represetarse como ua suma de potecas de la base, de la sguete maera: p N a. b a 1. b a. b a0. b a 1. b a p. b a. b p Sedo a u úmero perteecete al sstema y que, por lo tato, cumple la codcó 0 a b. Excepto por la posbldad de teer ceros al prcpo o al fal, la represetacó de u úmero e u sstema de umeracó poscoal es úca. El dgto que esta e el extremo zquerdo se deoma dgto más sgfcatvo y el dgto que esta e el extremo derecho se deoma dgto meos sgfcatvo. Sstema decmal: Este es u sstema de base, dode se utlza símbolos (que forma la sucesó moótoa crecete 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) para represetar úmeros. Cada peso es ua poteca de que correspode a la poscó del dgto. U puto decmal permte que se utlce tato potecas egatvas como postvas de. La forma de expresó de u úmero D e esta base y su valor está dados por: dd 1 d d0 d 1 d p p p p D d. d. d. d. d. d. d. Sstema baro: Este es u sstema de base 2, dode solo se emplea 2 símbolos (0 y 1, llamados bts, por la cotraccó de las palabras bary dgts ). Cada peso es ua poteca de 2 que correspode a la poscó del dgto. U puto baro permte que se utlce tato potecas egatvas como postvas de 2. El sstema baro se emplea para represetar señales e u sstema dgtal, ya que dchas señales se ecuetra ormalmete e uo de dos estados: alto (1) o bajo (0). La forma de expresó de u úmero B e esta base y su valor está dados por: b b b b b b p p p p B b.2 b.2 b.2 b.2 b.2 b.2 b.2 El bt que esta e el extremo zquerdo de u umero baro se cooce como el bt más sgfcatvo (MSB, most sgfcat bt), y el bt que se ecuetra e el extremo derecho se cooce como el bt meos sgfcatvo (LSB, least sgfcat bt)..

2 Sstema octal: Este es u sstema de base 8, que ecesta 8 símbolos para represetar úmeros, de modo que se emplea los dígtos del 0 al 7 del sstema decmal. Este sstema es útl para represetar úmeros de múltples bts, ya que su base es ua poteca de 2. Puesto que ua cadea de 3 bts puede tomarse e 8 dferetes combacoes, se sgue que cada cadea de 3 bts puede represetarse de maera úca por u dgto octal. El sstema umérco octal o se utlza mucho e la actualdad, a cosecueca de la prepoderaca de las maquas que procesa bytes compuestos de 8 bts. Sstema hexadecmal: Este es u sstema de base 16, que ecesta 16 símbolos para represetar úmeros, de modo que se emplea los dígtos del 0 al 9 del sstema decmal co las letras de la A hasta la F. Este sstema es útl para represetar úmeros de múltples bts, ya que su base es ua poteca de 2. Puesto que ua cadea de 4 bts puede tomarse e 16 dferetes combacoes, se sgue que cada cadea de 4 bts puede represetarse de maera úca por u dgto hexadecmal. E base al crtero ateror, e el sstema umérco hexadecmal, dos dígtos represe-ta u byte de 8 bts, y 2 dígtos represeta ua palabra de bytes; e este cotexto, u dgto hexadecmal de 4 bts se deoma a veces u bble (medo byte). Coversó de u sstema a otro Cosderacoes prelmares: E geeral, la coversó etre dos bases o puede hacerse por smple susttucó; se requere operacoes artmétcas. Aquí eucaremos ua regla para covertr u úmero e cualquer base a u úmero e base, y vceversa. - De base r a base : Partmos del hecho coocdo de que el valor de u úmero e cualquer base esta dado por la formula: N p a. r Dode r es la base del sstema e el cual se halla el úmero y exste dígtos a la zquerda del puto base y p dígtos a la derecha. De esta forma, el valor del umero puede ecotrarse al covertr cada dgto del umero a su equvalete e base, y expadr la formula utlzado artmétca de base. Escrbmos la formula de expasó de maera adada: N (( (( a ). r a ). r ). r a ). r a 1 1 0

3 Esto es, comezamos co ua suma de 0; cado co el dgto que esta e el extremo zquerdo, multplcamos la suma por r, y agregamos el sguete dgto a la suma, reptedo este proceso hasta que todos los dígtos haya sdo procesados. - De base a base r: Ahora, partmos de la formula ateror para fudametar u método para covertr de u umero e base a cualquer base. Para esto, cosderemos que ocurre s dvdmos la formula etre r? Puesto que la parte etre parétess de la formula es gualmete dvsble etre r, el cocete será: Q ( (( a ). r a ). r ). r a 1 1 Y el resduo será d 0. De este modo, d 0 puede calcularse como el resduo de la dvsó larga de N etre r. Adcoalmete, el cocete Q tee la msma forma que la formula orgal; por lo tato, dvsoes sucesvas etre r os proporcoa dígtos sucesvos de N de derecha a zquerda, hasta que todos los dígtos de N haya sdo dervados. Coversó de Baro a - Octal: Se hace a través de ua susttucó drecta. Desde el puto baro, se separa el úmero baro e grupos de 3 bts, que se reemplaza por su correspodete dgto octal Hexadecmal: Se hace a través de ua susttucó drecta. Desde el puto baro, se separa el úmero baro e grupos de 4 bts, que se reemplaza por su correspodete dgto hexadecmal D Decmal: Se hace a través de la suma, covrtedo cada dgto del úmero a su equvalete e base de acuerdo a la poscó que ocupa, y luego sumádolos Coversó de Octal a - Baro: Se hace a través de ua susttucó drecta, reemplazádose cada dgto octal por su equvalete grupo de 3 bts Hexadecmal: Se coverte prmero el úmero octal a baro, reemplazádose cada dgto octal por su correspodete grupo de 3 bts. Luego, a partr del puto baro, se separa el úmero baro e grupos de 4 bts, que se reemplaza por su correspodete dgto hexadecmal C16 - Decmal: Se hace a través de la suma, covrtedo cada dgto del úmero a su equvalete e base de acuerdo a la poscó que ocupa, y luego sumádolos.

4 Coversó de Hexadecmal a - Baro: Se hace a través de ua susttucó drecta, reemplazádose cada dgto hexadecmal por su equvalete grupo de 4 bts. C0DE Octal: Se coverte prmero el úmero hexadecmal a baro, reemplazádose cada dgto hexadecmal por su correspodete grupo de 4 bts. Luego, a partr del puto baro, se separa el úmero baro e grupos de 3 bts, que se reemplaza por su correspodete dgto octal. C0DE Decmal: Se hace a través de la suma, covrtedo cada dgto del úmero a su equvalete e base de acuerdo a la poscó que ocupa, y luego sumádolos C0DE Coversó de Decmal a - Baro: Se hace a través de la dvsó resduo 0 ( ) ( ) 2 13 ( resduo 1) 2 6 ( resduo 1) 2 3 ( resduo 0) 2 1 ( resduo 1) 2 27 resduo Octal: Se hace a través de la dvsó ( resduo 4) 8 1 ( resduo 5) Hexadecmal: Se hace a través de la dvsó.

5 ( resduo 12) 8 6C 168 REGLA PRÁCTICA: 1) Dvdr por el valor decmal de la base el úmero decmal a covertr, así como los sucesvos cocetes, hasta obteer u cocete meor al valor de la base. 2) Este últmo cocete y los restos de las dvsoes efectuadas costtuye, e ese orde, el úmero buscado. Operacoes co úmeros baros Suma de úmeros baros: La sguete es ua tabla de sumar para úmeros baros: Para sumar dos úmeros baros X y Y, sumamos jutos los bts meos sgfcatvos, co u acarreo cal de 0, producedo bts de suma y bts de acarreo. Cotuamos procesado bts de derecha a zquerda, sumado el acarreo (s lo hubere) fuera de cada columa a la suma de la sguete columa. Resta de úmeros baros: La sguete es ua tabla de restar para úmeros baros: La resta bara se realza de maera smlar a la suma, pero empleado acarreos egatvos ( prestamos ) desde ua columa a la columa ateror cuado el muedo de esa columa sea u 0 y el sustraedo sea u 1. Para restar dos úmeros baros X y Y, restamos jutos los bts meos sgfcatvos co u préstamo cal de 0, producedo bts de resta y bts de préstamo. Cotuamos procesado bts de derecha a zquerda, restado el bt de préstamo (s lo hubere) a la sguete columa. Los valores del muedo baro se modfcara cuado se presete el préstamo. Cada vez que se pde u 1 a la sguete poscó del muedo, este pasara a ser 0. E el caso de que la sguete també sea 0, pasara a ser 1, debédose pedr uevamete u 1 a la subsguete poscó, que també pasara a ser 1 s es 0, y así, sucesvamete, s hay 0 e el muedo se trasformara e 1 hasta llegar a u 1 que pasara a ser 0.

6 Multplcacó, dvsó y potecacó de úmeros baros: La sguete es la tabla de multplcar para úmeros baros: Multplcar e baro es muy secllo: se repte el multplcado desplazado a la zquerda, coforme a la poscó que ocupe los uos del multplcador. Luego se realza la suma co los sumados así ordeados. La dvsó se puede realzar co el método de las dferecas sucesvas, sedo que cada sustraedo se obtee multplcado por 1 al dvsor s este ultmo es meor o gual que el resto parcal e cuestó, o por 0 s el msmo es mayor que dcho resto. Es mportate señalar que cada vez que se multplca o se dvde u úmero etero baro por la base 2 =2, se agrega o se quta u cero, respectvamete. Co respecto a la potecacó, e cualquer base, sempre que se tega p factores guales de u umero, se podrá escrbr xxx x= p. Segú sea la base, varará la represetacó de y p. Debe teerse presete que e cualquer base, la udad seguda de p ceros puede expresarse como la base a la poteca p, smbolzádose la base e todos los sstemas umércos ( ) )

7 Represetacó de úmeros baros sgados Aplcacó de matemátcas dscretas AMAD-02 Báscamete, exste muchas formas de represetar úmeros sgados, pero las dos mas empleadas so la represetacó de magtud y sgo, y los sstemas umércos de complemeto. Represetacó de magtud co sgo: El sstema de magtud co sgo se aplca a los úmeros baros hacedo uso de ua poscó de bt extra para represetar el sgo (bt de sgo); tradcoalmete, el MSB de ua cadea de bts es empleado como el bt de sgo (0=sgo más, 1=sgo meos), y los bts de meor orde cotee la magtud. Ejemplos: El sstema de magtud co sgo tee u úmero détco de eteros postvos y egatvos. U etero de magtud co sgo de bts esta stuado detro del tervalo que va desde (2-1 -1) hasta +(2-1 -1), y exste dos represetacoes posbles del cero. Sstemas umércos de complemeto: Metras que el sstema de magtud co sgo coverte e egatvo u úmero al cambar su sgo, u sstema umérco de complemeto coverte e egatvo u úmero tomado su complemeto como defdo por el sstema. E el caso del sstema de umeracó baro, los sstemas umércos de complemeto más empleados so el complemeto a 1 y el complemeto a 2. - Complemeto a 1: Se obtee complemetado cada bt del úmero baro, es decr, cambado cada 0 por 1 y vceversa. - Complemeto de 2: Se obtee tomado el complemeto a 1 y sumádole 1 al LSB del úmero baro. - Represetacó de úmeros co sgo medate el complemeto a 2: El sstema complemeto a 2 para represetar úmeros co sgo trabaja de la sguete maera: S el úmero es postvo, la magtud esta represetada por su equvalete baro verdadero y se agrega u 0 ates del MSB. S el úmero es egatvo, la magtud esta represetada por su equvalete e complemeto a 2 y se agrega u 1 ates del MSB.

8 El sstema de complemeto a 2 se emplea para represetar úmeros co sgo porque permte efectuar la operacó de resta de úmeros baros medate ua suma. E geeral, la operacó complemeto a 2 de u umero co sgo cambara u umero postvo por uo egatvo y vceversa. La recoversó de u úmero e el sstema complemeto a 2 a su valor baro verda-dero se efectúa smplemete sguedo el msmo proceso que se empleo para obteer el complemeto. - Caso especal de la represetacó e complemeto a 2: Sempre que u úmero co sgo tee u 1 e el bt de sgo y todos los bts de magtud so 0, su decmal equvalete es -2, dode es el úmero de bts que hay e la magtud. De este modo, podemos decr que el tervalo completo de valores que se puede represetar e el sstema complemeto a 2 que tee bts de magtud es -2 hasta +(2-1). E total, exste 2 +1 valores dferetes, cludo el cero. Suma y resta e el sstema complemeto a 2 Suma: Es mportate observar que el bt de sgo de cada úmero se opera e la msma forma que la parte de la magtud. - CASO I: dos úmeros postvos. Notemos que los bts de sgo del cosumado y del sumado so 0, y el bt de sgo de la suma es 0, lo que dca que la suma es postva. Notemos asmsmo que el cosumado y el sumado se forma co el msmo úmero de bts; esto sempre debe llevarse a cabo e le sstema complemeto a 2. - CASO II: umero postvo y umero egatvo meor.

9 E este caso, el bt de sgo del sumado es 1. Observemos que el bt de sgo també partcpa e el proceso de adcó; de hecho, se geera u acarreo e la últma poscó de la suma. Este acarreo sempre se descarta. - CASO III: úmero postvo y úmero egatvo mayor. Aquí, la suma tee u bt de sgo 1, lo que dca u úmero egatvo. Como la suma es egatva, debemos teer e cueta que esta se ecuetra e su forma complemeto a 2, de forma que los últmos cuatro bts represeta e realdad el complemeto a 2 de la suma. Para ecotrar la magtud verdadera de la suma, debemos tomar uevamete el complemeto a 2. - CASO IV: dos úmeros egatvos. Este resultado fal vuelve a ser egatvo, y esta e forma complemeto a 2 co bt de sgo 1. - CASO V: úmeros guales y opuestos. El resultado es obvamete 0, como se esperaba. Resta: La operacó de sustraccó que emplea el sstema complemeto a 2 e realdad comprede la operacó de adcó. Cuado se resta u úmero baro (sustraedo) a otro úmero baro (muedo), el procedmeto es el sguete: 1. Se toma el complemeto a 2 del sustraedo, cluyedo el bt de sgo. S el sustraedo es u úmero postvo, este se trasformara e uo egatvo e forma complemeto a 2. S el sustraedo es u úmero egatvo, este se trasformara e uo postvo e forma bara verdadera. E otras palabras, se altera el sgo del sustraedo. 2. Después de tomar el complemeto a 2 del sustraedo, este se suma al muedo. El muedo se coserva e su forma orgal. El resultado de esta adcó represeta la dfereca que se pde. El bt de sgo de esta dfereca determa s es postva o egatva, y s se ecuetra e forma bara verdadera o e forma complemeto a 2. Recordemos que ambos úmeros debe teer el msmo úmero de bts.

10 Se camba el sustraedo a su forma complemeto a 2 (110), lo que represeta (-4). Ahora, se suma esto al muedo: Cuado el sustraedo se camba por su complemeto a 2, e realdad se coverte e -4, así que sumamos +9 a -4, que es lo msmo que restar +4 de +9. por lo tato, cualquer operacó de sustraccó se coverte e realdad e ua de adcó cuado se emplea el sstema complemeto a 2.