INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

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1 INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponen a los espacios acaémicos en los que el estuiante el Politécnico Los Alpes puee profunizar y reforzar sus conocimientos en iferentes temas e cara al eamen e amisión e la Universia Nacional y/o Eamen e Estao ICFES Saber. Las tutorías tienen un límite estricto e cupos y para la asistencia a este espacio es inispensable la INSCRIPCIÓN PREVIA, aemás se eben tener en cuenta los siguientes aspectos:. Asistir puntualmente a la tutoría. Después e 0 minutos, bajo ningún argumento el ocente permitirá el ingreso el estuiante.. Leer la siguiente tabla y cumplir con los prerrequisitos establecios que en ella se ispongan. Asignatura: MATEMÁTICAS Nombre e la Tutoría: CONCEPTO DE DERIVADA Tema: CÁLCULO Conceptos que el estuiante ebe manejar: OPERACIONES BÁSICAS, VALOR DE UNA EXPRESIÓN EN UN PUNTO. Documento Base: Instrucciones: Realice un cuaro resumen e las fórmulas para erivar que aparecen en el ocumento (aparecen como cuaros resaltaos con la inicación regla ).

2 DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS Entiénase la erivaa como la peniente e la recta tangente a la función en un punto ao, lo anterior implica que la función ebe eistir en ese punto para poer trazar una recta tangente en él... DIFERENCIACIÓN NORMAL La erivaa se puee conocer como un caso particular el límite. Para conocer numéricamente el valor e la peniente e una función en un punto ao es necesario resolver la ecuación: Peniente en P Lim h 0 f ( + h) f ( ) h Para lo cual hay necesia e utilizar una calculaora y evaluar la ecuación en valores cercanos a cero (0). A lo anterior se le conoce como el métoo numérico, utilizao para conocer la peniente e la ecuación e grao menor, pero eiste lo que se llama iferenciación formal para resolver ecuaciones e grao superior... FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS Eisten los conocios monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una epresión e la variable, y los segunos corresponen a una suma finita e monomios.

3 Sea f ( ) Derivaa una función e. Si el limite y f ' ( ) Lim h 0 f ( + h) f ( ) h Eiste y es finito, iremos que este límite es la erivaa e ƒ respecto a y que ƒ es iferenciable en. A continuación se estuiaran algunas reglas para iferenciación: Derivaa e una Constante Regla No.. La erivaa e una constante es cero El significao geométrico e esta afirmación es el hecho que la peniente e la recta c, para cualquier valor e, es cero. Derivaa e una potencia entera positiva Potencias enteras positivas e Regla No.. Si n es un número entero positivo, entonces: n n n

4 Deucción: Entonces n ( ) f y f ( + ) f ( ) Como n es un número entero positivo, se puee aplicar: ( ) (... ) a b a b a + a b + + ab + b n n n n n n Done a +, b, a b, que reemplazao en la ecuación anterior a: y n ( + ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) n n n n n ( ) y y n n n n ( ( + ) + ( + ) ( + ) + ) Hacieno que 0, y y Lim 0 (( 0 n ) ( 0 n )... ( 0 n ) ) n y y y n n n n n (... ) n Ejemplos.: a.) Derivar la epresión: 5 4 ( ) 5 5

5 b.) Derivar la epresión: ( ) Derivaa e una Constante por una Función Constante por una función Regla No.. Si u f () es cualquier función iferenciable e, y c es una constante, entonces: ( c u) u c La regla se resume en el hecho que la erivaa e una constante por una función es la constante multiplicaa por la erivaa e la función. Geométricamente hablano significa que si multiplicamos la orenaa e una función por un valor cualquiera, estamos multiplicano por ese mismo número el valor e la peniente. Deucción: ( cu) ( cu) ( cu) cf Lim 0 f Lim c 0 f c Lim 0 ( + ) cf ( ) + f + f u ( cu) c ( ) ( ) ( ) ( ) Aplicano la efinición e Derivaa. Factorizano la constante Aplicano límite e la constante Remplazano el limite por la efinición e la erivaa.

6 Ejemplo: Derivar la epresión ( 7 ) 7 ( ) Por tratarse e una constante. 5 4 ( 7 ) 7( 5 ) 4 ( 7 5 ) 5 Aplicano la erivaa e la potencia. Realizano el proucto. Derivaa e una Suma Regla e la suma Si u y v son funciones iferenciables e, entonces la suma u + v es una función iferenciable e, y Regla No..4 ( u + v) u + v Para toos los valores e en que eistan las erivaas e u y v La iea es que si u y v tiene erivaas en el punto, entonces sus suma también tiene erivaa en y correspone a la suma e las erivaas e u y v en. Análogamente, la erivaa e la suma e cualquier número finito e funciones iferenciales es la suma e sus erivaas. Deucción : u + v y + y u + u) + ( v + v) f f ( ) ( + ) ( Sumano en caa término.

7 f ( + ) f ( ) ( + ) ( ) u + v Restano u + v y u v f f + y y ( u + v) Lim Lim 0 0 y u v Lim + Lim 0 0 Diviieno término a término por la epresión Aplicano el límite cuano 0 Por las propieaes e los límites. Ejemplo: Derivar la epresión y y ( ) + ( 7 ) ( 5) + ( 4) Derivano caa término y así se puee aplicar para cualquier número finito e términos. Ejercicios Propuestos: : Daa f ( ), obtener f ( ) 4. f ( ) 9. ( ) 5 4 t t f ( t ) t ( ) 5. f ( ) 6. ( ) f + C t f + + C f f ( ) + 8. f ( ) f ( ) C + f 5 0. ( )

8 .. PRODUCTOS POTENCIAS Y COCIENTES En esta sección estuiaremos a u y v como os funciones iferenciables e. Derivaa e un Proucto Regla el Proucto Regla No..5 El proucto e las funciones iferenciables u y v es iferenciable y: ( u v) u v + v u Al igual que para la suma, la erivaa el proucto únicamente eiste para aquellos valores en one eista la erivaa e u y la erivaa e v. y u v Por efinición y + ( u + u ) ( v + v ) Sumano y en ambos laos el igual y + u v + u v + v u + u v Realizano el proucto u v + v u + u v Restano uv en ambos laos. y v u v u + v + u Diviieno a ambos laos por. Cuano 0, u también lo hace, lo que se puee epresar en la forma: u u u Lim u Lim Lim Lim 0 0 Luego la epresión y se puee epresar en la forma: y v u v Lim Lim u + Lim v + Lim u y v u u + v

9 Al igual que para la suma, la erivaa el proucto únicamente eiste para aquellos valores en one eista la erivaa e u y la erivaa e v. En La figura anterior se representa gráficamente el significao e la regla el proucto. Hay que tener en cuenta que se trata e la función u multiplicaa por la erivaa e la función v. Ejemplo: Derivar f ( t ) t ( t ) u Si : u t t v v ( t ) t ( t ) ( t ) y v u Entonces: u + v t t t y t ( ) ( t ) t ( t ) + t + t t t t

10 Derivaa e Potencias enteras positivas e una función iferenciable Potencias enteras positivas e una función iferenciable Regla No.6 Si u es una función iferenciable e, y n es un n número entero positivo, entonces u es iferenciable, y: n n ( u ) n u u La ausencia el termino u e la ecuación invalia la iferenciación, por lo que hay que tener cuiao e incluir el iferencial e la ecuación. DERIVADA DE UN COCIENTE La razón o cociente u v e os polinomios en, no es en general un polinomio. Dicha razón es una función racional e. Regla el Cociente Regla No.7 En los puntos one v 0, el cociente u v e os funciones iferenciables, es también iferenciable y: u v v u ( u v ) v Como sucee en toas las ecuaciones vistas hasta el momento, la anterior regla tiene valor únicamente en aquellos puntos en os e las funciones u y v tengan valor y sean iferenciables.

11 Al igual que para la suma, la erivaa el cociente únicamente eiste para aquellos valores en one eista la erivaa e u y la erivaa e v. Ahora restano u v y + y ( u + u) ( v + v) u en ambos laos e la iguala se tiene: v ( v u + v u ) ( u v + u v ) ( ) ( ) u + u u v u u v v + v v v v + v v v + v Diviieno a ambos laos por se tiene. Cuano 0, se puee epresar: u v v u v v v ( + ) y ya que: u u v Lim ; Lim v ( ( + ) ) ( + ) ( + 0 ) Lim v v v Lim v Lim v v v v v v v Lim v Lim 0 0 Luego la epresión y se puee epresar en la forma: u v v u y y Lim Lim Lim v v u v v u y v ( ( + ) )

12 Ejemplo : Derivar y y u + Enunciao el problema u + Aplicano erivaa e una suma. v + 6 Enunciao el problema. v Aplicano erivaa e una suma ( + 6)( + ) ( + )( ) + 6 ( ) 4 4 ( ) ( ) ( + 6) y ( + 6) Aplicano la efinición e la erivaa e un cociente: Realizano las multiplicaciones inicaas. Factorizano y agrupano términos. Ejemplo : f + 6 para los Calcular las ecuaciones e las rectas tangentes a la función ( ) puntos y ; eterminar si estas rectas se cortan y calcular las coorenaas el punto e corte. La primera erivaa es: f ( ) +, que evaluaa para los os valores e, a los valores e las penientes e las rectas tangentes, así: ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f Para conocer los valores e y en los os lugares inicaos, se procee e la siguiente manera:

13 Para ;, se tiene : f ( ) y f ( ) ( ), se tiene : f ( ) y f ( ) ( ) ( ) Para ; Para obtener las os ecuaciones e las rectas tangentes, se utiliza la forma m + b, así: Para, el valor e b se obtiene como ( ) b, el valor e b se obtiene como ( )( ) Para Luego las os ecuaciones son: 6 + b b b Para, la ecuación e la recta tangente es: 6 40, y Para, la ecuación e la recta tangente es: 8 Para eterminar si se cortan, se igualan entre si estas os ecuaciones : El valor e y corresponiente a, es: Luego las coorenaas el punto e corte son :, 6 Ejercicios Propuestos : En los siguientes ejercicios, aa ( ) y f, encontrar y :

14 5 y y 6 y ( + )( + ) 8 ( )( ) 9 y ( 7)( ) y En los siguientes ejercicios hallar la ecuación e la recta tangente a la función en el punto ao: a. f ( ) para (, 5 ) b. f ( ) + 5 para (, )