Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

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1 LA DERIVADA

2 Tem 6: LA DERIVADA Índice: 1. Derivd de un unción Derivd de un unción en un punto. 1.. Interpretción geométric 1.3. Derivds lterles Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd. 3. Dierencil de un unción. 4. Cálculo de derivds Operciones con derivds. 4.. Derivd de ls unciones elementles. 1

3 1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 1.1.Derivd de un unción en un punto. El cálculo de derivds y dierenciles se desrroll en el siglo XVII pr resolver lguns cuestiones tles como: Deinición de velocidd instntáne. Cálculo de l ecución de l rect tngente un unción en un punto. Máimos y mínimos de un unción. Inicimos el concepto de derivd prtir de l deinición de incremento de un unción en un punto. Se un unción rel de vrible rel y. Si tommos un punto próimo, el incremento de l vrible independiente será: y el incremento de l unción: Deinición: Se llm ts de vrición medi l cociente incrementl: Represent l vrición medi de en el intervlo [, ] Si represent el espcio recorrido por un móvil en unción del tiempo, l ts de vrición medi represent l velocidd medi. Si reducimos el intervlo [, ] psremos de un vrición medi un vrición en el punto y llegremos l concepto de derivd: Deinición L derivd de l unción en el punto, que se represent como, es:

4 Si cemos el cmbio de vrible, entonces: 1..Interpretción geométric. Consideremos l unción y l pendiente de l rect secnte su gráic en los puntos y es: Si vmos proimndo cero, l rect secnte se proim l rect tngente en L pendiente de l rect tngente será: L pendiente de l rect tngente y en el punto, coincide con el vlor de l derivd de en. 3

5 L ecución de l rect tngente l gráic de l unción y en el punto, y es: y L rect norml l unción en,y es perpendiculr l rect tngente en el mismo punto, y por tnto, su ecución será: y 1 Ejercicio: Hll l ecución de l tngente l curv y 3en el punto 1 Ejercicio: Hll un punto de l gráic de y 5en el cul l rect tngente se prlel 3 8 y. Ejercicio: Hll un rect que se tngente l curv y 3 y que orme un ángulo de 45º con el eje de bsciss. 1.3.Derivds lterles. Si tenemos en cuent que el cálculo de l derivd de un unción en un punto consiste en el cálculo de un límite, éste eistirá si los límites por l derec y por l izquierd coinciden, dándose lugr l concepto de derivds lterles: Deinición: Derivd por l izquierd de Derivd por l derec de. Pr que un unción se derivble en un punto deben coincidir sus derivds lterles 4

6 1.4.Función derivd. Derivds sucesivs. Si un unción es derivble en todos los puntos de un intervlo I, entonces l unción se llm unción derivd de. : I R Si es derivble, su derivd se llm derivd segund de y se escribe 4 n. Así sucesivmente se deine,,...,. Tmbién se utiliz l n notción D, D,..., D. Pr obtener l unción derivd podemos plicr directmente l deinición: o plicr ls regls de derivción que veremos en los puntos siguientes.. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Puede ocurrir que un unción se continu en un punto y no se derivble en ese mismo punto puntos ngulosos y puntos de tngente verticl Sin embrgo: Teorem: Si es derivble en es continu en 5

7 6 Demostrción: Supongmos que es derivble en, tenemos que demostrr que o que [ ], tommos límites cundo [ ] y por tnto es continu en 3. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. Dd un unción y, l ts de vrición o incremento de l unción en es: y y su derivd: Pr vlores pequeños de, podemos escribir: Deinición: Se llm dierencil de l unción en el punto l producto. Si se design como dy, y por nlogí tommos d: d dy Ejercicio: Hll l dierencil de 1 3 en 1 Ejercicio: Clcul de orm proimd, sin usr clculdor el vlor de e pr,1 A prtir de l deinición de dierencil

8 Si tommos y,1:,1 e,1 1, 1,1 e El vlor verddero es 1,15179 Error del,5% 4. CÁLCULO DE DERIVADAS. 4.1.Operciones con derivds. Si y g son dos unciones derivbles, entonces: ± g ± g b g g g c g g g g, cundo g d Se R Derivd de un unción compuest. Regl de l cden: Sen y g dos unciones tles que es derivble en y g es derivble en, entonces: g g Derivd de l unción recíproc: Supongmos que conocemos l derivd de l unción, entonces se puede demostrr que: l derivd de su unción recíproc -1 es:

9 4..Derivds de ls unciones elementles.. 8

10 9

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