Tema 4: Integral definida y Cálculo de primitivas

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1 Tem 4: Itegrl defd y Cálculo de prmtvs El orge del cálculo tegrl se remot l époc de Arquímedes (87-.C.), mtemátco grego de l tgüedd, que otuvo resultdos t mporttes como el vlor del áre ecerrd por u segmeto prólco. L dervd precó vete sglos después pr resolver otros prolems que e prcpo o teí d e comú co el cálculo tegrl. El descurmeto más mportte del cálculo ftesml (credo por Brrow, Newto y Lez) es l ítm relcó etre l dervd y l tegrl defd, pesr de her segudo cmos dferetes durte vete sglos. U vez coocd l coeó etre dervd e tegrl (teorem de Brrow), el cálculo de tegrles defds se hce t secllo como el de ls dervds. Además, el cálculo tegrl se us pr estudr mgtudes vrles e quellos csos e los que utlzrímos u producto s ls mgtudes permecer costtes. Así, el áre de u regó de se, y ltur costte h, vee dd por el producto A h. S l ltur vrí depededo del puto de l se sore el que se ecuetre, o podremos plcr el msmo rgumeto pr ecotrr el áre.. L estmcó de u áre. L de que vmos teer e cuet e este cpítulo pr llegr l cocepto de tegrl defd, es l msm que e esec utlzó Arquímedes: dd u regó del plo, su áre puede clculrse por medo de regoes polgoles scrts o crcuscrts l msm, tles que l umetr el úmero de ldos, el áre de estos polígoos tede promrse l áre de l pedd L de de tegrl defd es u geerlzcó práctc y sutl de este proceso. El método rqumedo de promcó h dqurdo uevmete mportc, y que el cálculo de ls tegrles defds puede hcerse co los ordedores ctules co tt precsó como deseemos. Esto es útl cudo el cálculo de u prmtv result mposle o muy dfícl, y pr l myorí de ls plccoes cetífcs es más que sufcete. Ejemplo : Usdo cco rectágulos de mpltud /5, trtr de ecotrr dos promcoes l áre de l regó stud etre l gráfc de f( ) + 5 y el eje etre 0 y. Solucó: Podemos hllr l ltur de los cco rectágulos ferores, medte l evlucó de l fucó e los putos termles derechos de cd uo de los tervlos sguetes: ,,,,,,,,, Puesto que el cho de cd rectágulo es /5, l sum de ls áres de los cco rectágulos es f , Y ddo que cd uo de estos cco rectágulos está detro de l regó dd, coclumos que el áre de l regó es myor que 6, Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. de 9

2 Pr clculr l sum de ls áres de los cco rectágulos superores usmos el msmo procedmeto ásco, ecepto que evlumos l fucó e los putos cles zquerdos de los tervlos, oteedo: 5 0 f , Oservmos que el áre de l regó dd es meor que 8,08. Por tto, comdo los dos resultdos oteemos que: 6,48 < áre de l regó < 8,08 Además, umetdo el úmero de rectágulos usdos e este procedmeto, podemos oteer promcoes cd vez más cercs pr el áre de l regó. Por ejemplo, usdo 5 rectágulos de chur /5 cd uo de ellos, podemos coclur que: 7,7 < áre de l regó < 7,49 Ahor, vmos formlzr y geerlzr este procedmeto. Comezremos estuddo el áre lmtd por l gráfc de u fucó postv f, y el eje OX, sore u certo tervlo [, ]. Se f u fucó cotu cuyo domo coteg l tervlo [, ], y supogmos que f( ) 0 [, ]. L cotudd de f segur que l regó A etre l gráfc, el eje OX y ls rects y, l meos tutvmete, está perfectmete determd. Coocemos fórmuls pr clculr el áre de trágulos, rectágulos, trpecos y lgus otrs regoes pls, pero l regó A o tee por qué teer gu de ests forms. Y que semos clculr el áre de rectágulos, podrímos promr el áre A usdo rectágulos co l se e el eje OX. L sum de ls áres de estos rectágulos drá u promcó del áre A. Los rectágulos que usremos pr dch promcó puede ser determdos ddo ls logtudes de sus ses y lturs correspodetes. Ls, e sutervlos, por lo que cosderremos l sguete defcó: ses de los rectágulos dvde [ ] Defcó: U prtcó de [, ] e sutervlos, es u sucojuto ordedo y fto de + úmeros reles tles que {,,,..., } P 0 0 < < <... < L prtcó P determ e el tervlo [, ], los sutervlos [ 0, ],[, ],[, 3],...,[, ] U prtcó que tee + putos, determ sutervlos o segmetos. Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. de 9

3 L logtud de l se del -ésmo tervlo [ ]. Aálogmete, l ltur de cd sutervlo [ ] f e u puto *, es decr, f( ) *. * Por lo tto, se deduce que el áre del -ésmo rectágulo vldrá: f( ). Se deduce de lo teror, que u promcó del áre A, será: (se represet por R P e hoor de B. Rem).,, se represetrá por, es decr, teemos que, estrá determd por el vlor que tome l fucó * * * R f( ) + f( ) f( ) P Defcó: L epresó * * * R f( ) + f( ) f( ) P se llm sum de Rem de orde pr l fucó f sore el tervlo[, ]. Defcó: Pr u prtcó P del tervlo [, ], e sutervlos, llmmos orm de l prtcó P, y lo represetmos por P, l mámo de los, es decr: P m Itutvmete, prece lógco que s P de u prtcó es sufcetemete pequeñ, etoces R P estrá muy próm A, es decr: * A R f( ) P Este muchs forms de escoger los putos * pr l ecucó teror: * U de ells es escoger u puto tl que f( ) M se u vlor mámo (que este) de f sore [ ], ; est eleccó drá u promcó por eceso del vlor de A. * Otr serí escoger u puto tl que f( ) m se u vlor mímo (que este) de f sore [ ], ; est eleccó drá u promcó por defecto del vlor de A. Por lo tto, tedrímos que: Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 3 de 9

4 Sum superor Sum feror Sum derem U L R p p p M m f ( ) * Además, es fácl compror que: ) Pr culquer sum de Rem, se verfc que LP RP Up ) Culquer que se l defcó forml que demos de A, deerá cumplrse que pr culquer prtcó P, se cumple que: L A U Lo que os permte dr cots superores e ferores del áre uscd (ver ejemplo ). P p Además, e el cálculo práctco co máqus u ordedores, ls prtcoes se elge de modo que los tervlos o segmetos que determ, se de l msm logtud. Est eleccó o qut geerldd l defcó de tegrl defd y result cómodo pr u desrrollo elemetl de l msm. Defcó: Decmos que u prtcó P de orde de[, ], es u prtcó regulr s todos los sutervlos tee l msm logtud. Como l logtud de [, ] es, pr u prtcó P regulr de orde de [ ],..., y, sí, l sum de Rem de u prtcó regulr, serí: R f ( * ) P, tedremos que Ejemplo : ) Usr u prtcó regulr co 4, pr estmr el áre jo l gráfc de f ( ) sore [, ] 0, medte u sum de Rem, elgedo los * como los putos medos de los sutervlos. ) Usr u prtcó regulr co 6, y ls sums de Rem feror y superor pr f( ) sore [ 0, ], pr estmr el áre jo l gráfc. + Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 4 de 9

5 . L tegrl defd. Itutvmete, hemos vsto que cd sum feror es u promcó por defecto, y cd sum superor lo es por eceso, y demás, cuto más pequeñ se hce l orm de l prtcó, ls promcoes so mejores (lo cotmos mejor). Ates de dr u defcó forml de este hecho, ecestmos troducr l sguete defcó: Defcó: Dds dos prtcoes PyP de u tervlo[, ], dremos que P es más f que P, s se verfc que: P P Lem: Se f u fucó cotu e [, ], y se P u prtcó culquer, etoces: ) L U P P ) S P es más f que P, etoces: L L U U P P P P c) Pr prtcoes culesquer PyQ de [, ], se verfc: L P U Q Oservcó: Del lem teror, se deduce que: el áre ecerrd por l gráfc de l fucó dee ser u úmero compreddo etre culquer sum feror y culquer sum superor. Pr defr formlmete est de, ecestremos usr el om del supremo: Tods ls sums ferores está cotds superormete (por culquer sum superor), y tods ls sums superores está cotds ferormete (por culquer sum feror). S cosdermos los cojutos de tods ls sums ferores y superores: { P : es u prtco de [, ]} { P : es u prtco de [, ]} L L P U U P el om del supremo segur l estec de u supremo pr L y de u ífmo pr U. Itutvmete mos úmeros dee ser gules etre sí, y este vlor será el vlor de l tegrl. Teorem: Se f u fucó cotu e [, ], etoces: { LP Pes u prtco de [ ] } { U P Pes u prtco de [ ] } sup :, f :, Defcó: Se f u fucó cotu e [, ]. Se defe l tegrl de f sore el tervlo [ ] deot por f( ) d, l sguete úmero: f( ) d sup L f U,, y se Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 5 de 9

6 Defcó: Se f u fucó postv y cotu e[, ]. Se defe el áre lmtd etre el eje OX, l gráfc de l fucó y ls rects y como l tegrl f( ) d. Oservcó: E el cso de que f tome vlores postvos y egtvos e[, ], el vlor de l tegrl es l dferec etre el áre totl ecerrd sore el eje OX meos el áre totl ecerrd jo el eje OX. Puesto que l defcó de tegrl collev el cálculo del supremo de ls sums ferores o el del ífmo de ls sums superores, será coveete dspoer de u crtero pr clculr l tegrl de u fucó, s ecesdd de plcr l defcó. Hemos defdo l tegrl de u fucó f cotu e [, ] prtr de ls sums ferores y superores; s emrgo, s tommos prtcoes de orm cd vez meor, ls sums de Rem (e ls que los * so rtrros), tmé prece ser u promcó t ue como ls sums superores o ferores. Teorem: Se f u fucó cotu e [, ], { P } y R P culquer sum de Rem de f. Etoces: u sucesó de prtcoes cuy orm tede cero, * Lm R Lm f ( ) f ( ) d P Oservcoes: ) Dd u fucó f cotu e [ 0, ], s cosdermos u prtcó regulr del tervlo [ 0] etoces: 0 f ( ) d Lm f ) Oservemos que teemos u gr lertd l hor de elegr u sum de Rem pr u fucó f defd e[, ], y que podemos elegr lremete los putos de l prtcó como los putos * de cd sutervlo. Ejemplo 3: 4 ) Hllr el vlor de ( ) d geométrcmete. ) Hllr gráfcmete : π se d 5 d ( + ) d 4d 4 d c) Dujr f( ) e [ 3, 3] d) Clculr el sguete límte: Lm + k k, e dcr el sgo de ls dstts regoes ,, Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 6 de 9

7 Evdetemete, o tods ls tegrles se v poder clculr por métodos geométrcos. El sguete teorem os fcltrá muchs veces el cálculo de tegrles. Teorem: Se f y gdos fucoes cotus sore [, ], etoces se verfc: ) ( ± ) ± f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d ) k f ( ) d k f ( ) d k 5 c) S [ ] d) S [ ] f 0 e, f( ) d 0 f( ) g( ), f( ) d g( ) d c e) f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c [, ] f) f ( ) d f ( ) d g) f( ) d 0 Ejemplo 4: S f ( ) d 5 y f ( ) d, clculr f ( ) d. c 4 4 A veces, es posle clculr el vlor ecto de u tegrl defd medte el límte de sums de Rem coveetemete elegds. Pr ello es útl coocer ls sguetes fórmuls: Teorem (Fórmuls de sum): Ejemplo 5: ) c c ( + ) ( + ) c) 6 ( + ) ) 3 d) ( + ) 4 3 ) Hllr el áre de f( ) el eje OX y ls rects 0 y 4 ) Hllr el vlor ecto de ( + ) d 3. El teorem fudmetl del cálculo. Y hemos etrdo e ls dos prtes más mporttes del cálculo: el cálculo dferecl que fue troducdo l estudr el prolem de l tgete, y el cálculo tegrl, que h sdo troducdo co el prolem del áre. E prcpo, o prece que esté relcodos, s emrgo este u estrech relcó etre mos, que fue descuert depedetemete por Newto y Lez, deomd teorem fudmetl del cálculo. Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 7 de 9

8 Apromdmete, el teorem os dce que l dervcó y l tegrcó (defd) so opercoes verss, e form precd como lo so l multplccó y l dvsó. Trs defr el cocepto de tegrl y her estuddo sus propeddes, es turl plterse s podemos defr lgu fucó usdo l tegrl (recuérdese que trs defr el cocepto de dervd de u fucó f e u puto, medtmete defmos l fucó dervd cudo f er dervle e todo su domo). U posldd serí l sguete: Defcó: Se f u fucó cotu e [, ], llmremos fucó tegrl : F( ) f ( t) dt pr Osérvese que s f 0 F( ) es el áre de l gráfc de f sore [, ]. Además l ser f cotu etoces F tee setdo e todo [, ]. Qué propeddes tee l fucó F?. Es cotu?. Es dervle?. El sguete teorem respode ests preguts. Teorem (Teorem fudmetl del Cálculo): Se f u fucó cotu e [, ], y se F( ) f ( t) dt pr. Etoces F es dervle, y F ( ) f( ), es decr: d F ( ) f( t) dt f( ) d Corolro: S f es u fucó cotu sore[, ], etoces f tee u prmtv sore dcho tervlo (l fucó tegrl defd). Ejemplo 6: Clculr ls sguetes dervds: ) d dt t + d 0 ) d dt t 3 se d c) d dt t 0 cos d d) d dt t t + d Vemos hor u resultdo muy mportte, y que os permte clculr drectmete u tegrl defd, co sólo coocer u prmtv de l fucó: Teorem (Regl de Brrow): Se F ( ) u fucó tl que F ( ) f( ). Etoces: f( ) d F ( ) F ( ) Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 8 de 9

9 Oservcó: Lo tereste es que el teorem es certo pr culquer prmtv de f, y que s F y G so dos prmtvs de f, etoces semos que F( ) G( ) + k, sedo k u costte culquer, y por lo tto, teemos que: ( ) ( ) f( ) d F ( ) F ( ) G ( ) k G ( ) k G ( ) G ( ) Ejemplo 7: Clculr ls sguetes tegrles: ) ( 3) d ) ( 4t ) 4 3 dt c) d 0 π π 8 d) se d e) sec d f) d Teorems del vlor medo pr tegrles. Recuérdese, que pr promr el áre de u regó jo u curv usmos rectágulos. E dch eposcó oservmos que el áre rel de l regó er myor que el áre de u rectágulo scrto y meor que el áre de u rectágulo crcuscrto. El teorem del vlor medo pr tegrles, frm que e lgú lugr etre los rectágulos scrtos y crcuscrtos, hy u rectágulo cuy áre es gul precsmete l áre de l regó de l fucó. Teorem (teorem del vlor medo pr tegrles): Se f u fucó cotu sore [, ]. Etoces este l meos u úmero c (, ) tl que: f( ) d f( c) ( ) f( c) f( ) d Oservcoes: ) El teorem del vlor medo pr tegrles, o especfc cómo determr c. Solmete grtz l estec del úmero c. ) El vlor de f( c), ddo e dcho teorem, rece el omre de vlor medo o vlor promedo de f e el tervlo[, ]. Ejemplo 8: ) Hllr el vlor medo o promedo de l fucó f( ) 3 e el tervlo [ 4, ]. ) Teedo e cuet los lces ules lo lrgo de cco ños de l vd de u empres, se otuvo l curv de eefcos dd por f( ) (e cetos de mlloes de pesets). 5 5 Hllr el eefco medo ul de l empres. Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 9 de 9

10 Teorem (segudo teorem del vlor medo): Se f y g fucoes cotus e el tervlo [, ], y supogmos que g ( ) 0 [, ]. Etoces este u c [, ] tl que: f( ) g ( ) d f( c) g ( ) d Oservcó: Además, el prmer teorem del vlor medo pr tegrles es u cso prtculr del segudo, e el que se cosder g ( ). 5. L tegrl defd Grcs l teorem fudmetl del cálculo hemos vsto u método potete pr el clculo de dode lo que hy que hcer es ecotrr u prmtv de f. Esto motv l sguete defcó: f ( ) d, e Defcó: L prmtv geerl de f( ) rece el omre de tegrl defd de f( ), y se escre f( ) d s límtes de tegrcó. El cálculo de prmtvs se llm tegrcó defd. Hemos vsto que como cosecuec del teorem fudmetl tod fucó f cotu sore [, ] tee u prmtv, lo cul o quere decr que sempre se pued epresr e térmos elemetles. E l práctc, es mucho más dfícl hllr u prmtv pr u fucó que ecotrr su dervd. L rzó es que o este fórmuls reltvs l tegrcó de u producto, cocete o composcó de fucoes, por lo que es ecesro certo etremeto pr preder clculr prmtvs de u modo reltvmete rápdo y drecto. Ejemplo 9: Resolver ls sguetes tegrles defds 7 3 ) ( 5 ) d ) se( + 3 ) d c) d) + d 3 e) se d f) se( L) d cos 3 ( + se 3) 5 d El resto del tem veremos téccs de tegrcó que os proporcor u método sstemátco de cálculo de prmtvs. 6. Itegrcó por prtes A dferec de l dervcó, pr tegrr u producto ( o u cocete), o dspoemos de regls smples que permt tegrr coocedo ls prmtvs de los fctores. El método de tegrcó por prtes, se s Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 0 de 9

11 e l dervd de u producto de fucoes. A prtr de él, trtremos de uscr u regl que os permt clculr l tegrl de u producto de fucoes. Teorem: S f y g so fucoes dervles, y f y g so cotus, etoces: f( ) g ( d ) f( ) g ( ) f ( ) g ( ) d f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d ] Oservcoes: ) S hcemos u f( ) y v g( ), el teorem se puede epresr como: u dv u v v du Cuy regl emotécc es: solo u dí v u vlete solddto vestdo de uforme. ) Dee elegrse como u u fucó cuy dervd se smple. c) L prte que se gul dv, dee ser fáclmete tegrle. d) v du o dee ser más complcd que udv. e) Algus veces hy que repetr l tegrcó por prtes e l tegrl v du. Tmé puede ocurrr que l co de u o dos tegrcoes sucesvs se oteg e el segudo memro u tegrl que cocd co l de prtd, es decr, co l del prmer memro. E est stucó, st despejr l tegrl pr oteer u prmtv. Ejemplo 0: Clculr ls sguetes tegrles, empledo tegrcó por prtes: ) e d ) cos d c) rcse d d) e cos d e) L d f) rctg d g) e d h) 3 + d 7. Itegrcó de fucoes rcoles (frccoes smples) E este prtdo, estudremos u procedmeto pr descompoer u fucó rcol, e fucoes rcoles más smples, ls cules es posle plcr ls fórmuls de tegrcó áscs. Coocemos este procedmeto como el método de ls frccoes smples, que fue troducdo por J. Beroulle e 70 U fucó rcol Q ( ), es de l form Q ( ) f( ) g ( ), dode f y g so fucoes polómcs. Ests fucoes está defds e todos los putos ecepto e los que se ul el deomdor. 7. Método drecto Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. de 9

12 Muchs fucoes rcoles, se puede clculr drectmete utlzdo ls fórmuls fudmetles de ls fucoes compuests o trsformdo el tegrdo decudmete hst llegr ls msms: ) Form potecl: f d + C f ( ) f f ) Form eper: d L f + C f f f 3) Form rcotgete: d rctg + C + f M + N 4) Form epero-rcotgete: + + c d epero + rctg M 0, + + c rreducle Ejemplo : Resuelve ls sguetes tegrles rcoles: ) c) + d ) ( ) d d) d d Método de descomposcó e frccoes smples Cudo o es posle utlzr el método teror, ls fucoes rcoles se trsform e u sum de frccoes llmds smples. Este método cost de cutro psos que psmos ver cotucó: Dvsó de Polomos. S Q ( ) f( ) g ( ) es u fucó mprop (esto es, s el grdo del umerdor es myor que el grdo del deomdor), etoces dvdmos el umerdor por el deomdor, y oteemos: f( ) Q ( ) C ( ) + g ( ) r ( ) g ( ) dode el grdo de r ( ) es meor que el de g ( ), y dode C ( ) es u polomo (que se tegr fáclmete). Por tto hemos reducdo el prolem de tegrr f( ) g( ) l de tegrr r ( ) g ( ). Descompoer el deomdor e fctores rreducles. Todo polomo co coefcetes reles se puede descompoer e u producto de polomos rreducles leles y cudrátcos (uque puede ser stte dfícl de ecotrr). Por tto, fctorzmos completmete el deomdor g ( ) e fctores de l form : y ( p + ) q m ( + + c) dode mos so rreducles. Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. de 9

13 Descomposcó e frccoes smples. U teorem lgerco, segur que tod fucó polómc Q ( ) f( ) g ( ) puede ser escrt como u sum de frccoes smples, determds prtr de los fctores rreducles de g ( ). El método es el sguete: Por cd fctor lel de l form ( p + q) m, l descomposcó e fctores smples dee clur l sum de m frccoes sguetes: A A Am ( p + q) ( p + q) ( p + q) m Por cd fctor lel de l form ( + + c) l descomposcó e fctores smples dee clur l sum de frccoes sguetes: B + C B + C B + C ( + + c) ( + + c) ( + + c) Itegrcó de ls frccoes smples. U vez que hemos descompuesto l fucó e frccoes smples, ls tegrles de ests so forms epers, potecles y epero-rcotgete, que y hemos estuddo, y semos tegrr. Ejemplo : Resuelve ls sguetes tegrles rcoles: 6 ) d ) d c) ( )( )( 3 ) d d) d e) 3 + d f) d 7.3. Método de Hermte U método ltertvo pr clculr tegrles de fucoes rcoles, es el método de Hermte, que uque es váldo pr culquer fucó rcol, es especlmete útl e el cso e el de que prezc fctores cudrátcos rreducles múltples, es decr tegrles e ls que se oteg fctores del tpo ( + + c) pr > l fctorzr el deomdor. Es decr, se utlz cudo tegmos epresoes de l form: A + B ( + + c ) d pues reduce l complejdd l de l tegrl M + N + + c d, que tee trtmeto drecto. ( ) L descomposcó de Hermte de u fucó rcol Q ( ) f( ) g ( ), dode r m g ( ) ( α ) ( α ) ( + + c) ( + + c) r s s s ms Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 3 de 9

14 es l sguete: f( ) Q ( ) g ( ) d d f( ) + g ( ) A α Ar M + N M s + Ns α + + c + + c r s s s dode g ( ) es u polomo co los msmos fctores rreducles que g ( ) pero co multplcdd u udd meor, f ( ) es u polomo de coefcetes determdos de grdo uo meor que g ( ) ; y el resto de los sumdos es l descomposcó correspodete los fctores rreducles de g ( ) cosderdos co multplcdd uo. Ejemplo 3: Dr l descomposcó de Hermte de ls sguetes fucoes rcoles: + 4 ) f ( ) ) ( + ) f ) ( ) ( ) ( ( + + 3) 8. Método de susttucó E est seccó veremos téccs pr l tegrcó de fucoes compuests (o método de susttucó). Este método es el más mportte de tegrcó, y es u cosecuec de l dervcó de fucoes compuests, pues el ppel de l susttucó e l tegrcó es comprle l de l regl de l cde e l dervcó. Recuérdese que pr ls fucoes dervles dds por y f( u) y u g( ), l regl de l cde estlece: d [ ( )] d f g( ) f ( ) De uestr defcó de prmtv se otee que: Teorem: Se f y g fucoes tles que f e I, etoces: ( ) ( ) f g( ) g ( ) d f g( ) + C f( u) + C $ g es cotu e u tervlo I. S F es u prmtv de f ( ) ( ) f g( ) g ( ) d F g( ) + C Oservcó: S lo que queremos es clculr f( ) d, este proceso puede hcerse de dos forms: ) Form drect: Se hce g( t), de dode d g ( t) dt. Susttuyedo e l tegrl, result que: f ( ) d f ( g( t)) g ( t) dt ) Form recíproc: Se hce t u( ), de dode dt u d, y se despej cotucó y d, susttuyédolos e el tegrdo. Pr termr el proceso se hll l tegrl e t, y se deshce el cmo. Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 4 de 9

15 Ejemplo 4: Clculr ls sguetes tegrles: ) ( + 5) 5 d ) d c) 5 5+ d 3 d) d e) 4 d f) + 3 d Teorem (método de susttucó e tegrles defds): S f y g so fucoes cotus, etoces: g( ) f( g( )) d f( u) du g( ) Ejemplo 5: Clculr ls sguetes tegrles: ) ( + ) 3 d ) 0 5 d 9. Itegrles rrcoles Llmmos tegrles rrcoles quells e ls que el tegrdo prece jo u sgo de rdcl. Eseclmete, estudremos tegrles e ls que prece u ríz fectdo u polomo, es más, quells e ls que prece l epresó + + c. E prmer lugr estudremos ls tegrles rrcoles medts, pr segur umetdo progresvmete l dfcultd del tegrdo. 9.. Itegrles rrcoles smples Ls tegrles rrcoles más seclls (o medts) que estudremos, vee dds por ls coocds fórmuls de dervcó de lgus fucoes trgoométrcs e hperólcs verss. ) ) c) d rcse + C, usdo el cmo kse t k k d rgseh + C, usdo el cmo kseh t k + k d rgcosh + C, usdo el cmo kcosh t k k A prtr de ests fórmuls, se puede deducr otrs más complcds Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 5 de 9

16 9.. Itegrles rrcoles trsformles e smples Relzdo pequeñs trsformcoes, veremos que ls sguetes tegrles puede ser trsformds (y por tto resuelts) e ls tegrles terores. ) d + + c Este tpo de tegrles se resuelve plcdo el método de completr el cudrdo. ) P ( ) c d dode P ( ) es u polomo culquer. + + Pr resolver est tegrl usmos l sguete descomposcó (álogo Hermte): ( Q( ) c ) P ( ) d k c d c dode Q ( ) es u polomo de u grdo meor que P ( ), y k u costte culquer. Al relzr est descomposcó, l tegrl qued reducd u de ls del tpo teror. c) d ( m + ) + + c.relzdo el cmo t, reducmos l m + tegrl u del tpo teror. Ejemplo 6: Clculr ls sguetes tegrles: d ) ) d 3 4 d c) d d) 9 ( + 3) Susttucoes de Euler Supogmos que R ( ) es u fucó rcol, y susttumos lgus prcoes de por + + c ; y esto lo represetmos por R(, + + c ), es decr, u fucó rcol e y e + + c. U tegrl de l form: R(, + + c ) d Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 6 de 9

17 se rcolz medte ls susttucoes de Euler como: ) S > 0 hcemos + + c + t ) S < 0 y c 0 hcemos + + c t + c 3) S < 0 y c 0hcemos + + c t( α ), co α ríz de + + c. Ejemplo 7: Clculr d Susttucoes trgoométrcs e hperólcs Este método se utlz cudo quermos clculr R(, + + c ) d. Vemos cotucó u cudro co ls susttucoes que dee usrse segú el tpo de fucó rrcol (uque utlzmos fucoes cudrátcs smples e el esquem, o será dfícl geerlzr ls susttucoes) ) R (, ) se t o cost ) R (, ) o o cosht se t cos t c) R (, + ) seht Ests susttucoes coverte el tegrdo e u composcó de fucoes trgoométrcs o hperólcs. Además, como regl geerl, ests susttucoes so preferles ls susttucoes de Euler. Covee por tto, estudr prmero tles cmos. 0. Itegrcó de potecs de fucoes trgoométrcs E este prtdo vmos ver ls téccs áscs pr oteer prmtvs de lgus fucoes dode prece fucoes trgoométrcs. Evdetemete, serí coveete recordr ls fórmuls trgoométrcs áscs pr trsformr ls epresoes de mer que se pued estudr de form secll. Vmos ver dsttos tpos de tegrcó de fucoes trgoométrcs m 0.. Itegrles del tpo se cos d. Supogmos que teemos u tegrl del tpo teror co y m eteros postvos. Se puede presetr dos csos: ) Que m ó se mpr. Etoces l solucó es fácl. Supogmos que m es mpr, e este cso lo que hcemos es gurdr u fctor cos pr poder hcer du cos d, y que tomremos l susttucó Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 7 de 9

18 u se ; los demás fctores cos (hor e u ctdd pr) puede ser puestos e fucó de se grcs l fórmul fudmetl de trgoometrí. Se puede usr l msm técc e el cso de que o e m o e, o se u úmero etero, sempre que el epoete restte se u etero mpr. Ejemplo 8: Clculr ls sguetes tegrles: 3 ) se cos d ) se 3 cos 3 d ) Que m y se pres. El procedmeto cosste e usr ls fmoss fórmuls trgoométrcs: Ejemplo 9: Clculr se 4 d cos se cos cos Itegrles del tpo se m cos d. Pr resolver este tpo de tegrles, es coveete recordr ls sguetes fórmuls trgoométrcs: cos( m ) cos( m + ) semse se m cos se( m ) + se( m+ ) Ejemplo 0: Clculr se cos3 d cos( m ) + cos( m + ) cosmcos 0.3. Itegrles de fucoes del tpo R(se,cos ). Ls fucoes del tpo R(se,cos ) so fucoes rcoles e ls que tods ls prcoes de so susttuds por se o e por cos. Depededo de l prdd de R(se,cos ) se plc u susttucó u otr. Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 8 de 9

19 . S R(se, cos ) R(se, cos ), y esto mplc que R es mpr e l segud vrle, se usrá l susttucó t se.. S R( se,cos ) R(se, cos ), y esto mplc que R es mpr e l prmer vrle, se usrá l susttucó t cos. 3. S R( se, cos ) R(se, cos ), y esto mplc que R es pr e ms vrles, se usrá l susttucó t tg. 4. E otro cso, pr reducrl u rcol, hcemos l susttucó t tg(. ) Ls dos prmers susttucoes o ecest eplccó lgu, pues se hzo lgo smlr l comezr l seccó; s emrgo, ls dos últms, puede dros lgus sorpress s l tetmos resolver, y que ecestmos oteer l susttucó pr d, se y cos : 3. Susttucó tg t. Etoces: d dt + t se t + t cos + t 4. Susttucó tg( ) t. Etoces: d dt + t t se cos + t t + t Ejemplo : Clculr ls sguetes tegrles: 3 cos d ) d ) se se cos se c) se cos d d) d + cos Jver Mrtíez del Cstllo Tem 4 Pág. 9 de 9

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