APROXIMACIONES AL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA UTILIZANDO UNA CALCULADORA GRAFICADORA
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- Diego Navarrete
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1 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendzajedelasmatemátcas Vew metadata, ctaton and smlar papers at core.ac.uk APROXIMACIONESALVALORDELAINTEGRALDEFINIDAUTILIZANDOUNA CALCULADORAGRAFICADORA EstherAnsolaHazday,EugenoCarlosRodríguez,NelsonHernándezReyes,PabloGómezFuentes,Débora OlvaAlfonso,DanelaSánchezCamaraza InsttutoSuperorPoltécncoJoséAntonoEcheverría Cuba Campodenvestgacón: Tecnologíaavanzada Nvel: Superor brought to you by CORE provded by Funes Resumen.Estetrabajomuestraunaexperencallevadaacaboconungrupodeestudantes deprmerañodengeneríaatravésdeuncursofacultatvoenelqueseretomóelcálculode ntegralesdefndas,utlzandolatecnología,conelpropóstode: Consoldar el concepto de ntegral defnda a través de su defncón y de su nterpretacóngeométrca. Mostrar otras formas de calcular una ntegral defnda medante aproxmacones numércasysunterpretacóngeométrca. ElrecursotecnológcoutlzadoenestecasofueunacalculadoragrafcadoraCASIOClassPad 300,aprovechandolasposbldadesqueofrecelamsmadesdeelpuntodevstageométrco ydeprogramacón,quefacltanelautoaprendzajedelosestudantes. Palabrasclave:ntegraldefnda,calculadoragrafcadora,métodosaproxmados Introduccón Estetrabajomuestraunaexperencallevadaacaboconungrupodeestudantesde prmerañodengeneríaatravésdeuncursofacultatvoenelqueseretomóelcálculode ntegralesdefndas,utlzandolatecnología,conelpropóstodeconsoldarelconceptode ntegraldefndaatravésdesudefncónydesunterpretacóngeométrcaydemostrar otrasformasdecalcularunantegraldefndamedanteaproxmaconesnumércasysu nterpretacóngeométrca. El recurso tecnológco utlzado en este caso fue una calculadora grafcadora CASIO ClassPad300,aprovechandolasposbldadesqueofrecelamsmadesdeelpuntodevsta geométrcoydeprogramacón,quefacltanelautoaprendzajedelosestudantes.la calculadoraseutlzócomounmedodeenseñanzaoseacomounnstrumentooequpo queapoyalaactvdaddedocentesyalumnosenfuncóndelcumplmentodelobjetvo ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
2 ActaLatnoamercanadeMatemátcaEducatva21 En el curso se calculó una ntegral defnda utlzando la defncón para dferentes partconesy seanalzó laconvergenca de lamsma haca su valorexacto, elmsmo procesosereptóutlzandoelcálculonumércomedantelosmétodosdetrapecosy Smpsonparadstntosnúmerosdesubntervalos,ysecompararonlosmsmosentresí, analzandoventajasydesventajas. Acercadeladefncóndentegraldefnda Comencemosconunanálssdeladefncóndelantegraldefnda,prmeroconuna defncónrgurosa. DEFINICIÓN(Fkhtengol ts,1965). Sealafuncónf(x)defndasobreelntervalo[a,b].Formemosunapartcóndelntervalo [a,b]subdvdendoarbtraramenteestentervaloalntroducrentreayblospuntosx 0, x 1,x 2,,x n Lamayordelasdferencas x x 1 x ( 0,1,2,..., n 1) serádenotadapor. Tomemosalgúnpuntoarbtraro encadasubntervalo[x,x +1 ] x x 1 ( 0,1,2,..., n 1) yformemoslasuma n1 0 f( ) x Ahoraprocedamosaestablecerlaexstencadeunlímtefntodeestasuma I lm ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
3 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendzajedelasmatemátcas Supongamosqueelntervalo[a,b]esdvddosucesvamenteenpartes,prmerodeuna forma,luegodeotraformayasísucesvamente.estasucesóndepartconesdelntervalo será llamada fundamental s la correspondente de valores 1, 2, 3,... tende a cero. EntoncesellímteI lm seentendeenelsentdodequelasucesóndevaloresdelas 0 sumas correspondentesaunasucesónfundamentalarbtraradepartconesdeel ntervalo,sempretendeaunlímteiparatodoslosposblesvaloresde EllímtefntoIdelasumacuando 0 esllamadolantegraldefndadelafuncón f(x)enelntervalo[a,b],ysedenotaporelsímbolo b I f( x) dx a ylafuncónf(x)sedcequeesntegrablesobreelntervalo[a,b]. PorlogeneralenlostextosdeCálculoestadefncónse smplfca alobtener ellímte delassumasderemann.unadefncóndentegraldefndaenunlbrodecálculose tratadelasguentemanera: Unavezobtendalasuma n1 0 f( ) x,sparacualquerpartcóndelntervalo[a,b], n1 exstelm f( ) x I 0 0 ndependentementedelosvaloresde,entoncesestelímte sedenomnantegraldefndadef(x)desdex=ahastax=b.enestadefncónellímte sgnfcaque,paraunapartcóncualqueradelntervalo,slanormadelapartcón está sufcentementecercadecero,ysendoarbtraroslosnúmeros enlossubntervalos[x,x +1 ]delapartcón,entoncescualquersumaderemannestácercadei. Enestadefncón,aunquesetrateconrgorladefncóndelímtedeunafuncón,nose aprecaelsentdodel límtedelasucesónfundamentaldepartcones yse dluye el 1101 ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
4 ActaLatnoamercanadeMatemátcaEducatva21 concepto,sesmplfca.lanterpretacóngeométrca,enelmejordeloscasosutlzandola tecnología,reafrmaelconcepto. Otrosmétodosutlzados Enestecursoseexplcóademáslautlzacónenelcálculodentegralesdefndasde métodosaproxmados:métodosdelostrapecosymétododesmpson. ElMétododelosTrapecossebasaendvdrelntervalodentegracónennsubntervalos degualampltudydescomponerlantegralennntegrales.cadantegralseobtenea partrdesustturelntegrandoporunpolnomonterpoladordeprmergrado,elcual cuando se ntegra, el resultado obtendo concde con la fórmula para el área de un trapeco.portantolasumadetodoslosresultadosnosdaráunaaproxmacóndelvalor delantegralbuscado.elmétododesmpsonsebasaenelmsmoanálssanteror,pero elntegrandoessusttudoporunpolnomodesegundogrado. Laexperencametodológca El presente trabajo muestra una experenca metodológca en la cual se utlza la calculadoragrafcadora.lacalculadoranoseutlzacomoherramentaparahacercálculos sno como un recurso ddáctco, contrbuyendo a crear un ambente adecuado en el aprendzaje(carlosyfernández,2005). EnlaexperencasepusoenpráctcaelPrncpoDdáctcoapartrdelenfoqueHstórco Cultural(Vgostky,1966),relatvoalCarácterAudovsualdelaEnseñanzaylaUndaddelo ConcretoyloAbstracto(Zlbersten,2003).,queseñalaaquellasacconesespecífcasque sonnecesaraspararevelarelcontendodelconceptoaformarypararepresentareste contendoprmaroenformademodelosconocdosdetpomateral,gráfcooverbaly además,proponersequelosestudantesntervenganactvayconscentementeconlos medosdeenseñanzaqueestánasu ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
5 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendzajedelasmatemátcas Paraestecursosedesarrollaronvarosprogramasquepermteronanalzarelconceptode ntegraldefndaparadferentespartcones,apartrdesunterpretacóngeométrca, ademásdelaconvergencadelamsmahacasuvalorexacto. A contnuacón se muestran algunas pantallas de la calculadora CASIO Classpad 300, tomandocomoejemplolafuncónf(x)=x23enelntervalo(1;4),enlasquesepuede aprecar el concepto de ntegral a partr de dferentes partcones. Prmeramente se realzóelcálculotomando20subntervalos ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
6 ActaLatnoamercanadeMatemátcaEducatva21 Comoseobservanosóloselograobtenerelresultadodela ntegral sno que se puede vsualzar gráfcamente las partconesrealzadasparaelcálculodelamsma. Posterormente serealzaron loscálculos tomando el doblede los subntervalos. Este análsssemuestraenlassguentespantallasdelacalculadora. Deestaformaelestudantepuedeobservaryanalzarqueenlameddaqueaumentala cantdaddesubntervalos(laspartconestendenacero)enquesedvdeelntervalo orgnal,mejoreslaaproxmacóndelantegral ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
7 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendzajedelasmatemátcas Acontnuacónsemuestraelprogramautlzadoparaobtenerlosresultadosmostrados anterormente. Degualforma,serealzóunprogramaquecalcularalassumasnferores,lassuperoresy ladferencadeellasasícomoelgráfcodeambas.permteasuvez,volverarealzarlos cálculosdsmnuyendolacantdaddesubntervalos,demostrándosequeenlameddaque ladferencaentrelassumassuperoresenferorestendaacerolaaproxmacónalvalor realdelantegralesmayor. ParamostrarlosresultadosporelMétododelosTrapecosyelMétododeSmpsonse utlzólaprogramacón. EnelcasodelMétododelosTrapecossemuestranosóloelresultadodelantegralsno elgráfcocorrespondente.veamosalgunaspantallasdelmsmo ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
8 ActaLatnoamercanadeMatemátcaEducatva21 ParaelMétododeSmpsonsencluyólaobtencóndelerrorporelmétododedoble cálculo.esteerrornoesmásqueelcálculoaproxmadodelmsmoapartrdelresultado de la ntegral con dferentes valores de la ampltud de los subntervalos, es decr, I I utlzandolafórmular h 2h h. p 2 1 Unodelosrecursosqueseutlzóparaelestudodelosalgortmosfueelesquemade cálculo,conelcualsepodíamostraralestudante,medantelarealzacóndevarospasos, laconvergencadeunmétodo(carlosyansola,2003). Conclusones Losresultadosdeexperencasanteroresconelusodeestatecnologíamuestranquelos estudantes consderan que la calculadora es una herramenta útl en el proceso de enseñanzaaprendzaje,especalmentecomoapoyoaltrabajondependenteylespermte desarrollarhabldadesdeformandependenteycreatva(ansolaycarlos,2006).enla experencapresentadaenestetrabajosereafrmóestecrtero. Elusodelatecnologíanosólopermtóvsualzarresultadosquesnsuusohuberasdo 1106 muyengorrosomostrarenelpzarrón,snoquepermtóhaceranálsscomparatvosdela ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
9 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendzajedelasmatemátcas convergencadeladefncónalvalordelantegralcondstntaspartcones,asícomo compararresultadosobtendoscondstntosmétodosaproxmados,todolocualredunda enelmejoramentodelaprendzajedelconcepto.lacalculadoraseutlzócomounmedo deenseñanzaoseacomounnstrumentooequpoqueapoyalaactvdaddedocentesy alumnosenfuncóndelcumplmentodelobjetvo. Referencasbblográfcas Álvarez, M, Guerra, A. y Lau, R. (2004). Matemátca Numérca. La Habana. Cuba. EdtoralFélxVarela. Ansola,E.,Carlos,E.(2006) Experencasenelusodelacalculadoragrafcadoraenun cursosempresencaldematemátcanumérca.actalatnoamercanadematemátca Educatva.Volumen19.pp Carlos,E.,Ansola,E.(2003).LasnuevastecnologíasenlaenseñanzadelaMatemátca Numérca. Experencas ddáctcas. Resúmenes de la Séptma Escuela de Inverno y Semnaro Naconal de Investgacón en Ddáctca de las Matemátcas. Chlpancngo, Guerrero,Méxco.Dcembrede2003. Carlos,E.,Fernández,L.(2005).Lacalculadoragráfcacomorecursoddáctcoenel aprendzaje del cálculo de ntegrales dobles. Acta Latnoamercana de Matemátca Educatva.Volumen18.pp ClassPad300GuíadelUsuaro.(s.f.).Recuperadodehttp://world.caso.com/edu_e/ Fkhtengol ts,g.m.(1965).thefundamentalsofmathematcalanalyss.volume1.usa: PergamonPress. Martín, A. (2000). CÁLCULO Matemátca con calculadora gráfca. Barcelona, España.DvsónDdáctcaCalculadorasCentífcasCASIO ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
10 ActaLatnoamercanadeMatemátcaEducatva21 Press,R,Arancba,S,Rera,G.,Moscoso,E.(2003).Optmzacóndelaprogramacón concalculadorasysuaplcacónenlamatemátca.enpress,r.(eds.).programacónen calculadorasysuoptmzacón.(pp.147).santago,chle.edcónundaddegoportales. StewartJ.(2002).Cálculo.TrascendentesTempranas.CuartaEdcón.Méxco:Thomson Learnng. Vgostky,L.S.(1966).PensamentoyLenguaje.LaHabana,Cuba:EdcónRevoluconara. Zlbersten,J.(2003).PrncposDdáctcosenunProcesodeEnseñanzaAprendzajeque InstruyayEduque.EnPreparacónPedagógcaIntegralparaProfesoresUnverstaros(pp. 1931).LaHabana,Cuba:EdtoralFélxVarela ComtéLatnoamercanodeMatemátcaEducatvaA.C.
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