CÁLCULO II ALIMENTOS QUIMICA INDUSTRIAL

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CÁLCULO II ALIMENTOS QUIMICA INDUSTRIAL"

Transcripción

1 UNIVESIDAD NACIONAL DE SAN JUAN Fclt e Ingenierí Deprtmento e Mtemátic DEPATAMENTO DE MATEMATICA CÁLCULO II ALIMENTOS QUIMICA INDUSTIAL CUSO: SEGUNDO AÑO INTEGALES MULTIPLES Eqipo e cáter: Mg. Ing. Ptrici Cros Dr. Bioing. Loren Orosco Ing. Nicolás Sriñ Año

2 . Introcción. Este mólo trt el segno concepto ásico el cálclo, l integrl, pr cmpos esclres ectoriles, e os o más riles. Se efinen tres tipos e integrles: Múltiples, e Líne e Sperficie. Ests efiniciones se relin prtir e n concepto geométrico o físico según correspon. Tmién se nlin lgns plicciones como: ms, centro e gre, momento e inerci, fljo circlción. En Cálclo I se trj en el cálclo e áres con fnciones contins efinis en [,], interlo o sconjnto e (o se f : ) efinieno el áre jo l cr, gráfic e f() como f() [ n i P A lim f( i) ] f() A Se generli el concepto e integrl pr fnciones e os riles sánose en est ie. El interlo niimensionl [,] se reempl por n conjnto iimensionl, llmo región e integrción, contenio en. El integrno es n fnción o cmpo esclr f: efinio coto en. L integrl qe reslt se llm integrl ole se represent por: f (, )A, f (, ) Los símolos iferenciles, inicn ls riles sore ls qe se integr se reli l trnsformción e integrles.

3 . Integrl ole.. Definición e Integrl ole Se f(, ), n fnción efini cot en el rectánglo : [, ] [c, ], iiieno en n-srectánglos otenemos n prtición, e. L gráfic e es n sperficie en f(, ) c c A Primero sponemos f(,). L gráfic e f es n sperficie con ección f(,). Se S el sólio qe se encentr encim e ejo e l gráfic e f. El áre el -ésimo rectánglo es ΔA Δ Δ Mltiplicno A por el lor inferior e f(, ) en el -ésimo srectánglo, sm inferior n s m A p m, formmos l f(, ) c A Mltiplicno A por el lor sperior e f(, ) en el -ésimo srectánglo, sm sperior n S M A p M, formmos l

4 f(, ) c A Not: Se erific s S solmente cno f (, ) es constnte en c rectánglo p p L sm inferior sp nos n olmen contenio en el cerpo limito por l sperficie f(,), el plno el cilinro c se es A; cerpo qe se llm cilinroie por nlogí l trpeoie. L sm sperior Sp nos el olmen continente e icho cilinroie. Se trt e proimr el olmen el cilinroie por efecto por eceso, meinte l sm e olúmenes contenios continentes corresponientes c prtición. En c srectánglo e l prtición se cmple (er figrs nteriores): m A V M A Si hcemos esto pr c A qe pertenece l prtición tenemos proimmente el olmen el cerpo e se ltr rile mei sore f(, ): V n V Comprno el olmen V con ls sms inferior sperior se oser qe s V S pr c prtición P. Si tenemos n scesión e prticiones P p P P tles qe cno n n l norm e l prtición tiene cero, es ecir P ( P ef máim igonl e los n- rectánglos), entonces tenremos s p lim sp P V S n como: n p n n lim SP P n f (, ) ef qe f(, ) es integrle por ser efini cot, tenremos : p

5 V f (, ) Otr form e efinir integrl ole. Los cinco psos, esrrollos en l sigiente tl, concen l efinición e integrl ole. Se tili l sm e iemnn el concepto e olmen. Se esrroll hcieno l comprción con l integrl e fnciones e n rile, f() f () f (,) Interpretción gráfic Se f efini cot en n región cerr. Consiérese qe f está efini cot en n interlo cerro [,]. Forme n prtición P el interlo [,] en n sinterlos e longites. Se P l norm e l prtición, o se l longit el sinterlo mor.. Elíjse n * intermeio en c sinterlo [-,] 5. Elúe l sm n f ( *) Por meio e n cricl (o re e rects erticles horiontles prlels los ejes coorenos), forme n prtición P e en n sregiones rectnglres e áres A contenis totlmente en. Se P l norm e l prtición, o se l longit e l igonl mor e ls.e áre A. Selecciónese n pnto ( *, *) ritrrio intermeio en c sregión e áre A. Elúe l sm n f ( *, *) A De est mner se tiene l sigiente efinición. Definición: Se f n fnción e os riles efini cot en n región cerr. Entonces l integrl ole e f en está por Not: f (, ) A lim n P f ( *, *) A 5

6 n - f ( *, *) A se llm sm e iemnn. - Si f es contin en entonces f es tmién integrle. - L integrl f (, ) eiste si f está efini cot en toos los pntos e., tmién eiste l integrl si los pntos e iscontinies formn n conjnto finito e pntos. - f (, ) clcl n olmen co techo es f (,). 5 Si f (,), clcl el áre pln e l región... INTEGALES ITEADAS... Cálclo e integrles oles e fnciones contins por meio e integrles reiters sore n rectánglo. De mner similr l proceso e erición prcil poemos efinir n integrción iter (o prcil). Este concepto es l cle pr el métoo práctico e elción e l integrl múltiple. Se f (,), tlqe f : f(, cte.) contin en el rectánglo : [,] [c,] f(, ) c cte Por lo qe semos e primer ño se pee clclr el áre e l región somre, en l gráfic nterior 6

7 f(, cte.) A () f (, ) A() A c i c, l integrl nterior le soci n lor A(i) los qe representmos en el sigiente sistem crtesino: A() (i, A(i)) c i El áre somre en l figr nterior se clcl como A (). eemplno A() por f (, ) poemos clclr el olmen efinio por f (,), sore el rectánglo : [,] [c,] V A( ) c c c f (, ) De igl mner, pero comenno el trjo con cte, poremos otener el mismo olmen: V A( ) c f (, ) Not: Cno l región e integrción es rectnglr los límites e integrción son toos constntes.... Teorem e Fini. Si f(,) es contin en l región rectnglr, con, c entonces f(, ) f(, ) c c 7

8 ... Integrles oles etenis regiones más generles. Hst qí l integrl ole solo se h efinio pr regiones e integrción rectnglres. No ostnte, no h ificlt pr etener el concepto regiones más generles. I) Se T n región cot e inclmos T en n rectánglo. f(, ) -T moo: Se f n fnción efini cot en T. Definmos n ne fnción f en el sigiente f (,) f(,) si (,) si (,) T - T Es ecir, etenemos l efinición e f too el rectánglo hcieno qe l fnción lg cero fer e T. Como f es integrle en T, por lo tnto: T f (, ) f (, ) Pr resoler n integrl ole sore n recinto clqier, se consier l rición e ls riles, en el recinto, e os mners iferentes: ) Definmos el recinto, ominio e integrción e l fnción f(,), consierno l rile como inepeniente l rile como epeniente, entonces es {(, ) / θ () θ ()} Se interpret en n gráfico el recinto s rición pr islir lo ntes efinio. Se tiene en cent l efinición nterior, lego l integrl ole qe plnte e l sigiente mner 8

9 ().. () Se tiene en cent l efinición nterior, lego l integrl ole qe plnte e l sigiente mner f (, ) ( ) ( ) f (, ) Ejemplo : Se l región efini por: {(,) :, ² }, one f(,). Clcle f(, ). Solción: f (, ) ) Definmos el recinto, ominio e integrción e l fnción f(,), consierno l rile como inepeniente l rile como epeniente, entonces es L interpretción gráfic e es: {(, ) / c ψ () ψ ()}. 9

10 . () Con est efinición e l integrl ole qe epres e l sigiente mner: c (). f (, ) c () () f (, ) Ejemplo : Se l región efini por: { (,) :, }, one f(,). Plntee f(, ). Solción: f (, ) Generlino: D n región cerr cot qe tiene por fronter n cr con l sigiente propie, qe to rect cort en lo smo os pntos, como lo inic l figr, n fnción f(.) efini contin en, (). c c. ().. () () Se pee plnter:

11 f (, ) () () f (, ) c () () f (, ) Not: Osere qe el reslto no epene el oren e integrción. Ejemplo : Se l región limit por:, one f(,). Plntee f(, ). Solción: f (, ).. Cálclo e áres plns meinte integrles oles. Pr clclr el áre e l región pln inic en l Figr [], tilino integrles efinis pr fnciones e n rile, eemos trjr e l sigiente mner: A f () f() (f() f()) f f () () L últim epresión se otiene plicno el concepto ertio por Brrow pr el cálclo e integrles efinis. f() Figr [] f()

12 Poemos oserr en el esrrollo nterior qe, cno f(,), l integrl ole represent el áre el recinto e integrción Are Ejemplo : Plnter l integrl qe permite clclr el áre e l región limit por:,. Solción: Not: por integrles oles poemos clclr áres plns olúmenes, en este crso tiliremos ests integrles solmente pr clclr áres plns. V f (, ), Are Ejemplo 5: Determinr l región e inertir el oren e integrción: ) f (, ) Solción: ; f (, ) ) Íem pr:

13 5 Solción: f (, ) f (, ) f (, ) 5 5 Ejemplo 6: Clclr el áre el ominio limito por ls crs - ², Solción: Primero se eterminn los pntos e intersección. - ² > ² + - ( 8), + ;, - P (,) P (-,-) A A ( - ) Cmio e coorens en integrles.. En teorí e integrción niimensionl el métoo e sstitción nos permite clclr integrles complics trnsformánols en otrs más sencills o en tipos e integrles qe peen clclrse más fácilmente, qeno sí: t f () f [g(t)]g(t) t con g(t) () t

14 one g(t) g(t). Sponieno qe g tiene eris contins en [t, t] qe f es contin en el conjnto e lores qe form g(t) l rir t en [t, t]..5.. Cmio e coorens en integrles oles. Coorens crilínes En os imensiones eiste nálogo prolem pr ls integrles oles. Se trnsform n integrl ole e l form f (, ) eteni n región el plno, en otr integrl ole F (, ) eteni n ne región T el plno. Se estir continción l relción entre ls áres efinis por ls regiones T, tmién e los integrnos f(,) F(,). El métoo e sstitción en integrles oles es más lorioso qe en ls simples eio qe eisten os sstitciones formles efectr, n respecto ; otr respecto. Esto signific qe en lgr e n fnción g qe prece en (), tenemos hor os fnciones X e Y qe relcionn, con, el moo sigiente : T Se l plicción X(, ) : () Y(, ) T (,) (,) } X(, ) Geométricmente, pee consierrse qe efinen n "plicción" qe hce Y(, ) corresponer n pnto (,) el plno, el pnto imgen (,) el plno. Es ecir qe n conjnto T e pntos el plno es plico otro conjnto el plno, como se represent en l figr. L plicción tmién se epres meinte n fnción ectoril. En el plno se tr el rio ector qe ne el origen con n pnto genérico (,) e. r (,) X(,) i + Y(, ) j ección ectoril e l plicción.

15 Como (,) son pntos e T, el értice e r (,) X(,) i + Y(, ) j escrie pntos e. Algns eces pee epresrse en fnción e e qeno: - : U(, ) V(, ) Ests ecciones efinen n plicción el plno en el plno, llm plicción iners e l efini en (), qe trnsform los pntos e en los e T. Est plicción es l qe se s en l prctic por eso se pie qe X(,) ; Y(,) tengn iners, pr lo cl ee ser no no o iníoc.. Ls plicciones no no son e especil importnci. Ests trnsformn pntos istintos e T en pntos istintos e ; tles plicciones estlecen n corresponenci iníoc entre los pntos e T los corresponientes e permite (por lo menos teóricmente) regresr e T por l plicción iners (qe ntrlmente es no no). Ucte. T (, ) A (, ) Vcte. Si consiermos n segmento horiontl en el plno, sore icho segmento es constnte. L fnción ectoril r plic este segmento sore n cr (llm cr ) en el plno. Si r (, ) X(, ) i + Y(, ) j lego r r + r Si cte entonces r r pes r Si cte entonces r r pes r Se oser qe r r es prlelo r qe r r es prlelo r L región rectnglr el plno se trnsform en n porción el plno qe es csi n prlelogrmo cos los son los ectores r r como se oser en l figr nterior. El áre e icho prlelogrmo es el mólo el procto ectoril e mos ectores. Lego el A r r r r Done el mólo el procto ectoril es: 5

16 i j (, ) r r (,) J(, ) Pes por efinición el Jcoino e (,) es J(,) (,) (,) ecorr relcionr con mtri jcoin ist en Uni I, prágrfo.7 pg.. Por lo qe el áre: A (, ) (,) Es ecir qe: f (, ) f [X(, ),Y(, )] J(, ) T Si J(,) pr toos los pntos e T, el "prlelogrmo" tiene l mism áre qe el rectánglo l plicción conser ls áres. Si no es sí, pr otener el áre el prlelogrmo se ee mltiplicr el áre el rectánglo por J(,).. Se e qe el jcoino es n fctor e proporcionli e ls áres e ls regiones. Si J(,) en n pnto (,), los ectores r r son prlelos ( qe s procto ectoril es el ector nlo) el prlelogrmo egener. Tles pntos se llmn pntos singlres e l plicción. Y semos qe l form e trnsformción es áli tmién si eiste n número finito e pntos singlres o más generl cno tles pntos formn n conjnto e mei nl. De lo estio nteriormente tenemos Teorem : Se f(,) integrle en n región. Se n trnsformción iníoc : por X (,), Y (,) tl qe J(,), pr too (,) ( ) T. Entonces se erific f (, ) T f [X(, ), Y(, )] J(, ) Oserción: l forml nterior le tmién si J(,) sore n número finito e pntos singlres. 6

17 .5.. Cmio e coorens en integrles oles. Coorens polres Consieremos: cos sen (, ) Es ecir qe: (, ) cos sen Y () sen con > + cos pr qe l plicción se no no. J(, ) cos sen sen cos (cos + sen ) J(, ) Qeno A L fórml e trnsformción es: f (, ) f ( T cos, sen) Ls crs cte. son rects por el origen ls crs cte. son círclos concéntricos en el origen en. L imgen el rectánglo en el plno es n "seo prlelogrmo" en el plno limito por os rios os rcos e circlo. Ls coorens polres son prticlrmente importntes cno l región e integrción tiene fronters lo lrgo e ls cles o son constnte. En el cso e contornos circlres o elípticos en el plno, se pee trnsformr en rects prlels los ejes coorenos en el plno,. 7

18 Ejemplo 7: Clclr el áre e n crto e círclo e rio. Solción: Se reli el cálclo tilino integrles oles coorens polres. A cos sen J (, ) En el plno se tom n crto e círclo, en el primer crnte se e en qe se trnsform en el plno (,), trnsformmos c n e ls fronters: Si > cos / Si > sen Si ² + ² ² ² ² ±, sólo tom lores positios Si Si cos sen Lego El crto e circlo se trnsform en el rectánglo [,] [,/] / Lego el áre es: A Ejemplo 8: T Clclr el áre el círclo e ección + en coorens polres. 8

19 Solción: tilino MAPLE : f (, ) cos Ver esrrollo e l solción en Aneo e Integrles Múltiples..5.. Cmio e coorens en integrles oles. Coorens polres generlis cos sen J (, )! Qe pr el lector l emostrción el Jcoino pr ests coorens el plnteo el A Aplicciones e e ls integrles integrles múltiples oles..6.. Vlor meio e n fnción. Se f(,) n fnción contin en ls riles e, el lor meio e f(,) en n región pln está o por : Vlor Meio f(, )A.6.. Ms totl e n lámin. En ests plicciones se trj con n lámin en Se efine tilino integrles oles l ms totl e n lámin con ensi (,), como A 9

20 m () (, ) el cociente ms re (, ) se llm ensi mei e l lámin. Si no es n lámin, sino n figr geométric e os imensiones, el nterior cociente se llm promeio o lor meio e l fnción sore l región..6.. Centro e gre e n lámin. Se efine como centro e gre (, ) e n lámin (, ) ; m() Cno l ensi es constnte (,) c, entonces : (, ) m() c ; c one es el áre e. En este cso (, ) se enomin centroie e l lámin (o e l región )..6.. Momento e inerci e n lámin. L. L es n rect en el plno e l lámin (,) l istnci ese el pnto (,) e l rect I L (, ) (, ) Se llm momento e inerci e l lámin respecto L. Not: Si (,), IL se enomin momento e inerci o segno momento e l región respecto e L. Los momentos e inerci respecto los ejes e se esignn por I e I

21 I (, ), I (, ) L sm e estos os se llm momento polr e inerci I respecto el origen: I I + I Ejemplo 9: Clclr el centroie e l región pln limit por n rco e sinsoie, con. Solción: Como (,) no es to se consier constnte. Por simetrí,57 sen sen cos sen sen (sen) sen Lego:,9 8

22 . INTEGALES TIPLES.. DEFINICIÓN DE INTEGALES TIPLES Sigieno los cinco psos tilios pr efinir integrles oles, se efine l integrl efini triimensionl o integrl triple. L qe notmos como F (,, ) V. Consiere qe F(,,) está efini cot en n región cerr en el espcio.. Por meio e n re triimensionl e plnos erticles horiontles prlelos los plnos coorenos, forme n prtición P e en sregiones (cjs) e olúmenes V contenis totlmente en, one P es l norm e l prtición, o se l longit e l igonl mor e los. *. Elij n pnto intermeio ritrrio (,, ) en c sregión. * *. Forme l sm e iemnn: n F ( *,, ) V * * 5. Tome el límite e l smtori nterior cno l norm e l prtición tiene cero pr otener l efinición sc. F (,,)V lim F( P *, *, * ) V

23 Definición: Se f n fnción e tres riles efini cot en n región cerr el espcio. Entonces l integrl triple e F en est por siempre cno el límite eist. F (,,) V lim F( *, *, *) V P n Se trj con fnciones contins sore n región simplemente cone el tipo: {(,,): ; () () ; (,) (,)} Spóngse qe este ominio especil triimensionl, limito por n sperficie cerr S tiene ls sigientes propiees: ) Qe to prlel l eje, tr por n pnto interior el ominio (es ecir por n pnto qe no pertenece l fronter S), cort l sperficie S en os pntos. ) Too el ominio se proect sore el plno en form e n ominio reglr (e os imensiones) D. (,) (,) () () () El olmen V es l iferenci el olmen qe limit (,) menos el olmen qe limit (,). Lego el olmen totl es igl : V () () (, ) () () (, ) () [ (, ) (,)] ()

24 V () () (,) (,) Ls integrles triples no tienen interpretción geométric cno el integrno no es constnte, es ecir el tipo: () () (,) f (,,) (,) Ejemplo : Clclr el olmen comprenio entre los tres plnos coorenos Solción: Despejno, V 8 (8 ) 8 [8 ( ) ( ) ( ) ] 6 V (6 8 + ) 6 +

25 .. Cmio e coorens en integrles triples.... Cmio e coorens en integrles triples. Coorens crilínes Teorem: Se f f(,,) integrle en, n plicción no no tl qe, : X(,, w) Y(,, w) Z(,, w) tl qe J(,,w) pr too (,,w) - ( ) ' entonces se erific: f (,, ) f [ X (,, w), Y(,, w), Z(,, w)] J(,, w) w Oserción: - L fórml nterior le ún si, sore n conjnto e e mei nl, J Nótese qe l epresión el iferencil olmen, V, en el neo sistem e coorens es V J (,, w) w r r r w () Con >, >, w > esclres positios. Se recer qe el ector posición e l sperficie es r(,,w ) (,,w )i (,,w ) j (,,w ) + +, por lo qe eemplno en () reslt: r r r w w i + i + i + w j + j + w j + w 5

26 V r r rw w X X X w Y Y Y w Z Z Z w w Este eterminnte es el jcoino o fctor e proporcionli e olúmenes, J(,, w) X X X w Y Y Y w Z Z Z w Eisten os sistems e coorens crilínes prticlrmente importntes, ls coorens cilínrics ls esférics.... Cmio e coorens en integrles triples. Coorens cilínrics Se ic n pnto en el espcio ss corresponientes coorens,,. L trnsformción : con, >, cos sen P (,, ) o P (,, ) (, ) recie el nomre e sistem e coorens cilínrics, se clcl s Jcoino se e one es áli ich trnsformción. J(,,) (,,) (,,) cos sen sen cos ; Se otiene l epresión el jcoino el iferencil e olmen corresponiente J(,,) V El jcoino es istinto e cero (J(,,) ) si solo si, lego pr too pnto istinto el origen eiste - por lo tnto pr estos pntos l tern (,,) es n sistem e coorens. Al plicr l trnsformción tenemos: 6

27 f (,, ) f ( cos, sen, ) Gráficmente: V... Cmio e coorens en integrles triples. Coorens esférics L trnsformción r : r cos sen cos con r sen (er gráfic) lgr l trnsformción sen sen cos cos sen llm sistem e coorens esférics. r cos r r sen P (,, ) o (,, ) cos r sen En l sigiente figr se isli l trnsformción e n iferencil e olmen cno se le plic coorens esférics. 7

28 Se etermin l epresión el jcoino pr ls coorens esférics J (,, ) sen cos sen sen cos cos sen sen sen cos cossen cos sen + sen cos sen sen cos [ cos sen cos sen sen ] [sen ( sen + cos ) + cos ( sen cos + sen sen )] [sen + cos sen (cos + sen )] [ sen (cos + sen )] sen, otenieno finlmente J(,, ) sen Si J(,,), entonces sen, por lo qe sen. Pero si implic qe son los pntos sore el eje (+) qe es n conjnto e mei nl en por lo qe l forml e trnsformción es: f (,,) f [ sen cos, sen sen, cos] sen Ejemplo : ) Clclr el olmen e n esfer + + tilino coorens esférics. Solción: 8

29 9 sen V cos V V ) Hllr el olmen e l región encim el plno limito por el proloie ² + ² el cilinro ² + ² ² Solción: se trj con coorens cilínrics, sí l ección el proloie se trnsform en l ección el cilinro en ². V V π ρ ρ V L gráfic tilino Mple es: ² + ² ² ² + ²

30 .. Aplicciones e ls integrles triples... Ms totl e n sólio. Ls integrles triples peen emplerse pr clclr olúmenes, mss, centros e gre, momentos e inerci otros conceptos físicos socios sólios. Si es n sólio s olmen V está efinio por l integrl triple: V Si l sólio se le sign n ensi (,,) en c no e ss pntos (,,), s ms M es: M (,, )... Centro e gre e n sólio. Ls coorens (,, ) el centro e gre e n sólio se eterminn por efinición e l sigiente form: M (,,) M (,,) M (,,)... Momento e inerci e n sólio. El momento e inerci respecto l plno, I, se etermin por: I (,,) eistieno fórmls similres pr I, I. El momento e inerci respecto e n rect L, IL, se efine como: I L (,,) (,,) one (,,) represent l istnci e n pnto genérico e l rect L.

31 Ejemplo : Hllr el momento e inerci con respecto l eje, el Ejemplo 6 ), sponieno qe l ensi es constnte, (,,) cte. Solción: I ( + ) (,, ) Como se trj en coorens cilínrics I D 6 D esmen: En este crso hemos estio iferenciles e áre e olmen pr iferentes tipos e coorens. Pr trjr con integrles oles: Coorens crilínes A X X Y Y Coorens Crtesins A Coorens Polres A Coorens Polres Generlis A Pr trjr con integrles triples: Coorens crilínes V X X X w Y Y Y w Z Z Z w w Coorens cilínrics V Coorens esférics V sen

CÁLCULO II CIVIL - MINAS - METALÚRGICA EXTRACTIVA ANÁLISIS MATEMÁTICO II AGRIMENSURA

CÁLCULO II CIVIL - MINAS - METALÚRGICA EXTRACTIVA ANÁLISIS MATEMÁTICO II AGRIMENSURA Integrles Múltiples UNIVESIDAD NACIONAL DE SAN JUAN Flt e Ingenierí Deprtmento e Mtemáti CÁLCULO II CIVIL - MINAS - METALÚGICA EXTACTIVA ANÁLISIS MATEMÁTICO II AGIMENSUA NOTAS DE CLASE INTEGALES Integrles

Más detalles

Fórmulas de Derivación. Fórmulas de Integración

Fórmulas de Derivación. Fórmulas de Integración Integrl Inefini A l operción e clclr l ntieriv (primitiv) e n fnción se le llm integrción se enot con el símbolo qe es l inicil e l plbr sm. Si F( es n fnción primitiv e f( se epres: f ( F( C si sólo si

Más detalles

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE.

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE. CAMBIO E VAIABLES EN LA INEGAL OBLE. 7. Se = [, ] [, ] se define : como (, ) = ( +, ). Encontrr = ( ). Es inecti? Cd n de ls componentes = +, =, es fnción de n sol rible. Pr er qe es inecti, bst comprobr

Más detalles

Integración múltiple de Riemann 34 TEMA 5 - INTEGRACIÓN MÚLTIPLE DE RIEMANN

Integración múltiple de Riemann 34 TEMA 5 - INTEGRACIÓN MÚLTIPLE DE RIEMANN nterción múltiple de Riemnn 4 TEMA 5 - NTEGRACÓN MÚLTPLE E REMANN Rectánlos prticiones en rectánlos en R einición Siendo dos interlos clesqier de R se denomin rectánlo de ldos prlelos los ejes coordendos

Más detalles

Tema 6. La ntegral Definida. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 6

Tema 6. La ntegral Definida. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 6 Tem 6 L ntegrl Defini.- Introucción.- Integrl Defini..- Significo Geométrico..- Propiees.- Regl e Brrow.- Áre entre os gráfics 4.- Volumen e un sólio e Revolución 5.- Teorem Funmentl e Cálculo (TFC) 6.-

Más detalles

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

TEMA 11: PROBLEMAS MÉTRICOS

TEMA 11: PROBLEMAS MÉTRICOS Alonso Fernánde Glián TEMA PROBLEMAS MÉTRICOS Finlmente vmos ocprnos de clclr ánglos distncis entre rects plnos de resolver problems relciondos con estos conceptos.. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Vemos

Más detalles

EJERCICIOS DE INTEGRAL DOBLE PROPUESTOS EN EXÁMENES

EJERCICIOS DE INTEGRAL DOBLE PROPUESTOS EN EXÁMENES TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: imozs@elx.ned.es º) Obtener el lor de l integrl doble I ( y)( x y) R x dxdy efectndo el sigiente cmbio de rible: x ; y, siendo R l región del plno limitd por

Más detalles

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b):

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b): TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Integrl efini omo límite e sums superiores o inferiores. 6. Propiees e l integrl efini. 6. Regl e Brrow. 6.4 Apliiones e l integrl efini (Áre). 6.1 Integrl efini. Se f un

Más detalles

Cambio de Variables en las Integrales Dobles

Cambio de Variables en las Integrales Dobles E.E.I. CÁLCULO II Y ECUACIONES DIFEENCIALES Curso 20-2 Clse 3 (7 fe. 202) Cmio de Vriles en ls Integrles Doles. Ejemplo: Áre de l elipse. 2. Cmio de Vriles I. Punto de ist de l trnsformción. 3. Cmio de

Más detalles

Transformaciones Geométricas 3D

Transformaciones Geométricas 3D Trnsformciones Geométrics 3D Introucción 3D Cuno nos introucimos l muno 3D, hy que consierr: El fctor e profuni Ls combinciones que se pueen generr sobre 3 ejes L perspectiv e observción Los operores se

Más detalles

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 859. Evlúe lím erfsd lím : q 4. Conversión un integrl polr Evlúe l integrl q q : q s + + d d. d 43. Eistenci Integre l función f(, ) 5 ( ) sore el disco #

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. ln ln ln dx 3. t t. 1 5 ln t t 5t 1 ln 1 7 ln 1. [7.1] Calcular: Solución. [7.2] Calcular: Solución INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA. ln ln ln dx 3. t t. 1 5 ln t t 5t 1 ln 1 7 ln 1. [7.1] Calcular: Solución. [7.2] Calcular: Solución INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA [7.] Clclr: d 5 dt t d t t dt 5 5t t / t 5t t 5t / / t d dt 5 t t t dt 5 5 5 5 ln t t 5t ln 7 ln 5 / 9 t 7 7 7 7 7 7 ln ln ln 5 5 7 9 6 [7.] Clclr: ln 5 e e e d e t

Más detalles

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1 ntegrles oles NTEGRALES OBLES e l mism mner que el onepto e integrl efini pr funiones e un vrile sirve pr resolver e un moo generl, el prolem e l eterminión e áres e figurs plns, el onepto e integrl ole

Más detalles

ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL

ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn ESPACIO AFÍN REAL TRIDIENSIONAL VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. Definimos n VECTOR ORIENTADO FIJO el espcio como n prej oren e pntos

Más detalles

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll SISTEMA DE CRDENADAS EN EL LAN SISTEMA UNIDIMENSINAL Es sio que es posile soir los números reles on los puntos e un ret reípromente. Es lo

Más detalles

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f.

La integral. En esta sección presentamos algunas propiedades básicas de la integral que facilitan su cálculo. c f.x/ dx C f. CAPÍTULO L integrl.6 Propieddes fundmentles de l integrl En est sección presentmos lguns propieddes ásics de l integrl que fcilitn su cálculo. Aditividd respecto del intervlo. Si < < c, entonces: f./ d

Más detalles

1: El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo

1: El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores y y se not por l nº rel qe se obtiene de l sigiente form: = es decir el

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem

Más detalles

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS TEMA 9: INTEGRALES. CÁLCULO DE ÁREAS. ÁREA BAJO UNA CURVA. El prolem que pretendemos resolver es el cálculo del áre limitd por l gráfic de un función f() continu y positiv, el eje X y ls sciss = y =. Si

Más detalles

La integral. 1.7 Teorema Fundamental del Cálculo I

La integral. 1.7 Teorema Fundamental del Cálculo I CAPÍTULO L integrl.7 Teorem Funmentl el Cálculo I Presentmos l primer prte el teorem Funmentl el Cálculo (TFC I), teorem importnte que permite clculr integrles efinis e mner irect. Aemás, este teorem revel

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

Estructura de la Materia I

Estructura de la Materia I Estructur e l Mteri I Práctic 4 ~ Fluios Ieles Incompresibles 4.1 ) Flujos e singulries elementles Los siguientes fluios incompresibles e ieles, fluyen e tl mner que su movimiento puee ser consiero biimensionl

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de, Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles

Más detalles

55 EJERCICIOS DE VECTORES

55 EJERCICIOS DE VECTORES 55 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) d = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coordends de los vectores fijos

Más detalles

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v )

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v ) º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un

Más detalles

1. Función primitiva. Integral de una función.

1. Función primitiva. Integral de una función. . Función primitiv. Integrl de un función. Considermos l función f() =. Nos preguntmos si eiste otr función F() tl que l derivrl nos de l función f(). F() = verific que F () = f(). Pero tmién nos vldrí

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 5 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Coronado

Electromagnetismo I. Semestre: TAREA 5 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Coronado Electromgnetismo I Semestre: 20-2 TAREA 5 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Corono Solución por Crlos Anrés Escobr Ruíz.- Problem: (20pts) Un moelo primitivo pr el átomo consiste en un núcleo puntul con crg +

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

DERIVADAS. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas - GBG

DERIVADAS. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas - GBG DERIVADAS DERIVADAS TASA DE VARIACIÓN MEDIA Llmmos ts de vrición medi de l fnción f entre y b con < b, y lo representmos por TVM[, b], l cociente entre l vrición de f () y l de en el intervlo [, b]. f

Más detalles

Toda expresión que conste de una expresión algebraica en su denominador y en el numerador.

Toda expresión que conste de una expresión algebraica en su denominador y en el numerador. TEMA : Epresiones Rcionles Contenio TEMA H: Epresiones Rcionles... Introucción epresiones rcionles... PRÁCTICA: Inic los vlores que no formn prte el conjunto solución... Simplificr Epresiones Rcionles...

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso

Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 9: Cálculo integral de funciones de varias variables Curso Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. (Tem 9) Hoj Escuel Técnic Superior de Ingenierí Civil e Industril (Esp. en Hidrologí) Fundmentos Mtemáticos de l Ingenierí. Tem 9: Cálculo integrl de funciones de

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A.

CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A. CÁLCULO DIFERENCIAL MATEMÁTICAS II Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci 1.- CONCEPTO DE DERIVADA. Se un unción rel deinid en un entorno del punto. Deinición: Se dice que es derivle en

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

Para demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida de la siguiente manera

Para demostrar la primera igualdad, se supondrá que la región D puede ser definida de la siguiente manera .7. Teorem de Green en el Plno. Se un curv cerrd, simple, suve trozos positivmente orientd en el plno, se l región limitd por l curv, e incluendo. Si F ( ) F ( ),, son continus tiene primers derivds prciles

Más detalles

): a) Normalizar la función. b) Determinar las posiciones media y más probables de la partícula. c) Deducir, a partir de

): a) Normalizar la función. b) Determinar las posiciones media y más probables de la partícula. c) Deducir, a partir de Emen e Químic Físic (º e Químics). Primer Prcil. 5-Mrzo- ) ) Rzone lo más brevemente posible cules e ls siguientes firmciones son verers o flss. I)Los vlores propios e operores imginrios, como el momento

Más detalles

Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores

Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores Semn 1: Tem 1: Vectores 1.1 Vectores dición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitrios 1.4 Multiplicción de vectores Vectores Los vectores son cntiddes que tienen tnto mgnitud como dirección

Más detalles

DERIVADA. Interpretación Geométrica Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.

DERIVADA. Interpretación Geométrica Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella. DERIVADA Interpretación Geométrica Objetivo: Encontrar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto ao e ella. Para precisar correctamente la iea e tangente a una curva en un punto, se utilizará

Más detalles

RELACIÓN DE EJERCICIOS LÍMITES Y ASÍNTOTAS

RELACIÓN DE EJERCICIOS LÍMITES Y ASÍNTOTAS RELACIÓN DE EJERCICIOS LÍMITES Y ASÍNTOTAS. Calcla los sigientes límites: sen() (a) cos() sen() (b) cos(). Calcla los sigientes límites a) e b) a) e e sen() e. Calcla los sigientes límites: tg() sen()

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva

CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva CAPÍTULO 1 L integrl 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv etommos en est sección el prolem del cálculo de áres, introduciendo lguns simplificciones notciones que nos permitirán resolverlo.

Más detalles

1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo

1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores.

Más detalles

Aplicaciones de la Integral.

Aplicaciones de la Integral. Seminrio 2 Aplicciones de l Integrl. 2.1. Áre de figurs plns. Definición 2.1.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = f(x)

Más detalles

Para 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z.

Para 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z. letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Contcto: letos@telefonicnet ρ(z) V En el espcio vcío entre dos plcs conductors plns, y, de grn extensión, seprds un distnci, hy un estrto de crg de espesor, con un densidd

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

CUESTIONES RESUELTAS 1. VECTORES Y MATRICES FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA

CUESTIONES RESUELTAS 1. VECTORES Y MATRICES FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA CUESTIONES RESUELTS. VECTORES Y MTRICES FUNDMENTOS DE MTEMÁTICS. º GRDO GESTIÓN ERONÚTIC. Se el onjunto e vetores } tl que entones se verifi:. El onjunto M es linelmente inepeniente.. El onjunto M tiene

Más detalles

INTEGRALES DOBLES Y MÚLTIPLES

INTEGRALES DOBLES Y MÚLTIPLES Análisis Mtemático C T.P. Nº TABAJO PÁCTICO Nº INTEALES DOBLES Y MÚLTIPLES Áre pln = dd olumen = f (, )dd ' ddd Áre de superficies lbeds = f f dd, sobre el plno. Cmbio de coordends: cos sen cos sen f (,

Más detalles

CALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales

CALCULO VECTORIAL. Campos vectoriales mpos vectoriles ALULO VETORIAL Un cmpo vectoril o cmpo de vectores es un función que sign un vector un punto del plno o del espcio. Si M y N son funciones de vriles definids en un región R del plno, un

Más detalles

Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S. Análisis Matemático II. Integrales. Mgter. Viviana Paula D Agostini

Instituto Politécnico Superior General San Martín A U S. Análisis Matemático II. Integrales. Mgter. Viviana Paula D Agostini Instituto Politécnico Superior Generl Sn Mrtín A U S Análisis Mtemático II Interles Mter. Vivin Pul D Aostini TEMARIO Interl indeinid. Deinición. Interl Deinid. Sums de Riemnn. Propieddes de l interl deinid.

Más detalles

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite

Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f,

Más detalles

2. Impedancia Serie de Líneas de Transmisión

2. Impedancia Serie de Líneas de Transmisión ANEXO. Impenci Serie e Línes e Trnsmisión Prolem # Un conuctor e luminio ientifico con el nomre e Mgnoli est compuesto por 7 hilos conuctores e iámetro 0.606 pulgs. Ls tls crcterístics pr conuctores e

Más detalles

UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro)

UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro) UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como

Más detalles

Determinantes D - 1 DETERMINANTES

Determinantes D - 1 DETERMINANTES Determinntes D - DETERMINNTES Determinnte e un mtri ur e oren os Definiión: D un mtri ur e oren os numero rel: Det (), se llm eterminnte e l El eterminnte e un mtri ur e oren os es igul l routo e los elementos

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

CARGAS SUSPENDIDAS DISTRIBUIDAS. 24 April HORMIGÓN I (74.01 y 94.01) ELU DE AGOTAMIENTO A Flexión y Corte Casos Particulares

CARGAS SUSPENDIDAS DISTRIBUIDAS. 24 April HORMIGÓN I (74.01 y 94.01) ELU DE AGOTAMIENTO A Flexión y Corte Casos Particulares HORMIGÓN I (74.01 y 94.01) ELU DE AGOTAMIENTO A Flexión y Corte Csos Prticlres CARGAS SUSPENDIDAS DISTRIBUIDAS ELU DE AGOTAMIENTO A FLEXIÓN Y CORTE CASOS PARTICULARES Lámin 2 1 CARGAS APLICADAS EN EL BORDE

Más detalles

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada 1 CAPÍTULO 8 Aplicciones de l derivd 8.1 Derivilidd monotoní 1 Como se se, si f es un función derivle en 0, entonces l derivd de f en 0 es un número rel fijo f 0. 0 /, el cul puede ser f 0. 0 / > 0 o ien

Más detalles

Unidad Nº 4: VECTORES en IR 2 y en IR 3

Unidad Nº 4: VECTORES en IR 2 y en IR 3 Unidd Nº 4: VECTORES en IR y en IR 3 Sistem de coordends crtesins ortogonles en el Plno y en el Espcio. Expresión de n ector en IR y en IR 3. Igldd de ectores. Sm de ectores. Mltiplicción de n esclr por

Más detalles

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3 Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn

Más detalles

Integrales impropias dependientes de un parámetro

Integrales impropias dependientes de un parámetro Interles impropis dependientes de n prámetro 1. Definición (converenci niforme de interles impropis dependientes de n prámetro). Se Y n conjnto y se f : [, b) Y C. Se spone qe pr todo y en Y l fnción x

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se

Más detalles

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. Definición El conjunto cuyos elementos son los números que pueden representarse de la ,,,, 3,

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. Definición El conjunto cuyos elementos son los números que pueden representarse de la ,,,, 3, Mtemátic 8 vo ño Pág. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Los números rcionles se escrien e l siguiente form: ; one es el numeror es el enominor Aemás, l expresión se lee como: sore y signific que está

Más detalles

DETERMINANTES. 1. Calcular el valor del determinante. Solución: Determinante tipo Van der Mondem. sustituyendo en la primera expresión

DETERMINANTES. 1. Calcular el valor del determinante. Solución: Determinante tipo Van der Mondem. sustituyendo en la primera expresión DETERMINANTES. lulr el vlor el eterminnte ² ² ² Soluión: Sno ftor omún e en lª fil Sno ftor omún e en l ª fil ² ² ² ² ² ² Determinnte tipo Vn er Monem. ² ² ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sustituyeno

Más detalles

Guía de estudio Primera prueba Matemáticas II

Guía de estudio Primera prueba Matemáticas II Adnte: Igncio Trjillo Silv Crítics comentrios itrjill@ing.chile.cl Universidd de Chile Progrm Acdémico de Bchillerto Mtemátic II Gí de estdio Primer pre Mtemátics II Integrles de fnciones eponenciles logrítmics

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

una cuarta carga para que la fuerza eléctrica sobre esta q 4 sea nula? Cual debería ser su valor? q 1 q 3 q 2 Fig. 1 (b) (c) Fig.

una cuarta carga para que la fuerza eléctrica sobre esta q 4 sea nula? Cual debería ser su valor? q 1 q 3 q 2 Fig. 1 (b) (c) Fig. Físic III Práctic N 0 : Crg eléctric Problem. Clcule el cociente q/m entre l crg l ms e os prtículs iéntics cu fuerz e repulsión electrostátic tiene l mism mgnitu que l fuerz e trcción grvittori. Compre

Más detalles

Óvalo dados los dos ejes: óvalo óptimo

Óvalo dados los dos ejes: óvalo óptimo l óvlo es un urv err y pln que está ompuest por utro, o más, ros e irunferéni simétrios entre sí. Suele venir efinio por os ejes que mrn sus imensiones y sirven e ejes e simetrí e los ros. Se emple freuentemente

Más detalles

Capítulo 6. CONDENSADORES Y DIELECTRICOS

Capítulo 6. CONDENSADORES Y DIELECTRICOS p. 6: onensores y ieléctricos 44 pítulo 6. ONDENSADORES Y DIEETRIOS 6. INTRODION. n cso especil importnte se present en l práctic cuno os conuctores próimos recien crgs el mismo lor y signos opuestos.

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL. TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES

Más detalles

MATRICES: un apunte teórico-práctico

MATRICES: un apunte teórico-práctico MRICES: un punte teório-prátio Definiión Un mtriz e tmño n x m es un rreglo e números reles oloos en n fils (o renglones) y m olumns, e l siguiente form: [ ].. n Los números se llmn elementos o entrs e

Más detalles

TEMA 1.2.3: INTEGRALES IMPROPIAS Programa detallado:

TEMA 1.2.3: INTEGRALES IMPROPIAS Programa detallado: Asigntur: Mtemátics I Profesor: Roque Molin Legz TEMA 1.2.3: INTEGRALES IMPROPIAS Progrm detlldo: - Integrles impropis de primer especie. - Integrles impropis de segund especie. - Criterios de convergenci.

Más detalles

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE FILIL - REQUIP VECTORES INGENIERO: PERCY LFREDO GRMONTE LIMCHE En el tem nteror hímos menondo qe ls mgntdes físs según s ntrle peden ser lsfds omo eslres o etorles MGNITUD ESCLR: Es qell mgntd qe qed en

Más detalles

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes.

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes. Integrción El cálculo integrl es de grn importnci en muchs áres de estudio, como l economí, l biologí, l químic, l físic y l mtemátic en generl. Ls plicciones más conocids del cálculo integrl son en: 1.

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

51 EJERCICIOS DE VECTORES

51 EJERCICIOS DE VECTORES 51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e

re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e Unidd 8 re p r e s e n tc i ó n Mt r i c i l d e Un trnsformción linel Ojetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Asocirá cd trnsformción linel un mtriz. Relcionrá los conceptos de núcleo, imgen, rngo nulidd

Más detalles

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Física Electromagnetismo

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Física Electromagnetismo Universi e hile Fcult e iencis Deprtmento e Físic Electromgnetismo orrección Tre N o 2 Profesor: Pero Mirn Pulic el e Aril Ayuntes: Mnuel Rmírez Griel Román. ) Semos que l cpcitnci equivlente pr un conjunto

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES UNIDAD 9 INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES.- Calclar las sigientes integrales definidas: a) d b) d c) e e ln(ln ) d d) e + d e) sen cos d f ) ( )cos d e + +.- Sean a = sen d y b = los valores de a y

Más detalles

Elementos finitos en la industria. Sesión III

Elementos finitos en la industria. Sesión III Elementos finitos en l indstri III. SÓLIDOS D III.. EJEMPLOS III.. EORÍA BÁSICA III.. FORMA DE LA IERPOLACIÓ Y SU SUBSIUCIÓ III.. IERPOLACIÓ Y DISEÑO DEL ELEMEO III..5 MARICES DEL ELEMEO III..6 EXPRESIOES

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEAS DE ATEÁTICAS Oposiciones de Secndri TEA 44 SEEJANZAS Y OVIIENTOS EN EL ESPACIO. Generliddes.. oimientos de E.. Aplicción linel socid n moimiento. 4. Crcterizción del moimiento. 5. oimientos con lgún

Más detalles

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias. Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem

Más detalles