TEMA 3. Integral definida. Integrales impropias.

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1 TEMA 3 Integrl definid. Integrles impropis. Ls integrles formlizn un onepto bstnte senillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del álulo de áres los podemos enontrr en el método de exhuión desrrolldo por los griegos he más de ños: onsiste en ir insribiendo en l región uy áre se quiere lulr, regiones poligonles que l proximn y uy áre semos pes de lulr. Este método fue usdo por Arquímedes de Sirus pr lulr el áre enerrd por funiones senills, el eje de bsiss y ls rets vertiles x = y x = b. Por ejemplo, l del áre enerrd bjo un segmento de prábol. Este resultdo fue desestimdo en el siglo XVII y que no se hbí definido formlmente el onepto de áre. Sin embrgo, l obr de Arquímedes sugiere un mino pr definir el onepto de integrl y trvés de ell, el de áre, y le onvierte, junto vrios oetáneos suyos, en preursores del álulo integrl. Desde los griegos no se revivió el método de exhuión hst el siglo XVII on Cvlieri, Desrtes, Psl y Fermt. Pero fueron Newton y Leibnitz los que desubrieron, independientemente uno del otro, que los problems del álulo integrl y del diferenil, ern bjo ierts ondiiones, en relidd forms inverss de uno solo. Pr Newton el álulo integrl tiene un ppel seundrio, pues lo onsider, según ls enseñnzs de su mestro Brrow, un proeso inverso l del álulo diferenil. A Leibnitz le debemos l myor prte de ls notiones tules de los álulos diferenil e integrl; observó que l fórmul del mbio de vrible desubiert por Brrow es evidente utilizndo su notión. En los siglos XIX y XX, Cuhy, Riemnn (y Lebesgue e Itô en forms más omplejs) perfeionron el onepto de integrl, mplindo éste un onjunto más bsto de funiones. Abordremos el tem desde el punto de vist de Riemnn.. Sums de Riemnn. Conepto de integrl de Riemnn L ide que subye en l definiión de integrl definid es, omo dijimos en l introduión, l que utiliz Arquímedes pr el álulo de áres enerrds entre los ejes oordendos y l gráfi de un funión f(x). Nuestro desrrollo v enmindo lulr el áre, A, enerrd por un funión f bjo un segmento [, b] (por hor supondremos que l funión está definid y otd en [, b]). Ddo un número nturl ulquier n, dividimos el intervlo [, b] en n prtes igules (d un de longitud x = (b )/n) y denotmos por x k (k =,..n) los puntos de subdivisión. Estos puntos tienen l form x k = + (b ) k (k =,,..., n). n En d subintervlo [x k, x k ] esogemos un vlor intermedio t k. Ls sums S n (f, (t k )) = n f(t k ) x reiben el nombre de sums de Riemnn de f. Pr simplifir, muhs vees k=

2 esribiremos S n (f), siempre que no exist peligro de onfusión. Ests sums pueden interpretrse omo proximiones l áre bjo l urv, espeilmente si n es sufiientemente grnde. Considermos l integrl definid ex dx.en l figur siguiente preen sombredos los retángulos uys áres (l sum de tods) onstituyen l sum de Riemnn S (f, (t k )); los t k son los puntos medios de d subintervlo. En l últim figur se h dividido [, ] en 5 prtes igules. exp(x.^) : exp(x.^) : y=exp(x ) L integrl definid Diremos que f es integrble en [, b] (y lo denotremos por f R([, b])), si existe y es finito el ite siguiente S n(f), n en uyo so su vlor se denot por f(x) dx y reibe el nombre de integrl definid de f en [, b]. L interpretión geométri es obvi, l vist de ls ides nteriores: si f es no negtiv en [, b], entones f(x) dx represent el áre bjo l urv y = f(x) entre x = y x = b. L iguldd l = n S n(f) signifi que, por pequeño que se ɛ >, puede enontrrse n de modo que S n (f, (t k )) l < ɛ, pr ulquier n > n y tod eleión de los puntos (t k ). Terminmos est seión hiendo un relión de ls propieddes de l integrl definid que más usremos: Proposiión Sen f, g R([, b]). Se verifin ls siguientes propieddes:. Condiión sufiiente de integrbilidd. Si f está otd en [, b] y es ontinu slvo, lo sumo, en un número finito de puntos de disontinuidd, entones f es integrble.. (Linelidd) Si α, β K, entones αf(x) + βg(x) R([, b]) y demás [αf(x) + βg(x)] dx = α f(x) dx + β g(x) dx.

3 3. Si f R([, b]), entones f R([, d]) pr ulquier [, d] [, b]. 4. Se (, b). Se tiene que f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. 5. (Monotoní) Si f es un funión positiv, esto es, f(x) pr ulquier x [, b], se tiene que f(x) dx. En generl, si f g (g(x) f(x) pr ulquier x [, b]), entones f(x) dx g(x) dx. 6. L funión vlor bsoluto f R([, b]), y se verifi f(x) dx f(x) dx. 7. L funión produto fg R([, b]). En generl, Nots:. f(x)dx =.. Por onvenio se tom f(x)g(x) dx f(x)dx = b f(x) dx f(x)dx. g(x) dx.. Teorem del Vlor Medio del Cálulo Integrl.. (Primer teorem del vlor medio) Si existen m, M IR tles que m f(x) M, pr ulquier x [, b]. Entones, existe IR, m M tl que Y f(x) dx = (b ). X x o b 3

4 . (Segundo teorem del vlor medio). Si f, y g es un funión ontinu en [, b], entones g(x)f(x) dx = g(ξ) f(x) dx, pr lgún ξ [, b]. Demostrión.- Como m f(x) M, por l propiedd de monotoní se tendrá que m dx f(x) dx M dx. Por linelidd de l integrl, y teniendo en uent que den de desigulddes dx = (b ), obtenemos l siguiente m(b ) f(x) dx M(b ), de donde se dedue que f(x) es un vlor intermedio entre m(b ) y M(b ), esto es, existe [m, M] tl que f(x) dx = (b ). En prtiulr, si f es ontinu en [, b], lnz todos sus vlores entre el máximo M y el mínimo m (ver teorem orrespondiente del Tem ), por lo que existe un x [, b] tl que = f(x )..- Como g es ontinu, existen m, M IR tles que m g(x) M pr todo x de [, b] (ver teorem orrespondiente del Tem ). Por otro ldo, omo f es positiv, se tendrá que mf gf Mf, de donde, teniendo en uent ls propieddes de monotoní y linelidd de l integrl, se obtiene que m f(x) dx f(x)g(x) dx M f(x) dx. Rzonndo omo el prtdo nterior, existirá un número [m, M] tl que f(x)g(x) dx = f(x) dx. Como g es un funión ontinu y está entre los vlores máximos y mínimos de g, existe ξ [, b] tl que = g(ξ) (ver teorem orrespondiente del Tem ), on lo que se termin l demostrión del teorem. 3 E[x]dx = dx + dx + 3 dx = + + = 3. 4

5 3. Teorem fundmentl del Cálulo integrl Teorem Se f :[, b] IR IR un funión integrble. Ddo [, b], l funión F (x) = f(t)dt es ontinu en [, b]. Si f es ontinu en [, b], entones F es derivble en (, b) y demás verifi F (x) = f(x) x (, b). Demostrión Vemos que F (x) es ontinu en un punto ulquier x [, b]. F (x + h) F (x) = +h f(t)dt f(t)dt = +h x f(t)dt. Aplindo el Teorem del Vlor Medio del Cálulo Integrl, obtenemos: F (x + h) F (x) = f(α) (x + h x) α [x, x + h]. de donde (F (x + h) F (x) = f(α)h =. h h Pr estudir l derivbilidd: tomndo ites undo h tiende ero se tiene F (x + h) F (x) = f(α) α [x, x + h]. h h h Al ser f ontinu, f(α) = f(x) de donde F (x) = f(x). h Definiión (Funión primitiv) Dd un funión f definid en [, b], se die que l funión F es primitiv de f en [, b] si:. F es derivble en [, b].. F (x) = f(x) pr todo x de [, b]. Evidentemente, si F es un primitiv de f, tmbién lo es G(x) = F (x) + C siendo C ulquier onstnte. 4. Cálulo de Integrles definids. Fórmul de Brrow Teorem (Fórmul de Brrow) Si f primitiv ulquier de f, entones es un funión ontinu en [, b] y G es un f(x)dx = G(b) G(). 5

6 Demostrión 3 Consideremos l funión F (x) = f(t)dt. Por el teorem fundmentl del álulo integrl, F (x) = f(x) x [, b], es deir, es un primitiv de f. Como por hipótesis G es otr primitiv de f, entones F (x) = G(x)+C x [, b] siendo C un onstnte. Es deir, f(t)dt = G(x) + C, x [, b]. Prtiulrizndo pr x = F () = = G() + C impli que C = G(). Luego Pr x = b, f(t)dt = G(x) G(). f(t)dt = G(b) G(), que denotremos G(b) G() = G(x) A prtir de este teorem se ve l importni que tiene el poder enontrr un primitiv de l funión y que nos evitmos l engorros tre de ir tomndo un suesión de prtiiones d un de ells más fin que l nterior, ir formndo l suesión de sums priles y tomr ites. b.. Clulr 3 3 x 3 dx = x4 4 x 3 dx. Un primitiv de x 3 es l funión x4 4. Por tnto, 3 = =.. Clulr el áre limitd por l prábol y = x, el eje de bsiss y l ret x =. Y S = x dx = x3 3 = 8 3. X 5. Integrión en intervlos no otdos Se llm sí quells integrles en ls que el intervlo de integrión es no otdo. Definiión 3 Se f un funión otd e integrble en [, x] x IR x, se define f(x) dx = Llmds integrles impropis de primer espeie 6

7 Definiión 4 Si f es otd e integrble en [x, b] x IR x b se define f(x) dx = x x Si en ls definiiones nteriores el ite existe y es finito se die que l integrl es onvergente. Si el ite es infinito se die que l integrl impropi es divergente. L integrl no existe si no existe diho ite. Definiión 5 Si f es integrble en [, b], b IR se define f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx pr ulquier IR. L integrl es divergente si lo es l menos un de ls dos integrles de l dereh de l iguldd y onvergente si lo son ls dos.. Disutir l onvergeni de I = I = Si p > Si p < Si p = I = e px dx = e pt dt = p e px dx pr los distintos vlores de p. (e px e p ) e px = y por tnto I = e p, luego I es onvergente. p e px =, luego I es divergente.. Determinr el áre enerrd por l urv dx = (x ) =, y por tnto divergente. Y x p, x = y el eje OX. f(x) = x p O X Dih áre viene dd por A = Si p =, áre no está otd. Si p, dx x p dt t = ln x ln =. ( x p+ p p ). Distinguimos dos sos: 7 L integrl es divergente y por tnto el

8 Si p <, ( p + ) > l integrl es divergente. El áre es infinit. Si p >, ( p + ) < l integrl es onvergente y el áre vle A = (p ). 6. Integrión de funiones no otds Se llmn sí quells integrles en ls que l funión integrndo no está otd en lgún punto del intervlo de integrión [, b]. Definiión 6 Si f no está otd en b y f es integrble en [, x] x < b se define f(x) dx = x b Definiión 7 Si f no está otd en y f es integrble en [x, b] x > se define f(x) dx = x + x Ls integrles de ls definiiones nteriores pueden expresrse, respetívmente, omo f(x) dx = ε + ε f(x) dx y f(x) dx = ε + +ε f(x) dx. Definiión 8 Si f está otd y es integrble en [, b] {}, siendo un punto interior de [, b], se define f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = x f(t) dt + x + x Si l funión no está otd en un número finito de puntos del intervlo [, b], podemos dividir este en subintervlos de form que d uno de ellos onteng un únio punto donde l funión no esté otd y, por l ditividd de l integrl respeto del intervlo de integrión, obtener ést omo sum de integrles extendids d uno de los subintervlos. L integrl se die onvergente o divergente on los mismos riterios que pr ls de primer espeie. Estudir l onvergeni de I = Si α, ( I = x b dt (b t) α = (α )(b t) α. (α )(b x) α (α )(b ) α Llmds integrles impropis de segund espeie dx pr los distintos vlores de α. (b x) α ). 8

9 Si α >, Si α <, = luego l integrl es divergente. x b (b x) α x b (b x) α = y por tnto I =, onvergente. (α )(b ) α Si α =, I = dx b x = [ ln (b x) + ln (b )] =, divergente. x b Si el intervlo de integrión es infinito y l funión no está otd en un número finito de puntos, el estudio de l integrl se redue l de los dos nteriores. 9

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