2) El eje y, la curva Solución:

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1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL UNIDAD VI Eistn muchos cmpos dl conociminto n qu istn pliccions d l intgrl. Por l nturlz d st concpto, pud plicrs tnto n Gomtrí, n Físic, n Economí incluso n Biologí. Por sólo citr lgunos jmplos, continución s mncionn ls pliccions más conocids d l intgrl:. Hllr l ár d rgions plns.. Otnr los volúmns d sólidos d rvolución.. Clculr volúmns d sólidos con sccions conocids.. Dtrminr l longitud d rco d un curv.. Eminr l comportminto ltorio d vrils continus (función d dnsidd proilidd).. Conocr l vlor promdio d un función. 7. Hllr momntos (furzs qu jrcn cirts ms con rspcto un punto) cntros d ms o cntroid (l punto n qu un ojto s quilir horizontlmnt).. Encontrr l prsión jrcid por un fluido. 9. Clculr l trjo rlizdo d movr un ojto d un punto otro.. Otnr vlocidds clrcions d móvils.. Conocr l suprávit dl consumidor (cntidd d dinro horrdo por los consumidors, l comprr un rtículo un prcio ddo).. Dtrminr l flujo snguíno (volumn d sngr qu ps por un scción trnsvrsl por unidd d timpo) d un prson su gsto crdico (volumn d sngr omdo por l corzón por unidd d timpo. A continución s profundiz n ls primrs dos pliccions nlistds. VI. CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS Pr clculr un ár pln, s fctú l siguint mtodologí:. S trzn ls curvs qu limitn l ár qu s ds conocr.. S idntificn los puntos n los qu s cortn ls curvs.. S dtrmin l zon d l qu h qu clculr l ár.. S dcid qu vril convin intgrr. S procd intgrr jo los límits ncontrdos. Ejmplos. Hllr l ár limitd por ls siguints condicions: ) Curv, l j por ls rcts

2 Ár A d 7. u ) El j, l curv + por ls rcts Ár ( + ) d + ( + 9 9) + + A 9. u, l j por ls rcts ) Curv 7 +

3 - - - Ár Por siturs djo dl j d intgrción ( ), d fctrs todo por un signo ngtivo ( 7 + ) d + ( ) + ( ) + A ( 7 + ) + ( ). u ) Curv + l j Ár - L curv cort l j n, ( + ) d ( ) A + d u [( + ) ( ) ] [( + ) ( + ) ]

4 ) Hllr l ár comprndid ntr l práol l rct Ár Dspjndo d l cución d l rct: sustitundo n l cución d l práol: + ( + ) +, rsolvindo l cución: ( + )( ), + +, P (, ), P (,) Ár pdid Ár jo l rct - Ár jo l práol: + + A d d d d 7 + [( + ) ( ) ] [ ( ) ] 9 u ) Hllr l ár comprndid ntr ls práols Igulndo ls cucions pr otnr los puntos d intrscción: + fctorizndo: ( ) ( ) ( ) los puntos d intrscción son: P (,), (,) P Ár pdid Ár jo l práol - Ár jo l práol :

5 - P (,) Ár - (,) d ( ) d ( ) A u ( ) ( ) ( ) +. VI. VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Si un función s gir con rspcto un j dl plno s gnr un volumn conocido como sólido d rvolución l j s l llm j d rvolución. Gráficmnt, sto s: f() Gir Función Sólido d rvolución En gnrl, un función pud girrs lirmnt, por lo qu l form dl sólido qu s gnr dpnd, tnto d l nturlz d l función, como dl j d rvolución. En ls siguints gráfics s prci como s formn sólidos d rvolución conocidos, si s girn funcions mu lmntls:

6 f() Gir Constnt Cilindro f() Gir Triángulo rctángulo Cono f() Gir Smicircunfrnci Esfr Un volumn dl sólido d rvolución s conform d l sum infinit d frnjs unitris d volumn si s gnr hcindo girr un función ( ) f lrddor dl j, s pud clculr por mdio d: V π [ f ( ) ] d dond rprsntn ls rcts qu lo limitn, s dcir, son los trmos.

7 Ejmplos. Clculr l volumn dl sólido d rvolución gnrdo l hcr girr ls siguints funcions con los límits mrcdos l j d rvolución ddo., l j ls rcts ) Gir V π π π π [ ] d π d 9.7 u π, l j ls rcts ) Gir V [ ] d π d π π π. u π 7

8 , l j ls rcts ) Gir - - V π π π d d π π. u ), l j ls rcts Gir - - V π π d π d π π π. u

9 VI. ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS VI.. ORDEN, GRADO Y SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Un cución qu contin drivds o difrncils s llm cución difrncil. Ejmplos. d d d d d + d d d d F m d ) + 7 ) ) (sgund l d Nwton) El ordn d un cución difrncil s igul l d l drivd d más lto ordn qu prc n l cución. Ejmplos. d d + d d d d d d ) + (cución difrncil d sgundo ordn) ) (cución difrncil d curto ordn) El grdo d un cución difrncil s l ponnt mor d l drivd d mor ordn d l cución. Ejmplos. d d d d ) + ( ) d d d d ) 9 d d d d d d ) d d (cución difrncil d trcr ordn sgundo grdo) (cución difrncil d quinto ordn primr grdo) (cución difrncil d curto ordn trcr grdo) Un solución d un cución difrncil s qull qu stisfc l cución, por jmplo, si s tin: d d + d d d d d + d sustitundo n l cución: + + +, un solución s: ( ) ( + ) + +, sto s: 9

10 VI.. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN) Dpndindo dl tipo d cución difrncil, convin plicr un método d rsolución prticulr. Por su sncillz, los más utilizdos son l d l otnción d rícs dl polinomio l d sprción d vrils. En l primr cso, sul utilizrs l oprdor D n lugr d l drivd, fin d qu cd ríz polinomio formdo, tng l form i C i, dond i vrils, s fctú fin d fcilitr su intgrción. Ejmplos. Rsolvr ls siguints cucions difrncils: d d ) + + D D ( D ) C comproción: d C d sustitundo: C + + C C C d d ) ( D ) D D C comproción: d C d sustitundo: C C C C d d + + d d ) i dl C son constnts. Por su prt, l sprción d ( D + D + ) ( D + )( D + 7) D, D 7 7 C + C

11 d d + d d ) ( D + D ) ( D + )( D ) D, D C + C ) ( + ) d ( ) d ( + ) d ( )d si s sprn ls vrils s tin: d d + d d +, intgrndo: ln + ln +, lvndo l : ln + ln + ln + + ln + ) d + ( + ) d d ( + )d sprndo ls vrils: d d + d d +, intgrndo: tn ln tn ln tn tn, lvndo l :