4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved.

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1 4.3 Función Logarítmica Copyright Cengage Learning. All rights reserved.

2 Función Logarítmica La función que es inversa de la exponencial f (x) = b x es la función logarítmica. Introducimos el vocabulario y la notación que nos permita escribir este concepto en forma abreviada. y = b x exponente log b y = x exponente potencia base base potencia Definición: Entonces log b y representa el exponente x para elevar la base b y obtener la potencia y. 2

3 Función Logarítmica Ejemplos (a) log 2 (8)= 3, porque 3 es el exponente donde elevas a 2 para tener la potencia 8: 2 3 = 8 (b) log 10 (1/10) = 1, porque 1 es el exponente para que 10 se eleva para obtener 1/10: 10-1 = 1/10 (c) log 5 1 = 0, porque 0 es el exponente donde elevas 5 para obtener la potencia 1: 5 0 = 1 3

4 Función Logarítmica Usando notación algebraica, sea y = f (x). Entonces y = log b x es equivalente a x = b y Llamamos a la ecuación y = log b x la forma logarítmica y la ecuación equivalente x = b y es la forma exponencial. 4

5 Función Logarítmica La Tabla 1 muestra algunos ejemplos. 5

6 Funciones Logarítmicas Resumimos: 1. Por la prueba de la línea horizontal, f (x) = b x es uno-a-uno y tiene una inversa. Esta función inversa escribe f 1 (x) = log b x que representa el exponente para el cual la base b genera la potencia x. 2. En notación algebraica, log b P = n means that P = b n. 6

7 Función Logarítmica Recuerda que la función exponencial f definida por f (x) = b x es uno-a -uno. Se ve al aplicar la prueba de la línea horizontal. La funcion exponencial y = b x es uno-a-uno. Figura 1 7

8 Gráfica de función Logarítmica Conociendo la gráfica de la función exponencial y = b x, y que la función logarítmica es su inversa y = log b x, (intercambia los nombres x y), se obtiene la gráfica simétrica a la identidad: y = x. La gráfica con b > 1 se muestra. Figure 2 8

9 Función Logarítmica Se observa que la función logarítmica y = log b x en la Figura 3: siempre crece pero muy lentamente. 9

10 Función Logarítmica Considere y = log 2 x, por ejemplo. Entonces para qué valor de x el valor de la curva alcanza la altura de y = 10? Figure 4 10

11 Función Logarítmica Contestar esta pregunta es resolver la ecuación logarítmica, sustituyendo y = 10 en la ecuación y = log 2 x: 10 = log 2 x La forma exponencial de la ecuación anterior es: x = 2 10 = 1024 Se concluye que hay que pasar de 1000 en el eje de x antes que y = log 2 x alcance una altura de y= 10 unidades. 11

12 Función Logarítmica Precaución: En la tabla hay unos errores comunes que surgen al olvidar que log b es el nombre de una función, No un número. Errores para evitar: 12

13 Ejemplo para Hallar el Dominio de una Función Logarítmica Halle el dominio de la función f (x) = log 2 (12 4x). Solución: Como se observa, el Dominio (entrada) de la función logarítmica está restringido a números positivos: D = (0, ). Figure 3 13

14 Ejemplo 1 Solución cont d Al Transformar la gráfica se requiere que 12 4x se positivo. Por lo tanto, 12 4x > 0 4x > 12 x < 3 El dominio de la función f (x) = log 2 (12 4x) es el intérvalo (, 3). 14

15 Función Logaritmo Natural Definición: La notación ln se usa para logaritmos de Base e ln (x) significa log e (x) Ejemplo 1. ln e = 1 porque ln e = log e e, es igual a 1, o sea: e 1 = e 2. ln(e 2 ) = 2 porque ln(e 2 ) = log e (e 2 ), que es igual a 2: e 2 = e ln 1 = 0 porque ln 1 = log e 1= 0, o sea: e 0 = 1. 15

16 Ejemplo 2: Gráfica de Transformaciones de ln x Dibujar las gráficas de las siguientes funciones: (a) y = ln x; (b) y = ln (x 1) 1. Solución: (a) La función y = ln x (= log e x) es la inversa de y = e x. 16

17 Ejemplo 2: Solución cont d La gráfica se obtiene reflejando la gráfica de y = e x con respecto a la recta identidad y = x. Figure 17

18 Ejemplo 2 Solución cont d Detalles de la gráfica: el dominio D = (0, ), el rango (recorrido) es todo número real: R = (-, ), No hay simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0 No pertenece al dominio. Intercepto del eje- x: y = 0 implica 0 = ln x, que en forma esponencial equivale a: x = e 0 = 1. Entonces el intercepto del eje de-x es (1,0). La asíntota vertical (A.V.) es x = 0 (el eje de y) porque la función y = ln x va hacia - cuando se acerca al eje de y por la derecha. 18

19 Ejemplo 2 Solución cont d En la otra esquina, la función y = ln x, crece sin asíntota (sin cota). (b) La gráfica de y = ln(x 1) 1, es una transformación de y = ln x, se mueve una unidad en la dirección positiva (derecha) de x, 1 unidad en dirección negativa (abajo) de y. Figure 19

20 Example 2 Solución cont d Detalles de la gráfica: el dominio D = (1, ), el rango (recorrido) es todo número real: R = (-, ), No hay simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0 No pertenece al dominio. Intercepto del eje de x: y = 0 implica 0 = ln(x 1) 1, resolviendo: ln(x 1) = 1. En forma exponencial: x 1 = e 1. Resuelve para x: x = e Entonces el intercepto de x es e + 1 ( 3.72). 20

21 Ejemplo 2 Solución cont d La asíntota vertical es x = 1, porque y = ln(x 1) 1 la gráfica tiende a -, cuando x se acerca a 1 por la derecha. Este comportamiento no cambia al mover la gráfica 1 unidad hacia abajo.. En la otra esquina, y = ln(x 1) 1 crece sin asíntota (sin cota). Este comportamiento no cambia al trasladar la gráfica horizontal o verticalmente. 21