Muestreo estadístico. Relación 2 Curso

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1 Muestreo estadístico. Relación 2 Curso Para tomar la decisión de mantener un determinado libro como texto oficial de una asignatura, se pretende tomar una muestra aleatoria simple entre los 1250 profesores de una universidad y enviarles un cuestionario a través del cual manifiesten si son favorables a la renovación del libro como texto oficial. Cuál deberá ser el número apropiado de profesores encuestados de entre los 1250 para obtener una estimación sobre la proporción de profesores favorables a la renovación del libro de texto con un error de muestreo inferior al 12 % y una confianza del 95 %? Si finalmente se decidió enviar cuestionarios a 100 profesores, de los cuales tan sólo 35 no se manifestaron favorables a la renovación del libro de texto, estimar la proporción del número de profesores a favor de la renovación del texto y estimar el error de dicha estimación. Calcular el tamaño muestral necesario para reducir la amplitud del intervalo de confianza de la proporción de profesores a favor de la renovación del texto en un 20 % 2. Dos dentistas A y B elaboraron una encuesta para analizar la salud bucal de 200 niños. El doctor A seleccionó una muestra aleatoria simple de 20 niños y contó el número de dientes con caries de cada niño obteniéndose los siguientes resultados. Dientes con caries por niño Total niños El dentista B seleccionó otra muestra aleatoria simple de 30 niños y sólo registró aquellos que no tenían caries encontrando que 10 niños no tenían dientes con caries. Utilizando la muestra obtenida por el dentista A, estimar el número medio de dientes con caries para ese grupo de niños. Estimar el error de estimación y proporcionar un intervalo de confianza al 95 % para dicha estimación suponiendo la hipótesis de normalidad para el estimador. Qué tamaño muestral deberíamos utilizar si queremos reducir el error cometido en un 10 %? Utilizando la muestra obtenida por el dentista B, estimar la proporción de niños con caries y proporcionar el error relativo de muestreo para esa estimación. Utilizando la muestra obtenida por el dentista A, estimar la proporción de niños con caries. Qué dentista crees que obtiene una 1

2 estimación más precisa para la estimación de la proporción de niños con caries? 3. Una gran empresa constructora tiene 120 casas en diversas etapas de construcción. Para estimar la cantidad total (en miles de euros) que será registrada en el inventario de la construcción en proceso, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 12 casas y se determinaron los costes acumulados en cada una de ellas. Los costos obtenidos para las 12 casas fueron los siguientes: 35.5, 30.2, 28.9, 36.4, 29.8, 34.1, 32.6, 26.4, 38, 38.2, 32.2, 27.5 a) Estimar los costes totales acumulados para las 120 casas y dar una estimación del error de muestreo. b) Dar un intervalo de confianza al 95 % para el coste total. c) Cuál debería ser el tamaño de muestra óptimo para estimar dicho coste total reduciendo el error de muestreo del primer apartado en un 10 %? d) Estimar la proporción de casas cuyo costes de construcción superan los 32 mil euros. Dar una estimación del error. e) Si se pudiera reducir el error de estimación en la estimación anterior en un 20 %, cuál debería ser el tamaño de muestra adecuado para ello? 4. En una facultad 200 alumnos han aprobado por curso una asignatura. Se hace una entrevista a una muestra de 25 alumnos elegidos mediante muestreo aleatorio simple. En esta entrevista se les pregunta si están satisfechos con la enseñanza recibida y el número de horas de estudio. Los resultados de esta entrevista son que 18 alumnos están satisfechos con la enseñanza recibida y el número de horas de estudio T viene dado por T Total alumnos Estimar la proporción de alumnos satisfechos con la enseñanza recibida y el error de estimación asociado a dicha estimación. Cuál será la estimación del total de alumnos satisfechos con la enseñanza recibida? Estimar el número medio de horas de estudio por alumno, su error de muestreo asociado. Calcula un intervalo de confianza para dicho número medio con un nivel de confianza del 95 %. Cuál será la estimación del total de horas estudiadas por todos los alumnos? 5. En un curso de informática básica con 300 alumnos, se seleccionó una muestra de 24 estudiantes para realizar una encuesta con objeto de determinar la importancia de la informática en su vida profesional. Alguna de las preguntas que se les hicieron fueron 2

3 Pregunta 1: Tienes ordenador personal en casa? Pregunta 2: Utilizas habitualmente en tu trabajo aplicaciones informáticas? Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Entrevistado Respuesta 1 SI SI NO NO NO SI SI SI NO Respuesta 2 NO NO SI NO SI NO NO SI NO Entrevistado Respuesta 1 SI SI NO NO NO SI SI SI NO Respuesta 2 NO SI SI SI SI SI NO SI SI Entrevistado Respuesta n1 SI SI SI Respuesta n1 NO SI SI Entrevistado Respuesta n2 NO SI NO Respuesta n2 NO NO NO A partir de esta información, estimar la proporción de estudiantes que tienen ordenador en casa. Dar una estimación del error de muestreo. Estimar el número de estudiantes que utilizan habitualmente aplicaciones informáticas en su trabajo. Dar una estimación del error de muestreo. 6. Mediante muestreo aleatorio simple sin reposición se obtiene una muestra de tamaño 50 procedente de una población de 750 unidades. Al medir una característica sobre los elementos de la muestra se obtienen los siguientes datos: 50 X i = 454, 50 X 2 i = Estimar la media y el total de la característica X para la población así como sus errores absolutos y relativos de muestreo. 7. Una muestra aleatoria simple de 600 habitantes procedente de una población de individuos presenta los siguientes datos para la variable X número de visitas anuales a doctores especialistas 600 X i = 2946, 600 Xi 2 = Hallar intervalos de confianza al 95 % para el total y la media de visitas anuales a doctores especialistas en la población admitiendo normalidad para la distribución de los estimadores. Tomando la muestra anterior como muestra piloto, qué tamaño de muestra será necesario para cometer un 3

4 error absoluto de muestreo de 1000 unidades al estimar el total de visitas a doctores especialistas en la población? Y para cometer un error relativo de muestreo del 15 %? 8. Qué tamaño muestral es necesario para estimar la proporción de personas con sangre de tipo O en una población de 1500 personas para que con una confianza del 95 % el error de estimación sea menor de 0.02? Suponemos que no hay información adicional. 9. Supongamos que disponemos de una encuesta planificada con el objeto de proporcionar información acerca del nivel de empleo en una determinada localidad, en la cual sólo hay 6 empresas asentadas. Dos de las preguntas fueron las siguientes: a) Cuántos empleados tiene? b) Tiene intención de contratar más personal a corto plazo? Las respuestas obtenidas fueron las siguientes: Empresa Número de empleados Intención de contratar A 9 SI B 8 SI C 6 NO D 2 NO E 1 NO F 5 NO Para comprobar si las estimaciones que se obtienen de una muestra aleatoria simple de tamaño 2 confirman los resultados teóricos, se pide: Indicar en una tabla las muestras aleatorias simples de tamaño 2 que se pueden formar, así como los resultados en cada muestra relativos a las dos preguntas. Obtener la distribución en el muestreo de las variables número medio de empleados por empresa y proporción de empresas que tienen intención de realizar nuevos contratos a largo plazo. Determinar la esperanza y varianza de ambas variables y comprobar los resultados muestrales y teóricos. 10. En una determinada fábrica se tomó una muestra aleatoria simple de 30 trabajadores de un total de 250, con el fin de obtener información acerca de los que están a favor de la semana laboral con 35 horas. De los trabajadores encuestados, 25 estaban a favor. Estimar la proporción de trabajadores que estarían a favor de las 35 horas semanales. Dar asimismo un intervalo de confianza de al menos el 97 % para dicha estimación utilizando la desigualdad de Chebyshev. Si se deseara una estimación con una precisión de 0.05 como máximo error permisible, cuál debería ser el tamaño muestral adecuado? 4

5 11. El gerente de un taller de maquinaria desea estimar el tiempo promedio que necesita un operador para terminar una tarea sencilla. El taller tiene 98 operadores y se selecciona una muestra de 8 operadores a los que se les toma el tiempo obteniéndose los siguientes resultados 4.2, 5.1, 7.9, 3.8, 5.3, 4.6, 5.1, 4.1 Estimar el tiempo promedio y el tiempo total para terminar la tarea entre todos los operadores estableciendo límites al 95 % considerando la desigualdad de Chebyshev. 12. En una región con 1000 viviendas, determinar el tamaño de muestra necesario para que, con un grado de confianza del 95 % la estimación de la proporción de viviendas sin agua corriente no difiera en más del 0.1 del valor verdadero utilizando muestreo aleatorio simple. Nota: Suponer que el estimador sigue una distribución normal. 13. De una población con 33 millones de habitantes se ha obtenido una muestra de En ella, 4000 se han clasificado como población activa y de éstos 40 se encuentran en situación de desempleo. Se pide: Estimar el porcentaje de población activa. Estimar también el número de personas activas que se encuentran en situación de desempleo. Calcular los errores absolutos y relativos de muestreo en ambas estimaciones así como intervalos de confianza con un riesgo del 5 %. Cuántas personas de todas las edades sería necesario incluir en una muestra para estimar la tasa de actividad en España con un error absoluto E = 0,02 y una probabilidad del 95 %? Del último censo se sabe que en el país hay un 39 % de activos. Contestar a la misma pregunta para cometer un error relativo del 5 % 14. Supongamos que queremos estimar una proporción con un tamaño muestral suficientemente grande como para que el error estándar del estimador no sea mayor que el 2 %. Resolver el problema en el caso que consideremos el 2 % un error absoluto y en el caso en el que lo consideremos un error relativo. Considerad los casos en los que la proporción toma los valores a) 0.04, b) 0.1, c) 0.4, d) 0.5, e) 0.8, f) 0.9 (Considerad población infinita). 15. Mediante muestreo aleatorio simple se trata de estimar la proporción y el total de aciertos obtenidos en un juego ilegal en el que se realizan un total de 6000 apuestas. En un ensayo previo se han obtenido 1/3 de fallos en las apuestas. Se pide: Hallar el número de apuestas necesario para que el error de muestreo sea de una décima al estimar la proporción de aciertos en las apuestas del juego ilegal. Hallar también el número de apuestas necesario para que el error relativo de muestreo sea del 20 % en la misma estimación. Hallar el número de apuestas necesario para que el error de muestreo sea de 600 unidades al estimar el total de aciertos en las apuestas con 5

6 un coeficiente de confianza del 95 % suponiendo muestreo aleatorio simple. Hallar dicho tamaño en las condiciones anteriores pero para un error relativo de muestreo del 10 %. 16. Un sector industrial de Estados Unidos tiene un censo de 1000 fábricas. Hallar el tamaño muestral necesario (número de fábricas) para que, con un grado de confianza del 95 %, la diferencia entre la estimación y el parámetro poblacional no difiera en más de un 10 % del valor del parámetro poblacional. Se utiliza muestreo aleatorio simple y se sabe por una muestra piloto que el coeficiente de variación poblacional es 0, Estimar el tamaño de la muestra necesario para estimar la producción total de 500 fábricas con un coeficiente de variación para el estimador del total de un 5 % sabiendo que en un estudio anterior se obtuvo que el coeficiente de variación de la población era del 115 %. 6