CAPÍTULO 3. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 3.1. Integración por cambio de variable 3.2. Integración por partes Producto de un polinomio por una

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1 CAPÍTULO. PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN.. Integrción por cmbio de vrible.. Integrción por prtes... Producto de un polinomio por un eponencil... Producto de un polinomio por un seno o un coseno... Producto de un eponencil por un seno o un coseno..4. Producto de un logritmo por otr función..5. Ls tres funciones inverss rcsen, rccos, rctg..6. Alguns funciones rcionles e irrcionles

2 Cpítulo Procedimientos de integrción MÉTODOS POR PARTES CAMBIO DE VARIABLE udv = uv vdu t = f ( )

3 Cpítulo Procedimientos de integrción.. Integrción por cmbio de vrible Se f() un función y F() un de sus primitivs. Si = ϕ(u) F() = F(ϕ(u)) = G(u), y sí, plicndo l regl de l cden pr clculr l derivd, obtenemos que G '(u) = F '(ϕ(u)) ϕ'(u) = f(ϕ(u)) ϕ'(u). Luego: f ( ϕ ( u)) ϕ'( u) du = G(u) = F(ϕ(u)). El cmino seguir serí: elegir un cmbio de vrible pr relizr; resolver l nuev integrl en l nuev vrible; por último, deshcer el cmbio pr dr el resultdo en función de l vrible originl. ( ) ( ) = ϕ u f ( ) d = d = ϕ u du Ejemplos ) d = = f ( ϕ ( u) ) ϕ' ( u) du = F(ϕ(u)) = F() = u d = du / = du = u = ( ) u = u / du = / = u u + du ) d = = d = du u u / = / / / = ( u u ) + du = 4 = 4 5/ / u u + 5 / / 5 / = 0 / u + u = 6 / 5 = ( ) + ( ) 0 / 6

4 Procedimientos de integrción 5 sen = u u ) sen cos d = = cos d = du u du = = = 9 = u 4) sen d = d = du 9 u = ( sen ) = sen du = u = ( cosu) = cos( ) sec 5) d = u = = = d du sec u du = tgu = tg = senu 6) d = = d = cosu du sen u cosu du = + cosu du = u + senu = 4 = rcsen + ( senu = senu cosu = ) = cos u du = Not Se verán más cmbios de vrible l resolver diferentes tipos de integrles de funciones prticulres. Como es obvio, en un mism integrl se pueden plicr diversos cmbios de vrible de mner sucesiv, hst que se llegue un función de l que se conozc de form inmedit un de sus primitivs. Todos los cmbios de vrible que se relicen en un mism integrl deberán ser deshechos en orden contrrio como se hn producido, es decir, primero el

5 6 Introducción l cálculo integrl último, después el nterior, y sí hst llegr l primero, que se deshrá en último lugr... Integrción por prtes Se u()v() el producto de dos funciones de. Aplicndo ls regls de diferencición pr el producto de funciones, obtenemos: o, equivlentemente, d(uv) = v du + u dv u dv = d(uv) v du Integrndo miembro miembro est iguldd, llegmos : u dv = d(uv) v du pero, como l diferencición y l integrción son funciones inverss, se tiene que: d ( uv) = uv, y, por tnto, l epresión nterior qued: u dv = uv v du Est iguldd entre integrles se conoce como el método de integrción por prtes. Así, si l integrl que queremos clculr tiene l form de un producto u dv, se puede intentr plicr este método pr obtener un prte conocid de l primitiv, uv, y un nuev integrl resolver, v du. Se esper que est nuev integrl se más fácil de clculr que l primer. Si fuer más difícil, se prueb intercmbir los ppeles de u y dv (dv debe contener siempre d) y comenzr el cálculo. Si l nuev integrl es ún más difícil, este método no es bueno y no se plic. A veces este proceso hy que repetirlo más de un vez sobre un mism integrl pr llegr conocer l primitiv buscd. Eisten csos en los cules está comprobdo que el método de integrción por prtes funcion bien, no queriendo decir con esto que sen los únicos csos en los cules se puede plicr, ni tmpoco que no se pued plicr otro método de los que trtremos más delnte. Vemos estos csos los que nos referimos.

6 Procedimientos de integrción 7... Producto de un polinomio por un eponencil Clculr: e d Probmos tomr ls prtes como: Así, l integrl quedrá: uv e = u e d = du d = dv v = v du = e e d Est integrl es más complicd que l inicil, y que hemos umentdo el grdo del polinomio. Procedemos cmbir los ppeles de u y de dv, tomndo el polinomio como l prte derivr y l eponencil como l prte integrr: e = u d = dv d = du e v = Aplicndo est nuev elección en l integrl originl I: e e d = e e e = 4 En este cso siempre es más conveniente elegir el polinomio pr derivr, es decir, tomrlo como u (pues en l nuev integrl quedrá un polinomio de un grdo menor) y l función eponencil pr integrr, es decir, tomrl como dv (en l nuev integrl quedrá l mism eponencil slvo constntes).... Producto de un polinomio por un seno o un coseno Clculr: sen d Hcemos: = u sen d = dv d = du cos v =

7 8 Introducción l cálculo integrl Así, uv v du = cos = cos + sen 4 cos d = De nuevo es en generl más conveniente derivr el polinomio, es decir, tomrlo como u, e integrr l función trigonométric, como dv. Además, es bstnte frecuente en estos csos tener que plicr dos o más veces este proceso de integrción por prtes pr resolver l integrl originl. Veámoslo con un ejemplo: Clculr: ( ) cos d Hcemos prtes: = u 4 d = du sen cos d = dv v = Con lo que I qued: sen 4 sen d = sen 4 sen d ( ) = ( ) En l nuev integrl l que hemos llegdo el polinomio no h desprecido, pero se h conseguido rebjr su grdo en un unidd. Prece, pues, que un nuev plicción del proceso de integrción por prtes est nuev integrl, con l mism elección de u (el polinomio) y dv (l función trigonométric), nos conducirá un integrl donde el polinomio hy desprecido, siendo, por tnto, inmedito clculr un de sus primitivs. Nótese que, si en est nuev integrl intercmbimos los ppeles de u (l función trigonométric) y dv (el polinomio), llegremos l integrl originl, puesto que estremos deshciendo lo relizdo en l primer plicción del proceso de integrción por prtes. Así pues, considermos l siguiente elección:

8 Procedimientos de integrción 9 = u sen d = dv d = du cos v = Así, con l plicción sucesiv del método de integrción por prtes l integrl originl, ést quedrá de l form: 4 cos cos d = sen cos cos d = 9 9 sen cos 9 7 sen ( ) sen = ( ) = ( )... Producto de un eponencil por un seno o un coseno Clculr: e sen d Hcemos prtes: e = u sen d = dv e d = du cos v = Con est elección, l integrl I puede epresrse como: e cos + e cos d Encontrmos sí un integrl nálog I. Integrmos de nuevo por prtes y continumos llmndo u l eponencil y dv l función trigonométric (en cso contrrio, volverímos l integrl originl). Así pues, l nuev elección de ls prtes será: e = u cos d = dv e d = du sen v =

9 40 Introducción l cálculo integrl Por tnto, I quedrá: e cos + e e cos + e sen 9 sen e sen d 4 I 9 e sen cos 9 9 e sen cos Est situción, en l cul prece l integrl I que se dese clculr en medio del proceso de integrción, fectd de otro coeficiente, surge con frecuenci en el cálculo de integrles, siendo etremdmente ingenios su resolución tl como se h procedido en el ejemplo...4. Producto de un logritmo por otr función Log Clculr: d En estos csos, l elección de ls prtes es bstnte clr. Como el Logritmo no posee un primitiv inmedit, lo más rzonble es elegir l otr función como dv, y el propio Logritmo como u, y que su derivd si que es fácil de encontrr. Solo en los csos en que l otr función teng un integrción mucho más complicd que l de l función Logritmo, se elegirán ls prtes de form contrri. Est situción es generl, es decir, l elección de ls prtes tiene mucho que ver con que función se más sencill pr clculr un de sus primitivs, puesto que el proceso de derivción ofrece menos dificultdes. En el ejemplo tommos ls prtes como: Log = u d = dv d = du v = Log

10 Procedimientos de integrción 4 Log Log d Log = ( Log) I ( Log ) ( Log )..5. Ls tres funciones inverss rcsen, rccos, rctg Clculr: rcsen d Por rzones similres ls rgumentds pr el cso nterior, l elección priori más sencill será tomr ls prtes como: rcsen = u d = dv d = = v du rcsen d = rcsen + d = = rcsen Alguns funciones rcionles e irrcionles ) Clculr: ( + ) d Hcemos prtes: = u d d = du = dv = v ( + ) ( + ) + + ( + ) d = ( + ) + rctg

11 4 Introducción l cálculo integrl b) Clculr: d Tommos prtes: d = dv = u d = du = v d = + d = = d d = = d d = ( ) = I + Log Log +