CFGS Curso de acceso, parte común. Matemáticas

Transcripción

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2 FGS urso de cceso, prte común. Mtemátics Qued prohiid, slvo excepción previst en l ley, culquier form de reproducción, distriución, comunicción y trnsformción de est or sin contr con l utorizción de los titulres de l propiedd intelectul. L infrcción de los derechos menciondos puede ser constitutiv de delito contr l propiedd intelectul (rts. 70 y siguientes del ódigo Penl). El entro Espñol de Derechos Reprográficos ( vel por el respeto de los citdos derechos. 01, ristin Mrimón Mrtínez 01, SD EDITORES vd. Fregd, L Hospitlet de Lloregt (rcelon) Tel / Fx comercil@sdeditores.es ISN: Depósito legl: Fotogrfí de cuiert y diseño: Oriol Miró Guinovrt Mquetción: Estudi Gràfic El Prt Impreso en: Sgrfic Impreso en Espñ - Printed in Spin

3 FGS urso de cceso, prte común Mtemátics ristin Mrimón Mrtínez

4 í Índice LOQUE 1 ritmétic y álger Unidd 1. onjuntos numéricos (I): Números rcionles lsificción de los números Frcciones y números decimles Proporcionlidd y porcentjes Potencis Notción científic de cpítulos Unidd 4. Ecuciones e inecuciones Ecuciones de primer grdo Ecuciones de segundo grdo Ecuciones icudrds Ecuciones irrcionles Ecuciones polinómics de grdo myor dos Ecuciones exponenciles Ecuciones logrítmics Inecuciones de primer grdo Unidd 5. Sistems de ecuciones Unidd. onjuntos numéricos (II): Números reles y números complejos L rect rel proximciones y errores Rdicles Números complejos Unidd. Polinomios onceptos ásicos Operciones con polinomios Regl de Ruffini y teorem del Resto Fctorizción de polinomios Frcciones lgerics Sistems de dos ecuciones con dos incógnits Sistems de tres ecuciones con tres incógnits Sistems de ecuciones no lineles LOQUE Geometrí Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles Áres de figurs plns Áres y volúmenes de cuerpos elementles Índice de cpítulos

5 Medid de ángulos Resolución de triángulos rectángulos Resolución de triángulos no rectángulos. 45 Escls Unidd 7. Geometrí nlític en el plno Vectores en el plno Rects en el plno plicciones métrics ónics Unidd 8. Funciones LOQUE Funciones LOQUE 4 Estdístic y proilidd Unidd 11. Estdístic descriptiv onceptos ásicos Tls de frecuencis Gráficos estdísticos Prámetros estdísticos Estdístic descriptiv idimensionl.. 45 Unidd 1. Proilidd onceptos ásicos Proilidd de experimentos simples. 45 Proilidd de experimentos compuestos onceptos ásicos rcterístics generles de l gráfic de un función Operciones con funciones Funciones elementles Unidd 9. Sucesiones, límites y continuidd Sucesiones y progresiones álculo de límites ontinuidd y discontinuiddes Unidd 10. Derivción y plicciones de l derivd álculo de derivds Rect tngente Estudio y representción de funciones. 45 Prolems de optimizción Índice de cpítulos

6 Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles Ojetivos L trigonometrí es l rm de l geometrí que estudi los triángulos. unque quizá no lo prezc, los triángulos son un de ls figurs plns más importntes, y que, prtir de estos, se pueden estudir todos los demás polígonos y, prtir de l geometrí pln, se puede estudir l geometrí en el espcio. En est unidd, trjremos principlmente ls áres de ls figurs plns, ls áres y volúmenes de los cuerpos geométricos elementles y l trigonometrí y sus plicciones en l resolución de triángulos.

7 6 Áres de figurs plns Áres de ls principles figurs plns Un polígono es un figur pln limitd por tres o más segmentos. Recuerd Recuerd lsificción de los triángulos según sus ldos Equilátero Isósceles El perímetro de un polígono es igul l sum de ls longitudes de sus ldos. El perímetro de un circunferenci se llm longitud, y se clcul medinte l siguiente fórmul (donde r es el rdio): Longitud = L = π r r Sus tres ldos miden lo mismo Escleno Dos de sus ldos miden lo mismo En los polígonos regulres (todos los ldos y ángulos son igules), se clcul el perímetro medinte l siguiente fórmul: Los tres ldos tienen longitudes diferentes Perímetro = P = ldo nº de ldos Triángulo udrdo l = se ltur = l = ldo ldo = l l = l l 6 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

8 Rectángulo = se ltur = Romo Propiedd de los polígonos regulres n Si en un polígono regulr unimos el centro con los diferentes vértices del polígono, otenemos triángulos isósceles igules. D ldo = d Digonl myor digonl menor = D d Romoide = n En el cso del hexágono, otenemos triángulos equiláteros. Áre del círculo = se ltur = Trpecio ( se myor + se menor = ) ltur = = ( + ) Áre de un polígono regulr Los polígonos que tienen todos los ldos igules y todos sus ángulos igules se llmn polígonos regulres. L potem (p) de un polígono regulr es l distnci entre el centro del polígono y cd uno de sus ldos. Áre polígono regulr p P p = = Perímetro potem = P p Recuerd Semejnz r = π (rdio) = π r π,1416 Se dice que dos polígonos son semejntes si: n d ángulo del polígono y el correspondiente de su trnsformdo (homólogo) son igules. n El cociente de un ldo y su trnsformdo es constnte (siempre d el mismo número) [Ldos respectivos proporcionles]. n este cociente se le llm rzón de semejnz. l 1 l 4 l 1 ' l 1 l l ' D l 1 ' l 4 ' ' ' l ' l ' = l ' = l ' = l ' 4 = rzón de semejnz l l l 4 = ', = ', = ', D = D' D' Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 7

9 Recuerd Teorem de Pitágors Ddo un triángulo rectángulo: n Los dos ldos que formn el ángulo recto se llmn ctetos. n El otro ldo, el de myor longitud (que siempre es el opuesto l ángulo recto), se llm hipotenus. El perímetro es l sum de los ldos, sí: Perímetro = P = + = ( ) + ( 4) = = 14 Perímetro del rectángulo = 14 cm. lcul el áre de un triángulo equilátero de 48 cm de ldo. omo el triángulo es equilátero, los tres ldos tienen l mism longitud. demás, l ltur del triángulo se poy justo en el punto medio de l se. sí: cteto 90º hipotenus 48 cm 48 cm cteto Teorem de Pitágors: Ddo un triángulo rectángulo, se cumple que el cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos: hipotenus = cteto + cteto Ejercicios resueltos 48 cm 4 cm En el triángulo rectángulo tenemos que l se es = 178 = 4 cm = 178 Pr hllr l ltur, usremos el teorem de Pitágors: 48 = = = = = = = = 178 = 178 = 41,57 cm 1. lcul el áre del rectángulo cuy ltur es de 4 cm y cuy se es el triple que l ltur. Finlmente, el áre del triángulo originl es: = 4 cm = = 48 41,57 = 997,68 cm 8 ltur = = 4 cm = 4 = 1 cm se = = ltur = 4 = 1 cm Áre rectángulo = = = 1 4 = 48 cm Áre del rectángulo = 48 cm. lcul el perímetro de un rectángulo si semos que un ldo mide 4 cm y que su digonl mide 5 cm: = 4 cm d = 5 cm d = 5 cm = 4 cm Hllemos el otro ldo usndo el teorem de Pitágors: d = + 5 = = 16 + = 5 16 = 9 = 48 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles = = = cm Áre del triángulo = 997,68 cm 4. lcul l longitud del ldo de un romo siendo que sus digonles vlen cm y cm. D = cm d = cm l D = 1,5 cm Digonl myor = D = cm Digonl menor = d = cm Usndo el teorem de Pitágors: l = 1 +1,5 l =,5 l = Ldo del romo = 1,8 cm l d = 1 cm,5 l = 1,8 cm

10 5. [ndlucí, Junio 011] Un plc descns sore 4 tuercs hexgonles como l de l figur. Pr verigur l superficie de poyo y el peso l que puede ser sometid, clcul l superficie de poyo que genern dichs tuercs. El diámetro de l circunferenci interior es de 16 mm y el ldo del hexágono regulr es de 16 mm. 6. [PGS ndlucí] Otén l incógnit y l unidd de medid de dich incógnit en cd uno de los siguientes csos relciondos con ldos, áres y perímetros de figurs plns. Figur Dtos Incógnit d = 16 mm Rectángulo se = 5 cm Áre = 9 cm ltur = Rdio circunferenci: 16 mm Rdio = Diámetro Rdio = r = 16 = 8 mm = π r = π 8 = 01,06 mm Áre de Rdio l circunferenci = Diámetro interior: Rdio = r = 16 = 8 mm = π r = π 8 = 01,06 mm Pr clculr el áre del hexágono, necesitmos el perímetro y l potem: Perímetro del hexágono regulr: P = ldo nº ldos = 16 6 = 96 mm udrdo Áre = 56 km Ldo = Triángulo Romo Rectángulo Rectángulo: ltur = 8 cm Áre = 0 cm Digonl myor = 5 m Áre = 5 m se = km Áre = 7 km se = Digonl menor =... Perímetro = 16 = 9 = 5 = 9 = 8 + p 56 = 64 + p p = p = 19 = 1,86 mm = 5,8 cm hor recordemos 5 = P p que, en los hexágonos regulres, los triángulos interiores = son 96equiláteros. 1,86 = sí: 665,8 mm = l l = l 56 = l l = 56 l = 7,48 km udrdo: = 8 = 90 = 5 = = 9 = 0 = 8 5,8 = cm 5 5 cm = l l = D = d l 56 = l5 d 5 l = d = 56 5 l = 5 7,48 d = 10 km m p 16 mm = = 5 = 7 = = 9 0 = 7 8 = 5,8 = 5 cm 5 cm Triángulo: = = 9 km P D l l d = l 565 d = l = sum de 5 ldos = = ( d l = ) ( l = ) d 7,48 = ( = 10 9) m km 16 mm 8 mm = + ( ) = 4 P = 9 = 5 8 = 4 km 0 = 7 = = 9 = 0 = 7 8 5,8 = cm potem: P = ldo nº ldos = 16 6 = 96 mm 5 5 cm 6 = 96 mm 16 = 9 km = 8 + p 56 = 64 + p p = p = 19 = 1,86 = l l = D = mm d l 56 = l 5 d l = 56 5 = P sum de ldos = ( d ) + = 5 l = 7,48 km ( 5 ) = ( d 9 = 10 ) + ( m ) = 4 Romo: = p p = 0 = P = 4 km = 0 P 56 = = P ldo p 64 nº ldos p 96 = 1,86 = = = = 1,86 96 = mm mm 665,8 mm = 9 = 5 = 9 = 7 = = = = 5 cm = D d 5 d 5 = 5,8 = 5 = cm 9 km = 9 86 = 5,8 cm 5 = 665,8 Áre 16 del mm = hexágono: 8 + p 56 = 64 + p p = p = 19 = 1,86 mm P = sum de ldos ( d 5 ) + ( 5 ) d ( = 10 9) m 5 = l l = l 56 = l l = l l 56 = l l = 567,48 = l km l = 56 l = 7,48 k = P p 96 1,86 = = 665,8 mm + ( ) = 4 = P 8 = = 4 0 km= 7 = = km = 0 = 0 8 = 5 cm 8 = 5 cm Finlmente: Rectángulo: = P D = d sum 5 de = ldos 5 d = ( ) + ( ) ( 9) + ( ) = 4 = D d 5 d = P = 4 7 km= = 7 5 = = 9 km d = 5 d = 5 Áre de l tuerc = 5 d = 10 m 5 d = 10 Áre del hexágono Áre de l circunferenci interior = = 7 = = 7 7 = = 7 = 665,8 01,06 = 464, mm = 9 km = 9 km Áre de 4 tuercs = 4 464,=1856,88 mm L superficie de l tuerc es de 1856,88 mm. P = sum de ldos = ( P = ) sum + ( de ) = ldos ( 9= ) + ( ( ) + ) = ( 4 ) = ( 9) + P = 4 km P = 4 km Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 9

11 7. [PGS ndlucí] El áre de un triángulo isósceles es 48 m y su se mide 1 m. Otro triángulo semejnte él tiene un ltur de 7 m. Áres y volúmenes de cuerpos elementles 1 = 7 m Los cuerpos geométricos limitdos por polígonos se llmn poliedros. 1 = 1 m Áre y volumen de un prism ) L ltur del primer triángulo mide m. ) L rzón de semejnz es c) L se del segundo triángulo es m. d) El áre del segundo triángulo es... m. Los prisms son poliedros que tienen dos crs (polígonos) igules y prlels llmds ses y ls otrs crs lterles son prlelogrmos (normlmente rectángulos). Ejemplos de prisms ) 1 = = 1 1 = = 8 m 1 = 7 L ltur 1 8 =,75 del primer triángulo mide 8 m. = = = 8 = 7 1 ) omo los triángulos rectángulos interiores 8 tm- uo o hexedro ién = 40,5 serán msemejntes: 1 = 1 1 = = 40, = 1 1 = = 8 m 1 = 546,75 m L rzón de semejnz es = =,75 Prism cudrngulr = = = 8 = c) Ls 1 = rzones de = semejnz 1 1 = deen ,5 coincidir m = 8 m 1 1 = 1 1 tnto en el cociente de ls lturs como = en el de ls ses. sí: = 40,5 7 = 7 48 = 1 1 = = 8 m 1 = 546,75 m 1 8 =,75 = 7 = = 1 8 =,75 Prism pentgonl Prism rectngulr = 8 = 7 1 = = = 8 = = = 40,5 m 48 = 1 1 = = 40,5 7 = = ,5 m 1 = 8 m 1 = 7 = 546,75 m = L se del segundo triángulo = 40,5 7 es 40,5 m. = 546,75 m 1 8 =,75 Prism tringulr = = = 8 = d) = 40,5 m n Áre de un prism: Pr clculr el áre de un = = 40,5 7 prism, summos el áre lterl y el áre de ls = 546,75 m ses. Muchs veces es útil considerr el desrrollo plno de l figur y clculr ls áres de los El áre del segundo triángulo es 546,75 m. polígonos que l formn. 10 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

12 Prism cudrngulr L potem (p) de un pirámide regulr es l ltur de sus crs lterles. se ltur se potem ltur (ltur del triángulo) n Volumen de un prism: Se clcul prtir de l fórmul: Volumen = Áre de l se ltur Áre y volumen de un pirámide n Áre de un pirámide: Pr clculr el áre totl de ls pirámides, tmién se suele usr el desrrollo plno de l figur y se sumn ls áres de cd uno de los polígonos que l formn. Pirámide cudrngulr Ls pirámides son los poliedros en los cules un de ls crs (llmd se) es un polígono y ls otrs crs (llmds crs lterles) son triángulos que tienen un vértice común. Ejemplos de pirámides se Pirámide tringulr Pirámide rectngulr n Volumen de un pirámide: Se clcul prtir de l fórmul: Volumen = Áre de l se ltur Áre y volumen de los cuerpos redondos Pirámide cudrngulr Pirámide pentgonl Llmmos ltur de un pirámide l distnci entre el vértice y l se. n ilindro Áre del cilindro = = Áre de l se + Áre lterl = π r + π r h (Oserv que el áre lterl es un rectángulo cuy se es l longitud de l circunferenci) Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 11

13 r Ejercicios resueltos r h π r r h 1. lcul el áre de lámin metálic que necesitrímos pr construir un recipiente con form de ortoedro de 1,40 m de lrgo, 0,50 m de ncho y 0,40 m de ltur. Hll tmién el volumen del recipiente. Oservemos, en primer lugr, que un ortoedro está compuesto por tres tipos de rectángulos diferentes: n ono Volumen del cilindro = = Áre de l se ltur = π r h Si en un cono considermos un triángulo rectángulo formdo por su ltur y el rdio de l se como ctetos, llmmos genertriz del cono (g) l hipotenus de este triángulo rectángulo. Áre del cono = = Áre de l se + Áre lterl = π r + π r g Genertriz Volumen del cono = r h Áre de l se ltur r Genertriz = π r h 1,40 m 0,40 m 0,50 m ldo frontl se frontl se Áre se = Áre rectángulo = 1,4 0,5 = 0,7 m ldo Áre frontl = Áre rectángulo = 1,4 0,4 = 0,56 m Áre ldo = Áre rectángulo = 0,5 0,4 = 0, m Áre lterl = Áre frontl + Áre ldo = = 0,56 + 0, = 1,1 + 0,4 = 1,5 m Áre totl ortoedro = Áre se + Áre lterl = = 0,7 + 1,5 =,9 m Volumen ortoedro = Áre se ltur = = 0,7 0,40 = 0,8 m Áre totl del ortoedro =,9 m Volumen del ortoedro = 0,8 m Necesitrímos,9 m de lámin metálic. El volumen del recipiente es de 0,8 m. n Esfer Áre de l esfer: = 4 π r Volumen de l esfer: V = 4 π r. Hll el áre y el volumen de un prism hexgonl de ltur h = 10 cm y se un hexágono regulr de cm de ldo y cm de potem. rdio centro h = 10 cm p = cm l = cm 1 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

14 Perímetro del hexágono = ldo nº ldos = = 6 = 18 cm Áre de l se = Áre del hexágono = = Perímetro potem = 18 = 18 cm Áre lterl = Áre rectángulo nº rectángulos = = ( 10) 6 = 180 cm Áre prism = ( Áre se) + Áre lterl = = ( 18) = 16 cm Volumen prism = Áre se ltur = = 180 cm Volumen prism hexgonl = 180 cm Áre prism hexgonl = 16 cm. lcul el áre totl de un pirámide cudrngulr que mide 6 cm de potem y el ldo del cudrdo de l se vle 4 cm. Hll tmién su volumen. plicndo el teorem de Pitágors: 6 = h + 6 = h = h = h Finlmente: h = h = 5,66 cm Áre de l se ltur Volumen pirámide = = 16 5,66 = = 0,19 cm Áre pirámide = 64 cm Volumen pirámide = 0,19 cm 4. [tluñ, 007, serie 1] Queremos construir un recipiente cilíndrico sin tp, de mner que el diámetro de l se mid 0 cm y su ltur 0 cm. lcul: ) L superficie de plnch que necesitremos. ) El volumen del líquido que podrá contener. 6 cm 4 cm h = 0 cm π r Áre de l se = Áre del cudrdo = 4 4 = 16 cm Áre lterl = Áre del triángulo nº triángulos = =( = 48 cm ( Áre totl = Áre de l se + Áre lterl = = = 64 cm Pr hllr el volumen de l pirámide, primero deeremos clculr su ltur. onstruimos un triángulo rectángulo formdo por l mitd de l longitud de su se, l ltur de l pirámide y l potem de l cr: d = 0 cm ) Rdio = Diámetro h Rdio = r = 0 r = 10 cm onsiderndo el desrrollo plno del cilindro (recordemos que no tiene tp): Áre del recipiente = Áre de l se + Áre lterl = = π r + π r h = π 10 + π 10 0 = 199,11 cm Áre recipiente = 199,11 cm p = 6 cm Necesitremos 199,11 cm de plnch. h ) Volumen cilindro: 4 cm cm V = πr h = π ( 10) 0 = 944,748 cm El volumen del líquido que podrá contener es de 944,78 cm. Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 1

15 5. [ndlucí, Junio 01] Tres pelots de tenis se introducen en un tuo cilíndrico de 6,6 cm de diámetro en el que encjn hst el orde. 5. lcul el áre y el volumen de un cono de 5 dm de rdio de se y 10 dm de genertriz. 6,6 cm Vol. prte vcí g = 10 dm h 10 dm ltur = 6,6 r = 5 dm 5 dm d = 0 cm ) lcul el volumen totl de ls tres pelots de tenis. ) uál es el volumen del cilindro que contiene ls pelots? c) uál será el volumen de l prte vcí del ote? ) Rdio = Diámetro Rdio = r = 6,6 r =, cm V Volumen = 4 Rdio πr = de = 4Diámetro un π (, pelot ) = 150,5 Rdio (esfer): cm = r = 6,6 r =, cm V = Volumen pelot = 150,5 = 451,59 cm Rdio V = = Diámetro 4 V = πr h πr = 4 = π (, ) π Rdio (, ( ) = r 150,5 = 6,6 cmr =, cm 6,6) = 677,40 cm V = Volumen pelot = 150,5 = 451,59 cm V = Volumen 4 de ls pelots: V πr = 4 = πr π ( h, = π ) = 150,5 cm (,) ( 6,6) = 677,40 cm V = Volumen pelot = 150,5 = 451,59 cm V = πr h = π (,) ( 6,6) = 677,40 cm Rdio El volumen = Diámetro totl Rdio de ls = tres r = 6,6 pelots r =, cm es de 451,59 cm. V = 4 πr = 4 π (,) = 150,5 cm ) Volumen V = Volumen cilindro: pelot = 150,5 = 451,59 cm V = πr h = π (,) ( 6,6) = 677,40 cm El volumen del cilindro que contiene ls pelots de tenis es de 677,40 cm. En primer lugr, hllemos l ltur del cono utilizndo el teorem de Pitágors: 10 = h = h = h Áre del cono: 75 = h h = 75 h = 8,66 dm πr + πrg = π 5 + π 5 10 = 5,6 dm πr h = π 5 8,66 = 6,7 dm Volumen del cono: πr + πrg = π 5 + π 5 10 = 5,6 dm πr h = π 5 8,66 = 6,7 dm Áre del cono = 5,6 dm Volumen del cono = 6,7 dm Medid de ángulos Un ángulo es l región del plno comprendid entre dos semirrects con origen común. ls semirrects se ls llm ldos y l origen común, vértice. c) Volumen de l prte vcí: Volumen del cilindro Volumen de ls pelots V = 677,40 451,59 = 5,81 cm O α El volumen de l prte vcí es de 5,81 cm. 14 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

16 El ángulo es positivo si se desplz en sentido contrrio l movimiento de ls gujs del reloj y negtivo en cso contrrio. Pr medir ángulos se pueden utilizr grdos sexgesimles o rdines. Recuerd Equivlencis en el sistem sexgesiml lculdor 1º (grdo) = 60 (minutos) 1 (minuto) = 60 (segundos) lo lrgo de est unidd, cundo uses l clculdor, dees segurrte de que estás en modo DEG o D (grdos sexgesimles). En l clculdor, l tecl permite expresr un ángulo de form complej ( º ) en form deciml y vicevers. Ejemplo: 47,68º (form deciml) = = 46º (form complej)! L equivlenci entre ls dos uniddes es l siguiente: 60º = π rdines 180º = π rdines Relciones entre ángulos n Dos ángulos complementrios son quellos cuy sum es 90º. n Dos ángulos suplementrios son quellos cuy sum es 180º. Ejemplo: El ángulo suplementrio de 85º es 95º (y que = 95º). Ejercicios resueltos 1. Expres en grdos sexgesimles los siguientes ángulos: ) π π rd rd 9π 9π ) 5 c) 7 rd Semos que π rdines son 180º, sí que sustituyendo: ) π 180º π rd = 180º rd = = 60º 9π 9 180º = 60º 9π rd = 9 180º = 4º ) 5 rd = 5 = 4º 5 x = = 401,07º = 401º 4' 1'' c) Utilizndo x = π un = 401,07º regl = de 401º tres, 4' tenemos: 1'' π Rdines π 180º Grdos rd = π rd = 60º 180º 9π 9 180º 7 rd rd = x= 4º 5 5 x = = 401,07º = 401º 4' 1'' π. Expres en rdines los siguientes ángulos: ) 45º ) 80º c) El ángulo complementrio 6º Utilizndo regls de tres, tenemos: ) Grdos Rdines 180º π rd 45º x x = 45 π 180 = 1 4 π = π 4 rd ) x = 80 π 180 = 14 9 π = 14π 9 rd Grdos x = 7 π 180 = Rdines 0 π = π 0 rd 180º π rd 80º x = 45 π 180 = 1 4 π = π 4 rd x x = 80 π 180 = 14 9 π = 14π 9 rd x = 7 π Unidd 6. Trigonometrí, 180 = figurs 0 π = π plns 0 rd y cuerpos elementles 15

17 c) El ángulo complementrio de 6º es: Grdos 90º 6º = 7º Rdines 180º x = rd 180 = 1 4 π = π 4 rd 7º x = x 180 = 14 9 π = 14π 9 rd x = 7 π 180 = 0 π = π 0 rd Resolución de triángulos rectángulos Recuerd lsificción de triángulos Los triángulos, según l medid de sus ángulos se clsificn en: n cutángulos, cundo sus tres ángulos miden menos de 90º (gudos). n Rectángulos, cundo tienen un ángulo que mide 90º (recto). n Otusángulos, cundo tienen un ángulo que mide más de 90º (otuso). cutángulo Rectángulo onceptos ásicos Recuerd lsificción de ángulos Tres ángulos gudos Otusángulo Un ángulo recto En función de su medid, los ángulos se clsificn en: n gudos, que miden entre 0º y 90º. Un ángulo otuso n Otusos, que miden entre 90º y 180º. n Rectos, que miden exctmente 90º. n Llnos, que miden exctmente 180º. Notción En un triángulo rectángulo, generlmente, llmmos: n sus vértices,, (myúsculs). n sus ángulos,, (o ien,, ls tres primers letrs del lfeto α, griego ß, γ α, ß, γ ). Ángulo gudo Ángulo otuso n sus ldos,, c (teniendo en cuent que el ldo es el opuesto l vértice, el ldo es el opuesto l vértice y el ldo c es el opuesto l vértice ). Ángulo recto Ángulo llno,, c α, ß, γ,,,, α, ß, γ α, ß, γ 16 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

18 Recuerd Sum de los ángulos de un triángulo Ddo culquier tringulo, l sum de sus tres ángulos es siempre 180º. + + = 180º Ddo un triángulo rectángulo con un ángulo gudo,, se definen tres rzones trigonométrics: α, ß, γ n El seno (revido como sen) es l rzón entre el cteto opuesto sore l hipotenus. n El coseno (revido como cos) es l rzón entre el cteto contiguo sore l hipotenus. Recuerd Teorem de Pitágors Ddo un tringulo rectángulo, se cumple que el cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos: cteto hipotenus cteto n L tngente (revido como tn) es l rzón entre el cteto opuesto sore el cteto contiguo. sen cteto opuesto = = hipotenus c cos cteto contiguo = = hipotenus c tn cteto opuesto = cteto contiguo = hipotenus = cteto + cteto Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un triángulo rectángulo con un ángulo gudo,, : n Llmmos cteto opuesto l ldo opuesto l α, ángulo que se pretende estudir, en nuestro cso ß, γ. n Llmmos cteto contiguo l ldo que está en contcto con el ángulo que se está estudindo y el ángulo recto. En este cso, el cteto contiguo es. n Recordemos que l hipotenus es el ldo de myor longitud (que siempre es el opuesto l ángulo recto). cteto opuesto,, c del ángulo,, hipotenus α, ß, γ α, ß, γ,,,, α, ß, γ α, ß, γ cteto contiguo del ángulo,, α, ß, γ,, α, ß, γ,, α, ß, γ,, α, ß, γ Identiddes trigonométrics fundmentles Dos de ls identiddes más conocids que relcionn ls tres rzones trigonométrics son ls siguientes: ( sen α ) + ( cos α ) = 1 tn α = sen α cos α lculdor Pr hllr un ángulo conociendo sus rzones trigonométrics, usmos ls tecls sen -1, cos -1 y tn -1. Ejemplo: c! α = rcsen 0,4 = sen 1 ( 0,4) α = 19,88º sen α = 0,4 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 17

19 18 Rzones trigonométrics más usules 1 0º = π º = π 45º = π 0º 0º = π º = π 0º 60º = = π 6 4 π 1 45º = π 60º = π 0º = π º = π sen α 0 4 0º = 60º = π π 6 45º = π 90º = π 180º = π 1 0º = π 6 45º = π 4 90º = π 180º = π 70º = π 0º = π 1 cos α º = π 4 60º = π º π 70º = π 1 45º = π 4 60º = π 60º = π 45º = π 1 tn α º = π 90º = π 4 70º π 0º = π º = π6 0º = π 60º = π 90º = π 180º = π 60º = π 45º 60º π 0º 6 90º = π 180º = π 0º = 4 70º 0º = = ππ 6 45º = π 90º = π 180º = π 90º = π 70º = π º 60º = π 45º 4 1 0º 45º = π 45º = π 4 180º = π 70º = π 60º = π 60º = π sen α º = 6π 4 70º = π 90º 60º π 45º π 60º = π 60º = π 70º = π º = π 90º = π cos α 0-1 0º = 4 π º = 60º = π 70º = π 90º = π 60º = π 6 60º 90º = π 90º = π 180º = π tn α º = π º = π 4 180º π 90º 70º = π 180º = π 60º = π 70º π 60º = π 70º = π 70º = π 60º = π Resolución de triángulos 180º = 60º = π Resolver un triángulo 60º = π 90º signific = π 70º = π hllr 60º = todos π sus ángulos y todos sus ldos. 180º = π 60º = π 70º = π Ejercicios resueltos 60º = π Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles lcul los ángulos gudos del siguiente triángulo rectángulo.,, c = 5 cm = 8 cm α, ß, γ,,,, α, ß, γ = 45 cmα, ß, γ = 45 cm = 8 cm c = 5 cm,, Podemos usr culquier rzón α, ß, trigonométric γ de los ángulos, o,,, : = 90º α, α, ß, ß, γγ sen = 45 5 = 0,85 = rcsen 0,85 = sen 1 ( 0,85) = 58,1º + hor, + = como º + = 180º = 180º, tenemos: = 180 = 180 = ,1 = ,1 = 180 = 90 1,79º 58,1 = 90 1,79º = = 58,1º = 1,79º = 58,1º = 90º = 1,79º sí: = 58,1º = 1,79º = 90º = 90º. En un triángulo rectángulo, un ángulo gudo mide º y su cteto contiguo 10 cm. Resuelve el triángulo. c º = 10 cm Ángulos:,, =, º, = 90º (triángulo rectángulo en ) omo α, + ß, α, + γ ß, = 180º γ, entonces: = 180 = ,1 90 = 180 = = 58º = 1,79º 58,1º = 1,79º = 90º Ldos: = 10 cm cos = c cos º = 10 c c = 10 c = 11,8 cm cos º tn = tn º = = 10 tn = 6, cm 10. [tluñ, 009, serie 4] on los dtos de l figur djunt, clcul: ) El ldo ) El ángulo,, c) El ángulo, α,, ß, γ d) El ángulo α, ß, γd 4 m D m,, α, ß, γ,, m α, ß, γ ) Usndo el teorem de Pitágors: = 4 + = = 5 = 5 = 5 m tn = 4 tn = 1, = rctn ( 1,) = 5,4º 4 4

20 ) c) = 4 + = = 5 = 5 = 5 m = 4 + = tn = 4 = 5 = 5 tn = 1, 5 m tn = = rctn 4 ( 1,) = 5,4º tn = 1, = tn rctn = ( 1, 4 ) + tn = 5,4º = 4 5 = 0,8 tn = = rctn 4 ( 0,8) 8,66º + tn = 4 5 = 0,8 = rctn ( 0,8) = 8,66º d) lculemos, en primer lugr, el suplementrio del ángulo,, l que llmremos α. α = 180 α, ß, 5,4 γ = 17,57º onsiderndo hor el triángulo formdo por los vértices, D y el vértice del suplementrio de,, (α ), tenemos: α, ß, γ D = 180 α D = 180 8,66 17,57 D = 1,77º 4. lcul el áre de un prcel tringulr, siendo que dos de sus ldos miden 80 m y 10 m, y formn entre ellos un ángulo de 65º. 10 m h 65º 80 m onsiderndo el triángulo rectángulo que prece somredo en l figur nterior: = 4 m c 0º ) qué distnci del poste sujetremos el cle? ) uál es l longitud del cle? ) L rzón trigonométric que relcion el cteto opuesto y el cteto contiguo es l tngente. sí: tn = tn 0º = 4 = 4 tn 0º = 6,9 m sen = c sen 0º = 4 c c = 4 Sujetremos el cle 6,9 m del sen 0º poste. c = 8 m ) L rzón trigonométric que relcion el cteto opuesto y l hipotenus es el seno. sí: tn = tn 0º = 4 = 4 tn 0º = 6,9 m sen = c sen 0º = 4 c c = 4 sen 0º c = 8 m L longitud del cle es de 8 m. 6. [Mdrid, Myo 01] Pr cceder l prte superior de un vll, se coloc un escler poyd en el orde de l mism y que form con el suelo un ángulo α cuyo seno vle 0,8. L se de l escler qued un distnci horizontl de 6 m respecto l vll. sen = h h sen 65º = = 80 sen 65º h = 7,5 m sen 80 = h h sen 65º 80 = h = 80 sen 65º h = 7,5 m 80 Áre triángulo = = 10 7,5 80 = 471,5 m Áre triángulo = = 10 7,5 = 471,5 m c = 6 m α El áre de l prcel tringulr es de 471,5 m. 5. [omunidd Vlencin, Junio 01] Queremos fijr un poste de 4 m de ltur con un cle que v desde el extremo superior del poste l suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste jo un ángulo de 0º. ) lcul el coseno y l tngente del ángulo α. ) lcul l ltur de l vll y l longitud de l escler utilizd. ) Utilizndo ls identiddes trigonométrics fundmentles: sen α = 0,8 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 19

21 ( sen α ) + ( cos α ) = 1 ( 0,8) + ( cos α ) = 1 0,64 + ( cos α ) = 1 ( cos α ) = 1 0,64 cos α = 0,6 cos α = 0,6 tn α = sin α 0,8 tn α = tn α = 1, cos α 0,6 (Tmién es posile resolver este prtdo uscndo primero el ángulo α con l tecl sen -1 de l clculdor y hllndo el seno y l tngente del ángulo directmente). 8. [tluñ, 009, serie ] Queremos clculr l ltur de un edificio que está un ciert distnci de donde nos encontrmos nosotros. Desde donde estmos, oservmos el punto más lto con un ángulo de 5º. Si nos cercmos 00 metros l edificio, entonces el ángulo es de 47º. ) Hz un esquem del prolem ) lcul l ltur del edificio. ) Hllemos, en primer lugr, el ángulo α: sen α = 0,8 α = rcsen 0,8 = 5,1º ) (En nuestro diujo le llmremos,, ) L rzón trigonométric que relcion α, ß, γ el cteto contiguo y el cteto opuesto es l tngente. sí: tn = tn 5,1º= = 6 tn 5,1º = 8 m 6 cos = c cos 5,1º = 6 c c = 6 L ltur de l vll es cos de 5,1º 8 m. c = 10 m L rzón trigonométric que relcion el cteto tn contiguo = tn y l 5,1º= hipotenus = 6 es 6el tn coseno. 5,1º sí: = 8 m y 47º x 5º 00 m x + 00 m cos = c cos 5,1º = 6 c c = 6 cos 5,1º c = 10 m L longitud de l escler utilizd es de 10 m. y y 7. [PGS ndlucí] Un grn ventnl tiene form de triángulo isósceles con el ldo desigul en su se (como prece en l figur siguiente). L longitud del menciondo ldo desigul es de 6 metros y el ángulo que form l se del triángulo con los ldos igules es de 0º. lcul el áre del ventnl. 0º 0º 6 m m omo se trt de un triángulo isósceles, l ltur se poy justo en el punto medio de l se. sí, divide el triángulo en dos triángulos rectángulos. onsiderndo el primero de ellos, tenemos: tn 0 = h h = tn 0º h = 1,7 m Áre triángulo = = 6 1,7 = 5,19 m El áre del ventnl es de 5,19 m. h x 47º x + 00 m 5º ) Fijándonos en el esquem nterior y considerndo cd uno de los triángulos rectángulos que precen (el de se 00 + x y el de se x ), otenemos el siguiente sistem de ecuciones: y tn 5 = 00 + x y = ( 00 + x) tn 5 tn 40 = y y = ( y 00 = + ( 00 x) + tn x 5 ) 0,7 y = ,7x x y = ( 00 tn 47 = y + x) 0,7 y = ,7x 0,7x ,7x tn 47 = 1,07 = x x x tn 47 = y ,7x ,7x tn 47 = 1,07 = x 1,07x = ,7x x 1,07x 0,7x = 140 x 0,7x = 140 1,07x = ,7x 1,07x x = 140 0,7x 0,7 = 140 x = 78,8 0,7x m = 140 x = 140 y = ,7 0,7x x y = = 78, ,7 m 78,8 y = 404,87 m y = ,7x y = ,7 78,8 y = 404,87 m L ltur del edificio es de 404,87 m. 0 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

22 9. Un nten está sujet l suelo por dos cles de cero, como indic l figur. lcul l ltur de l nten y l longitud de los dos cles: Resolución de triángulos no rectángulos x 1 h 60º x 16 m 16 x 45º 1 h h 60º 16 x 45º 1 = x + h 1 = 46, ,85 1 = 19, ,0 1 = 8505,84 1 = 8505,84 1 = 9, m = ( 16 [ x] ) + h = 79, ,85 = 676, ,0 = 1 75,04 = 1 75,04 = 11,9 m L ltur de l nten es de 79,85 m y los cles miden 9, m y 11,9 m. Teorems de los senos y los cosenos Los siguientes teorems que vmos ver pueden plicrse en culquier tipo de triángulo, incluso pr los triángulos rectángulos. unque, en este último cso, es mucho más recomendle usr ls fórmuls de ls rzones trigonométrics vists en el prtdo nterior. Ddo un triángulo culquier se cumple que: n Teorem de los cosenos: = + c c cos = + c c cos c = + cos Pr hllr l ltur de l nten, considermos los dos triángulos rectángulos que determin l nten con cd uno de los cles y resolvemos el siguiente sistem de ecuciones:,, c α, ß, γ h,, tn 45 =,, 16 x h = ( 16 x) tn 45 h = ( 16 x) 1 α, ß, γ = ( 16 x) tn 45 ( 16 x) 1 tn 60 = h α, ß, γ h = 16 x x = 16 x tn tn 60 = h 60 = h 16 x tn 60 = x 16 x x tn 60 = 1,7 = 16 1,7 x = 16 x n Teorem de los senos: x 1,7x x = 16 x x1,7x + x = 16 x,7x = 16 sen = sen = c sen 1,7x = 16 x 1,7x + x = 16,7x = 16 x = 16 x = 16,7 x,7 x = 46,15 m h = 16 x h = = 46,15 16 m El Teorem de los senos y los ángulos myores 90º 46,15 h = 79,85 m Es recomendle no usr el teorem de los senos h = 16 x h = 16 46,15 h = 79,85 m cundo el ángulo que uscmos es myor 90º. Esto es deido que, l uscr el ángulo con l clculdor, est nos drá siempre el ángulo menor que hor, pr hllr l longitud de los cles, trjmos con los dos triángulos rectángulos por teng dicho vlor del seno y que, en lgunos csos, no coincidirá con el ángulo que relmente estmos seprdo y plicmos el teorem de Pitágors uscndo. cd uno de ellos. Ejercicios resueltos 1. Hll l longitud del ldo. c = 1 m = 10 m plicndo el teorem de los cosenos: Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 1

23 = + c c cos = cos 45 = ,7 = 74, = 74, = 8,6 m. Hll l longitud de los ldos y. c = m 40º 80º lculemos, en primer lugr, el ángulo, :,, = 180º, 80º 40º, = 60º, α, ß, γ α, ß, γ plicndo el teorem de los senos: sen = c sen sen 40 = sen 80 0,64 = 0,98 = 0,64 0,98 = 1,96 m sen = c sen sen 60 = sen 80 = 0,87 0,98 =,67 m α, ß, γ 0,87 = 0,98. Hll el vlor de los ángulos del siguiente triángulo: = 14 m = 5 m c = 18 m plicndo el teorem de los cosenos: = + c c cos 14 = cos 196 = cos = 900cos 75 = 900cos cos = cos = 0,84 = rccos ( 0,84) =,86º plicndo el teorem de los cosenos nuevmente: = + c c cos 5 = c c 14 cos 18 cos 565 = 14 = cos cos 65 65= = cos cos = 504 cos 4 cos = 504 = cos cos = 0,1 105 = 504 cos cos = 105 = rccos ( 0,1 504 ) cos = 0,1 = 10,1º = 180 Finlmente: = rccos = ( 180 0,1,86 ) 10,1 = 10,1º = 45,0º = 180 = 180,86 10,1 = 45,0º 4. Resuelve el triángulo siguiente: = 6 cm = 45º c = 9 cm plicmos el teorem de los cosenos pr hllr el ldo c: c = + cos c = cos 45 c = 40,6 c = 40,6 c = 6,7 cm hor, plicmos el teorem de los senos pr hllr uno de los ángulos. sen = c sen 6 sen = 6,7 sen 45 6 sen = 6,7 0,71 6 0,71 = 6,7 sen sen = 6 0,71 6,7 sen = 0,67 = rccos ( 0,67) = 47,9º Finlmente: = 180 = ,9 45 = 87,07º 5. [tluñ, 010, serie 1] El rco V está mrrdo l puerto con dos cuerds sujets en los puntos y, seprdos 0 metros entre ellos. Ls cuerds formn un ángulo de 50º y otro de 5º, respectivmente, con l pred del puerto. 50º V PUERTO 5º Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

24 ) lcul el ángulo que formn ls dos cuerds entre ells. ) lcul l sum de l longitud de ls dos cuerds. ) = 180 = = 95º Ls dos cuerds formn un ángulo de 95º. ) 50º c = 0 m 5º Ejercicios resueltos 1. Si dos puelos y están seprdos 50 km, qué distnci se encuentrn en un mp escl 1: ? Mp Primero, psmos los km cm: 50 km = cm Relidd 1 cm cm x cm cm x = = 6,5 cm pliquemos el teorem de los senos: sen = c sen sen = c sen sen 5 = 0 sen 95 = 0 0,57 = 11,4 m 1 sen 50 = 0 sen 95 = 0 0,77 = 15,4 m 1 0,57 = 0 1 0,77 = 0 1 Sum de ls cuerds: + = 15,4 + 11,4 = 6,8 m L sum de l longitud de ls cuerds es de 6,8 m. Escls Se encuentrn un distnci de 6,5 cm en el mp.. L distnci entre dos puntos mrcdos sore un plno cuy escl es 1: es de 10 cm. Qué distnci les sepr en l relidd? Plno Relidd 1 cm cm 10 cm x cm x = = cm Psndo el resultdo km: cm = km Les sepr un distnci de km. L escl es l relción numéric que existe entre ls dimensiones reles de un ojeto y ls de su representción sore un plno o un mp. L notción que se us hitulmente pr expresr ls escls es :, donde: n indic el vlor en el plno n equivle l vlor rel Los vlores y siempre están expresdos en l mism unidd, normlmente en cm. Ejemplo: Un plno escl 1: 00 signific que 1 cm en el plno equivle 00 cm ( m) en l relidd.. qué escl está representdo un plno si 6,4 cm equivlen m en l relidd? Plno Primero, psmos los m cm: m = 00 cm Relidd 6,4 cm 00 cm 1 cm x cm x = 00 6,4 = 500 cm L escl del plno es 1: 500 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles

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26 ctividdes 1. lcul el perímetro de l figur siguiente: 4. lcul el áre de l siguiente figur: 10 cm 0 cm 5 cm cm cm 0 cm 5 cm 11 cm. lcul el áre de un triángulo equilátero de 1 cm de ldo. 8 cm 10 cm. lcul el áre de l región somred: 5. lcul l ltur de un triángulo isósceles de cm de perímetro si el ldo desigul mide 1 cm. ) Ldo cudrdo = 8 cm 6. El áre de un romo es 40 cm. lcul l longitud de l dos digonles si semos que un mide el dole que l otr. ) Ldo pentágono = 5 cm potem pentágono = cm Rdio circunferenci = cm 7. Queremos envolver un cj cúic de 0 cm de rist, qué cntidd de ppel de reglo necesitremos? 8. Siendo que l pirámide de Keops es un pirámide de se cudrd y de ltur 146,6 m y que el ldo de l se mide 0 m, clcul su áre totl y su volumen. Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 5 5

27 9. lcul el áre y el volumen de un prism pentgonl de 1 cm de ltur cuy se mide 4 cm de ldo y cm de potem. 16. [tluñ, 008, serie ] on los dtos de l figur djunt, clcul: m 10. lcul el volumen del siguiente sólido compuesto: 10 m 5º c cm 6 m 5 cm ) El ldo ) El ángulo c) El ldo d) El ldo c 4 cm cm 17. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos: ) 11. lcul el áre y el volumen de un gloo terráqueo de 15 cm de diámetro. 1. lcul el áre y el volumen de un tuo de pegmento cilíndrico que mide 9 cm de ltur y 1 cm de rdio. ) c = 7 m 50,91º = 7,81 cm 1. lcul el áre de un cono que tiene 1 cm de genertriz, un ltur de 14 cm y un volumen de 14 cm. c) c Expres en rdines los siguientes ángulos: ) 0º d) 10º ) 45º e) 5º π π π c) omplementrio de 0º f) 07º 15π 15π 4 15π π 15. Expres en grdos los siguientes ángulos: π π ) π 8π π d) 8π π 8π 15π π π π ) 15π e) π π 4 5π π 5π c) π f) 5π 8π 8π 8π 7 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles π 4 5π 5π 5π 50º c = 6,55 dm 18. [Mdrid, Junio 009] poymos un escler de 1 m en un pred pr cceder un ventn. Desde el pie de l escler l pie del edificio, hy un ostáculo y no podemos medir directmente l distnci entre mos pies. L escler form un ángulo con el suelo de 60º. lcul ls longitudes siguientes: ) Distnci del pie de l escler l pred. ) ltur l que se poy l escler en l pred

28 19. [Mdrid, Myo 011] Desde el extremo superior de un poste verticl, hy tendido un cle hst el suelo. El cle sigue un líne rect y el punto del suelo en el que está fijdo se sitú 5 m del pie del poste. El cle form con el suelo un ángulo α cuyo seno es igul 1/1. ) lcul cos α. ) Determin l ltur del poste y l longitud del cle. 0. [PGS ndlucí] Un crpintero quiere construir un escler de tijers cuyos rzos, un vez iertos, formen un ángulo de 60º. Responde ls cuestiones siguientes siendo que l ltur de l escler iert es de metros. nido con un ángulo de elevción de 16º 5. Si l distnci entre los dos ornitólogos es de 7 m, qué ltur se encuentr el nido? 16º 5' 5º 18' 7 m. Hll l longitud de los ldos y. 60º 75º 45º c = 678 m 60º 4. Resuelve los siguientes triángulos: m ) c = 5 m 60º = 10 m ) Qué longitud deerí tener cd rzo? ) ) Qué distnci quedrá entre los dos pies de l escler cundo los rzos estén totlmente iertos? = 5 m = 10 m c = 7 m 1. [tluñ, 008, serie 1] Desde l orill de un río, oservmos el punto más lto de un árol situdo en l orill opuest jo un ángulo de 4º 10. Si cminmos 6 metros hci trás, oservmos el mismo punto jo un ángulo de º 40. ) Hz un esquem del prolem. ) lcul l nchur del río. c) lcul l ltur del árol.. Un ornitólogo situdo l derech de un grn árol, ve el nido de un pájro con un ángulo de elevción de 5º 18. Su compñero, situdo l izquierd del árol, ve el mismo 5. Ls gujs de un reloj de pred miden 10 y 1 centímetros, respectivmente. ) uál es l distnci que hy entre sus extremos cundo el reloj mrc ls cutro? ) uál es l superficie del triángulo que determinn es hor? 6. Un rco mercnte emite dos señles de uxilio en diferentes direcciones y formndo un ángulo de 48º. Un l recie un petrolero situdo 10 km y l otr, un rc de pesc km. Qué distnci sepr l rc del petrolero? Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles 7

29 7. Un gloo erostático está sujeto l suelo medinte dos cles de cero en dos puntos seprdos 60 m. El cle más corto mide 80 m y el ángulo que form el otro cle con el suelo es de 7º. lcul: 0. Un puente tiene un longitud de 00 m. uánto medirá en un plno escl 1: 1500? 1. Si en un mp escl 1: l distnci entre dos puntos es 15 cm, qué distnci se encuentrn en l relidd? 7º 60 m ) L longitud del otro cle. 80 m ) L distnci del gloo l suelo. 8. Los dos ldos consecutivos de un prlelogrmo miden 18 m y 5 m, y el ángulo myor es de 1º. lcul: ) El vlor del ángulo menor del prlelogrmo. ) Su áre. c) Ls longitudes de sus digonles. 9. uántos kilómetros son 1 centímetros escl 1: 0 000?. [ndlucí, Septiemre 01] Los constructores y urnists diseñn su or en dimensiones reducids como pso previo su construcción. Pr ello, utilizn mquets y plnos, que vienen compñdos por un escl. Un empres de este sector tiene entre mnos dos proyectos, del primero solo tiene el solr y del segundo y tiene l mquetción. ) En el primer proyecto, qué longitud represent un distnci rel de 5 km en un plno cuy escl es 1: 0 000? ) El segundo proyecto son uns viviends con form de ortoedro (cj de zptos). Sus dimensiones son de 15 m de lrgo, 70 m de ncho y 4 m de lto. L mquet que se h hecho h sido con un escl de 1:100. lcul el volumen de l mquet que está relizndo l empres. 8 Unidd 6. Trigonometrí, figurs plns y cuerpos elementles