TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

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1 TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO CUALQUIERA Ddo un ángulo gudo ulquier, se puede onstruir sore él un triángulo retángulo ABC, omo se indi en l figur B C hipotenus: teto: teto: A A prtir de l figur nterior, se estleen ls siguientes definiiones: Definiión El oiente entre l longitud del teto opuesto l ángulo y l longitud de l hipotenus se denomin seno del ángulo ( ) longitud del teto opuesto seno de longitud de l hipotenus Definiión El oiente entre l longitud del teto ontiguo l ángulo y l longitud de l hipotenus se denomin oseno del ángulo ( ) longitud del teto ontiguo os de longitud de l hipotenus Definiión El oiente entre ls longitudes del teto opuesto y del teto ontiguo l ángulo reie el nomre de tngente del ángulo ( tg ) longitud del teto opuesto tngente de longitud del teto ontiguo Definiión L rzón invers del seno de se llm osente de (ose ); l invers de oseno de, sente de (se ), y l invers de l tngente de,otngente de (otg ) B) RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES: Ddo un ángulo ulquier siempre se umple que: sen + os 1 (Teorem de Pitágors) tg 1+ tg se ot g 1+ ot g os e C) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SINGULARES : Rzones 0º 6 π rd 45º 4 π rd 60º π rd tg 1 1 1

2 otg 1 se ose D) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: d.1.- Se onoe l hipotenus y un teto Dtos;, Inógnits:, B, C. Cálulo de : Cálulo de B: sen B Cálulo de C: os C, o tmién: C 90º B d..- Se onoen los dos tetos Dtos:, Inógnits:, B, C Cálulo de : + Cálulo de B: tg B Cálulo de C: tg C ; o tmién: C 90º B d..- Se onoe l hipotenus y un ángulo gudo Dtos:, B Inógnits:,, C Cálulo de : sen B. sen B Cálulo de : os B.os B Cálulo de C: C 90º B d.4.- Se onoe un teto y un ángulo gudo Dtos:, B Inógnits:,, C Cálulo de : sen B sen B Cálulo de : tg B.otg B tg B o Cálulo de C: C 90º B Ejemplo: Ddo un triángulo retángulo en el que B π y l hipotenus 10 m, lulr los 6 otros elementos del triángulo. Soluión: Estrímos en el so d. C π π π rd 6 1 sen B 10. sen π m 6 π.os B 10.os , 66 6

3 E) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA: CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA, ÁNGULOS NEGATIVOS Pr simplifir los álulos, se tom un irunfereni de rdio unidd que se denomin irunfereni goniométri. Al punto P le signmos un ángulo : P ngulo (x,y) (,) Est form de signión es totlmente onordnte on ls definiiones dds pr ls rzones de un ángulo gudo. En efeto, ddo que el rdio es, r, es 1, result: y y r x x r Rzones trigonométris de ángulos omplementrios: Dos ángulos son π omplementrios undo sumn 90º o rd.en este so se umplen ls siguientes reliones sen π π os tg π ot g os e π se π se os e otg π t g Rzones trigonométris de ángulos que difieren en π : sen + os + s en tg + o t g ose + se se + os e otg + t g

4 Rzones trigonométris de ángulos suplementrios: Dos ángulos son omplementrios undo sumn 180º o π rd.en este so se umplen ls siguientes reliones ( ) s sen π en os π ( ) t tg π g ose π ose se π s e ( ) t otg π o g Rzones trigonométris de ángulos que difieren en 180º o π rd : sen( π + ) os( π + ) tg( π + ) tg os e( π + ) os e se π + se ot g π + ot g Rzones trigonométris de ángulos que sumn un ángulo ompleto (60º) o que son ángulos opuestos: sen( π ) sen (- ) sen os( π ) os (- ) tg( π ) tg (- ) tg os e( π ) os e( ) os e se π se(- ) se ot g π ot g(- ) ot g

5 +...os A F) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA (OBLICUÁNGULOS) Teorem del seno.- En un tringulo ulquier ABC, siempre se umple que ls longitudes de los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos: sen A sen B A En efeto, si trzmos l ltur C orrespondiente l ldo y tenemos que: h sen. B senb. sena. h h sen. A Dividiendo por (.), nos qued que: B sen A sen B Hiendo lo mismo on ls otrs lturs se tiene el teorem Ejemplo: Los ldos y de un triángulo vlen 5 m y 7 m, respetivmente, y su ángulo B, 0º. Clulr el ángulo C. Soluión: No se puede presuponer que el triángulo se retángulo. Pr resolver el prolem, se pli el teorem del seno: 7 5 sen B sen(0º ) De donde result que 0,6 y, por lo tnto, C 1,1º Podrí ser C 158,9º, pero entones B + C 0º + 158,9º > 180º, lo ul no es posile Teorem del oseno.- En un tringulo ulquier ABC, siempre se umple que: el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos menos el dole produto de un ldo por el otro por el oseno del ángulo que formn: +...os A Demostrión: h Si llmmos x e y los segmentos en los que h divide l ldo, se tiene que sena y x os A. Por otro ldo, y plindo Pitágors: h + y sen A+ ( x) os A+. x. + x, de donde se dedue el enunido. Ejemplo: Los ldos un triángulo miden m y 5 m, respetivmente, y formn un ángulo de 40º. Clulr el otro ldo. Soluión: Aplindo el teorem del oseno, se tiene: + os A os 40º, m En l resoluión de triángulos oliuángulos se distinguen utro sos: f.1.- Se onoen un ldo y dos ángulos Dtos:, A y B Inógnits:, y C Cálulo de C: C 180 ( A+ B)

6 sen A sen B. sen B Cálulo de : Por el teorem de los senos; sen A sen A. Cálulo de : Por el teorem de los senos; sen A f..- Se onoen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos Dtos:,, B Inógnits:, A, C sen A sen B. sen B Cálulo de A: Por el teorem de los senos; sen A Cálulo de C: C 180 ( A+B) sen B. Cálulo de : Por el teorem de los senos; sen B f..- Se onoen dos ldos y el ángulo omprendido entre ellos Dtos:, y C Inógnits:, A y B Cálulo de : Por el teorem del oseno; +. os C sen A. Cálulo de A: Por el teorem de los senos; sen A sen B. Cálulo de B: Por el teorem de los senos; sen B f.4.- Se onoen los tres ldos: Dtos:, y Inógnits: A, B y C Cálulo de A: Por el teorem del oseno; + +. os A os A. Cálulo de B: Por el teorem del oseno; + +. os B os B. Cálulo de C: Por el teorem del oseno; + +. os C osc. Ejemplo.- En un triángulo se se l medid de los tres ldos, que miden 5 m, 4 m y 7 m respetivmente. Clulr el vlor de los tres ángulos. Soluión: Como no nos dien nd, tenemos que suponer que es un triángulo no retángulo, por lo tnto estrímos en el so f.4). Aplindo ls fórmuls orrespondientes tenemos: + +. os A os A os A A 44, 4º os os os B B 4, 04º B B + +. os os osc C 101, 5º C C G) OTRAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS sen( A ± B) sena. os B ± os A. senb os( A ± B) os A. os B sena. senb tga ± tgb tg( A ± B) 1 tga. tgb De ests reliones se deduen ls del ángulo dole y ls del ángulo mitd. Así: sen( A) sena. os A os A os A sen A

7 tg( A) tga 1 tg A A A A 1 osa sen + os 1 sen A A A A 1+ osa os sen os os Ejemplo: Siendo que el os 80º 0,176, lulr el seno, el oseno y l tngente de un ángulo de 40º. Soluión: Como el ángulo de 40º es l mitd de el de 80º, plindo ls fórmuls nteriores tenemos que: A 1 os( A) 1 os(80º ) 1 0,176 sen sen(40º) 0,648 A 1+ os( A) 1+ os(80º ) 1+ 0,176 os os(40º ) 0, 7660 sen(40º ) 0, 648 tg (40º) 0,89 os(40º ) 0, 766