DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL.

Transcripción

1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. E estadística, la distribució biomial es ua distribució de probabilidad discreta que mide el úmero de éxitos e ua secuecia de esayos idepedietes de Beroulli co ua probabilidad fija p de ocurrecia del éxito etre los esayos. U experimeto de Beroulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo so posibles dos resultados. A uo de éstos se deomia éxito y tiee ua probabilidad de ocurrecia p y al otro, fracaso, co ua probabilidad q = 1 - p. E la distribució biomial el experimeto se repite veces, de forma idepediete, y se trata de calcular la probabilidad de u determiado úmero de éxitos. Para = 1, la biomial se covierte, de hecho, e ua distribució de Beroulli. Características de la distribució biomial: E cada prueba del experimeto sólo so posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su cotrario B (fracaso). El resultado obteido e cada prueba es idepediete de los resultados obteidos ateriormete. La probabilidad de éxito p y la probabilidad de fracaso q so costates. El experimeto costa de u úmero de pruebas. Todo experimeto que tega estas características diremos que sigue el modelo de la distribució biomial. A la variable x que expresa el úmero de éxitos obteidos e cada prueba del experimeto, la llamaremos variable aleatoria biomial. La probabilidad e ua distribució de probabilidad biomial se puede obteer co el siguiete modelo matemático. Dode: P(x = ) = C p q Media Variaza µ = p = pq Desviació estádar. x es la variable aleatoria. es el úmero de éxitos. es el úmero de esayos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso q=1-p = pq

2 Ejemplos resueltos. Ejemplo Cuál es la probabilidad de obteer seis águilas al lazar ua moeda diez veces? x= es que salga águila e la moeda. es el úmero de éxitos = es el úmero de esayos= 10 p es la probabilidad de éxito= 0.5 P(x = ) = C p q P(x = ) = C 10 (0.5) (0.5) 10 P (x = ) = (10)(0.015)(0.05) = q es la probabilidad de fracaso q=1-0.5=0.5 Ejemplo. Hallar la probabilidad de que e cico lazamietos de u dado el úmero tres aparezca cuatro veces. x= es que aparezca el úmero 3. es el úmero de éxitos = 4 es el úmero de esayos= 5 1 p es la probabilidad de éxito= = 0. 1 P(x = ) = C p q P(x = 4) = C 5 (0.1) 4 (0.84) P (x = 4) = (5)(0.0005)(0.84) = 0.07 q es la probabilidad de fracaso q= 1-0.1=0.84 Ejemplo 3. El 0% de los focos producidos por ua máquia so defectuosos, determiar la probabilidad de que al elegir cuatro focos al azar dos de ellos esté defectuosos. x= Número de focos defectuosos. es el úmero de éxitos = es el úmero de esayos= 4 p es la probabilidad de éxito= 0% = 0. P(x = ) = C p q P(x = ) = C 4 (0.) (0.8) 4 P (x = 4) = ()(0.04)(0.4) = q es la probabilidad de fracaso q= 1-0.=0.8

3 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON. La distribució de Poisso, se aplica a varios feómeos discretos de la aturaleza (esto es, aquellos feómeos que ocurre 0, 1,, 3... veces durate u periodo defiido de tiempo o e u área determiada) cuado la probabilidad de ocurrecia del feómeo es costate e el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos evetos que puede ser modelados por la distribució de Poisso icluye: El úmero de autos que pasa a través de u cierto puto e ua ruta durate u período defiido de tiempo. El úmero de errores de ortografía que uo comete al escribir ua págia. El úmero de llamadas telefóicas e ua cetral telefóica por miuto. El úmero de aimales muertos ecotrados por uidad de logitud de ruta. El úmero de estrellas e u determiado volume de espacio. Características de los procesos que produce ua distribució de probabilidad de Poisso. El promedio (la media) del úmero de evetos que se produce por hora, puede estimarse a partir de datos que se tega dispoibles. Si dividimos la hora pico e periodos (itervalos) de u segudo cada uo, ecotraremos que las siguietes afirmacioes so verdaderas: La probabilidad de que exactamete u eveto ocurra por segudo es muy pequeña y es costate para cada itervalo de u segudo. La probabilidad de que dos o más evetos ocurra e u itervalo de u segudo es ta pequeña que le podemos asigar u valor cero. El úmero de evetos que ocurre e u itervalo de u segudo es idepediete del tiempo e que dicho itervalo se presete e la hora pico. El úmero de evetos e u itervalo de u segudo o depede del úmero de ocurrecias e cualquier otro itervalo de u segudo. La distribució de Poisso se puede determiar por medio de la siguiete fórmula. e λt ( λt) x P(x) = x! Pero como λ t = media µ µ = λt ó µ = p De tal maera que: µ e ( µ ) x P(x) = x! Media µ = µ Variaza = µ Dode: x es el úmero de ocurrecias. e es la base de los logaritmos (.718) λ es la razó media por uidad. t es el úmero de uidades. es el tamaño de la muestra. p es la probabilidad del eveto. Desviació estádar = µ La distribució de Poisso como ua aproximació a la distribució biomial.

4 La distribució de Poisso puede teer ua aproximació a la distribució biomial, pero sólo bajo ciertas codicioes. Tales codicioes se preseta cuado es grade y p es pequeña, esto es, cuado el úmero de esayos es grade y la probabilidad biomial de teer éxito es pequeña. La regla que utiliza co más frecuecia los estadísticos es que la distribució de Poisso es ua buea aproximació de la distribució biomial cuado es igual o mayor que 0 y p es igual o meor que 5%( 0,05). E los casos e que se cumple estas codicioes, podemos sustituir la media µ = p Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. Mediate u proceso mecáico se produce alfombras de buea calidad que preseta u promedio de defectos por m. Determiar la probabilidad de que e 1 m exista sólo u defecto. x es el úmero de icidecias= 1 defecto. Media µ = µ e ( µ ) x P( x) = x! =1 = 1! = = Ejemplo. Al puerto de Acapulco arriba a ua razó media ( λ) de bar cos hora, si se observa este proceso durate u periodo t= 1/ hora ecuetre la probabilidad de que arribe 3 barcos e la siguiete media hora. λ = bar cos hora Sustituimos datos. 1 t= hora 1 µ = λt = ( )( ) = 1 µ e ( µ ) x P(x) = x! e 1 (1) 3 P(x = 3bar cos) = 3! (0.378)(1) P (x = 3bar cos) = = 0.013

5 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL. Esta distribució es frecuetemete utilizada e las aplicacioes estadísticas. Su propio ombre idica su extedida utilizació, justificada por la frecuecia o ormalidad co la que ciertos feómeos tiede a parecerse e su comportamieto a este tipo de distribució. La importacia de la distribució ormal se debe pricipalmete a que hay muchas variables asociadas a feómeos aturales que sigue el modelo de la ormal. Caracteres morfológicos de idividuos, aimales o platas de ua especie. por ejemplo: Tallas, pesos, evergaduras, diámetros, perímetros, etre otras. Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de ua misma dosis de u fármaco, o de ua misma catidad de aboo. Caracteres sociológicos, por ejemplo: cosumo de cierto producto por u mismo grupo de idividuos, putuacioes de u exame. Caracteres psicológicos, por ejemplo; coeficiete itelectual, grado de adaptació a u medio. La gráfica de ua distribució ormal se asemeja mucho a la forma de ua campaa. Por ello es posible aproximarla a ua distribució matemática coocida co el ombre de distribució de Gauss. Ua característica muy importate es que ua distribució ormal es posible especificarla de maera amplia por medio de parámetros; la media y la desviació estádar. Otra cosa importate es que la probabilidad de que ua variable aleatoria tega u valor etre dos putos cualesquiera es igual al área bajo la curva ormal etre esos dos putos. Propiedades importates de la curva ormal. a) Tiee forma de campaa. b) Es simétrica co respecto a la media. c) Se extiede de hasta. d) El área bajo la curva ormal es igual a 100% ó a 1. e) Cada distribució ormal está completamete especificada por su media y su desviació estádar, dada por:

6 Dode: x Es algú valor de la variable e estudio. µ Es la media de la distribució ormal. Es la desviació estádar. Z Es el úmero de desviacioes estádar a partir de la media Valores de Z Pasos para resolver este tipo de problemas. 1. Tipificar el valor de la variable x e estudio a u valor de Z.. Si existe valores de x a aalizar, ecotrar el valor de Z 1 y Z. 3. Hallar el área bajo la curva utilizado la tabla que está e el aexo 1. Nota: Si os pide que el valor de x sea mayor a algú valor, etoces el área bajo la curva es hacia la derecha del valor de z. Si os pide que el valor de x sea meor a algú valor, etoces el área bajo la curva es hacia la izquierda del l valor de z. Si os pide que el valor de x este etre dos valores, etoces el área bajo la curva es la que esté compredida etre Z 1 y Z.

7 Ejemplos resueltos. Ejemplo 1. La media de los pesos de u grupo de estudiates de bachillerato se distribuye e forma ormal co ua media µ = 5 Kg y ua desviació estádar de 5 Kg. Hallar la probabilidad de que al seleccioar a u estudiate al azar su peso sea mayor a 70Kg. x =peso sea mayor a 70Kg. µ = 5Kg = 5Kg Z = = = 1 P(x>70Kg)=? 5 5 El área buscada es la zoa sombreada, e la que de acuerdo a la tabla del aexo 1 el área de z=o a z=1 es igual a , por lo que el área sombreada es igual a = Etoces la probabilidad P(x>70Kg)= Ejemplo. E ua ciudad se estima que la temperatura máxima e el mes de juio (30 días) tiee ua distribució ormal, co media 3 y desviació est ádar de 5. Calcular el úmero de días del mes e los que se espera alcazar ua temperatura máximas etre 1 y 7. x =temperatura alcazada. P(1 C < x < 7 C)=? µ = 3 C = 5 C Z = = 5 = Área de z=0 a z=-0.4 es Área de z=0 a z=0.8 es Área buscada= = Z = = = P(1 C < x <7 C)= x 30 días = 13 dias.

8 Ejemplo 3. Se supoe que los resultados de u exame sigue ua distribució ormal co media µ 78 y variaza =3. Cuál es la probabilidad de que ua persoa que se preseta el exame obtega ua calificació superior a 7? x =Resultado del exame. P(x>7putos) µ = 78putos = 3putos = 3 = 7 78 Z = = = 1 Mayor Área de z=0 a z=-1 es Área buscada= = P(x>7putos)= Ejemplo 4. U fabricate de sobres de correo sabe por experiecia que el peso de los sobres está distribuido ormalmete co media de µ=1.95gr y ua desviació estádar de 0.3gr. Cuál es la probabilidad de que u sobre elegido al azar pese meos de 1.5gr? x =Peso del sobre. P(x<1.5gr) µ = 1.95gr = 0.3gr Z = = = Meor Mayor Área de z=0 a z=-1.5 es Área buscada= =0.08 P(x<1.5gr)=0.08

9 CON MUESTRAS PEQUEÑAS (distribució t Studet). Si la muestra es pequeña <30, la estimació de los itervalos de cofiaza se deberá de realizar por medio de otra distribució cotiua llamada distribució t, esta distribució tambié tiee forma de campaa, pero sus colas so u poco más elevadas, su forma depede de u parámetro llamado grados de libertad, que es -1, esto es el tamaño de la muestra meos uo. Distribució t- Studet La distribució de Studet fue descrita e 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba e ua fábrica de cerveza, Guiess, que prohibía a sus empleados la publicació de artículos cietíficos debido a ua difusió previa de secretos idustriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudóimo de Studet. E probabilidad y estadística, la distribució t (de Studet) es ua distribució de probabilidad que surge del problema de estimar la media de ua població ormalmete distribuida cuado el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de maera atural al realizar la prueba t de Studet para la determiació de las diferecias etre dos medias muestrales y para la costrucció del itervalo de cofiaza para la diferecia etre las medias de dos poblacioes cuado se descooce la desviació típica de ua població y ésta debe ser estimada a partir de los datos de ua muestra. El teorema del límite cetral mecioado ateriormete, hace referecia a que la distribució de la media muestral x era aproximadamete ormal co media µ (media de la població) y variaza ( es la variaza de la població y el tamaño de la muestra). Tambié que el estadístico z se obtiee co E la geeralidad de los casos, o dispoemos de la desviació estádar de la població, sio de ua estimació calculada a partir de ua muestra extraída de la misma y por tal razó o es posible calcular Z. Si embargo, si utilizamos ua estimació de y es pequeño ( 30) etoces z o tedrá ua distribució ormal, e tales circustacias se preseta la distribució t de studet, que es ua distribució de probabilidad que surge del problema de estimar la media de ua població ormalmete distribuida cuado el tamaño de la muestra es pequeño.

10 CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION t DE STUDENT 1.-El valor de la media es cero..-tiee forma de campaa (como ua distribució ormal) y es simétrica co respecto a la media. La distribució t es más acha y más plaa e el cetro que la distribució ormal, como resultado de ello, se tiee ua mayor variabilidad e las medias de muestras calculadas a partir de muestras más pequeñas. Comparació etre las distribucioes ormal (N) y distribució (t) 3.-La distribució t tiee ua variaza mayor que 1, pero e la medida e que aumeta los grados de libertad, el valor de la variaza se aproxima a 1, lo cual lleva a que la distribució t se aproxime a la distribució ormal estádar; es decir, e la medida e que aumeta el tamaño de la muestra. Por eso es que la distribució t studet se utiliza para muestras pequeñas y la distribució ormal, para muestras grades. E el aexo se puede observar los valores de t correspodietes a los valores de t α = t 0.05, t 0.05, t y t que correspode a los grados de cofiaza del 90%, 95%, 98% y 99% respectivamete.

11 Aalicemos el siguiete ejemplo. U laboratorio realizo u estudio del ivel de morfia de 0 pastillas producida por otro laboratorio. Se cosidera u itervalo de cofiaza del 95%. La siguiete tabla os muestra la catidad de morfia coteida e cada ua de las pastillas Obteemos la media aritmética de la muestra: xi x = 498 x = 0 x = 4. 9mg Posteriormete obteemos la desviació estádar de la muestra: s = ( x x) 1 s = ( 5 4.9) ( ) 19 s =1. 53mg Vamos a determiar el itervalo de cofiaza del 95%. Buscamos e la tabla de valores de t el cociete de 0.05 / = 0.05, e el regló que correspode a 19 grados de libertad (-1). Por lo tato el valor de t=.093, por lo que el itervalo de cofiaza para 95% es: x t s < α µ Sustituyedo los valores: < x + t α s < µ < < µ < < µ < Por tato, co u ivel de cofiaza del 95%, el ivel medio de morfia está etre 4.18 y 5.mg, o bie, que al estimar el ivel medio de morfia como 4.9 miligramos co u grado de cofiaza del 95%.el error es meor a 0.7mg.