INTRODUCCIÓN OBJETIVOS GENERALES Estadística Aplicada OBJETIVOS PARTICULARES... 4 CONCEPTOS BÁSICOS... 5 ACTIVIDADES

Transcripción

1 Índce INTRODUCCIÓN... OBJETIVOS GENERALES... 3 OBJETIVOS PARTICULARES... 4 CONCEPTOS BÁSICOS... 5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA INTRODUCCIÓN... 8 RECOLECCIÓN DE DATOS... 8 TEORÍA DEL MUESTREO... 8 TRATAMIENTO DE LOS DATOS TRATAMIENTO POR DATOS AGRUPADOS Meddas de poscón Meddas de dspersón Estudo de la forma de la curva Estudo de la normaldad de la muestra... 1 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES... CORRELACIÓN... INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA... 4 REGRESIÓN... 5 PROBABILIDAD DEFINICIONES PREVIAS... DEFINICIONES DE PROBABILIDAD... CÁLCULO DE PROBABILIDAD... PERMUTACIONES... COMBINACIONES... PROBABILIDAD CONDICIONAL... PROBABILIDAD TOTAL... TEOREMA DE BAYES... VARIABLES ALEATORIAS... V. A. DISCRETAS... V. A. CONTINUAS... DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS... DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCRETAS... DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS CONTINUAS INFERENCIA ESTADÍSTICA INTRODUCCIÓN LOS ESTIMADORES ESTIMACIÓN PUNTUAL ESTIMACIÓN POR INTERVALOS PRUEBA DE HIPÓTESIS ACTIVIDADES ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PROBABILIDAD INFERENCIA ESTADÍSTICA BIBLIOGRAFÍA

2 Introduccón En las Escuelas Técncas nos ocupamos de formar al alumno íntegramente, hacendo énfass en la práctcas profesonalzantes a partr de un exgente y contnuo entrenamento. Somos productores de resultados y, por sobre todo, de nformacón. Pero más aún, productores de datos; que muchas veces se perden por no regstrarlos. Es allí en donde debemos contnuar la labor tan mportante, que no sólo culmna en la produccón de resultados fruto de la aplcacón de las técncas, sno, tambén, en darle tratamento al conjunto de datos producdos, a partr de un correcto regstro, para poder ntervenr en conclusones sobre los resultados y poder tomar decsones que mejoren la caldad de la educacón desde el proceso hasta su producto fnal.

3 Objetvos Generales El propósto de este curso-taller es mplementar un plan estratégco teórco-práctco de técncas estadístcas, para contnuar la labor desarrollada en el campo práctco e ncorporarlas en el campo centífcotecnológco (gestón y control de la caldad), valéndonos de los datos producdos para darles tratamento, utlzando como soporte los medos nformátcos; especalmente las hojas de cálculo, que son versátles, útles y fácles de usar. De esta manera, se desea que el docente se actualce en el ámbto del uso de las nuevas tecnologías como recursos exgentes para la mejora de las práctcas educatvas, proyecte un camno de trabajo contnuo, ncorporando estándares de caldad que puedan ordenar y organzar el trabajo cotdano, juzgar la efcaca y precsón de los datos expermentales, así como tambén generar concenca de que estos jucos pueden perfecconarse medante la aplcacón de métodos estadístcos. Se pretende motvar a los docentes en el uso de nuevas tecnologías acopladas a equpos de laboratoros y/o taller, para la obtencón automátca de datos y su posteror análss, valéndonos de un conjunto de herramentas estadístcas, que nos permta proyectar un futuro (nferenca), establecer ntervalos de confanza (márgenes de aceptabldad) y accones correctvas a partr de la deteccón de errores (planes de contngenca). 3

4 Objetvos Partculares Que el partcpante logre: Analzar y dscutr dstntos enfoques metodológcos para la enseñanza teórco - práctca de la estadístca, en las nsttucones educatvas. Adoptar una poscón crítca, responsable, cooperatva y constructva en relacón al trabajo de campo, de artculacón currcular y trabajo en equpo. Conocer la posbldad de acoplar equpos e nstrumentos de medcón y ensayo con la nformátca para el procesamento automátco de los datos. Utlzar las hojas de cálculo para la mplementacón de técncas estadístcas. Aplcar el uso de técncas estadístcas como herramentas de gestón. Mejorar las práctcas educatvas. Incorporar estándares de caldad. Contextualzar la práctca profesonal con los contendos de las práctcas currculares. 4

5 Conceptos Báscos ESTADÍSTICA Muchas son las defncones propuestas por varos autores; sn ultmar detalles, todos acuerdan en que la Estadístca es la cenca de recolectar datos, descrbrlos, nterpretarlos, analzarlos y emtr conclusones sobre los resultados. Cualquera sea el punto de vsta, lo fundamental es la mportanca centífca que tene la estadístca, debdo al gran campo de aplcacón que posee. La Estadístca se dvde en dos áreas: Estadístca descrptva: consste en el proceso de la recoleccón, clasfcacón, descrpcón, representacón y análss de datos a partr de una muestra. Nos permte conocer la realdad de lo ocurrdo. Estadístca nferencal: consste en la aplcacón de técncas apoyadas en modelos probablístcos que a partr de datos muestrales permten efectuar estmacones, decsones, predccones u otras generalzacones sobre un conjunto mayor de datos. POBLACIÓN Es la coleccón (ó conjunto unverso) de ndvduos, objetos o eventos cuyas propedades serán analzadas. Hay dos tpos de poblacones: Poblacón fnta: es posble enumerar físcamente cada uno de los elementos que la componen. Ej.: Estudo estadístco sobre lbros de una bbloteca de una escuela. Poblacón nfnta: cuando los elementos que la componen son un número lmtado e mposble de contar. Ej.: La poblacón de todas las personas que podrían tomar buprofeno. MUESTRA Es un subconjunto representatvo de la poblacón. VARIABLE Característca de nterés sobre cada elemento ndvdual de una poblacón o muestra. 5

6 Conceptos Báscos TIPOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS Cuando representan una medcón. Dscretas: Sólo pueden tomar valores enteros. Contnuas: Pueden tomar cualquer valor real dentro de un ntervalo. CUALITATIVAS Cuando representan una cualdad. Escala Nomnal: sgnfca asgnar arbtraramente una etqueta a una varable. Por ej.: Sexo: 0 Femenno 1 Masculno Escala Ordnal: se asgnan valores a la varable ordenadamente de manera tal que el mayor se corresponde a la mejor opcón. Por ej.: 0 Malo 1 Regular Bueno 3 Muy Bueno 4 Excelente Escala de ntervalo: exste un orden entre los valores y además, una nocón de dstanca. Por ej.: la medcón de la temperatura que se puede obtener por un termómetro en grados Fahrenhet. Escala de razón: la magntud tene un sentdo físco y exste el cero absoluto que se puede asgnar a la ausenca de nformacón. Por ej.: la varable edad estudada en una poblacón. DATO Valor de la varable asocada a un elemento de una poblacón o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo. DATOS Conjunto de valores recolectados para la varable de cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra. EXPERIMENTO Actvdad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos. PARÁMETRO Valor numérco que resume todos los datos de una poblacón. ESTADÍSTICO Valor numérco que resume los datos de una muestra. 6

7 Conceptos Báscos Para nterpretar estos conceptos podemos ctar como ejemplo el sguente caso de estudo: Un estudante del colego está nteresado en averguar el valor promedo en pesos de los automóvles que pertenecen al cuerpo docente del IPEM XXX de la cudad de Córdoba. Cada térmno se dentfca en esta stuacón como: 1 POBLACIÓN: el conjunto de todos los automóvles que pertenecen a todos los membros del cuerpo docente del IPEM XXX. MUESTRA: es un subconjunto de la poblacón. Por ejemplo podría ser los automóvles de los docentes de todas las dvsones de cuarto año del IPEM XXX. 3 VARIABLE: valor en $ de cada automóvl. 4 DATO: El valor en $ de un automóvl en partcular. El automóvl del Profesor Pérez, Juan valuado en $ DATOS: Conjunto de valores en $, correspondentes a la muestra obtenda: $ 5.400; $ 1.800; $ ; $ EXPERIMENTO: Método aplcado para selecconar y recolectar los datos correspondentes a los automóvles de la muestra y su valor. 7 PARÁMETRO: valor promedo en $, de los automóvles del cuerpo docente del IPEM XXX. 8 ESTADÍSTICO: Valor promedo en $ de los automóvles, correspondentes a los docentes de todas las dvsones de cuarto año del IPEM XXX. 7

8 Estadístca Descrptva INTRODUCCIÓN Antes de comenzar a detallar las medcones y los cálculos que planfcamos estudar, es necesaro plantear los dversos métodos que abarca la Teoría del Muestreo, punto de partda para ncar cualquer estudo estadístco. RECOLECCIÓN DE DATOS Es un proceso complcado y debe realzarse con la mayor cautela y profesonalsmo posble. Podemos nclur los sguentes pasos para organzar la recoleccón: 1 Defnr los objetvos del estudo. Defnr la varable y la poblacón de nterés. 3 Defnr los esquemas para recolectar y medr los datos. 4 Determnar las técncas dóneas para realzar el análss de datos: descrptvo o nferencal. TEORÍA DEL MUESTREO Método que utlzaremos para la recoleccón de datos. Es tan o más mportante que el desarrollo en sí del estudo; es determnar fehacentemente una "buena" muestra, lo más representatva e nsesgada posble que se ajuste a la poblacón, para que las conclusones e nferencas que se hagan en térmnos de la poblacón sean "tan buena" como el conjunto de datos que la determnó. MÉTODO DE MUESTREO SESGADO O NO PROBABILÍSTICO Producen valores que dferen sstemátcamente de la poblacón que está sendo muestreada. Exste una ntencón para selecconar un dato. Dos métodos de este tpo pueden ser: Muestra por convenenca: ocurre cuando es posble acceder fáclmente a los elementos de una poblacón de la que se elge la muestra. Muestra por voluntaros: consta de resultados recolectados a partr de los elementos de la poblacón que por su propa ncatva elgen contrbur con la nformacón necesara. MÉTODO DE MUESTREO INSESGADO O PROBABILÍSTICO Es aquel que no presenta sesgo. Cada dato de la poblacón tene déntca posbldad de ser elegdo para formar parte de la muestra. Los dos métodos que se utlzan para recolectar datos son los estudos expermentales y los estudos observaconales. Muestra de juco: las muestras son elegdas con base en el hecho de que son "típcas". 8

9 Estadístca Descrptva Muestra aleatora o al azar Método al azar smple: este método permte que todos los elementos de la poblacón tenga gual posbldad de ser ncludo en la muestra. Por ej.: se desea selecconar a 00 alumnos (n) del IPEM XXX cuya matrícula total es 100 alumnos (N). En este caso la probabldad de eleccón de cada alumno, entendendo a probabldad como nº de casos favorables dvdo nº de casos posbles; es: P = n/m P = 00 / 100 P = 0,17 Método por estratos: para el muestreo estratfcado se dvde a la poblacón en varos grupos homogéneos que se dferencan unos de otros por característcas especales; de manera que cada elemento sólo pueda pertenecer a un grupo. Dentro de este método se encuentra tres casos especales: 1 Muestras de gual tamaño: Debe selecconarse gual número de elemento en cada grupo. Muestreo proporconal: El tamaño de elementos por grupo se escoge en forma proporconal al tamaño de la poblacón. 3 Afnacón óptma: Este método utlza la mejor subdvsón posble de una muestra total. Por ej.: en el IPEM XXX de los 1.00 alumnos de matrícula, 800 pertenecen al CBU y 400 al CE. Aplcando el método por estratos, decdmos escoger 60 alumnos de cada grupo, calculamos la probabldad de ocurrr de cada alumno según su cclo: Alumnos del CBU P = 60 / 800 P = 0,075 Alumnos del CE P = 60 / 400 P = 0,15 De esta manera observamos que los alumnos del CE tenen mayor probabldad de ser escogdo pero que ambos son mportantes para nuestro muestreo. Método por conglomerados: exste stuacones en la que no se dspone de elementos agrupados por estratos y que no se puede aplcar el método al azar smple. En estos casos los elementos se encuentran de manera natural agrupados por conglomerados cuyo número s se conoce. Por ej.: la poblacón de un país se dstrbuye en provncas, los habtantes de una provnca en cudades, los de una cudad en barros,etc. S se supone que cada uno de estos conglomerados son muestras representatvas de la poblacón total, respecto a la varable que se estuda, es posble selecconar al azar algunos de estos conglomerados y a partr de allí analzar todos sus elementos o una muestra al azar smple. 9

10 Estadístca Descrptva Método de eleccón sstematzado: una forma práctca para selecconar los elementos de la muestra es escoger una muestra aplcando un ntervalo. Así sstematzamos una seleccón. El cálculo del ntervalo (k) es: k = N (tamaño de la poblacón) / n (tamaño de la muestra). Por ej.: de esta manera, s tenemos necesdad de selecconar alumnos del IPEM XXX aplcando este método, decmos que 1.00 son los alumnos y 10 es el número de alumnos que deseo elegr; selecconaré a un alumno por cada ntervalo, esto es: k= 100/10 k= 10; eljo a un alumno por cada 10 alumnos. Nota: S el estudo lo realzo con la totaldad de los datos, es decr con la poblacón, estoy frente a un censo; caso contraro, s seleccono, esto es aplcando cualquera de los métodos de muestreo, estoy frente a una muestra representatva de la poblacón. TRATAMIENTO DE LOS DATOS Hay dos maneras de comenzar a tratar los datos, y la que se utlce depende del nº de datos que conforma a la muestra, que llamaremos tamaño de la muestra y la denotaremos por (N). TRATAMIENTO POR DATOS NO AGRUPADOS Estamos frente al caso de trabajar los datos en forma cruda, sn transformarlos. Es la forma más aproxmada y menos erróneas, pero se la puede emplear sempre que el tamaño de la muestra sea pequeño. Como contrapartda, podemos decr que s el tamaño de la muestra es pequeño, creamos una certa ncertdumbre con respecto a cuan representatvo es de la poblacón. TRATAMIENTO POR DATOS AGRUPADOS Es el más utlzado porque se emplea en la mayoría de los casos. Nos detendremos a aplcar las fórmulas, a analzarlas y a programarlas en una planlla de cálculo para poder dejar una plantlla de trabajo fja que nos srva como herramenta de trabajo para todos los estudos que planteemos realzar. 10

11 Estadístca Descrptva TRATAMIENTO POR DATOS AGRUPADOS Luego de recolectar los datos, que lo dspondremos organzados en columnas en forma desordenada; debemos ordenarlos de menor a mayor. A partr de la clasfcacón y ordenacón de los datos y calculando el rango de la dstrbucón como medda de dspersón absoluta, nos dspondremos a agrupar los datos en una Tabla de Dstrbucón de Frecuencas. R = X M X m Rango = Dato mayor - dato menor N = Tamaño de la Muestra 1 Determnacón de los Intervalos de frecuenca Al resumr gran cantdad de datos es útl dstrburlos en clases. El número de ntervalos a utlzar es autónomo, pero exste una manera de calcularlo para guarse, que es a través de esta fórmula: m = log N ; donde m : número de ntervalos; N : tamaño de la muestra. Determnacón de la ampltud de clase El rango nos ayuda a determnar la ampltud de clase, llamamos así a la dstanca que debe tener cada clase, sendo ésta una medda constante y a partr de la cual podemos construr nuestra Tabla de Dstrbucón de Frecuencas. A = R / m ; donde A: ampltud de clase; R: Rango; m: número de ntervalos. 3 Marca de clase ( x& ) Es el resultado de aplcar la semsuma, promedo o meda artmétca entre los límtes fctcos o entre los límtes reales. Al ser la meda artmétca de cada ntervalo, lo consderamos como el valor más representatvo y el que utlzaremos para determnar los estadístcos a calcular. 4 Frecuencas absolutas ( ) Se determna así a la cantdad de datos que son ncludos en cada clase. 5 Frecuencas absolutas acumuladas ( ) n Se determna así a la cantdad de datos acumulados a partr del ntervalo nmedato anteror. Se aplca la suma acumulada de cada frecuenca hasta obtener el 100% del tamaño de la muestra. f aa 11

12 Estadístca Descrptva 6 Frecuenca relatva y frecuencas relatvas acumuladas ( f r ) Se determna así a la proporcón de datos representados en cada clase. Se calcula dvdendo la frecuenca absoluta de cada ntervalo con respecto al tamaño de la muestra. Su valor acumulatvo mayor será el 1 que representa al 100% de la muestra. A partr del número de ntervalos, la ampltud y el rango, construremos la tabla de dstrbucón de frecuencas. (Tabla 1) Tabla 1. Tratamento por Datos Agrupados. Tabla de Dstrbucón de frecuencas. Tema de estudo: Objetvos: Dato Mayor: Dato Menor: Rango Tamaño de muestra Cant.de Intervalos Ampltud de clase R= N= m= a= Número de ntervalo Límte fctco nferor x f Límte real nferor Marca de clase x x& Límte real superor x Límte fctco superor x f Frecuenca absoluta n Frecuenca Frecuenca absoluta absoluta acumulada acumulada ascendente descendente Frecuenca relatva Frecuenca Frecuenca relatva relatva acumulada acumulada ascendente descendente f f aa> f aa< r f ra > f ra <

13 Estadístca Descrptva 7 Representacón gráfca Dagrama de barras o columnas: sstema de ejes de coordenadas; en las abscsas representa ntervalos de clase, y en las ordenadas sus correspondentes frecuencas absolutas, para una varable cuanttatva contnua. Frecuencas Intervalos de clase Hstograma: se construye a partr de la tabla estadístca de tratamento de los datos, representando sobre cada ntervalo, un rectángulo que tene a este segmento como base. El crtero para calcular la altura de cada rectángulo es mantener la proporconaldad entre las frecuencas absolutas (o relatvas) de cada ntervalo y el área de los msmos. x: límtes fctcos nferores y superores; y: frec. absolutas o relatvas Frecuencas Polígono de frecuencas 1 0 // 9,5 14,5 19,5 4,5 9,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 Límtes fctcos Polígono de frecuencas: a partr del hstograma podemos construr el polígono de frecuencas, que consste en unr, medante líneas rectas de puntos, las marcas de clases contguas de cada ntervalo. El prmer y el últmo ntervalo, adyacentes a ellos, lo supongo con la msma ampltud y de frecuenca nula para unr la línea de punto (polgonal). 13

14 Estadístca Descrptva Ojvas: gráfco de una dstrbucón de frecuencas acumuladas (relatva o absoluta) descendente o ascendente. Esta gráfca ndca la forma como crece la nformacón a través de los ntervalos, se puede utlzar como medcón de las varacones de los grupos. El punto donde se cortan las dos ojvas, es el punto central de la dstrbucón, es decr, la mtad de la nformacón (dato correspondente con la medana). Frecuencas Absolutas N 0 9,5 14,5 19,5 4,5 9,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 Límtes fctcos // X ~ Frecuencas absolutas acumuladas Ascendentes Frecuencas absolutas acumuladas Descendentes 8 Cálculos y análss estadístcos 8.1 MEDIDAS DE POSICIÓN Meddas de poscón CENTRAL Las meddas de centralzacón son valores que tenden a stuarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magntud. Las meddas de centralzacón más usadas son: Meda artmétca, medana y moda. Para el cálculo de todas ellas, en el tratamento por datos agrupados, es utlzada la marca de clase como la undad más representatva de cada ntervalo o clase. Meda artmétca o promedo: medda de tendenca central más conocda, se puede aplcar a varables de ntervalos ya sean dscretos o contnuos. Esta medda se defne como el promedo de los datos en estudo. Cálculo de la meda artmétca ( x ) m x&. n X = = 1 N La sumatora de todas las marcas de clases por sus respectvas frecuencas absolutas dvddo el tamaño de la muestra. O la sumatora de todas las marcas de clases por sus respectvas frecuencas relatvas. 14

15 Estadístca Descrptva Exsten formas más para calcular la meda que no son comúnmente utlzadas, ellas son: la meda geométrca y la meda armónca, que smplemente la menconaremos. Medana: es la medda de tendenca central que dvde a cualquer dstrbucón en dos partes guales. Esta medda se puede aplcar a varables de ntervalos (dscretas y contnuas) y varables ordnales. La medana es una sere de datos ordenados en orden de magntud, es el valor medo s el número de datos es mpar o ben la meda artmétca de los valores medos s el número de datos es par. Cálculo de la medana ( x~ ) ~ X = x N + N n N f aa a x N N f aa n N a Límte real nferor en donde cae la frecuenca que dvde la dstrbucón en partes guales Mtad de las observacones Sumatora de las frecuencas acumuladas anterores a la frecuenca que dvde a la dstrbucón en partes guales Valor de la frecuenca que dvde a la dstrbucón en partes guales Ampltud del ntervalo Moda: se defne como el valor que presenta la mayor frecuenca, se usa con varables de ntervalos nomnales y ordnales. Es comúnmente utlzada como una medda de populardad que refleja la tendenca de una opnón. Cálculo de la moda ( xˆ ) Xˆ 1 = x + x ˆ 1 + a x ˆ x 1 Límte real nferor donde está la moda Dferenca entre la frecuenca modal y la frecuenca nmedatamente anteror Dferenca entre la frecuenca modal y la frecuenca nmedatamente posteror a Ampltud del ntervalo Nota: Un estudo puede presentar una moda, s la frecuenca mayor es únca, en este caso se llamará Unmodal; o varas modas, s la frecuenca mayor se repte en dos o más ntervalos, en este caso será Multmodal. 15

16 Estadístca Descrptva Meddas de poscón NO CENTRALES Las meddas de poscón no centrales permten conocer otros puntos característcos de la dstrbucón. Estos ndcadores suelen utlzar una sere de valores que dvden a la muestra en tramos guales. Entre ellos destacamos: cuarteles, decles y percentles. Cuartles: son 3 valores que dstrbuyen la sere de datos, ordenada de forma crecente o decrecente, en cuatro tramos guales, en los que cada uno de ellos concentra el 5% de los resultados. Cálculo de los cuartles x k k. n f Q = x + 4 nq aa a Límte real nferor que contene al cuartl Cuartl a calcular, su valor puede ser 1, o 3. f aa n q a Frecuencas acumuladas anterores al ntervalo que contene al cuartl Frecuencas absolutas del ntervalo que contene al cuartl Ampltud del ntervalo Decles: son 9 valores que dstrbuyen la sere de datos, ordenada de forma crecente o decrecente, en dez tramos guales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Cálculo de los decles D k. n f = x + 10 nd aa a x k f aa n q a Límte real nferor que contene al decl Cuartl a calcular, su valor puede ser 1,,3,4,56,7,8 ó 9 Frecuencas acumuladas anterores al ntervalo que contene al decl Frecuencas absolutas del ntervalo que contene al decl Ampltud del ntervalo 16

17 Estadístca Descrptva Percentles: son 99 valores que dstrbuyen la sere de datos, ordenada de forma crecente o decrecente, en cen tramos guales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados. Cálculo de los percentles P k. n = x np f aa a x k f aa n q a Límte real nferor que contene al percentl Percentl a calcular, su valor puede ser 1,, Frecuencas acumuladas anterores al ntervalo que contene al percentl Frecuencas absolutas del ntervalo que contene al percentl Ampltud del ntervalo Nota: Exsten otras meddas de poscón no centrales que se suelen utlzar y que su cálculo sólo depende de varar el cocente que determna en cuantos tramos guales se dstrbuye a la muestra, entre otras se encuentran los quntles (la dvde en 5 partes guales) y los octles (en 8 partes guales). A partr de las dvsones en las observacones que se realcen en una muestra obtendremos algunas concdencas en los valores orgnados por fraccones equvalentes, a saber: el Cuartl, el Octl 4, el Decl 5 y el Percentl 50 con el valor de la Medana. Qué otras concdencas encontramos? 8. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Para un mayor análss de las observacones de una muestra es necesaro amplarlo para evaluar el grado de homogenedad entre sus datos, es decr, estudar la separacón de los datos numércos a partr de una medda de centralzacón. Las meddas de dspersón más utlzadas son: Rango: Es la medda menos precsa y más senclla ya que sólo consdera a los extremos. Es la dferenca entre el dato mayor y el dato menor de las observacones. Cálculo del rango R = X M X m 17

18 Estadístca Descrptva Desvacón meda: mde la dstanca absoluta promedo entre cada uno de los datos, y el parámetro que caracterza la nformacón. Usualmente se consdera la desvacón meda con respecto a la meda artmétca: Cálculo de desvacón meda DM m x& X. n = = 1 N m x& X n N Cantdad de ntervalos Marca de clase de cada ntervalo (su valor más representatvo) Valor de la meda artmétca muestral Respectva frecuenca absoluta de cada ntervalo Tamaño de la muestra Varanza: es uno de los parámetros más mportantes en estadístca paramétrca, se puede decr que, tenendo conocmento de la varanza de una poblacón, se ha avanzado mucho en el conocmento de la poblacón msma. Numércamente defnmos la varanza, como desvacón cuadrátca meda de los datos con respecto a la meda artmétca: Cálculo de varanza S = = 1 m ( x& X ) N. n m x& X n N Cantdad de ntervalos Marca de clase de cada ntervalo (su valor más representatvo) Valor de la meda artmétca muestral Respectva frecuenca absoluta de cada ntervalo Tamaño de la muestra Desvacón Estándar o Típca: se defne como la raíz cuadrada de la varanza, y es útl a la hora de evaluar y conclur sobre la varanza. Cálculo de desvacón estándar ó típca S = S 18

19 Estadístca Descrptva Coefcente de varacón de Pearson: tene en cuenta el valor de la meda artmétca, para establecer un número relatvo, que hace comparable el grado de dspersón entre dos ó mas varables. Cálculo de varacón de Pearson C. V. = S X 8.3 ESTUDIO DE LA FORMA DE LA CURVA Las sguentes índces nos permten medr las característcas de curva representada por la sere de datos de la muestra. La Concentracón: mde s los valores de la varable están más o menos unformemente repartdos a lo largo de la muestra. Para medr el nvel de concentracón de una dstrbucón de frecuenca se pueden utlzar dstntos ndcadores, entre ellos el Indce de Gn. Cálculo de índce de Gn m ( f q ) = 1 I. G. = ra> f ra> El Índce Gn (IG) puede tomar valores entre 0 y 1: IG = 0: Concentracón mínma. La muestra está unformemente repartda a lo largo de todo su rango. IG = 1: Concentracón máxma. Un solo valor de la muestra, acumula el 100% de los resultados. La Asmetría: mde s la curva tene una forma smétrca, es decr, s respecto al centro de la msma (centro de smetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e zquerda son smlares. Para medr el nvel de asmetría se utlza el llamado Coefcente de Asmetría de Fsher. Cálculo de coefcente de asmetría de Fsher m α F = S 3 3 La sumatora de las dferencas entre cada frecuenca relatva acumulada y q (razón entre la sumatora acumulada de cada marca de clase por sus respectvas frecuencas absolutas con respecto a la suma total de cada marca de clase por sus respectvas frecuencas absolutas); dvddo la sumatora de las frecuencas relatvas acumuladas ascendentes. Se calcula por momento de tercer orden, m 3. α F = 3 m ( x& X ) = 1 N 3 S n 19

20 Estadístca Descrptva Los resultados que se determnen a partr del coefcente pueden ser: α F = 0 (dstrbucón smétrca; exste la msma concentracón de valores a la derecha y a la zquerda de la meda) CURVA SIMÉTRICA Eje de smetría α F > 0 (dstrbucón asmétrca postva; exste mayor concentracón de valores a la derecha de la meda que a su zquerda) CURVA ASIMÉTRICA POSITIVA Eje de smetría α F < 0 (dstrbucón asmétrca negatva; exste mayor concentracón de valores a la zquerda de la meda que a su derecha) CURVA ASIMÉTRICA NEGATIVA Eje de smetría La Curtoss: mde s los valores de la dstrbucón están más ó menos concentrados alrededor de los valores medos de la muestra. Se defnen 3 tpos de dstrbucones según su grado de curtoss: Dstrbucón mesocúrtca: presenta un grado de concentracón medo alrededor de los valores centrales de la varable (el msmo que presenta una dstrbucón normal). CURVA MESOCÚRTICA Eje de smetría Dstrbucón leptocúrtca: presenta un elevado grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. CURVA LEPTOCÚRTICA Eje de smetría 0

21 Estadístca Descrptva Dstrbucón platcúrtca: presenta un reducdo grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. CURVA PLATICÚRTICA Eje de smetría Cálculo de coefcente de Curtoss m4 Se calcula por momento αc = 4 S de cuarto orden, m 4. Los resultados pueden ser los sguentes: α c = 3 (dstrbucón mesocúrtca o normal). S es así exste una gual entre la meda, la medana y la moda. α c α c > 3 (dstrbucón leptocúrtca o apuntada). < 3 (dstrbucón platcúrtca). 8.4 ESTUDIO DE NORMALIDAD DE LA MUESTRA A partr de la meda y la desvacón estándar muestrales, estudaremos la normaldad de una muestra analzando el porcentaje de datos contendos en la meda más menos un desvío, dos desvíos y tres desvíos.resultando: P P P [ x s; x + s] = [ x s; x + s] = [ x 3 s; x + 3s] = S se cumplen estas condcones podemos decr que estamos frente a una Dstrbucón Normal. Campana de Gauss α F = 4 m ( x& X ) = 1 N 4 S n El 68,3 % de los datos están contendos El 95,4 % de los datos están contendos El 99,7 % de los datos están contendos µ 3σ µ σ µ=σ µ µ+σ µ+σ µ+3σ Amplacón para el cálculo de las meddas estudadas Las fórmulas desarrolladas se aplcan para el estudo estadístco por tratamento de datos agrupados, es decr, cuando el número de observacones es lo sufcentemente grande para agruparlos en ntervalos; caso contraro, la forma de calcular cada medda varía cambando la marca de clase por el dato crudo (x ); pues ya no tendremos ntervalos de clases sno un lstado ordenado de datos con lo que trabajaremos. 1

22 Estadístca Descrptva DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 1 Correlacón El estudo estadístco que nvolucra a todas las meddas anterormente ctadas, corresponde al análss de una sola varable, es decr, es undmensonal. Pero en Estadístca contamos con la necesdad de cruzar varables, de estudar y analzar grados de dependencas, relacones entre más de una varable de un ndvduo o cosa. El estudo de dstrbucones bdmensonales, nos permte encontrar respuestas a estas nquetudes. La Correlacón entre dos o más varables mde el grado de relacón entre ellas y a partr de allí podremos nferr datos y/o conclur observacones. Son ejemplos de varables a ser susceptbles de relaconar: El peso y la estatura de un grupo de adultos. Edad y peso de un grupo de nños. Ingresos y gastos de alquleres de un grupo de famlas. Escolardad e ngreso mensual de un grupo de empleados. Ventas y ganancas de un almacén de varedades. Meddas de ph y acdez en leche. Voltaje y KW en un hogar. Ausentsmo y sueldos en los recbos de haberes. Cálculo del Coefcente de Correlacón Lneal de Pearson ( ) r xy = S S x xy S y r xy S xy CoVaranza: grado de varacón conjunta de dos varables S xy = m ( x X )( y Y ) =1 N Esta fórmula surge de una dvsón entre el numerador que se corresponde con la CoVaranza de la dstrbucón bnomal y el denomnador con la multplcacón de los Desvíos Típcos o Estándar de cada una de las varables. r xy = n xy x y [ n x ( x) ] n y ( y) [ ]

23 Estadístca Descrptva De esta manera puede suceder que: S xy S xy S xy > 0 Cuando una de las varables aumenta, tambén lo hace la otra. < 0 Cuando una de las varables aumenta, la otra dsmnuye. = 0 No hay relacón entre los aumentos de una y otra. Estas relacones pueden ser de menor o mayor ntensdad con la salvedad de que no sólo depende del grado de varacón conjunta entre las varables sno tambén de las dspersones de ellas. Por esta razón se utlza el Coefcente de Correlacón Lneal de Pearson ( r xy ) que elmna este factor. Interpretacones del Coefcente Lneal de Pearson r xy =1 Exste una perfecta relacón entre las varables por lo que podemos determnar a partr de una de ellas el valor de la otra. r xy = 0 0 r xy < r < 0.7 xy 0.7 r < 1 xy No exste relacón entre las varables. La relacón es baja, cuanto más próxmo a cero esté, la relacón está cas ausente. La relacón es meda. La relacón es alta. De manera tal que para calcular al coefcente será necesaro organzar los datos en Excel con la sguente tabla. (Tabla ) Tabla. Tabla para calcular el coefcente de Correlacón x y x.y x y La representacón gráfca de las varables x e y obtendas a partr de los datos muestrales, queda reflejada a través de un Dagrama de Dspersón X e Y; representando, lo que comúnmente se conoce como "nube estocástca de puntos". 3

24 Estadístca Descrptva Gráfco de dspersón de los valores x e y Varable Y Varable X Independenca estadístca Según el teorema de caracterzacón de ndependenca, dos varables x e y son estadístcamente ndependentes, s la frecuenca relatva conjunta es gual al producto de las frecuencas relatvas margnales, para todas las varables, esto es: f r j = f f j ;, Los datos correspondentes a las varables x e y se representan en tablas de frecuencas como la sguente: x y j Utlzando las frecuencas absolutas la fórmula es: y 1 y y 3 y 4 y 5 x 1 n 11 n 1 n 13 n 14 n 15 nj n n j = ;, N N N j x x 3 x 4 x 5 n 1 n 31 n 41 n 51 n n 3 n 4 n 5 n 3 n 33 n 34 n 35 n 4 n 43 n 44 n 45 n 5 n 53 n 54 n 55 n n j De manera que los corresponden a la columna de los datos de (y 1, x ). Mentras que los corresponden a la fla de los datos de (x 1, y ). Que se de, gualdad e ndependenca estadístca mplca, que las varables son ncorreladas, es decr que r xy =0, no exste dependenca lneal. En cambo, que r xy =0 sgnfca que las varables x e y están ncorreladas pero no mplca que son estadístcamente ndependentes. 4

25 Estadístca Descrptva 3 Regresón Luego de constatar, con el Coefcente de Correlacón de Pearson, que dos varables están relaconadas, debemos acudr a un método que nos permta estmar o predecr qué valores obtendrá una varable a partr de los valores asgnados a la otra. Para ello, debemos establecer una relacón funconal entre las varables, sendo la ecuacón, la relacón funconal más smple. Hablamos, de esta manera de una Regresón Lneal. 3.1 REGRESIÓN LINEAL Se da por la ecuacón de la recta del tpo: y = ax + b Método de los mínmos cuadrados: se emplea para este tpo de predccones, ya que arroja estmacones con menor error cuadrátco promedo. A partr de la ecuacón de la recta debemos conocer los valores de a y b, para poder determnar los correspondentes de X e Y. Cálculo de b (estmada) b = n n XY X X ( X) Y ó b = S S xy x A partr de b (estmada), logro calcular a (estmada). Cálculo de a (estmada) Y b X a ˆ = N Luego y (estmada) es: y ˆ = a + bx ó a = y b. x Por lo tanto, s: b > 0, las dos varables aumentan o dsmnuyen a la vez. b < 0, cuando una varable aumenta, la otra dsmnuye. Para el caso de determnar x (estmada) a partr de un valor observaconal de y, se emplea la ecuacón: x ˆ = a + by a = x b. y n b = n XY Y X ( Y) Y ó b = S S xy x 5

26 Estadístca Descrptva Bondad del ajuste ó fabldad del modelo: a partr del Coefcente de Determnacón evaluamos el error cometdo en cada predccón, entre el y expermental y el y estmado. Su fórmula es: Cálculo de e = Y Yˆ Prncpales característcas que se deducen a partr de e: e = Y Y ˆ = 0 Como la e = 0 no podemos tomarlo como medda de bondad del ajuste. La suma de errores cuadrátcos no presenta este nconvenente pero sí el de depender del número de observacones. Por lo tanto, tomando el Error Cuadrátco Medo (ECM) evtamos esta dependenca. Cálculo del Error Cuadrátco Medo ECM = e N 0 El ECM o su raíz cuadrada que se denomna Error de Regresón, son nversamente proporconales a la bondad del ajuste. S ey ˆ = 0 El Desvío Típco del Error con respecto a la y estmada es gual a cero S e = S y S yˆ Aquí se da una relacón fundamental entre la varanza expermental y la varanza resdual. Como e = 0, entonces S e = ECM y de ahí que el ECM sea un error estmado de la bondad de ajuste ya que es gual a la varanza resdual. Cuanto mayor sea la varanza resdual, mayor será la parte de la varabldad de Y, que es ncapaz de explcarse por la relacón lneal entre X e Y. Para evaluar la fabldad o bondad del ajuste lneal, utlzamos las sguentes fórmulas en relacón a lo explcado anterormente: r S = 1 S e x Cuando la varable x está en relacón con y r S = 1 S e y Cuando la varable y está en relacón con x 0 r 1 S el valor es gual o mayor que 0.75 estamos en condcones de dar fabldad al modelo. Cuanto más próxmo a 1 más fable; a la nversa, cuando más cerca de cero menos fable. 6

27 Estadístca Descrptva 3. REGRESIÓN NO LINEAL Regresón Parabólca: y ˆ = a + bx + cx Regresón Potencal: cuando la fgura que mejor se ajusta es del tpo potencal, la forma de hallar los coefcentes para determnar las estmacones es aplcando logartmos. b Y = ax logy = log ax logy = log a + log X logy = log a + b.log X b b Luego, aplcando un cambo de varables llevamos la funcón potencal a una funcón lneal para poder determnar los coefcentes a y b. V = logy U = log X A = log a V = A + bu. Nueva Funcón Lneal Al fnalzar la búsqueda de los coefcentes a y b, y poder determnarlo como funcón potencal,es necesaro aplcar el antlogartmo de A y de b. Cálculo de V (estmada) ˆ SUV V = v +.( U u ) S U Para realzar los cálculos parcales y así determnar cada térmno de la fórmula, es necesaro plantear una tabla con las transformacones de las varables según sus gualdades. Regresón Exponencal: de la msma manera que trabajamos la Regresón Potencal, debemos aplcar logartmos para poder transformar en Funcón Lneal y así aplcar el Método de los Mínmos Cuadrados: 7

28 Estadístca Descrptva Y = ab X logy = log ab logy = log a + logb logy = log a + X.logb X X Luego, aplcando un cambo de varables llevamos la funcón exponencal a una funcón lneal para poder determnar los coefcentes a y b. V = logy B = logb A = log a V = A + B. X Nueva Funcón Lneal Al fnalzar la búsqueda de los coefcentes a y b y poder determnarlo como funcón exponencal, es necesaro aplcar el antlogartmo de A y de B. Entonces, para calcular V (estmada) aplco la sguente fórmula: ˆ S XV V = v +.( X x) S Para realzar los cálculos parcales y así determnar cada térmno de la fórmula, es necesaro plantear una tabla con las transformacones de las varables según sus gualdades. Regresón Logarítmca: y = a + b. log( x) x 8

29 Probabldad DEFINICIONES PREVIAS Debemos dar defncones prevas referentes a la Teoría de los Sucesos que son vnculadas al estudo de la Probabldad como soporte para la Estadístca Inferencal o smplemente para cálculos casuístcos: Espaco Muestral: es el conjunto formado por todos los casos posbles en la realzacón de un expermento. Espaco Muestral Dscreto: s es fnto o nfnto numerable. Espaco Muestral Contnuo: s es nfnto numerable. Dagrama de Árbol: representacón gráfca del espaco muestral. Suceso Aleatoro: cada uno de los posbles subconjuntos que son partes del espaco muestral. Suceso Imposble: aquel subconjunto que nunca ocurre en el espaco muestral. (Conjunto vacío). Suceso Elemental: suceso formado por un solo resultado del espaco muestral. Suceso Compuesto: suceso formado por más de un resultado del espaco muestral. Suceso certo: es aquel que sempre ocurre. Álgebra de los sucesos Suceso contraro o complemento: llamamos así al suceso que ocurre cuando no se realza. Ejemplo: Suceso contraro de Q a Q. Unón de sucesos: Dados dos sucesos A y B llamamos unón de sucesos a ( A B ) al suceso formado por A o B. Interseccón de sucesos: Dados dos sucesos A y B llamamos nterseccón de sucesos a ( A B ) al suceso formado por A y B. Sucesos ncompatbles: dos sucesos son ncompatbles cuando su nterseccón da como resultado el conjunto vacío. A B = φ Sucesos compatbles: dos sucesos son compatbles cuando su nterseccón no da como resultado el conjunto vacío. A B φ Expermentos Expermentos determnstas: son aquellos que realzada bajo la msma forma y msmas condcones ncales un expermento, resulta sempre el msmo resultado. Por ej.: cuando dejamos caer al vacío, un objeto en reposo desde una msma altura, llega sempre al suelo con una msma velocdad: v = gh. Expermento aleatoro: son aquellos expermentos en los que no se puede predecr el resultado fnal. Por ej.: lanzamento de un dado. 9

30 Probabldad DEFINICIONES DE PROBABILIDAD NOCIÓN FRECUENTISTA Desde la perspectva frecuentsta de probabldad, se observa que en los expermentos aleatoros, a medda que aumenta el número de expermentos, las frecuencas relatvas en las que ocurre un suceso A, f r ( A), tende a converger haca certa cantdad que llamamos probabldad de A. De manera que: f ( A) nº de ocurrencas de A r P[ A] = lím f ( A) = N (total de casos) N La nocón frecuentsta de probabldad no puede usarse en la práctca como defncón de probabldad porque: Como N (el nº de expermentos) tende a nfnto, requere nfntos expermentos para calcular la probabldad. A veces no es posble realzar expermentos aleatoros. Por ej.: calcular la probabldad de morr jugando a la ruleta rusa con un revólver; ésto no es posble, ya que necestamos repetr el expermento un número demasado alto de veces para tender a la probabldad. r REGLA DE LAPLACE Dadas las explcacones de la nocón frecuentsta, podemos defnr a la probabldad a partr de la Regla de Laplace "S cualquer expermento da como resultado un nº fnto de valores posbles, sn razón alguna de forzar un valor por sobre otro, se calcula la probabldad de un suceso aleatoro A, como: P[ A] = nº de casos favorables de A nº de casos posbles AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD Desde otra perspectva se puede calcular a la probabldad de un suceso A, tenendo en cuenta el cumplmento de los sguentes axomas para encontrar: P[ A] 1 0 P[ A] 1 La probabldad de que se de un suceso A, resulta estar comprendda entre 0 y 1. P[ Ω] = 1 La probabldad de un suceso seguro es gual a 1 Espaco Muestral. 3 P [ A B] = P[ A] + P[ B], s A B = φ La probabldad de la unón numerable de sucesos dsjuntos es gual a la suma de sus probabldades (Independenca de Eventos). 30

31 Probabldad CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD (aplcando la teoría de conjuntos) 1 P[ A c ] = 1 P[ A] La probabldad de un complemento del suceso A, es gual uno menos la probabldad del suceso A. P[ φ ] = 0 La probabldad de un suceso vacío da como resultado cero. 3 P[ A] P[ B] ;s A B S el suceso A es menor o gual al B, las Probabldades tambén serán menor o gual. 4 0 P[ A] 1 La probabldad es un número comprenddo entre cero y uno. 5 P [ A B] = P[ A] + P[ B] - P[ A B] ;s A B φ La probabldad de la unón de sucesos es gual a la suma de sus probabldades menos la Probabldad de su nterseccón, por ser sus sucesos conjuntvos. 6 P[ A B C]= P [ A] + P[ B] + P[ C] -P[ A B] -P[ B C] -P[ A C] + P[ A B C],s A B C φ Cuando la nterseccón de 3 o más sucesos es dstnto a vacío, la probabldad de la unón de los sucesos es gual a la sumas de los sucesos de A, B y C menos sus nterseccones pares, agregando la nterseccón entre los 3 conjuntos. A partr de los axomas y sus consecuencas, es posble calcular la probabldad de un suceso a partr de la teoría de conjuntos. CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD PERMUTACIONES Cuando queremos ordenar k elementos de un conjunto de n elementos, para escoger uno o varos de ellos, las posbldades de orden son n-k+1 y se lee como permutacones de n en k. Cálculo P ( n, k) = n! ( n k)! 31

32 Probabldad COMBINACIONES O COMBINATORIAS En cambo, s queremos escoger k elementos de un conjunto de n elementos, sn mportar su orden, n en k combnacones posbles. n n! k = k!( n k)! Coefcente Bnomal de n en k PROBABILIDAD CONDICIONAL Cuando queremos calcular la probabldad de un evento A habéndose dado un evento B, utlzamos la fórmula, tenendo en cuenta que la probabldad del evento B tene que ser mayor a cero. P[ A/ B] P[ A B] = ; s P[ B] > 0 P[ B] P [ A/ B] = P[ A] P[ B / A] PROBABILIDAD TOTAL Dado un conjunto de sucesos ndependentes A, de manera que A = Ω (equvale al espaco muestral), es posble determnar como probabldad total, a la sumatora de cada Probabldad Condconal dada por el suceso conocdo B por su respectva probabldad a pror. P n [ A] = P[ A/ B ] [ ] P B =1 TEOREMA DE BAYES Se aplca al cálculo de la determnacón de causas, a partr de una consecuenca. P[ A / B] = k P[ A ] [ ] P B/ A P[ A ] P[ B/ A ] j j= 1 j P[ A ] P [ B/ ] A P [ A / B] Probabldades a pror de las causas o de las hpótess Verosmltudes Probabldad a posteror, es la probabldad de que el suceso B, que ya ocurró, sea la causa del suceso A 3

33 Probabldad VARIABLES ALEATORIAS VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (v.a. dscreta) Se defne así a la varable que puede tomar un número fnto o nfnto numerable de valores. Defncón Representacón Gráfca FUNCIÓN DE PROBABILIDAD f ( x ) = P[ X = ] x (es la probabldad de que X tome el valor x ) Dagrama de Barras - Análogo al de Dstrbucón de frecuencas relatvas 3/8 1/8 f Dagrama de Barras - Análogo al de Dstrbucón de frecuencas relatvas acumuladas FUNCIÓN DE F( x ) = P[ X ] x 1 7/8 F DISTRIBUCIÓN (es la probabldad de que X tome un valor nferor o gual a x ) 4/8 1/8 Meddas de tendenca Central y de Dspersón De forma análoga que en la estadístca descrptva, es posble determnar para las varables aleatoras, su medda central equvalente a la meda que se llama Esperanza Matemátca y se denota por E(x) ó µ ; y su medda de dspersón Varanza (de gual nombre) Var[x]. 33

34 Probabldad El Valor esperado o la Esperanza Matemátca para una v.a. dscreta se defne como el promedo esperado de valores (a dferenca que en la estadístca aquí no parto de datos conocdos sno de datos esperados); su cantdad se expresa como: k E[ X] = x f ( ) = 1 x La varanza de una v.a. dscreta se calcula a partr del momento de segundo orden: σ = Var[ X] = E ( X E[ x] ) k [ ] = x [ ] E X = 1 ( ) f ( x ) VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (v.a. contnua) Se defne así a la varable que puede tomar un número nfnto no numerable de valores. Defncón y propedades Representacón Gráfca FUNCIÓN DE DENSIDAD PROBABILÍSTICA f + ( x 0) f ( x) dx = 1 La funcón es mayor que cero. La ntegral defnda en el ntervalo ( ; + ) de la funcón es gual a uno. Se defne como la probabldad de un ntervalo está dado por el área que exste entre la funcón y las abscsas). Dados los valores a y b, de manera que a < b, la Probabldad de que se de un valor X entre a y b es gual al área bajo la curva dado por la ntegral defnda entre los puntos a y b de la funcón de densdad probablístca. P [ a X b] = f ( x) dx b a P[ a X b] a b X f FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ( x) = P[ X x] = F f ( t) dt (es la probabldad de que X tome un valor nferor o gual a x) x Área= F( x)... F( x) f( x) x 34

35 Probabldad Meddas de tendenca Central y de Dspersón El Valor esperado o la Esperanza Matemátca para una v.a. contnua, dfere de una dscreta en que se determna a partr de una cantdad nfnta de valores; su cantdad se expresa desde su funcón de densdad. [ ] + E X = x. f ( x) dx La varanza de una v.a. contnua se calcula a partr del momento de segundo orden. σ + [ X ] = E[ ( X E[ x] ) ] = ( x E[ X] ) = Var f ( x) dx DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS Hay leyes de la probabldad que se aplcan a varables aleatoras dscretas y contnuas, para su cálculo, y que son base para la nferenca estadístca. DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCRETAS DISTRIBUCIONES CARACTERÍSTICAS Dstrbucón de Bernoull Consste en realzar un expermento una sola vez y observar s certo suceso ocurre(éxto) ó no (fracaso). p es la probabldad de que ocurra (valor 1) y q=1-p es la probabldad de fracaso. 0 q = 1 p = P[ X = 0] x Ber( p) X = 1 p = P[ X = 1] Ley de probabldad q f ( x) = p 0 LEY DE PROBABILIDAD S x = 0 S x = 1 En cualquer otro caso MEDIDAS DE SUS MOMENTOS E [ X ] = p Var[ X ] = p q Dstrbucón Bnomal Ley bnomal B(n,p) que se nterpreta como la suma de n v.a. ndependentes de Bernoull con el msmo parámetro p. x B n, p) X = X Donde Ley de probabldad ( 1 X n x Ber( p), = 1,..., n n k n k f ( k) = P[ X = k] = p q k = 0,1,..., n k E[ X ] = n p Var[ X ] = n p q 35

36 Probabldad DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS DISCRETAS DISTRIBUCIONES CARACTERÍSTICAS LEY DE PROBABILIDAD MEDIDAS DE SUS MOMENTOS Dstrbucón geométrca Parte de v.a. ndependentes de Bernoull, pero se consdera la suma de fracasos obtendos hasta la aparcón del prmer éxto buscado en la sucesón. X Ley de probabldad Ber( p), = 1,,...,,,..., 1 X X,... donde X k f ( k) = P[ X = k] = p q k = 0,1,..., E [ X ] = q p q Var [ X ] = p Dstrbucón Bnomal Negatva Sobre una sucesón de v.a. ndependentes de Bernoull, defnmos el nº de fracasos obtendos hasta la aparcón de r éxtos. Con parámetros r y p se defne la Ley Bnomal negatva. X Ley de probabldad k + r 1 f ( k) = P X = k = p r 1 Prmeros expermentos Éxto fnal Ber( p), = 1,,...,,,..., 1 X X,... donde X r 1 k [ ] q p k = 0,1,..., n k + r 1 r p = p q k k + r 1 k rq E [ X ] = p rq Var [ X ] = p Dstrbucón Hpergeométrca Se utlza para calcular la probabldad de certos sucesos en forma proporconal al conjunto exstente. Sus parámetros son: N(tamaño de la poblacón); n(cant. de extraccones sn reemplazamentos) y p (probabldad de éxto deseado). X Hgeo( N, n, p) Ley de probabldad N p N q [ ] k n k P X = k = ; N n s máx{ 0, n - Nq } k mín{ n, Np } S N, es muy grande, la dstrbucón hpergeométrca tende a aproxmarse a la dstrbucón bnomal. E[ X ] = n p Var [ X] N n = n p q N 1 Dstrbucón de Posson o de Sucesos raros (λ) Cuando un suceso tene una probabldad muy baja de ocurrr, y el nº de expermentos es muy alto, se utlza esta dstrbucón. Se la conoce como una dstrbucón límte de una dstrbucón bnomal. B(n,p), donde n p Ley de probabldad = λ,y n (p, es postvo) k f ( k) = P[ X = k] = e λ, k = 0,1,,... k! λ n > 30, p 0,1 B( n, p) Posson( n p) E[ X] = Var[ X] = λ 36

37 Probabldad DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS CONTINUAS Las dstrbucones que sntetzaremos corresponden a varables aleatoras contnuas undmensonales, cuyo valor de funcón de densdad es no nulo y postvo. DISTRIBUCIONES CARACTERÍSTICAS FUNCIONES DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN X Unf ( a, b) MEDIDAS DE SUS MOMENTOS Dstrbucón Unforme ó rectangular Sea X una v.a. contnua, la probabldad de X ncluída en [ a,b] ; depende de su longtud; sendo la probabldad una constante. Funcón de densdad f ( x) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, , b a = s f( x) a x b Unf (a=0, b=) F( x) ,5 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 Funcón de densdad y de dstrbucón b + a E[ X ] = Var [ ] ( b a ) X = 1 Dstrbucón exponencal Es equvalente a la dstrbucón geométrca dscreta; descrbe procesos en los que nos nteresa saber el tempo hasta que ocurre determnado evento, sn consderar el tempo transcurrdo en el que nada pasó. Se defne para los reales postvos. λ, X Exp( λ) Funcón de densdad f ( x) = λe λ x s 0 < x Funcón de dstrbucón ; λx 1 e ; s 0 < x F( x) = 0 ; en otro caso 1,0 0,8 0,6 f ( x) = λe λ x para λ=1 1 E[ X] = λ 1 Var[ X ] = λ 0,4 0, 0,

38 Probabldad DISTRIBUCIONES PROBABILÍSTICAS CONTINUAS DISTRIBUCIONES CARACTERÍSTICAS FUNCIONES DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN Para el conjunto de los nº reales. X N( µ, σ ) MEDIDAS DE SUS MOMENTOS Funcón de densdad f ( x) = 1 e π 1 x µ σ, x Reales La forma de la funcón de densdad es la llamada campana de Gauss. 0,4 N ( µ=0, σ=1) Dstrbucón Normal o Gaussana Es la dstrbucón más mportante pues nos permte determnar cuan concentrados están los datos alrededor de la meda. Es la base que da nco al estudo de la nferenca estadístca. 0,3 0, 0,1 0,0 σ La fgura muestra la Campana de Gauss o la funcón de densdad de una v.a. de dstrbucón normal. El parámetro µ ndca el centro (parámetro de centralzacón) y σ el parámetro de dspersón. La dstanca del centro a los puntos de nflexón es precsamente σ. ~ µ = X = Xˆ = X Cuanto menor sea σ más concentracón de datos cerca de la meda habrá (curva alargada), s σ es más grande, más aplastada será la curva. µ σ E[ X ]= µ Var[ X ] = σ Estudo de normaldad Trabajamos con varables tpfcadas de: µ=0 σ=1. S algunos de estos valores dferen, es necesaro tpfcar de manera tal que conseguremos una nueva varable para trabajar que llamaremos v.a. tpfcada z. = X µ z σ 38