Estadística Teórica II

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1 Tablas d Cotgca Estadístca Tórca II TABLAS DE CONTINGENCIA Satago d la Fut Frádz 89

2 CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE Tablas d Cotgca.- Para comprobar s los opraros cotraba dfcultads co ua prsa maual d mprmr, s hzo ua pruba a cuatro opraros aotado l úmro d atascos sufrdos al troducr l msmo úmro d hojas, dado lugar a la sgut tabla: Opraro A B C D Total Obstruccos Co u vl d sgfcacó dl 5%, xst dfrca tr los opraros? Solucó.- Establcdo la hpótss ula H 0 : 'o xst dfrca tr los opraros' La probabldad d qu s atascas ua hoja sría / 4 para todos los opraros. D st modo, l úmro d atascos sprados para cada uo d llos sría 0. ( ), L, 4 Tmos, la tabla d cotgca x 4: Opraro A B C D Total Obstruccos 6 (0) 7 (0) 9 (0) 8 (0) 40 (40) S acpta la hpótss ula, a u vl d sgfcacó α s k k ( k ) < α ; k stadístco tórco k úmro trvalos stadístco cotrast o b, la rgó d rchazo d la hpótss ula: R k ( ) α ; k co lo cual, Co l vl d sgfcacó ( α 0, 05 ), l stadístco tórco: 0 7, 85 sdo, 05 ; > 7, 85 0, 05 ; 3 s vrfca la rgó d rchazo, coscuca, rchazamos la hpótss ula y s cocluy qu xst dfrca sgfcatva tr los opraros rspcto al úmro d atascos la prsa d mprmr. Satago d la Fut Frádz 90

3 Tablas d Cotgca CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA POISSON CON PARÁMETRO DESCONOCIDO..- E u laboratoro s obsrvó l úmro d partículas α qu llga a ua dtrmada zoa procdts d ua sustaca radactva u corto spaco d tmpo smpr gual, obtédos los sguts rsultados: Númro partículas Númro príodos d tmpo S pud ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó d Posso, co u vl d sgfcacó dl 5%? Solucó.- S stablc la hpótss ula H 0 : 'La dstrbucó mpírca s ajusta a la Posso' La hpótss ula s acpta, a u vl d sgfcacó α s k p k ( k ) < α ; k p dod stadístco tórco stadístco cotrast o b, la rgó d rchazo d la hpótss ula: R k p k ( úmro trvalos úmro parámtros a stmar ) α ; k p La dstrbucó d Posso s caractrza porqu sólo dpd dl parámtro λ qu cocd co la mda. Sa la varabl alatora X úmro d partículas y úmro d príodos d tmpo x x P (x k ) p , , , , , , x 590 x λ, 49 λ, coscuca, k,, P(x k) k 0, L, 5 k! Las probabldads co qu llga las partículas k 0,, L, 5 s obt susttuydo los valors d k la fórmula P(x k,. k), o b las tablas co λ, k! Satago d la Fut Frádz 9

4 Tablas d Cotgca Para vrfcar s l ajust d los datos a ua dstrbucó d Posso s acpta o o, mdat ua, tmos qu calcular las frcucas spradas p ) ( x frcucas 0 ( 48,) 00 ( 77,8) 40 ( 3 06,7) 0 0 ( 4 4,7) ( 5,8) ( 6 3,05) 49. 0,30 48, 49. 0,364 77, ,69 06, , , ,060, ,006 3, 05 dado lugar a ua tabla d cotgca x 6, dod hay qu agrupar las dos últmas columas por tr la últma columa frcucas spradas mors qu cco. Por tato, s t la tabla d cotgca x 5: x y 5 frcucas 0 ( 48,) 00 ( 77,8) 40 ( 3 06,7) 0 ( 4 4,7) ( 5 5,8) Así, los grados d lbrtad so trs ( k p 5 3) El stadístco d cotrast: 5 ( ) ,3 48, 77,8 06,7 4,7 5,8 El stadístco tórco: 0 7, 85,05 ; 3 El stadístco d cotrast (bodad d ajust) s mayor qu l stadístco tórco ( 7,85), rchazádos la hpótss ula, s dcr, la dstrbucó NO s pud ajustar a ua dstrbucó d Posso a u vl d sgfcacó dl 5%. k ( ) S vrfca la rgó d rchazo: R { 3,3 > 7,85 } E l tst d la α ; k p hay qu tr cuta las sguts cosdracos: Hay qu tr cuta l úmro d modaldads qu admt l caráctr, ya qu al habr más modaldads la va sdo cada vz más grad. Para mplarlo corrctamt s csaro qu las frcucas spradas d las dsttas modaldads o sa fror a cco. Satago d la Fut Frádz 9

5 Tablas d Cotgca S xst algua modaldad qu tga ua frcuca sprada mor qu cco s agrupa dos o más modaldads cotguas ua sola hasta lograr qu la uva frcuca sa mayor qu cco. S para obtr las frcucas spradas s csta hallar p parámtros tocs los grados d lbrtad d la so (k - p) s so dpdts, y (k p - ) s so xcluyts las modaldads. S pud aplcar l tst d la stuacos las qu s qur dcdr s ua sr d obsrvacos s ajusta o o a ua fucó tórca prvamt dtrmada (bomal, Posso, ormal, o hpotétca). Satago d la Fut Frádz 93

6 Tablas d Cotgca CONTRASTE NO PARAMÉTRICO DE BONDAD DE AJUSTE A UNA NORMAL CON PARÁMETROS DESCONOCIDOS. 3.- Para ua mustra alatora smpl d 350 días, l úmro d urgcas tratadas daramt u hosptal A quda rfljado la sgut tabla: Nº urgcas Total días Nº días Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, s la dstrbucó dl úmro d urgcas tratadas daramt l hosptal A s ajusta a ua dstrbucó ormal. Solucó.- Para ajustar los datos obtdos a ua dstrbucó ormal N( μ, σ) d parámtros dscoocdos, s csta stmar los dos parámtros rcurrdo a los stmadors máxmo-vrosímls: (ˆμ x, ˆσ σ ), dod la varabl alatora X úmro d urgcas daras. S stablc la hpótss ula x H 0 : 'La dstrbucó mpírca s ajusta a la ormal' S acpta la hpótss ula, a u vl d sgfcacó α s k p k ( k ) < α ; k p dod stadístco tórco stadístco cotrast k p úmro trvalos úmro parámtros a stmar ) S obt la mda y la dsvacó típca: Itrvalos x x x 0-5, , ,5 3656,5 0-5, , ,5 9093,75 0-5, , , x x 86437,5 Satago d la Fut Frádz 94

7 6 6 Tablas d Cotgca x (x x) x x 4,5 σ (x ) 36, x σ x 6, 06 ) S procd al ajust d ua dstrbucó ormal N (4,5 ; 6,06) hallado las probabldads d cada uo d los trvalos: Itrvalos p p 6 ) ( ( ) / ,0498 7,43 6,6 0, ,74 59,99 5, 0, ,303 05,8 33,76 0, ,867 00,35 8,6 0, ,396 48,86 4,, ,0366,8 7,9 0,6 350 ( ) / 4, ,5 x 4,5 5 4,5 P(0 < x < 5) P < < P(,39 < z <,57) 6,06 6,06 6,06 P(,57 < z <,39) P(z >,57 ) P(z >,39) 0,058 0,0084 0, ,5 x 4,5 0 4,5 P(5 < x < 0) P < < P(,57 < z < 0,74) 6,06 6,06 6,06 P( 0,74 < z <,57 ) P(z > 0,74) P(z >,57 ) 0,96 0,058 0,74 0 4,5 x 4,5 5 4,5 P(0 < x < 5) P < < P( 0,74 < z < 0,08) 6,06 6,06 6,06 P( 0,08 < z < 0,74) P(z > 0,74) P(z > 0,08) 0, 468 0,96 0, ,5 x 4,5 0 4,5 P(5 < x < 0) P < < P( 0, 08 < z < 6,06 6,06 6,06 P(z > 0,08) P(z > 0,9) 0, 468 0,84 0,867 0,9) 0 4,5 x 4,5 5 4,5 P(0 < x < 5) P < < P( 0,9 < z < 6,06 6,06 6,06 P(z > 0,9) P(z >,73) 0,84 0, 048 0,396,73) 5 4,5 x 4,5 30 4,5 P(5 < x < 30) P < < P(,73 < z < 6,06 6,06 6,06 P(z >,73) P(z >,56) 0, 048 0, 005 0, 0366,56) 3) S calcula las frcucas spradas, multplcado las probabldads por l úmro total p. Satago d la Fut Frádz 95

8 Tablas d Cotgca 4) S calcula l stadístco d cotrast, dod l úmro d grados d lbrtad s k p (º trvalos) (º parámtros a stmar) 6 3, co lo cual, ( ) 6 3 4,57 Por otra part, l stadístco tórco 0 7, 85,05 ; 3 Como 4,57 < 7, 85, s acpta la hpótss ula a u vl d sgfcacó 3 0,05 ; 3 dl 5%. E coscuca, la varabl alatora úmro d urgcas l hosptal A sgu ua dstrbucó N (4,5 ; 6,06). Satago d la Fut Frádz 96

9 Tablas d Cotgca CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD. 4.- Para coocr la opó d los cudadaos sobr la actuacó dl alcald d ua dtrmada cudad, s ralza ua custa a 404 prsoas, cuyos rsultados s rcog la sgut tabla: Dsacurdo D acurdo No cotsta Mujrs Varos Cotrastar, co u vl d sgfcacó dl 5%, qu o xst dfrcas d opó tr hombrs y mujrs at la actuacó dl alcald. Solucó.- S trata d u cotrast d homogdad l qu s dsa comprobar s las mustras procd d poblacos dsttas. Tmos dos mustras clasfcadas trs vls, dod s dsa coocr s los hombrs y mujrs procd d la msma poblacó, s dcr, s s comporta d mara smjat rspcto a la opó d la actuacó dl alcald. La hpótss ula: H 0 :'No xst dfrca tr hombrs y mujrs rspcto a la opó' Rgó d rchazo d la hpótss ula: R { } (k ).(m ) α ; (k ).(m ) S forma ua tabla d cotgca x 3 d la sgut forma: cada frcuca obsrvada ( ), L,k ; j, L, m la tabla d cotgca tmos ua frcuca tórca o x y j sprada qu s calcula mdat la xprsó: p, dod p so las probabldads d qu u lmto tomado d la mustra prst las modaldads x d X y j d Y. Dsacurdo D acurdo No cotsta Total ( ) Mujrs Varos 84 ( 99, 5) 8 ( 0, 5) 78 ( 68,96) 6 ( 7, 03) 37 ( 3 30,53) 5 ( 3 3, 46) x Satago d la Fut Frádz 97

10 Tablas d Cotgca Total ( ) y j ,5 68, , ,5 7, , El stadístco d cotrast: 3 j ( ) ( ).(3 ), co lo qu, 3 j ( ) (84 99,5) 99,5 ( 78 68, 96) 68,96 (37 30, 53) 30,53 (8 0, 5) 0,5 ( 6 7, 03) 7, 03 (5 3, 46) 3, 46 9,76 sgu ua co dos grados d lbrtad s s crta la hpótss ula co > 5, j ; caso cotraro sría csaro agrupar flas o columas cotguas. k m ( ) k m El stadístco d cotrast: (k ).(m ) j j (mara útl) 3 j ,5 68,96 30,53 0,5 7, , ,76 El stadístco tórco 0 5, 99,05 ; Como 9, 76 > 5, 99 s cumpl la rgó d rchazo, cocluydo qu las 0,05 ; mustras o so homogéas, sto s, o procd d la msma poblacó, hombrs y mujrs o opa lo msmo. Satago d la Fut Frádz 98

11 Tablas d Cotgca CONTRASTE DE INDEPENDENCIA. 5.- Novctos ccuta scolars s clasfcaro d acurdo a sus hábtos almtcos y a su cofct tlctual: Cofct Itlctual Total < Nutrcó bua Nutrcó pobr Total A u vl d sgfcacó dl 0%, hay rlacó tr las dos varabls tabuladas? Solucó.- S trata d u cotrast d dpdca tr l cofct tlctual y los hábtos almtcos. S stablc las hpótss: H H 0 :'Las dos varabls studadas so dpdts' :'Exst dpdca tr las dos varabls' El stadístco d cotrast: k m j ( ) k (k ).(m ) m j (mara útl) Sdo la rgó d rchazo d la hpótss ula: R { } (k ).(m ) α ; (k ).(m ) E la tabla d cotgca x 4 para cada frcuca obsrvada ( ), L,k ; j, L, m s t ua frcuca tórca o sprada qu s calcula mdat la xprsó: p x y j Nutrcó bua Nutrcó pobr Cofct Itlctual Total ( ) < ( 5, 46) ( 33,5) ( 3 73,8) ( 09, 47) 3 ( 3, 53) 7 (, 74) 3 ( 6, ) ( 9, 5) x Satago d la Fut Frádz 99

12 Tablas d Cotgca Total ( ) y j , 46 33, , 8 09, ,53, , 9, El stadístco d cotrast: ,75 5,46 33,5 73,8 09,47 3,53,74 6, 9,5 j ó b, 3 4 j ( ) (45 5,46) 5,46 (8 33,5) 33,5 (77 73,8) 73,8 (9 09,47) 09,47 (3 3,53) 3,53 (7,74),74 (3 6,) 6, (0 9,5) 9,5 9,75 sgu ua co trs grados d lbrtad s s crta la hpótss ula co > 5, j ; caso cotraro sría csaro agrupar flas o columas cotguas. El stadístco tórco 0 6, 5,0 ; 3 Como 9, 75 > 6, 5 s cumpl la rgó d rchazo, cocluydo qu s 3 0,0 ; 3 rchaza la dpdca, habdo por tato dpdca stadístca tr l cofct tlctual y la almtacó. Satago d la Fut Frádz 00

13 Tablas d Cotgca 6.- Trs métodos d mpaqutado d tomats furo probados durat u príodo d cuatro mss; s hzo u rcuto dl úmro d klos por 000 qu llgaro stropados, obtédos los sguts datos: Mss A B C Total Total a) Obsrvado smplmt los datos, qué s pud frr sobr l xprmto? b) Co u vl d sgfcacó d 0,05, comprobar qu los trs métodos t la msma fcaca. Solucó.- a) Co la smpl obsrvacó d los datos, l mpaqutado A parc sr l mjor, ya qu s l qu mos klos d tomats stropados tuvo; s b, sta stuacó pud sr gañosa, ya qu hay qu tr cuta l úmro d klos qu s mpaqutaro. Para tomar ua dcsó sobr s hay dfrca tr los dfrts métodos d mpaqutado, s cotrasta la hpótss ula H 0 'No xst dfrca tr los métodos d mpaqutado'. b) Sa la hpótss ula H 0 'No xst dfrca tr los métodos d mpaqutado'. S acpta H 0 s: k m ( k ).(m ) j Formamos la tabla d cotgca 3 x 4, dod < α;(k ).(m ) Empaqutado Mss A B C Total 3 6 ( 8 ( 8 ( 3 6,35) 7,8) 7,3) 0 ( ( ( 3 9,0), 09) 8 0,39) ( 3 ( 3 ( 33 x 0. 0, 6) 3,0) 4,8) y j 6 (6) 3 (3) 30 (30) Satago d la Fut Frádz 0

14 4 9 ( 4 9,5) ( 4 4 3,5) ( , 97) Tablas d Cotgca 39 (39) Total ,35 7, 8 3 7, 3 4 9, ,0, , , ,65 3 3, 0 33, , Estadístco d cotrast: ( 3 ) (4 ) 6 8,4 7, 4 j,05 ; 6 El stadístco tórco o sprado 0, ,05 ; 6 Como,4 <, 59, l stadístco obsrvado s mor qu l stadístco tórco o sprado, NO s cumpl la rgó d rchazo, cocluydo qu los trs métodos d mpaqutado t la msma fcca. Satago d la Fut Frádz 0

15 Tablas d Cotgca 7.- Ua mprsa multacoal dsa coocr s xst dfrcas sgfcatvas tr sus trabajadors dsttos paíss l grado d satsfaccó l trabajo- Para llo s toma mustra alatoras smpls d trabajadors, obtdo los sguts rsultados: Satsfaccó l trabajo Muy satsfcho Satsfcho Isatsfcho Muy satsfcho España Fraca Itala Pud admtrs co u vl d sgfcacó dl 5% qu la satsfaccó l trabajo s smlar los trs paíss? Solucó.- La hpótss ula H 0 :'Las proporcos d los trabajadors co los dsttos grados d S acpta H 0 : satsfaccó so guals los trs paíss' k m k m ( ) ( k ).(m ) (k ).(m ) j j Rgó d rchazo d la hpótss ula: R { } (k ).(m ) < α ; (k ).(m ) α;(k ).(m ) S forma la tabla d cotgca 3 x 4 dod cada frcuca obsrvada ( ) x y j, L,k ; j, L,m t ua frcuca tórca o sprada p España Fraca Itala Satsfaccó l trabajo Muy satsfcho Satsfcho Isatsfcho Muy satsfcho Total ( ( ( ,86) , 8) , 33) ( ( ( ,7) 380, 95) ,33) ( 3 ( ,4) , 86) 50 ( ) ( 4 ( 4 ( ,9) 50 5,38) 50 33,33) 900 (900) 00 (00) 050 (050) Satago d la Fut Frádz 03

16 Tablas d Cotgca Total ( ) Estadístco obsrvado: (3 ).(4 ) ,33 333, j ,55 33,33 j ,86 85,7 57,4 4,9 33,8 380,95 34,86 5,38 0,05;(3 ).(4 ) 0,05;6 Estadístco tórco:, 59 Como 0,05;6 6 49,55 >, 59 s rchaza la hpótss ula d homogdad d las trs mustras; s dcr, la satsfaccó l trabajo d los mplados d los trs paíss s sgfcatvamt dstta los tras paíss. Satago d la Fut Frádz 04

17 Tablas d Cotgca 8.- Las compañías d sguros d automóvls sul palzar sus prmas a los coductors más jóvs, co l crtro qu éstos so más propsos a tr u mayor úmro d accdts. E bas a la tabla adjuta, co u vl d sgfcacó dl 5%, cotrastar s l úmro d accdts s dpdt d la dad dl coductor. Edad dl Númro d accdts al año coductor o mos más d Solucó.- La hpótss ula H 0 :'El úmro d accdts sufrdos por los coductors o dpd S acpta H 0 : d la dad dl coductor' k m k m ( ) ( k ).(m ) (k ).(m ) j j Rgó d rchazo d la hpótss ula: R { } (k ).(m ) < α ; (k ).(m ) α;(k ).(m ) S forma la tabla d cotgca 3 x 5 dod cada frcuca obsrvada ( ), L,k ; j, L,m t ua frcuca tórca o sprada caso d dpdca x y j p Númro d accdts por año Edad dl coductor 5 o mos 6-35 más d x 0 33,75 0, ,87 0 6,5 0 6, , 0 3 4, , , , , , , , ,69 50 (50) 95 (95) 55 (55) y j dod, Satago d la Fut Frádz 05

18 Tablas d Cotgca ,75, 37 34, ,5 6, 6 7, ,37 5, 44 5, ,5 6, 6 7, ,37 4, 94 40, ( ) Estadístco obsrvado: (3 ).(5 ) 8 j j ,75 6,5 4,37 6,5 39,37,37 6,6 5,44 6,6 4, ,5 34,87 7, 5,9 7, 40,69 0,05;(3 ).(5 ) 0,05;8 Estadístco tórco: 5, 507 Como 0,05;8 8 43,5 > 5, 507 s rchaza la hpótss ula d dpdca tr la dad dl coductor y l úmro d accdts; s dcr, la dad fluy sgfcatvamt l úmro d accdts al año. Satago d la Fut Frádz 06

19 Tablas d Cotgca COEFICIENTE DE CONTINGENCIA 9.- E dos cudads, A y B, s obsrvó l color dl plo y d los ojos d sus habtats, cotrádos las sguts tablas: Ojos Plo Cudad A Rubo No Rubo Ojos Plo Cudad B Rubo No Rubo Azul 47 3 Azul No azul 3 93 No azul 4 80 S pd: a) Hallar los cofcts d cotgca d las dos cudads. b) E cuál d las dos cudads podmos afrmar qu hay mayor dpdca tr l color dl plo y d los ojos? Solucó.- a) El COEFICIENTE DE CONTINGENCIA s ua mdda d grado d rlacó o dpdca tr dos caractrs ua tabla d cotgca, dada por: dod C C Cuáto mayor sa l valor d C más alto s l grado d dpdca tr dos caractrs (X, Y). Tmos qu hallar prmro los valors d la corrspodts a las dos. x y j obsrvacos. Para la poblacó A, la tabla d cotgca x : Cudad A Plo Ojos Rubo No Rubo Total Azul No azul ( ( 8,4) 3 49, 85) ( ( 93 4,85) 74,4) (70) 4 (4) Total Satago d la Fut Frádz 07

20 Tablas d Cotgca ,4 4, 85 49, 85 74, Estadístco d cotrast: ( ) ( ) 94 33,07 8,4 4,85 49,85 74,4 j 33,07 El cofct d cotgca: C A 0, ,07 94 Para la poblacó B, la tabla d cotgca x : Ojos Azul No azul Plo ( ( Cudad B Rubo No Rubo Total 54 39,5) 4 56, 85) ( ( ,85) 65,5) 84 (84) () Total ,5 44, 85 56, 85 65, Estadístco d cotrast: ( ) ( ) 06 7,8 39,5 44,85 56,85 65,5 j 7,8 El cofct d cotgca: C B 0, 8 7,8 06 a) Como l cofct d cotgca md l grado d rlacó o dpdca tr las varabls, afrmamos qu la poblacó A hay mayor dpdca tr l color d los ojos y dl plo. Satago d la Fut Frádz 08

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