La Aplicación de Gauss y la Segunda Forma Fundamental. Alan Reyes-Figueroa Geometría Diferencial (Aula 16) 05.marzo.2021

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1 La Aplicación de Gauss y la Segunda Forma Fundamental Alan Reyes-Figueroa Geometría Diferencial (Aula 16) 05.marzo.2021

2 La aplicación de Gauss En el caso de una curva regular α (parametrizada por longitud de arco), ya vimos que la curvatura está dada por la norma del vector t (s) = α (s), ento es t (s) = κ(s)n(s). Podemos definir un concepto similar para superficies regulares? Sea S una superficie orientada (ya sea por la elección de un atlas coherente maximal, o por la elección de un campo normal diferenciable), y sea x : U R 2 V S una parametrización en una vecindad de p S. Consideramos la siguiente aplicación N : S R 3, dada por N(p) = x u(q) x v (q) x u (q) x v (q), conq = x 1 (p). Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 1

3 La aplicación de Gauss Definición Dada una superficie orientada S, la aplicación N : S S 2 dada por el vector normal unitario N(p) que define la orientación de S es llamada la aplicación de Gauss ó aplicación normal de Gauss. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 2

4 La aplicación de Gauss N es un mapa diferenciable entre superficies. Su derivada DN(p) : T p S T N(p) S 2 es tal que si α es una curva diferenciable sobre S, α : ( ε, ε) S, con α(0) = p y α (0) = v, entonces DN(p) v = (N α) (0). Obs! Como S 2 = f 1 (1), donde f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y 1 es valor regular de f, entonces T q S 2 = f(q) = Ker Df(q). En particular, f(x, y, z) = 2(x, y, z) f(q) = 2q y T q S 2 = q. En conclusión, T N(p) S 2 = N(p) = T p S, y podemos pensar en la derivada de la aplicación de Gauss como un mapa DN(p) : T p S T p S, p S. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 3

5 La aplicación de Gauss Propiedad DN(p) : T p S T p S es una transformación lineal auto-adjunta. Prueba: Sea x : U R 2 V S una parametrización, y sea p V S. Como N(p) x u, x v, tenemos que N x(q), x u = 0 y N x(q), x v = 0. Derivando con respecto a u y v, obtenemos DN(p) x v, x u + N, x uv = 0, DN(p) x u, x v + N, x vu = 0. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 4

6 La aplicación de Gauss Siendo x de clase C 2, entonces x uv = x vu, luego DN(p) x u, x v = N, x vu = N, x uv = DN(p) x v, x u = x u, DN(p) x v. Por simetría del producto interno, también tenemos DN(p) x u, x u = x u, DN(p) x u, DN(p) x v, x v = x v, DN(p) x v. Extendiendo por linealidad las relaciones anteriores, se obtiene DN(p) w 1, w 2 = w 1, DN(p) w 2, w 1, w 2 T p S. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 5

7 Segunda forma fundamenta Definición Sea S una superficie orientada. La segunda forma fundamental de S en p es la forma cuadrática II p : T p S R dada por II p (v) = DN(p) v, v. Si α : ( ε, ε) S es una curva con α(0) = p y α (0) = v, y α (s) = 1, para todo s ( ε, ε), entonces N(α(s)), α (s) = 0, Diferenciando en s obtenemos N, α (s) + DN(α) α (s), α (s) = 0, s. En particular, para s = 0 N(p), α (0) = DN(p) v, v = II p (v). s. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 6

8 Segunda forma fundamental Como α (0) = κ(0)n(0) = κn, tenemos que II p (v) = κ N(p), n. Definición El número κ N(p), n es llamado la curvatura normal de α en S en p. Pregunta: Qué ocurre si tomamos otra curva β : ( ε, ε) S, con β(0) = p, β (0) = v? Teorema (Meusnier) Cualesquiera dos curvas α, β en S, pasando por p y tangentes entre sí (esto es, α(0) = p = β(0), α (0) = v = ±β (0)) poseen la misma curvatura normal. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 7

9 Segunda forma fundamental Del teorema de Meusnier, tenemos que la curvatura normal no depende de la orientación de la curva, pero cambia de signo al mudar la orientación de S. Sea P el plano que para por p, y que es generado por los vectores v = α (0), N = N(p). S y P son superficies transversales α v = S P es una curva regular, llamada la sección normal de S en p, en la dirección de v. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 8

10 Curvaturas Obs! Si α v es tal que α v (0) = p, α v(0) = v y n αv (0) = N(p), entonces la segunda forma fundamental está dada por II p (v) = κ αv N(p), n = κ αv. Teorema (Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos) Sea V espacio vectorial de dimensión finita n, con producto interno,, y A : V V un operador auto-adjunto. Entonces, A admite una descomposición de la forma A = UΛU T, donde Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) es la matriz diagonal formada por los autovalores λ 1 λ 2... λ n de A, y U = ( u 1 u 2... u n ) R n n es una matriz ortogonal cuyas columnas son los autovalores de A, con u i el autovalor correspondiente a λ i, i = 1, 2,..., n. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 9

11 Curvaturas En particular, existe una base ortonormal u 1, u 2,..., u n de V, tal que en esta base, A es diagonalizable, i.e. Au i = λ i u i, para i = 1, 2,..., n. Corolario Si S es una superficie orientada, para todo punto p S existe una base ortonormal {e 1, e 2 } de T p S tal que DN(p) e 1 = κ 1 e 1, y DN(p) e 2 = κ 2 e 2. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 10

12 Curvaturas Definición κ 1 y κ 2 se llaman las curvaturas principales de S en p. Los vectores e 1 y e 2 se les llama las direcciones principales de S en p. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 11

13 Curvaturas Propiedad (Euler, 1760) Sea S superficie orientada, p S. Para cualquier vector v T p S se tiene que κ 1 κ(α v ) κ 2. Así, κ 1 y κ 2 corresponden a las curvaturas normales máxima y mínima en p, respectivamente. Prueba: Tomemos v T p S, con v = 1. Podemos escribir v = cos ϕe 1 + sin ϕe 2. Entonces, II p (v) = DN(p) v, v = DN(p) (cos ϕe 1 + sin ϕe 2 ), cos ϕe 1 + sin ϕe 2 = κ 1 cos ϕe 1 κ 2 sin ϕe 2, cos ϕe 1 + sin ϕe 2 = κ 1 cos 2 ϕ + κ 2 sin 2 ϕ. Si κ 1 κ 2 κ 1 = κ 1 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) II p (v) κ 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = κ 2. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 12

14 Curvaturas Las curvaturas principales κ 1 y κ 2 están relacionadas con el tensor de estrés. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 13

15 Curvaturas Gauss nos enseña hasta como se debe tomar un pedazo de pizza. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 14

16 Ejemplos Ejemplo 1: (El plano) Tomemos la parametrización x(u, v) = p 0 + uw 1 + vw 2, con {w 1, w 2 } base del plano. Luego, x u = w 1, x v = w 2. De ahí, es constante. N(p) = x u(p) x v (p) x u (p) x v (p) = w 1 w 2 w 1 w 2 DN(p) = 0, p S. Así, si e 1 y e 2 son las direcciones principales, entonces DN(p) e 1 = 0 = 0e 1, DN(p) e 2 = 0 = 0e 2. De modo que κ 1 = 0 y κ 2 = 0. En este caso II p (v) = 0, para todo v T p S. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 15

17 Ejemplos Ejemplo 2: (Esfera de radio R) Para una esfera S 2 de radio R (centrada en el origen), tenemos que la aplicación de Gauss, con la orientación que apunta todos los vectores normales hacia el origen, es N(p) = 1 R p, p S2. Luego, DN(p) v = 1 R I v = 1 R v, v T ps 2. En particular, II p (v) = DN(p) v, v = 1 R v 2. Si e 1 y e 2 son las direcciones principales en S 2 R, entonces DN(p) e 1 = 1 R e 1, DN(p) e 2 = 1 R e 2. Luego, κ 1 = 1 R y κ 2 = 1 R, y II p(v) = 1 R, para todo v T ps 2. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 16

18 Ejemplos Ejemplo 3: (Cilindro) Consideramos el cilindro S = S 1 R = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = R 2 }. S = f 1 (R 2 ), con f(x, y, z) = x 2 + y 2, y como R 2 es valor regular de f, S es superficie regular orientable. Además, f(x, y, z) N(p) = f(x, y, z) = (2x, 2y, 0) (2x, 2y, 0) = 1 R (x, y, 0) = 1 R p. Consideramos la curva (x(t), y(t), z(t)) contenida en el cilindro, es decir, con x(t) 2 + y(t) 2 = R 2. A lo largo de esta curva, N(t) = 1 ( x(t), y(t), 0) y R por lo tanto, DN(p) (x (t), y (t), z (t)) = N (t) = 1 R ( x (t), y (t), 0). Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 17

19 Ejemplos Concluimos lo siguiente: Si w 1 es un vector tangente al cilindro y paralelo al eje z, entonces DN(p) w 1 = 0 = 0w 1 ; si w 2 es un vector tangente al cilindro y paralelo al plano xy, entonces DN(p) w 2 = 1 R w 2. De ello se deduce que w 1 y w 2 son los autovectores de DN(p), con autovalores κ 1 = 0 y κ 2 = 1 R, respectivamente. Aplicación de Gauss Alan Reyes-Figueroa Page 18

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