1. FUNDAMENTOS. Sistemas de medida. Ecuaciones dimensionales. Ecuaciones adimensionales. Análisis dimensional

Transcripción

1 Lámina 0 1. FUNDAMENTOS Sistemas de medida Ecuaciones dimensionales Ecuaciones adimensionales Análisis dimensional Balance de masa o de materiales (Ec. de continuidad total) Balance de componentes (Ec. de continuidad de componentes) Balance de energía Entalpía

2 Lámina 1 Sistemas de medida * Sistema cegesimal o CGS * Sistema MKS * Sistema técnico europeo * Sistema técnico inglés * Sistema internacional de unidades o SI

3 Lámina Sistema cegesimal o CGS Magnitudes Fundamentales Unidad de medida Longitud Masa L m (cm) (g) Tiempo t, τ (s) Temperatura T, θ (ºK) Unidades derivadas Fuerza (o peso): F = ma = m (V/t) = m (L/t ) => dina = g cm/s Energía (trabajo, cantidad de calor): E = F L ergio (erg) = dina cm = g cm /s Joule (J) = 10 7 erg = 10 7 g cm /s

4 Sistema CGS: Unidades derivadas Lámina 3 Potencia (flujo de calor): W = E/t => vatio (watt) = J/s Presión: P = F/S => microbar (µbar) = dina/cm = g /(cm s ) Densidad: ρ = m/v = g/cm 3 Peso específico: γ = F/V = dina/cm 3 ( γ = mg/cm 3 = ρg ρ = γ /g ) Viscosidad dinámica: Es la fuerza, por unidad de superficie, que se requiere para mover una lámina de fluido sobre otra, creando un gradiente de velocidad entre las láminas igual a la unidad. l v 1 v S Lámina 1 Lámina F µ = -F/(S dv/dl) = dina s/cm = poise Viscosidad cinemática: υ = µ/ ρ = µ/(γ/ρ) = µg/γ

5 Lámina 4 Sistema MKS Magnitudes Fundamentales Unidad de medida Longitud Masa Tiempo L m t, τ (m) (kg) (s) Temperatura T, θ (ºC) Unidades derivadas Fuerza (o peso): F = ma => Newton (N) = kg m/s Energía (trabajo, cantidad de calor): E = F L = N m = kg m /s = Joule (J)

6 Lámina 5 Sistema MKS: Unidades derivadas Potencia (flujo de calor): W = E/t => vatio (watt) = J/s Presión: P = F/S = newton/m = N/m Densidad: ρ = m/v = kg/m 3 ( ρ = γ /g ) Peso específico: γ = F/V = kg/(m s ) = N/m 3 ( γ = ρg )

7 Lámina 6 Sistema técnico europeo (MK gf S) Magnitudes Fundamentales Unidad de medida Longitud Fuerza (Peso) Tiempo L m t, τ (m) (Kgf) (s) Temperatura T, θ (ºC) Cantidad de calor Caloría (cal) Caloría: Energía térmica necesaria para elevar la temperatura de 1 gramo de agua a 14,5 C, en un grado Celsius. 1 kcal = 46,9 kgf m = 4.186,8 J = 3,968 Btu Un kgf es el peso de 1 kg masa, luego: Fuerza (o peso): F = mg => kgf = kg m/s

8 Lámina 7 Sistema MK gf S: Unidades derivadas Masa: m = F/a => 1 Utm = (1 kg 9,806 m/s )/ (1 m /s ) = 9,806 kg = Unidad técnica de masa Energía: E = F L = kgf m = Utm m/s m = 9,806 kg (m /s ) Presión: P = F/S = kgf/m Densidad: ρ = m/v = Utm/m 3 = kgf s /m 4 Peso específico: γ = F/V = kgf/m 3 = (kg 9,806 m/s )/m 3 = ρ 9,806 m/s Viscosidad dinámica: µ = -F/(S dv/dl) = kgf/(m m/s m) = (kgf s)/m

9 Lámina 8 Sistema técnico inglés Magnitudes Fundamentales Unidad de medida Longitud Peso = Masa (numéricamente) Tiempo Pie Libra t, τ (ft) (lb m, lb f ) (sec) Temperatura T, θ (ºF o ºR) Cantidad de calor British Thermal Unit (Btu) Btu: Calor necesario para elevar la temperatura de 1 libra de agua a 60 F, en un grado Fahrenheit. 1 Btu = 0,5 kcal = 778, pie lb Una lbf es el peso de una de 1 lbm, luego: F = (1/g c )ma 1 lb f = (1/g c ) lb m 3, ft/s g c = 3, lb m ft/ lb f s

10 Lámina 9 Sistema técnico inglés: Unidades derivadas Energía: E = F L = lb f ft Potencia (flujo de calor): W = E/t = lb f ft s -1 Presión: P = F/S = lb f ft - Densidad: ρ = m/v = lb m ft -3 Peso específico: γ = F/V = lb f ft -3 Viscosidad dinámica: µ = -F/(S dv/dl) = lb f s /ft

11 Lámina 10 Sistema internacional de unidades (SI) Magnitudes Fundamentales Unidad de medida Longitud Masa Tiempo L m (m) (kg) t, τ (s) Temperatura T, θ (ºK) Cantidad de sustancia Mole (mol) Corriente eléctrica Amperio (A) Intensidad lumínica Candela (cd) 1 mol = cantidad de una sustancia contenida en un peso, en gramos, numéricamente igual al peso atómico de dicha sustancia. El número de moléculas en un mol es igual al Número de Avogadro = 6,

12 Lámina 11 Sistema SI: magnitudes derivadas en términos de las magnitudes fundamentales Magnitudes derivadas Area Volumen Velocidad Unidad de medida (Símbolo) m m 3 m/s Aceleración m/s Densidad kg/ m 3 Concentración mol/ m 3 Viscosidad cinemática m / s

13 Lámina 1 Sistema SI: magnitudes derivadas en términos de otras magnitudes Magnitudes derivadas Unidad de medida (Símbolo) Frecuencia Fuerza Presión Energía, trabajo, cant. calor Potencia, flujo de calor Viscosidad dinámica Capacidad calorífica específica hertz newton pascal joule vatio (watt) pascal segundo joule/kg kelvin Hz s -1 N kg m/s Pa N/m N m W J/s Pa s J /(kg K) Capacidad calorífica molar joule/mol kelvin J /(mol K) Energía específica joule/kilogramo J / kg Energía molar joule/mol J / mol Peso específico newton/metro cúbico N /m 3 Calor específico (molar): Calor necesario para elevar la temperatura de 1 masa unitaria (ó 1 mol) de una sustancia, en 1 grado de temperatura.

14 Factores de conversión de unidades MASA lbm a kg = 0,454 utm a kg = 9,8 Lámina 13 Para convertir de una unidad a otra, multiplicar la primera por el factor de la derecha. DENSIDAD, MASA/VOL lbm/pulg 3 a gr/cm 3 = 7,68 lbm/pulg 3 a N/m 3 = 178 ENERGIA Y TRABAJO joule a ergio = 10 6 BTU a joule = 1055 BTU/seg a vatios = 1,055 BTU/min a HP = 0,0358 calorias a joule = 4,1868 lbf a newtons = 4,448 HP a vatios = 745,7 FLUJO DE MASA lbm/min a kg/min = 0,4536 FLUJO VOLUMETRICO pies 3 /min a cm 3 /seg = 471,9 pies 3 /min a gal/seg = 0,47 PRESION Y ESFUERZO atm a bars = 1,0135 Pulg agua a 68 F a lbf/pulg = 0,03606 kgf/cm a lbf/pulg = 14,3 poise a lbf-seg/pies = 0, VELOCIDAD m/seg a pies/min = 196,8 LONGITUD pulg a cm =,540 m a pies = 3,808 pies a pulg = 1 FUERZA newton a dina = 10 5 kgf a newton = 9,8066 kgf a lbf =,046 newton a poundals = 7,330 VOLUMEN galón a litros = 3,7854 ANGULAR rad. a grados = 57,96

15 Lámina 14 Ecuaciones dimensionales Magnitud Fundamental Longitud Masa Tiempo Temperatura Símbolo L m t, τ T, θ Dimensión L M T θ Ecuación dimensional de la densidad: [ρ] = M/L 3 = ML -3 Ecuación dimensional de la fuerza: [F] = ML/T = MLT - Ecuación dimensional de la masa: [m] = M Ecuación dimensional de la masa: [m] = F/(LT - ) = ML -1 T

16 Ecuaciones adimensionales Supongamos: Presión de una columna de líquido: P = hρ Lámina 15 (altura densidad) dimensionalmente: [P] = [h] [ρ] Donde: [P] = ML/(T L ) = ML -1 T - [h] = L [ρ] = ML -3 Remplazando: ML -1 T - ML - => dimensionalmente incorrecta Sea: Presión de una columna de líquido: P = hγ (altura peso específico) Donde: [P] = ML/(T L ) = ML -1 T - [h] = L [γ] = ML - T - Remplazando: ML -1 T - = ML -1 T - => dimensionalmente homogénea Ecuación adimensional o grupo adimensional: P/hγ = 1

17 Lámina 16 Análisis dimensional Permite la obtención de un modelo sin usar el análisis químico-matemático Ejemplo: Se cree que el flujo a través de un tubo capilar horizontal depende de la caída de presión por unidad de longitud, del diámetro del tubo y de la viscosidad del fluido, es decir: Q = f ( P/L, D, µ ) Consideremos entonces que: Q = k ( P/L) a ( D ) b ( µ ) c Remplazando las dimensiones: L 3 T -1 = k (ML - T - ) a (L) b (ML -1 T -1 ) c Igualando coeficientes (condición de homogeneidad): Para L => 3 = -a b - c Para T => -1 = -a - c Para M => 0 = a c Resolviendo: a = 1, b = 4, c = -1 Entonces: Q = k ( P/L) ( D ) 4 ( µ ) -1 El valor de k se encuentra mediante experimentación

18 Lámina 17 Balance de masa o de materiales (Ec. de continuidad total) Plano 1 Plano Sistema ρ 1, v 1 ρ, v m, V S1 S Balance total de masa a régimen NO estacionario: Velocidad de acumulación de la masa dentro del sistema Flujo de masa que = entra al sistema Flujo de masa que sale del sistema dm dτ = G 1 G = ρ1q1 ρq = ρ1v1s1 ρvs A régimen estacionario, la masa permanece constante dm/dτ = 0

19 Lámina 18 Balance de componentes (Ec. de continuidad de componentes) Plano 1 Plano Sistema ρ j1, v ρ 1 j, v m j, V S1 S Balance de masa de componentes a régimen NO estacionario: Velocidad de acumulación de la masa del componente j dentro del sistema Flujo de masa del = componente j que entra al sistema Flujo de masa del componente j que sale del sistema dm dτ j = G dvρ j j1 G j => = ρ j1v1s1 ρ jvs dτ A régimen estacionario, la masa permanece constante dm j /dτ = 0

20 Balance de componentes (Ec. de continuidad de componentes) Lámina 19 En un sistema con reacciones químicas, los componentes químicos NO se conservan Rata de cambio en el tiempo de masa (moles) del componente j dentro del sistema = Flujo de masa (moles) del componente j dentro del sistema Flujo de masa (moles) del componente j fuera del sistema Rata de formación de masa (moles) del componente j debido a la reacción química dm dτ j dvρ j = G j1 G j rj => = ρ j1v1s1 ρ j vs dτ r j Si C j es número de moles por unidad de volumen, entonces dvc j => = C j1v1s1 C j vs dτ r j

21 Balance de masa o de materiales: Ejemplo 100 = G T0 G F0 (Total) Lámina 0 La corriente líquida, 100 kg/min, que continuamente entra a una torre de destilación, posee el 8 % en peso de heptano y 7 % en peso de tolueno. La concentración en peso de heptano en el tope y en el fondo de la torre es de 5 % y 5 % respectivamente. Calcular el flujo másico a régimen constante de la corrientes que salen de la torre, así como los flujos másicos del heptano en el tope y en el fondo de la torre. Torre G T0 100*0,8 = 0,5 G T0 0,05 G F0 (Para el Heptano) G A de De donde: G T0 = 3/0,47 = 48,93 kg/min Destilación Y: G F0 = ,93 = 51,07 kg/min G F0 Flujo de heptano en el tope: 0,5 G T0 = 5,44 kg/min Flujo de heptano en el fondo: 0,05 G F0 =,55 kg/min

22 Balance de energía La conservación de la energía en un sistema: Lámina 1 Energía radiada Energía (masa) de / dτ Energía (masa) Energía (calor) Variación en el tiempo de la energía dentro del sistema = Flujo de energía que entra al sistema por transporte de la masa Flujo de energía que sale del sistema por transporte de la masa Flujo de energía entregada al sistema en forma de calor Flujo de energía entregada al medio por el sistema

23 Balance de energía Lámina Energía de un cuerpo asociado con la masa: 1. Energía cinética específica, K (debida al movimiento = v /). Energía potencial específica, Φ (depende de la posición = gz) 3. Energía interna específica, U (debida al movimiento interno) 4. Energía de presión específica, P/ρ (debida a la presión externa) Otras fuentes de energía en el sistema: 1. Energía asociada a la reacción química, Qr. Energía debida a la transferencia de calor, Qc 3. Energía debida a la potencia entregada o recibida del medio, W

24 Balance de energía G 1 K 1 φ 1 U 1 P 1 ρ 1 W Sistema K, Φ, U, Qr, m Plano de referencia W = sale W = entra Z Z 1 Qc = entra Qc Qc = sale G K φ U P ρ Lámina 3 de d( K Φ U ) m P1 = = ( K1 Φ1 U1 ) G1 dτ dτ ρ 1 P ( K Φ U ) G ρ Q r Q c W

25 Lámina 4 Balance de energía Si el sistema de flujo está en estado estacionario, la energía interna es constante (de/dτ = 0) y el flujo de entrada es igual al de salida (G 1 = G = G). Entonces: = ) ( ) ( ) ( G P U gz v G P U gz v d m U gz v d ρ ρ τ W Q Q c r Remplazando: K = v / y Φ = gz se obtiene: W Q Q G P U gz v c r = ρ 1. FUNDAMENTOS

26 Lámina 5 Entalpía La entalpía de un fluido está definida por: i, I = U P ρ i => gas I => líquido El calor específico a presión constante viene dado por: I C e = ( ) T P Despejando la entalpía I e integrando: I = T T 1 C e dt (para líquidos) Si Ce es el valor medio del calor específico en el intervalo T 1 - T : I = C e T [I] = [Ce][T] = = (E/MT)T = E/M J/ K, Btu/lbm

27 Lámina 6 Ejemplo: Obtener las ecuaciones de balance de energía a régimen estacionario y a régimen no estacionario. No hay reacción química: Qr = 0 No hay trabajo realizado: W = 0 Q 1, ρ 1, T 1 Q, ρ, T V, ρ, T No hay energía potencial: z 1 z P 1 Velocidades casi iguales: v P = P 1 v 1 Energía cinética despreciable: v 0 Qc Presiones iguales: P 1 = P La ecuación general de energía queda, con m = Vρ y G = Qρ : dum dτ duvρ dτ = Q ρ U Q U = ρ Como P 1 = P, entonces U = I, y por lo tanto: I = CeT. Si ρ 1 = ρ entonces: Q c ρc e d( VT ) dτ = Q1 ρ CeT1 Qρ CeT Q c

28 Lámina 7 Ejemplo (continuación): A régimen estacionario no hay cambios en el tiempo, entonces: d(vt) /dτ = 0 Q 1 = Q = Q. Por lo tanto, la ecuación anterior queda: y Q c = Qρ C e ( T1 T ) = G Ce( T1 T )

29 Lámina 8 Ejemplo: Despreciando las pérdidas de energía debido a la fricción, calcular la velocidad y el caudal de la corriente líquida que sale del recipiente. Sea z = 16 m = constante. La ecuación general de energía es: Q (1) z = 16 m D = 10 cm () v P ( gz U ) G = ρ Q Aquí: Qc = 0, Qr = 0, W = 0 Por ser isotérmico: U = 0 r Q c W El balance de energía entre los puntos 1 y queda => 1 v gz 1 P1 = ρ v gz P ρ v Con P 1 = P, z = 16 m = cte, v 1 = 0, entonces: = g( z1 ) z De donde: D 3 v = g( z1 z) = 17,7 m / s Q = π v = 0,139 m / s 4

30 Lámina 9 Ejemplo: Un compresor toma aire del ambiente a una presión de 1 atm y 460 R (entalpía = 10 Btu/lbm) y lo comprime a 10 atm y 500 R (entalpía = 19 Btu/lbm), que sale a una velocidad de 00 ft/s. Cuál es la potencia en watts requerida por el compresor, si la carga es de 00 lbm/h de aire?. V 1 = 0 P 1 = 1 atm T 1 = 460 R (1) () V = 00 ft/s P = 10 atm T = 500 R Límite del sistema En estado estacionario de/dτ = 0, y la ecuación general de energía es (i = U P/ρ): Sin transferencia de calor, ni reacción química, ni diferencia de alturas entre (1) y (), la ecuación anterior queda: W v ( gz i) G = Q r Q c W v v v 1 = ( i) G = ( i i1 ) G

31 Lámina 30 Ejemplo (continuación): Transformando las unidades del sistema técnico inglés al SI: 1 ft = 0,3048 m 1 lb m = 0,454 kg 1 h = 3600 s 1 Btu = 1055,1 J Se obtiene: v v1 00 ft = = 1860, 5 m s s lbm G = 00 = 0, 05 h kg s Btu i i1 = 19 10,5 = 8,5 = lb m J kg Y: W v = ( i) G = 544,68 J s ( watts)