INTEGRAL IMPROPIA. Extensión del concepto de integral definida La integral definida. 3. La función f (x) sea continua en dicho intervalo.

Transcripción

1 Inegrles INTEGRAL IMPROPIA Eensión del oneo de inegrl definid L inegrl definid d requiere que: El inervlo [, ] se finio L funión f () esé od en el inervlo [, ] L funión f () se oninu en diho inervlo Cundo: () lguno de los límies de inegrión es infinio: (, ], [, + ) o (, ) o () l funión iene un número finio de disoninuiddes en el inervlo [, ], l inegrl se llm imroi Son imrois: L inegrl d Su signifido gráfio se orresonde on el áre de l región somred en l figur djun El inervlo de inegrión es (, + ): l se del reino no esá od L urv es l de l funión L inegrl d Gráfimene es el áre de l región somred en l figur djun El inervlo de inegrión es (, + ) L urv es l de l funión 5 L inegrl d d el áre del reino somredo en l figur de l dereh L funión no es oninu en el uno =, el límie inferior; l lur del reino no esá od 4 L inegrl d d el áre de l región somred en l figur de l izquierd L funión no es oninu en el uno =, que e denro del inervlo de inegrión No: L inegrl (imroi o no) d un áre undo en el inervlo esudido José Mrí Mrínez Medino

2 Inegrles Cómo se lul un inegrl imroi El siguiene ejemlo uede lrr el méodo generl Ejemlo: Pr hllr l inegrl imroi d que d el áre somred en l siguiene figur, uede roederse omo sigue: Se lul l inegrl definid d (el áre desde hs ) Su vlor es: d Resul evidene que undo se he más grnde, el vlor de se roim más ; y undo, el vlor de Por no, uede deirse que d = lim lim En generl se roede omo sigue: Cso (): Si l funión f () es oninu en los inervlos (, ], [, + ) y (, ), reseivmene, enones se define: A d lim d B d lim d C d d d, donde es ulquier número rel Cd un de ls inegrles de l dereh se hen omo los sos A y B Normlmene se om = Si los límies neriores eisen se die que l inegrl imroi onverge; en so onrrio, l inegrl diverge Ejemlos: ) d = lim d = lim lim L inegrl hlld onverge (El áre jo l urv vle ) ) d = d lim ln lim ln ln ln Es inegrl es divergene (El áre jo l urv es infini) lim = ) d d d = (l funión es siméri) = d José Mrí Mrínez Medino

3 Inegrles = lim d lim rn Reuerd: rn( ) ; rn( ) = lim rn rn Cso (): Si l funión f () iene lgun disoninuidd infini uede definirse: A Si l funión es oninu en [, ) y iene un disoninuidd infini en : d lim d B Si l funión es oninu en (, ] y iene un disoninuidd infini en : d lim d C Si l funión es oninu en [, ] y iene un disoninuidd infini en [, ]: d d d (Ess dos inegrles se hen omo en A y B) Ls regiones neriores son omo ls que se indin oninuión Ejemlos: ) d Como l funión no es oninu en =, se iene que d = lim d = lim lim Es inegrl es divergene ) 4 d En ese so, l funión no esá definid r < ; en =, or l dereh, iene un disoninuidd oninu de slo infinio Por no: d = lim d = = lim lim 4 4 Es inegrl onverge 4 ) d En ese so, l funión iene un slo infinio en el uno =, que e denro del inervlo de inegrión Por no: José Mrí Mrínez Medino

4 Inegrles 4 d = d d = lim d lim d = lim lim = = lim lim (Ningun de ls dos inegrles onverge) Nos: d d Si no se oserv que l funión es disoninu en =, se odrí her luldo errónemene que: d 8 8 Crierio de omrión r l onvergeni Si l inegrl imroi de l funión f () no uede herse or méodos onvenionles, r deerminr su onvergeni o no uede reurrirse l siguiene rierio: Sen f () y g () oninus r odo y l que g( ) r odo Enones, si g ( ) d onverge d onverge; y, demás, d g ( ) d Igulmene, si g( ) y si g ( ) d diverge d diverge Pr omrr suele reurrirse dos resuldos onoidos: A d uy onvergeni deende de : oninuión se verá que es onvergene si > A e d que onverge si > Esudio de l onvergeni de d d = lim d = lim d = lim, si = lim, si Oservión: En esos unes y se hn esudido los sos = /; /, y = José Mrí Mrínez Medino

5 Inegrles 5 Esudio de l onvergeni de e d e d = lim e d = lim e En riulr: e d = e En generl, e d Por lo no, lim e lim d = lim e lim e y L funión de disriuión eonenil de roilidd soid (que d l roilidd de que l vrile esdísi ome vlores menores o igules ) es: F ( ) e d e, que d el áre jo l urv desde hs e es un funión de densidd r > Ejemlos: ) L inegrl d ln diverge y ln es divergene, ues d ) Como e e, r odo, y l inegrl e d es onvergene, enones e d mién es onvergene Oservión: L inegrl e d esá ligd l disriuión de roilidd norml (mn de Guss) El vlor de e d no uede deerminrse or méodos elemenles, ero l inegrl onverge José Mrí Mrínez Medino