Transformaciones Geométricas en el plano HOMOTECIA

Transcripción

1 Transformaciones Geométricas en el plano Llamamos transformaciones geométricas en el plano a una operación u operaciones geométricas que permiten generar una nueva figura de la primitiva dada. El transformado se llama Homólogo del original. Clasificación de las transformaciones geométricas que considera el aspecto de la figura homóloga respecto a la original: Isométricas: cuando conservan las dimensiones y los ángulos: se denominan también movimientos en el plano, y son los que hemos visto: simetrías centrales y axiales, traslaciones y rotación. Isomórficas: cuando conservan la forma de la original (los ángulos). Existe proporcionalidad entre las dimensiones de la figura original y de la homóloga: veremos la Homotecia. Anamórficas: cuando cambia la forma de la figura original. Ej.: Las Proyecciones. Def.: Se denominarán elementos dobles, a los homólogos de sí mismos en una misma transformación. Definición: HOMOTECIA Dado un punto O del plano y un número real k 0, llamaremos homotecia de centro O y razón k, a la transformación que hace corresponder a cada punto A del plano, distinto de O, con otro punto A alineado con O y con A y tal que: Figura N 1 La homotecia queda determinada por dos pares de puntos homólogos A y A. Figura N 2 F y F son figuras homotéticas: se dice que dos figuras son homotéticas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta, de forma que parejas de puntos homólogos están en línea recta con un punto fijo, llamado centro de homotecia y que pareja de rectas homólogas sean paralelas. Una figura F se dice homotética de otra figura F, si F se obtiene al aplicar una homotecia a cada uno de los puntos de F. En esta transformación la figura y su homotética mantienen la forma pero han cambiado la posición y el tamaño. 1

2 Todas las figuras homotéticas son semejantes. La razón de semejanza es la razón de homotecia. Propiedades de las figuras homotéticas. Primero. El centro de la homotecia es el único punto doble. Se transforma en sí mismo Segundo. Las rectas que pasan por el centro son dobles, es decir se transforman en sí mismas. Pero sus puntos no son puntos dobles. Tercero. Las rectas que no pasan por el centro de homotecia se transforman en rectas paralelas por lo que la homotecia conserva los ángulos. Cuarto. La imagen de un segmento por una homotecia de centro O y razón k, es otro segmento tal que: es paralelo a EJ) La razón Figura N 3 Quinto. La imagen de un ángulo es un ángulo que tiene su misma amplitud. Los ángulos homotéticos son congruentes. Figura N 4 Actividades: 1) Analizando la Figura Nº3 demuestra que los triángulos AOB y A O B son figuras semejantes. 2) En la figura Nº3 encuentra la razón entre las longitudes de los segmentos A B y AB 3) Demuestra la Quinta propiedad 4) Completa: a) Si figura se b) Si la figura se c) Si el tamaño de la figura d) Una H o;1 es equivalente a una Rotación de centro O y ángulo:.o una Simetría e) Siempre que k>0 el tamaño de la figura homotética es mayor que el de la figura dada. Verdadero falso 2

3 5) Grafica un rectángulo ABCD de proporción p( ). Aplícale un H(A;2). a) Demuestra que A B C D es semejante a ABCD. b) Encuentra la razón entre los perímetros de A B C D y ABCD. Justifica c) Encuentra la razón entre las áreas de A B C D y ABCD. Justifica. 6) Grafica un hexágono regular de 2 cm de lado. Ubica un punto exterior O. Encuentra la H 0;2/5 Analizando el hexágono homotético como imagen del hexágono original de 2 cm de lado, indica la escala a la que está construido. 7) Indica la Homotecia que ha transformado P en P en cada caso. a b c d Figura N 5 8) Dado el ABC, de la Figura Nº6 halla otro triángulo A B C homotético al anterior con centro G cuya superficie sea la cuarta parte del ABC. Datos: AB=6,5cm;AC= 12,5 cm; BC= 9 cm Figura Nº6 9) Se llama paralela media de un lado de un triángulo a aquel segmento paralelo a él, cuya longitud es la mitad. Figura Nº7. Figura N 7 Traza la paralela media al lado AC de la Figura Nº6 del triángulo del punto anterior. 3

4 Ejercitación de aplicación: 4

5 Figura N 8 Ejercicio No.9 a) Encuentra el centro y la razón de la Homotecia que transforma el rectángulo pequeño en el grande. b) Idem pero la Homotecia que transforme el grande en el pequeño. Figura N 9 5

6 c) Halla el centro y la razón de la homotecia que transforma el polígono ABCDEF de la Figura N 10 Figura N 10 Ejercicio No 14. L.G. Lugar geométrico Ejercitación Complementaria 1. Dibujar cada una de las figuras en una cuadricula y hallar su imagen en la homotecia indicada en cada caso: 2. Dibujar un rectángulo abcd y aplicarle las siguientes transformaciones: a) T ( ) o H (c,-3) b) H (0,2) o G (o, -180 ) siendo la intersección de las diagonales. c) d) H(a,-1) o S (a) 6

7 3. Demostrar que aob ~ cod 4. Demostrar que ahs ~ sbc. abcd paralelogramo 5. En el bac rectángulo en a, es el doble de determinen sobre el punto p tal que sea la mitad de. Demuestre que apc~bac. 6. Demostrar, usando el concepto de semejanza, que: a) La base media de un triángulo es paralela e igual a su mitad. b) Al trazar la base media de un triángulo cuya superficie es la cuarta parte del primero. 7. En la C (o,r), demostrar que abc ~ bop 8. Ramiro y Federico querían medir el ancho de un río que tenían ante ellos para lo cual inventaron este ingenioso método: Tomaron un árbol que estaba enfrente como punto de referencia y se colocaron alineados con él y separados por una distancia de 5 metros. Caminaron paralelamente al río, hasta que volvieron a estar alineados con el árbol. Calcularon la distancia caminada por cada uno de ellos. Qué ancho aproximado tenía el río? Qué propiedad justifica el método utilizado por los chicos? 9. Si al triángulo abc, de perímetro 16, le aplicamos una homotecia de razón k, obtenemos el a b c de perímetro 40. Si =3 y = 8, calcular: a) Las medidas de los lados del triángulo a b c b) La razón entre las áreas de abc y a b c. c) La razón entre las alturas homólogas. 10. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm, y la proyección de éste sobre la hipotenusa, 2 cm. Hallen la longitud de la hipotenusa y la del otro cateto 11. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de cada cateto sobre la hipotenusa miden 4 cm y 8 cm. Calculen: a) La altura correspondiente a la hipotenusa. b) Los catetos y la hipotenusa del triángulo. 12. La razón entre los catetos de un triángulo rectángulo es 1/3. Cuál es la razón entre las proyecciones de cada uno de ellos sobre la hipotenusa? 7