ECUACIONES BASICAS DE LA TEORIA ELASTICA.

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1 1 ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO Ing. William Rodríguez Serquén. ECUACIONES BASICAS DE LA TEORIA ELASTICA. Fig. B. Esfuerzos en una masa elástica. (D) Fig. A. Desplazamientos y deformaciones elásticas Las componentes del tensor de deformaciones: Con: A, B y D, resultan Las Ecuaciones de Navier: La deformación unitaria de volumen: (A) El problema de Boussinesq: (E) Dada una carga sobre la superficie de una masa elástica, semi infinita, elástica, isotrópica y homogénea, hallar los esfuerzos en el interior de la masa de suelo. La Ley de Hooke en tres dimensiones: (B) Las constantes de Lamé (l), Módulos de Young (E) y Poisson (n): Fig. C. Carga aplicada sobre una masa de elástica. La solución de Boussinesq: Las Ecuaciones de equilibrio: (C) Para cargas sobre la superficie de una masa elástica, el método de Boussinesq, consiste en introducir una función potencial F: Los desplazamientos en función de F

2 2 (F) Reemplazando (F) en (E), resulta La ecuación de Laplace: (G) Ahora la solución consiste en hallar la función F, que satisfaga la Ec. de Laplace. Con las Ecs. (A), (B) y (G), resultan Los esfuerzos normales en una masa de suelo: Fig. D. Carga concentrada aplicada a una masa elástica. El valor de la función F: Para carga concentrada Boussinesq propone: (J) La cual será válida si además de la Ec. de Laplace, se cumple:..(h) Y los esfuerzos cortantes en una masa de suelo: Se deriva la función F: (I) De las dos últimas dos ecuaciones se obtiene: Lo que significa que en la superficie no hay cortantes horizontales. (K) Los valores de (K), van a (H), y se obtiene para el esfuerzo szz: El esfuerzo vertical szz = tzz vale Caso de carga concentrada. (L) Donde R = L, en Fig. (D): Esfuerzo que satisface:

3 3 Con la Ec. (F) se obtiene las deformaciones en z: (2) Como = Resulta la Ecuación del asentamiento en una masa de elástica: Para z = 0: Donde (3) (M) La Ec. (3) se transforma en: Esfuerzos debido a carga Puntual. (4) A partir de la Ec. (4) se pueden calcular: 1.1. La variación de esfuerzos con la profundidad 1.2. La variación de esfuerzos con la distancia El diagrama de isóbaras Variación de esfuerzos con la profundidad. En la Ec. (4), r = 0, para diversos valores de z. Fig. 1. El problema de Boussinesq de carga puntual. Boussinesq en 1883, solucionó el problema hallando los esfuerzos normales y cortantes en todas las direcciones. Los esfuerzos normales valen: Fig. 2. Variación del esfuerzo vertical con la profundidad Variación de esfuerzos con la distancia. (1) En la Ec. (4), z = constante, para diversos valores de r.

4 4 Fig. 3. Variación del esfuerzo vertical con la distancia Diagrama de isóbaras. Representa el lugar geométrico, donde los esfuerzos son iguales. De la Ec. (4), se despeja r en función de z, para un esfuerzo constante. Fig. 5. Diagrama de isóbaras para carga puntual, dibujado a escala. Fig, 4. Diagrama de isóbaras. Fig. 5.1 Diagrama de isóbaras para carga cuadrada y continua. 2. ESFUERZOS DEBIDO A CARGA LINEAL. Se trata de calcular los esfuerzos que se producen en una masa de suelo debido a una carga lineal, aplicada en su superficie. Dados q, X, Y, Z, hallar el esfuerzo vertical.

5 5 PROBLEMA Nro. 1. Si X = 3 m, Y = 4 m, Z = 5 m, q = 10 t/m2, calcular Dsz. Fig. 6. El problema de Boussinesq extendido a carga lineal. Se estudia un elemento diferencial, ubicando la carga diferencial, de tal manera que se pueda Aplicar la ecuaciñon de Boussinesq para carga vertical. SOLUCION. 1. m = X/Z = 2. n = Y/Z = 3. De la gráfica po = 4. Sz = (q/z)*po = Donde: La integral resuelta vale: (5) Haciendo m = x/z, n = y/z, la ecuación (5) se convierte en: (6) Lo que está entre corchetes ha sido tabulado y graficado en lo que se llama Gráfico de Fadum.

6 6 Fig. 8. Superficie rectangular uniformemente cargada. Se usa un elemento diferencial, y se ubica la carga diferencial de tal manera que se pueda ubicar la ecuación de Boussinesq para esfuerzo vertical. La integral resuelta es: (7) Fig. 7. Gráfico de Fadum para carga lineal. Haciendo m = x/z, n = y/z resulta: 3. ESFUERZOS DEBIDO A SUPERFICIE RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA. Se trata de calcular los esfuerzos que se producen por acción de una superficie rectangular, cargada uniformemente sobre una masa elástica, tal como se muestra en la figura siguiente. Dados w, X, Y, Z, hallar el esfuerzo vertical.

7 7 (8) La expresión wo fue graficada por Ralph Fadum. Solución. 1. m = X/Z = 2. n = Y/ /Z = 3. De la gráfica wo = 4. Dsz = (w)*wo = Fig. 9. Gráfico de Ralph Fadum para superficie rectangularr uniformemente cargada. El proceso de cálculo será el siguiente: 1. m = x/z, n = y/z 2. Del gráfico obtenemos wo 3. El esfuerzo vale sz= w*wo PROBLEMA Nro. 2. Si X = 3 m, Y = 4 m, Z = 5 m, w = 10 t/m2, calcular Dsz. Fig. 10. Ralph Fadum, de la Universidad de Harvard, ESFUERZO DEBIDO A CARGA CIRCULAR. Se determina el esfuerzo en una masa de suelo,debido a una carga circular w, de radio R, aplicada en la superficie, haciendo un análisis de un elemnto diferencial:

8 8 Fig. 12. Nathan. Mortimore Newmark de la universidad de Illinois, Ingeniero estrucutral, Medalla Nacional de ciencias para la ingeniería. Fig. 11. Determinación del esfuerzo debido a carga circular a través de un elemento diferencial de análisis / / El esfuerzo que produce cada circulo de carga, formado con los radios de la tabla 1, vale 0.1 w. 4.2 Entre dos circulos se puede formar una corona de carga, y se produce un esfuerzo de 0,1 w. 4.3 Si se divide la corona formada en 20 partes iguales, el esfuerzo de cada segmento de corona vale =0,1w/20. Ejemplo, para R/z = 0,27 sz = 0,1 w 4. LA CARTA DE NEWMARK. Para diversas relaciones de R/z, se encuentran los valores de esfuerzo sz /w: Tabla 1. sz /w R/z R para z=5 cm 0,1 0,27 1,35 0,2 0,40 2,00 0,3 0,52 2,60 0,4 0,64 3,20 0,5 0,77 3,85 0,6 0,92 4,60 0,7 1,11 5,55 0,8 1,39 6,95 0,9 1,91 9,55 1 Infinito Infinito Fig. 13. Corona circular de carga para la carta de Newmark.

9 9 Fig. 15. Esfuerzo producido por un segmento de corona de carga. Fig. 14. Determinación del esfuerzo producido por un segmento de corona de carga. 4.4 El esfuerzo producido por un segmento de corona vale: s z = 0,1/20 w s z = 0,005 w 4.5 El esfuerzo producido por una carga de forma irregular, se puede calcular, sumando los segmentos de corona contenidos en la superficie irregular: s z = 0,005* N* w N = número de segmentos dentro de la superficie de carga. Fig. 16. Carta de Newmark y carga de forma irregular en la que se puede determinar el esfuerzo vertical, sumando los esfuerzos que produce cada segmento de corona contenido en el área irregular. PROBLEMA Nro. 2. Si X = 2 m, Y = 2 m, Z = 5 m, w = 10 t/m2, calcular Dsz.

10 10 Fig. 17. Determinación de la escala para convertir las medidas reales de la carga, en medidas para la carta de Newmark.