Análisis de Weibull. StatFolio de Muestra: Weibull analysis.sgp

Transcripción

1 Análss de Webull Resumen El procedmento del Análss de Webull está dseñado para ajustar una dstrbucón de Webull a un conjunto de n observacones. Es comúnmente usado para analzar datos representando tempos de vda o tempos hasta que se presente error. Los datos pueden nclur censura en los cuales algunas veces los errores no son conocdos exactamente debdo al desplazamento de algunos objetos de la prueba. La dstrbucón se grafca y los percentles estmados son mostrados. S se desea, se pueden especfcar los datos para más de un grupo. En tales casos, una estmacón aparte de la dstrbucón para cada grupo será dervada. StatFolo de Muestra: Webull analyss.sgp Datos de Muestra: El archvo absorbers.sf3 contene los datos de una prueba de vda sobre de n = 38 amortguadores de choques, reportada por Meeker y Escobar (998). Una parte de los datos se muestra abajo: Dstance (Dstanca) Censores (Censurado) La columna Dstance representa el número de klómetros de uso de cada amortguador cuando fue nspecconado. La columna Censored contene un 0 para cada amortguador que había fallado en el momento de la nspeccón y un para cada amortguador que no falló. Todos los datos contenen nformacón acerca del momento hasta se presentó una falla en los amortguadores. Para aquellos que habían fallado, la observacón es un momento de error verdadero. Para aquellos que no habían fallado, la observacón es un error censurado a la derecha hasta el momento en cual el error conocdo va a ser mayor que el valor ndcado por StatPont, Inc. Análss de Webull -

2 Captura de Datos El cuadro de dálogo de captura de datos requere nformacón acerca de los momentos de los errores y su estado: Datos: columna numérca con los n momentos observados n veces. Censurados: columna numérca de 0 s y s. Un 0 ndca que la observacón no está censurada y por lo tanto representa un momento verdadero hasta el momento en que se presenta el error. Un ndca que la observacón está censurada a la derecha con el momento en que se presenta el error conocdo solamente s es mayor a lo ndcado. Seleccón: seleccón del subconjunto por StatPont, Inc. Análss de Webull - 2

3 Resumen del Análss El Resumen del Análss muestra una tabla que exhbe la dstrbucón de Webull ajustada: Análss Webull - Dstance Datos/Varable: Dstance Censura: Censored Método de Estmacón: máxma verosmltud Tamaño de muestra = 38 Número de fallas = Forma estmada = Escala estmada = Umbral especfcado = 0.0 La dstrbucón de Webull de 3 parámetros tene una funcón de densdad de probabldad defnda por: α ( ) α f ( x) = x θ exp[ ( x θ )/ β ] α α () β Tene 3 parámetros:. Parámetro Forma α > 0 2. Parámetro Escala β > 0 3. Parámetro Inco θ El rango de valores para la varable aleatora X θ. La meda y la varanza de la dstrbucón de Webull son: β E (X ) = θ + Γ (2) α α V ( X ) = β 2 α [ 2 ] 2Γ 2 () Γ() α α α (3) Frecuentemente el parámetro nco θ se fja en 0, lo que resulta en la dstrbucón de Webull de 2 parámetros. La tabla del Resumen del Análss muestra: Tamaño de muestra el número total de observacones n. Número de fallas el número de observacones que corresponden a los momentos de error no censurados. Forma y Escala Estmadas las estmacones de los parámetros de la forma y escala, αˆ y βˆ por StatPont, Inc. Análss de Webull - 3

4 Umbral especfcado - el valor del parámetro nco. Dependendo de las especfcacones en el cuadro de dálogo Opcones de Análss, éste parámetro puede ser estmado de los datos o especfcado por el usuaro. Método de estmacón el método usado para estmar los parámetros. El método predetermnado es de máxma verosmltud el cual es el msmo método usado por los procedmentos de Ajuste de Dstrbucón, sn embargo otros métodos pueden ser requerdos en el cuadro de dálogo Opcones de Análss. Opcones de Análss El cuadro de dálogo Opcones de Análss controla cómo los parámetros de la dstrbucón de Webull son estmados: Umbral Inferor: Especfca un valor para el parámetro nco θ, o solcta que sea estmado de los datos. S se estma θ, el usuaro debe selecconar el método de máxma verosmltud. Método de Estmacón: el método usado para estmar los parámetros. Están dsponbles tres opcones:. Regresón por Rangos Ajusta una línea a los datos en la Gráfca de Webull al regresar n valores ln(x -θ) contra los poscones grafcadas especfcadas en el cuadro de dálogo. 2. Máxma Verosmltud - Estma los parámetros maxmzando la funcón de verosmltud por StatPont, Inc. Análss de Webull - 4

5 3. Webayes - Estma el parámetro de la escala suponendo que los parámetros de nco y forma son conocdos e gual a los valores ndcados en el cuadro de dálogo. Poscón en Gráfca defne las poscones de grafcacón vertcales en la gráfca de Webull. Esto tambén afecta los parámetros estmados s el método Regresón del Rango ha sdo selecconado. El método predetermnado es Kaplan-Meer Modfcado. Ver la seccón Cálculos para las defncones de las dferentes opcones. Gráfca de Webull La Gráfca de Webull muestra cómo los momentos de error no censurados grafcados sobre una escala logarítmca en el eje horzontal X. Las poscones de grafcacón del eje vertcal se defnen en las Opcones de Análss. Gráfca Webull porcentaje acumulado Est.: MLE Forma: Escala: Umbral: 0.0 Fallas: Tamaño de muestra: Dstance S los datos provenen de una dstrbucón de Webull, los puntos deben caer aproxmadamente a lo largo de una línea recta sobre esta gráfca la cual corresponde a la dstrbucón de Webull ajustada por StatPont, Inc. Análss de Webull - 5

6 Cuadro de Opcones STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Intervalos de Confanza - añade ntervalos de confanza al rado de verosmltud para X p, el p-ésmo percentl de la dstrbucón de Webull. Percentl - calcula y muestra el selecconado percentl. Hstograma de Valores Censurados añade un hstograma de los valores de datos censurados. Ejemplo: Gráfca mostrando Bandas de Confanza, 90 vo Percentl, y el Hstograma Censurado Gráfca Webull porcentaje acumulado Est.: MLE Forma: Escala: Umbral: 0.0 Fallas: Tamaño de muestra: [2946.8, ] Dstance 2006 por StatPont, Inc. Análss de Webull - 6

7 El 90 vo percentl de Dstanca es estmado para ser aproxmadamente 36,090 km. Los límtes de confanza del 95% se extenden sobre un rango de 29,47 km a 56,447 km, correspondentes a las bandas alrededor de la línea ajustada. Hstograma de Frecuencas El Hstograma de Frecuencas muestra la dstrbucón de las observacones junto con la funcón de densdad estmada. Dstrbucón Webull Ajustada 20 6 No Censurados Censurados porcentaje Dstance La presenca de muchos valores censurados causa que la curva se nclne sobre la derecha del hstograma observado. Opcones del Cuadro de Dálogo Número de clases: el número de ntervalos dentro de los cuales los datos serán dvddos. Los ntervalos son adyacentes el uno al otro y de gual ampltrud (antes de que el logartmo sea calculado). El número de ntervalos dentro de los cuales los datos se agrupan de manera predetermnada es colocado por la regla especfcada en la tabulacón EDA del cuadro de dálogo Preferencas en el menú Edcón por StatPont, Inc. Análss de Webull - 7

8 Límte Inferor: límte nferor del prmer ntervalo. Límte Superor: límte superor del últmo ntervalo. Mantener: mantene el número selecconado de ntervalos y límtes aún s la fuente de los datos camba. De manera predetermnada, el número de clases y los límtes son recalculados en cuanto los datos camban. Esto es necesaro para que todas las observacones sean mostradas aún s algún dato actualzado cae más allá de los límtes orgnales. Número de Grupo: s más de un grupo de datos ha sdo ajustado, el número del grupo será mostrado. Escala Log para el Eje X: S el eje horzontal debería ser mostrado usando escala logarítmca. Prueba de Bondad de Ajuste El cuadro Prueba de Bondad de Ajuste realza hasta 7 dferentes pruebas para determnar s o no los datos podrían razonablemente provenr de una dstrbucón de Webull. Para todas las pruebas las hpótess de nterés son: Hpótess Nula: los datos son muestras ndependentes de la dstrbucón de Webull estmada. Hpótess Alternatva: los datos no son muestras ndependentes de la dstrbucón de Webull estmada. Las pruebas que se van a realzar son selecconadas usando Opcones de Cuadro. Pruebas de Bondad-de-Ajuste para Dstance D de Kolmogorov-Smrnov Modfcada Webull D Forma Modfcada Valor-P >=0.0 Pequeños P-Values (menores que 0.05 s se opera en un nvel de sgnfcanca de 5%) conducen a rechazar la dstrbucón de Webull. En el ejemplo actual, el P-Value es grande lo que sugere que la dstrbucón de Webull es un modelo razonable para los datos. Las pruebas de Bondad de Ajuste son descrtas con detalle para datos no censurados en la documentacón para Ajustes de Dstrbucón (Datos no Censurados) y para datos censurados en Ajuste de la Dstrbucón (Datos Censurados) por StatPont, Inc. Análss de Webull - 8

9 Opcones del Cuadro de Dálogo STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Inclur seleccona las pruebas a ser ncludas. Las pruebas dsponbles dependen del tpo de censura. Calcula la dstrbucón para P-Values específcos s se verfca los P-Values estarán basados en las tablas o fórmulas específcamente desarrolladas para la dstrbucón de Webull. De otro modo, los P-values estarán basados en una tabla general o fórmula que se aplca para todas las dstrbucones. El acercamento general es más conservador (no rechazará una dstrbucón tan fáclmente) pero puede ser preferdo cuando se comparan P- Values entre dferentes dstrbucones. Censura seleccona el tpo de datos censurados. Los tpos se defndos como: Aleatoro ndca que los valores de los datos han sdo aleatoramente censurados. El censuramento aleatoro ocurre cuando los valores son censurados por varas razones y no caen en el mecansmo del Tpo I o II. Tpo I ndca que los datos son momento-censurados, por ejemplo cuando se han removdo datos de la prueba en un momento predetermnado. S este tpo de censuramento es selecconado todos los valores censurados deben ser guales o un mensaje de error será generado. Tpo II ndca que la prueba fue parada después de que un predetermnado número de errores ha ocurrdo. S se seleccona este tpo de censuramento, todos los valores censurados deben ser guales o un mensaje de error será generado por StatPont, Inc. Análss de Webull - 9

10 Funcón de Densdad Esta grafca muestra la funcón de densdad de probabldad estmada f(x): STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 (X ) 5 Dstrbucón Webull 4 densdad Dstance La funcón de densdad puede ser usada para determnar la probabldad de que el momento de error de un suceso se encuentre dentro de un ntervalo especfcado. Opcones del Cuadro de Dálogo Escala Log para el Eje X: s es selecconado una escala log será usada para el eje horzontal por StatPont, Inc. Análss de Webull - 0

11 CDF La Funcón de Dstrbucón Acumulada (CDF) muestra la probabldad estmada de que un dato que ha fallado en el tempo t: Dstrbucón Webull probabldad acumulada Dstance Se ncrementa de 0.0 en θ a.0 en valores grandes de X. Funcón de Supervvenca La Funcón de Supervvenca grafca la probabldad estmada de que un suceso sobrevvrá o durará hasta el tempo t: Dstrbucón Webull probabldad de supervvenca Dstance Decrece de.0 en θ a 0.0 en valores grandes de X por StatPont, Inc. Análss de Webull -

12 Funcón de Supervvenca Log La Funcón de Supervvenca Log es el logartmo natural de la funcón de supervvenca: 3 Dstrbucón Webull prob. de log supervvenca Dstance Funcón de Resgo La Funcón de Resgo es una estmacón de la tasa nstantánea de error: (X 0.000) 5 Dstrbucón Webull 2 resgo Dstance Las undades de la funcón de resgo son la fraccón de errores por undad de tempo. S el parámetro de forma estmado βˆ <, la funcón de resgo será monotétcamente decrecente. S βˆ >, la funcón de resgo será monotétcamente crecente. S βˆ =, la funcón de resgo será constante por StatPont, Inc. Análss de Webull - 2

13 Áreas de las Colas Este cuadro muestra el valor de la dstrbucón acumulada hasta para 5 valores de X. Areas de las Colas para Dstance X Área Cola Inferor (<) Área Cola Superor (>) The table dsplays: Área de la Cola Inferor la probabldad de que la varable aleatora sea menor que o gual a X. Área de la Cola Superor la probabldad de que la varable aleatora sea mayor que X. Por ejemplo, la probabldad de ser menor que o gual a X = 30,000 es aproxmadamente 72.3%. Opcones del Cuadro de Dálogo Valores Crítcos: valores de X en los cuales la probabldad acumulada será calculada por StatPont, Inc. Análss de Webull - 3

14 Valores Crítcos Este cuadro calcula el valor de la varable aleatora X debajo del cual yace una probabldad especfcada. Valores Crítcos para Dstance X Área Cola Inferor (<) Área Cola Superor (>) La tabla muestra el valor de X tal que la probabldad de ser menor que o gual a X es gual al área deseada de la cola. La tabla de arrba muestra que el c.d.f. de la dstrbucón de Webull ajustada es gual a 50% en X = 24, Opcones de Cuadro Áreas de Colas: valores del c.d.f. en los cuales se determnan los percentles de las dstrbucones ajustadas por StatPont, Inc. Análss de Webull - 4

15 Cálculos STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Estmacón Usando el Método de Regresón del Rango Regresar ln(x -θ) versus las poscones grafcadas especfcadas en Opcones de Análss. Los parámetros de forma y escala son estmados a partr del ntercepto y la pendente de la línea ajustada de acuerdo con: ˆ α = (4) slope βˆ = exp(ntercept) (5) Estmacón Usando Método de Máxma Verosmltud Las estmacones son obtendas por maxmzacón numérca de la funcón de verosmltud. donde L = n = l( ) (6) X f ( X ) l ( X ) = s X es F( X ) uncensored rght censored (7) Estmacón Usando Método de Webayes S no hay errores, el parámetro de escala es estmado por ˆ β = n = ( X θ ) ln(0.05) α / α (8) El cual es una banda de confanza nferor del 95% para β. De otra manera: ˆ β = n = ( X d θ ) / α α (9) donde d es el número de momentos de error no censurados. Poscones de Grafcacón: Rangos de Medas Los datos se ordenan del más pequeño al más grande y se asgnan a un rango ajustado j = j - + Δ, donde Δ = ncalmente y es modfcado en cada momento censurado de acuerdo con: 2006 por StatPont, Inc. Análss de Webull - 5

16 (n+) rango ajustado del error prevo Δ = (0) + número de observacones más allá del dato censurado Las poscones de grafcacón están dadas por: j 0.3 F = () n Poscones de Grafcacón: Rangos esperados Los datos se ordenan prmero en orden nverso, por ejemplo, r = n,, r n =. Las estmacones se calculan de la forma r R = R (2) r + donde R 0 =, y las poscones de grafcacón son F = (-R ). Poscones de Grafcacón: Kaplan-Meer Smlar a los rangos esperados, excepto en r R = R (3) r Poscones de Grafcacón: Kaplan-Meer Modfcado Usando las estmacones Kaplan-Meer ' R + R R = (4) 2 donde R 0 =, y las poscones de grafcacón son F ' = R. Límtes de Confanza Los límtes de confanza son estmados sobre una base puntual al determnar todos los valores X = Q + θ para los cuales Λ = ~ α ˆ, ˆ) (5) 2 2log L( ~, β ) + 2log L( α β χ p, dondeαˆ y βˆ son los estmadores de máxma verosmltud, mentras que ~ α y ~ β satsfacen las ecuacones ~ β n r ( X θ ) ( X θ ) ~ r ln( Q) + ln( X θ ) + ln( p) ln = 0 (6) β S = Q Q 2006 por StatPont, Inc. Análss de Webull - 6

17 α ~ / [ ln( p) ] β STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 ~ Q = (7) y S es el conjunto de momentos de error d por StatPont, Inc. Análss de Webull - 7