a) 8 cm y 3 cm b) 15 m y 9 m

Transcripción

1 7 Cpítulo 5: Geometrí del plno del espcio. Longitudes, áres volúmenes. TEORÍA. Mtemátics 4º de ESO. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE TALES.. Teorem de Pitágors Teorem de Pitágors en el plno Y sbes que: En un triángulo rectángulo llmmos ctetos los ldos incidentes con el ángulo recto e hipotenus l otro ldo. En un triángulo rectángulo, l hipotenus l cudrdo es igul l sum de los cudrdos de los ctetos. h Demostrción c c Ejemplo: Si los ctetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm 8 cm, su hipotenus vle 0 cm, que: h cm. Si l hipotenus de un triángulo rectángulo mide dm uno de sus ctetos mide dm, hll l medid del otro cteto: Solución: Por el teorem de Pitágors: c 5 5 dm. Es posible encontrr un triángulo rectángulo cuos ctetos midn 6 cm su hipotenus 0 cm? Si tu respuest es negtiv, hll l medid de l hipotenus de un triángulo rectángulo cuos ctetos miden 6 cm.. Clcul l longitud de l hipotenus de los siguientes triángulos rectángulos de ctetos: ) 4 cm cm b) m 7 m c) dm 5 dm d),5 km 47, km. Utiliz l clculdor si te result necesri.. Clcul l longitud del cteto que flt en los siguientes triángulos rectángulos de hipotenus cteto: ) 8 cm cm b) 5 m 9 m c) 5 dm 0 dm d), km,9 km 4. Clcul el áre de un triángulo equilátero de ldo 5 m. 5. Clcul el áre de un hexágono regulr de ldo 7 cm. Teorem de Pitágors en el espcio Y sbes que: L digonl de un ortoedro l cudrdo coincide con l sum de los cudrdos de sus rists. Demostrción: Sen, b c ls rists del ortoedro que suponemos podo en el rectángulo de dimensiones, b. Si x es l digonl de este rectángulo, verific que: x b El triángulo de ldos D, x, es rectángulo luego: D x c Y teniendo en cuent l relción que verific x: D b c Clcul l longitud de l digonl de un ortoedro de rists 7, 9 cm. D b c = = 74. D 6,55 cm. Ls rists de l bse de un cj con form de ortoedro miden 7 cm 9 cm su ltur cm. Estudi si puedes gurdr en ell tres brrs de longitudes cm, 6 cm 8 cm. El rectángulo de l bse tiene un digonl d que mide: d 7 9 0, 4 cm Luego l brr más cort cbe pod en l bse. L digonl del ortoedro vimos en l ctividd nterior que mide 6,55, luego l segund brr si cbe, inclind, pero

2 74 l tercer, no. 6. Un cj tiene form cúbic de cm de rist. Cuánto mide su digonl? 7. Clcul l medid de l digonl de un sl que tiene 8 metros de lrgo, 5 metros de ncho metros de ltur... Teorem de Tles Y sbes que: Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects prlels entre sí, b. L rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D. Entonces el Teorem de Tles firm que los segmentos son proporcionles: OA OB OC OD AC BD Se dice que los triángulos OAC OBD están en posición Tles. Son semejntes. Tienen un ángulo común (coincidente) los ldos proporcionles. Sen OAC OBD dos triángulos en posición Tles. El perímetro de OBD es 0 cm, OA mide cm, AC mide 5 cm OC mide cm. Clcul ls longitudes de los ldos de OBD. OA OC AC OA OC AC Utilizmos l expresión: sustituendo los dtos: OB OD BD OB OD BD 5 5 0, por lo que despejndo, sbemos que: OB = = 4 cm; OD = = 6 cm, BD OB OD BD 0 0 = 5 = 0 cm. En efecto: = 0 cm, perímetro del triángulo. Cuent l leend que Tles midió l ltur de l pirámide de Keops comprndo l sombr de l pirámide con l sombr de su bstón. Tenemos un bstón que mide m, si l sombr de un árbol mide m, l del bstón, ( l mism hor del dí en el mismo momento), mide 0,8 m, cuánto mide el árbol? Ls lturs del árbol del bstón son proporcionles sus sombrs, (formn triángulos en posición Tles), por lo que, si llmmos x l ltur del árbol podemos decir: 0,8. Por tnto x = /0,8 = 5 metros. x 8. En un foto h un niño, que sbemos que mide,5 m, un edificio. Medimos l ltur del niño del edificio en l foto, resultn ser: 0, cm 0 cm. Qué ltur tiene el edificio? 9. Se dibuj un hexágono regulr. Se trzn sus digonles se obtiene otro hexágono regulr. Indic l rzón de semejnz entre los ldos de mbos hexágonos. 0. En un triángulo regulr ABC de ldo, cm, trzmos los puntos medios, M N, de dos de sus ldos. Trzmos ls rects BN CM que se cortn en un punto O. Son semejntes los triángulos MON COB? Cuál es l rzón de semejnz? Cuánto mide el ldo MN?. Un pirámide regulr hexgonl de ldo de l bse cm ltur 0 cm, se cort por un plno un distnci de 4 cm del vértice, con lo que se obtiene un nuev pirámide. Cuánto miden sus dimensiones?.. Proporcionlidd en longitudes, áres volúmenes Y sbes que: Dos figurs son semejntes si ls longitudes de elementos correspondientes son proporcionles. Al coeficiente de proporcionlidd se le llm rzón de semejnz. En mps, plnos l rzón de semejnz se l llm escl. Áres de figurs semejntes Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces l rzón entre sus áres es k. Ejemplo: Observ l figur del mrgen. Si multiplicmos por el ldo del cudrdo pequeño, el áre del cudrdo grnde es = 4 veces l del pequeño. Volúmenes de figurs semejntes Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces entre sus volúmenes es: k. Ejemplo: Observ l figur del mrgen. Al multiplicr por el ldo

3 75 del cubo pequeño se obtiene el cubo grnde. El volumen del cubo grnde es 8 ( ) el del cubo pequeño. L torre Eiffel de Prís mide 00 metros de ltur pes unos 8 millones de kilos. Está construid de hierro. Si encrgmos un modelo escl de dich torre, tmbién de hierro, que pese sólo un kilo, qué ltur tendrá? Será mor o menor que un lápiz? El peso está relciondo con el volumen. L torre Eiffel pes kilos, queremos construir un, exctmente del mismo mteril que pese kilo. Por tnto k = / = , k = 00. L rzón de proporcionlidd entre ls longitudes es de 00. Si l Torre Eiffel mide 00 m, llmmos x lo que mide l nuestr tenemos: 00/x = 00. Despejmos x que result igul x =,5 m. Mide metro medio! Es mucho mor que un lápiz!. El diámetro de un melocotón es tres veces mor que el de su hueso, mide 8 cm. Clcul el volumen del melocotón, suponiendo que es esférico, el de su hueso, tmbién esférico. Cuál es l rzón de proporcionlidd entre el volumen del melocotón el del hueso?. En l pizzerí tienen pizzs de vrios precios:,. Los diámetros de ests pizzs son: 5 cm, 0 cm 0 cm, cuál result más económic? Clcul l relción entre ls áres compárl con l relción entre los precios. 4. Un mquet de un depósito cilíndrico de 000 litros de cpcidd 5 metros de ltur, queremos que teng un cpcidd de litro. Qué ltur debe tener l mquet?. LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES.. Longitudes, áres volúmenes en prisms cilindros Recuerd que: Prisms Un prism es un poliedro determindo por dos crs prlels que son polígonos igules tnts crs lterles, que son prlelogrmos, como ldos tienen ls bses. Áres lterl totl de un prism. El áre lterl de un prism es l sum de ls áres de ls crs lterles. Como ls crs lterles son prlelogrmos de l mism ltur, que es l ltur del prism, podemos escribir: Áre lterl = Sum de ls áres de ls crs lterles = = Perímetro de l bse ltur del prism. Si denotmos por h l ltur por P B el perímetro de l bse: Áre lterl = A L = P B h El áre totl de un prism es el áre lterl más el doble de l sum del áre de l bse: Áre totl = A T = A L + A B Clcul ls áres lterl totl de un prism tringulr recto de cm de ltur si su bse es un triángulo rectángulo de ctetos cm 5 cm. Clculmos en primer lugr l hipotenus del triángulo de l bse: x x 69 cm 5 P B = = 0 cm; A B = 0 cm A L = P B h = 0 = 0 cm A T = A L + A B = = 90 cm Volumen de un cuerpo geométrico. Principio de Cvlieri. Recuerd que: Bonventur Cvlieri, mtemático del siglo XVII enunció el principio que llev su nombre que firm: Si dos cuerpos tiene l mism ltur l cortrlos por plnos prlelos sus bses, se obtienen secciones con el mismo áre, entonces los volúmenes de los dos cuerpos son igules Ejemplo: En l figur djunt ls áres de ls secciones A, A, A, producids por un plno prlelo ls bses, son igules, entonces, según este principio los volúmenes de los tres cuerpos son tmbién igules.

4 76 Volumen de un prism de un cilindro El volumen de un prism recto es el producto del áre de l bse por l ltur. Además, según el principio de Cvlieri, el volumen de un prism oblicuo coincide con el volumen de un prism recto con l mism bse ltur. Si denotmos por V este volumen, A B el áre de l bse h l ltur: Volumen prism = V = A B h Tmbién el volumen de un cilindro, recto u oblicuo es áre de l bse por ltur. Si llmmos R l rdio de l bse, A B el áre de l bse h l ltur, el volumen se escribe: Volumen cilindro = V = A B h R h Ls conocids torres Kio de Mdrid son dos torres gemels que están en el Pseo de l Cstelln, junto l Plz de Cstill. Se crcterizn por su inclinción representn un puert hci Europ. Cd un de ells es un prism oblicuo cu bse es un cudrdo de 6 metros de ldo tienen un ltur de 4 metros. El volumen interior de cd torre puede clculrse con l fórmul nterior: V = A B h = 6 4 = m 5. Clcul el volumen de un prism recto de 0 dm de ltur cu bse es un hexágono de 6 dm de ldo. 6. Clcul l cntidd de gu que h en un recipiente con form de cilindro sbiendo que su bse tiene 0 cm de diámetro que el gu lcnz dm de ltur. Áres lterl totl de un cilindro. El cilindro es un cuerpo geométrico desrrollble. Si recortmos un cilindro recto lo lrgo de un genertriz, lo extendemos en un plno, obtenemos dos círculos un región rectngulr. De est mner se obtiene su desrrollo. A prtir de éste, podemos ver que el áre lterl de cilindro está determind por el áre del rectángulo que tiene como dimensiones l longitud de l circunferenci de l bse l ltur del cilindro. Supondremos que l ltur del cilindro es H que R es el rdio de l bse con lo que el áre lterl A L es: A L = Longitud de l bse Altur = R H = RH Si l expresión nterior le summos el áre de los dos círculos que constituen ls bses, obtenemos el áre totl del cilindro. A T = A L + R² + R² = RH + R².. Longitudes, áres volúmenes en pirámides conos Recuerd que: Áres lterl totl de un pirámide de un tronco de pirámide regulres. Un pirámide es un poliedro determindo por un cr poligonl denomind bse tnts crs tringulres con un vértice común como ldos tiene l bse. Desrrollo de pirámide pentgonl regulr El áre lterl de un pirámide regulr es l sum de ls áres de ls crs lterles. Son triángulos isósceles igules por lo que, si l rist de l bse mide b, el potem de l pirámide es Ap l bse tiene n ldos, este áre lterl es: b Ap n b Ap Áre lterl = A L = n como n b = Perímetro de l bse Perímetro de l bse. Apotem de l pirámide Perímetro del bse A L A El áre lterl de un pirámide es igul l semi-perímetro por el potem. El áre totl de un pirámide es el áre lterl más el áre de l bse: Áre totl = A T = A L + A B Un tronco de pirámide regulr es un cuerpo geométrico desrrollble. En su desrrollo precen tnts crs lterles como

5 77 ldos tienen ls bses. Tods ells son trpecios isósceles. Si B es el ldo del polígono de l bse mor, b el ldo de l bse menor, n el número de ldos de ls bses Ap es l ltur de un cr lterl B b. Ap PB Pb. Ap Áre lterl = A L = n. = Sum de perímetro de ls bses. Apotem del tronco El áre totl de un tronco de pirámide regulr es el áre lterl más l sum de áres de ls bses: Áre totl = A T = A L + A B + A b Clculemos el áre totl de un tronco de pirámide regulr de 4 m de ltur si sbemos que ls bses prlels son cudrdos de 4 m de m de ldo. En primer lugr clculmos el vlor del potem. Teniendo en cuent que el tronco es regulr que ls bses son cudrds se form un triángulo rectángulo en el que se cumple: Ap = 4 + = 7 Ap = 7 4, m PB Pb Ap 6 8 4, A L = = 49,44 m A T = A L + A B + A b = 49, = 69,44 m 7. Clcul ls áres lterl totl de un prism hexgonl regulr sbiendo que ls rists de ls bses miden cm cd rist lterl dm. 8. El áre lterl de un prism regulr de bse cudrd es 6 m tiene 0 m de ltur. Clcul el perímetro de l bse. 9. El ldo de l bse de un pirámide tringulr regulr es de 7 cm l ltur de l pirámide 5 cm. Clcul el potem de l pirámide su áre totl. 0. Clcul el áre lterl de un tronco de pirámide regulr, sbiendo que sus bses son dos octógonos regulres de ldos 8 dm que l ltur de cd cr lterl es de 9 dm.. Si el áre lterl de un pirámide cudrngulr regulr es 04 cm, clcul el potem de l pirámide su ltur. Áres lterl totl de un cono. Recuerd que: Tmbién el cono es un cuerpo geométrico desrrollble. Al recortr siguiendo un líne genertriz l circunferenci de l bse, obtenemos un círculo un sector circulr con rdio igul l genertriz longitud de rco igul l longitud de l circunferenci de l bse. Llmemos hor R l rdio de l bse G l genertriz. El áre lterl del cono es el áre de sector circulr obtenido. Pr clculrl pensemos que est áre debe ser directmente proporcionl l longitud de rco que su vez debe coincidir con l longitud de l circunferenci de l bse. Podemos escribir entonces: A Lterl del cono Longitud de rco correspondiente l sector A totl del círculo de rdio G Longitud de l circunferenci de rdio G Desrrollo de tronco de pirámide cudrngulr Es decir: L π G despejndo AL tenemos: A πr πg R G A L RG G Si l expresión nterior le summos el áre del círculo de l bse, obtenemos el áre totl del cono. A T = A L + R² = R G + R² Clcul el áre totl de un cono de dm de ltur, sbiendo que l circunferenci de l bse mide 8,84 dm.(tom,4 como vlor de ) Clculmos en primer lugr el rdio R de l bse:

6 78 R 8,84 R Clculmos hor l genertriz G: 8,84 8,84 6,8 dm. G R h G 5,7 dm. Entonces A T = A L + R² = R G + R² =,4,7 +,4 44,79 dm. Áres lterl totl de un tronco de cono. Recuerd que: Al cortr un cono por un plno prlelo l bse, se obtiene un tronco de cono. Al igul que el tronco de pirámide, es un cuerpo desrrollble su desrrollo lo constituen los dos círculos de ls bses junto con un trpecio circulr, cus bses curvs miden lo mismo que ls circunferencis de ls bses. Llmndo R r los rdios de ls bses G l genertriz result: A π R π r G π R π r G π R π r G L Si l expresión nterior le summos ls áres de los círculos de ls bses, obtenemos el áre totl del tronco de cono: A T = A L + R² + r² Volumen de un pirámide de un cono. Recuerd que: Tmbién en los csos de un pirámide o cono, ls fórmuls del volumen coinciden en cuerpos rectos oblicuos. El volumen de un pirámide es l tercer prte del volumen de un prism que tiene l mism bse ltur. A h Volumen pirámide = V = B Si comprmos cono cilindro con l mism bse ltur, concluimos un resultdo nálogo A B h R h Volumen cono = V = Volumen de un tronco de pirámide de un tronco de cono. Existe un fórmul pr clculr el volumen de un tronco de pirámide regulr pero l evitremos. Result más sencillo obtener el volumen de un tronco de pirámide regulr restndo los volúmenes de ls dos pirámides prtir de ls que se obtiene. Si representmos por A B A B ls áres de ls bses por h h ls lturs de ls pirámides citds, el volumen del tronco de pirámide es: Volumen tronco de pirámide = AB h AB h V = El volumen del tronco de cono se obtiene de modo precido. Si R R son los rdios de ls bses de los conos que originn el tronco h h sus lturs, el volumen del tronco de cono result: R h R h Volumen tronco de cono = V = Clcul el volumen de un tronco de pirámide regulr de 0 cm de ltur si sus bses son dos hexágonos regulres de ldos 8 cm cm. Primer pso: clculmos ls potems de los hexágonos de ls bses: Pr cd uno de estos hexágonos:

7 79 L L/ Figur p L = p + (L/) p = Luego ls potems buscds miden: L L L 4 4 p L 7 p, 6 cm ; p 6, cm Como segundo pso, clculmos el potem del tronco de pirámide A = 0 +,5 A A =,5 0,6 cm En tercer lugr, clculmos el vlor de los 0 cm segmentos x, de l figur que nos servirán pr obtener ls lturs potems de ls pirámides que genern el tronco con el que 6,-,6=,5 cm. trbjmos: x 0,6 x Figur Por el teorem de Tles:,6 6, 7,56 6, x 0,6 x,6 6, x,6x 7, 56 x 7, 9 cm,5 Entonces el potem de l pirámide grnde es 0,6 + 7,9=8,5 cm el de l pequeñ 7,9 cm. Y plicndo el teorem de Pitágors: x,6 7,9,6 55,65 55,65 7, 5 cm Luego ls lturs de ls pirámides generdors del tronco miden 0 + 7,5 = 7,5 cm 7,5 cm. Por último clculmos el volumen del tronco de pirámide: AB h AB h 48 8,5 7,5 8 7,9 7, V =.. 4,5 cm 6 6. Un column cilíndric tiene 5 cm de diámetro 5 m de ltur. Cuál es su áre lterl?. El rdio de l bse de un cilindro es de 7 cm l ltur es el triple del diámetro. Clcul su áre totl. 4. Clcul el áre lterl de un cono recto sbiendo que su genertriz mide 5 dm su rdio de l bse 6 dm. 5. L circunferenci de l bse de un cono mide 6,5 m su genertriz m. Clcul el áre totl... Longitudes, áres volúmenes en l esfer Recuerd que: Áre de un esfer. L esfer no es un cuerpo geométrico desrrollble, por lo que es más complicdo que en los csos nteriores encontrr un fórmul pr clculr su áre. Arquímedes demostró que el áre de un esfer es igul que el áre lterl de un cilindro circunscrito l esfer, es decir un cilindro con el mismo rdio de l bse que el rdio de l esfer cu ltur es el diámetro de l esfer. Si llmmos R l rdio de l esfer: A T = R R 4 R El áre de un esfer equivle l áre de cutro círculos máximos. 6. Un esfer tiene 4 m de rdio. Clcul: ) L longitud de l circunferenci máxim; b) El áre de l esfer. Volumen de l esfer Volvmos pensr en un esfer de rdio R en el cilindro que l circunscribe. Pr rellenr con gu el espcio que qued entre el cilindro l esfer, se necesit un cntidd de gu igul un tercio del volumen totl del cilindro circunscrito.

8 80 Se deduce entonces que l sum de los volúmenes de l esfer de rdio R del cono de ltur R rdio de l bse R, coincide con el volumen del cilindro circunscrito l esfer de rdio R. Por tnto: Volumen esfer = Volumen cilindro - Volumen cono π R R 6π R π R 4π R 4 Volumen esfer = π R R π R Existen demostrciones más riguross que vln este resultdo experimentl que hemos descrito. Así por ejemplo, el volumen de l esfer se puede obtener como sum de los volúmenes de pirámides que l recubren, tods ells de bse tringulr sobre l superficie de l esfer con vértice en el centro de l mism. 7. (CDI Mdrid 008) El depósito de gsoil de l cs de Irene es un cilindro de m de ltur m de diámetro. Irene h llmdo l suministrdor de gsoil porque en el depósito solmente quedn 40 litros.. Cuál es, en dm, el volumen del depósito? (Utiliz,4 como vlor de π). b. Si el precio del gsoil es de 0,80 cd litro, cuánto deberá pgr l mdre de Irene por llenr el depósito? 8. Comprueb que el volumen de l esfer de rdio 4 dm sumdo con el volumen de un cono del mismo rdio de l bse 8 dm de ltur, coincide con el volumen de un cilindro que tiene 8 dm de ltur 4 dm de rdio de l bse..4. Longitudes, áres volúmenes de poliedros regulres Recuerd que: Un poliedro regulr es un poliedro en el que tods sus crs son polígonos regulres igules en el que sus ángulos poliedros son igules. H cinco poliedros regulres: tetredro, octedro, icosedro, cubo dodecedro Áre totl de un poliedro regulr. Como ls crs de los poliedros regulres son igules, el cálculo del áre totl de un poliedro regulr se reduce clculr el áre de un cr después multiplicrl por el número de crs. Clcul el áre totl de un icosedro de cm de rist. Tods sus crs son triángulos equiláteros de cm de bse. Clculmos l ltur h que divide l bse en dos segmentos cm h igules h h 4 h cm cm Luego el áre de un cr es: b. h. A triángulo = cm por tnto Áre icosedro = 0 cm. INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.. Puntos vectores En el plno Y sbes que Un conjunto formdo por el origen O, los dos ejes de coordends l unidd de medid es un sistem de referenci crtesino. Ls coordends de un punto A son un pr ordendo de números reles (x, ), siendo x l primer coordend o bscis e l segund coordend u ordend. Ddos dos puntos, D(d, d ) E(e, e ), ls componentes del vector de origen D extremo E, DE, vienen dds por DE = (e d, e d ). Ejemplo: Ls coordends de los puntos, de l figur son: O(0, 0), A(, ), B(, ), D(, ) E(4, 4) Ls componentes del vector DE son DE = (4, 4 ) = (, ) Ls componentes del vector OA son: OA = ( 0, 0) = (, ). DE OA son representntes del mismo vector libre de componentes (, ).

9 8 En el espcio de dimensión tres Ls coordends de un punto A son un tern ordend de números reles (x,, z), siendo z l ltur sobre el plno OXY. Ddos dos puntos, D(d, d, d ) E(e, e, e ), ls componentes del vector de origen D extremo E, DE, vienen dds por DE = (e d, e d, e d ). Ejemplo: Ls coordends de puntos en el espcio son: O(0, 0, 0), A(,, ), B(,, 7), D(,, ) E(4, 4, 4) Ls componentes del vector DE son: DE = (4, 4, 4 ) = (,, ) Ls componentes del vector OA son: OA = ( 0, 0, 0) = (,, ). DE OA son representntes del mismo vector libre de componentes (,, ) 9. Represent en un sistem de referenci en el espcio de dimensión tres los puntos: O(0, 0, 0), A(,, ), B(,, 7), D(,, ) E(4, 4, 4) vectores: DE OA. 0. El vector de componentes u = (, ) origen A = (, ), qué extremo tiene?.. Distnci entre dos puntos En el plno L distnci entre dos puntos A(, ) B(b, b ) es: D ) ( b ) ( b Ejemplo: Por el Teorem de Pitágors sbemos que l distnci l cudrdo entre los puntos A = (, ) B = (5, ) es igul : D = (5 ) + ( ) = 4 + = 0 que el triángulo ABC es rectángulo de ctetos 4. Luego D 4,47. En el espcio de dimensión tres L distnci entre dos puntos A(,, ) B(b, b, b ) es igul : D ) ( b ) ( b ) ( b Ejemplo: L distnci l cudrdo entre los puntos A = (,, ) B = (5,, 8) es igul, por el Teorem de Pitágors en el espcio, D = (5 ) + ( ) + (8 ) = = = 56. Luego D 7,5.. Clcul l distnci entre los puntos A(6, ) B(, 9).. Clcul l distnci entre los puntos A(6,, 5) B(, 9, 7).. Clcul l longitud del vector de componentes u = (, 4) 4. Clcul l longitud del vector de componentes u = (, 4, ). 5. Dibuj un cudrdo de digonl el punto O(0, 0) A(, ). Qué coordends tienen los otros vértices del cudrdo? Clcul l longitud del ldo de l digonl de dicho cudrdo. 6. Dibuj un cubo de digonl O(0, 0, 0) A(,, ). Qué coordends tienen los otros vértices del cubo? Y sbes, son 8 vértices. Clcul l longitud de l rist, de l digonl de un cr de l digonl del cubo. 7. Se X(x, ) un punto genérico del plno, O(0, 0) el origen de coordends, escribe l expresión de todos los puntos X que distn de O un distnci D. 8. Se X(x,, z) un punto genérico del espcio, O(0, 0, 0) el origen de coordends, escribe l expresión de todos los puntos X que distn de O un distnci D... Ecuciones rects plnos Ecuciones de l rect en el plno. Y sbes que l ecución de un rect en el plno es: = mx + n. Es l expresión de un rect como función. Est ecución se denomin ecución explícit de l rect. Si psmos todo l primer miembro de l ecución, nos qued un ecución: x + b + c = 0, que se denomin ecución implícit de l rect. Ecución vectoril: Tmbién un rect qued determind si conocemos un punto: A(, ) un vector de dirección v = (v, v ). Observ que el vector OX puede escribirse como sum del vector OA de un vector de l mism dirección que v, tv. Es decir:

10 8 OX = OA + tv, donde t se le denomin prámetro. Pr cd vlor de t, se tiene un punto distinto de l rect. Con coordends quedrí: x tv tv que es l ecución prmétric de l rect. De l rect de ecución explícit = x + 5, conocemos l pendiente,, l ordend en el origen, 5. L pendiente nos d un vector de dirección de l rect, en generl (, m), en este ejemplo: (, ). L ordend en el origen nos proporcion un punto, en generl, el (0, n), en este ejemplo, (0, 5). L ecución prmétric de est rect es: x 0 t Su ecución implícit es: x + 5 = 0. Escribe l ecución prmétric de l rect que ps por el punto A(, ) tiene como vector de dirección v = (, ). x t t Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A(, ) B(, ). Podemos tomr como vector de dirección el vector AB = (, ) = (, ), escribir su ecución prmétric: x t t 5 L rect es, en los tres ejemplos, l mism, l de l figur. Con ello podemos observr que un rect puede tener muchs ecuciones prmétrics dependiendo del punto del vector de dirección que se tome. Pero eliminndo el prámetro despejndo llegmos un únic ecución explícit. 9. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A(6, ) B(, 9), de form explícit, implícit prmétric. Represéntl gráficmente. Ecuciones de l rect el plno en el espcio. L ecución implícit de un plno es: x + b + cz + d = 0. Observ que es precid l ecución implícit de l rect pero con un componente más. L ecución vectoril de un rect en el espcio es: OX = OA + tv, prentemente igul l ecución vectoril de un rect en el plno, pero l escribir ls coordends, hor puntos vectores tiene tres componentes: x tv Un rect tmbién puede venir dd como intersección de dos plnos: x b cz d 0 ' x z b' c' z tv tv d' 0 Dos puntos determinn un rect tres puntos determinn un plno. Escribe l ecución de l rect en el espcio que ps por los puntos A(,, ) B(, 7, ). Tommos como vector de dirección de l rect el vector AB = (, 7, ) = (, 5, ) como punto, por ejemplo el A, entonces: x t z t t5 t

11 8 Podemos encontrr ls ecuciones de dos plnos que se corten en dich rect, eliminndo t en dos ecuciones. Por ejemplo, sumndo l primer con l tercer se tiene: x + z = 4. Multiplicndo l primer ecución por 5, l segund por restndo, se tiene: 5x =. Luego otr ecución de l rect, como intersección de dos plnos es: x z 4 5x Escribe l ecución del plno que ps por los puntos A B de l ctividd nterior, C(, 6, ). Imponemos l ecución x + b + cz + d = 0 que pse por los puntos ddos: + b + c + d = 0 + 7b + c + d = 0 + 6b + c + d = 0. Restmos l segund ecución l primer, l tercer, tmbién l primer: + b + c + d = 0 + 5b c = 0 + 4b c = 0 Multiplicmos por l tercer ecución le restmos l segund: + b + c + d = 0 + 4b c = 0 b = 0 Y conocemos un coeficiente, b = 0. Lo sustituimos en ls ecuciones: + c + d = 0 c = 0 Vemos que = c, que sustituido en l primer: 4c + d = 0. Siempre, l tener ecuciones 4 coeficientes, tendremos un situción como l ctul, en que lo podemos resolver slvo un fctor de proporcionlidd. Si c =, entonces d = 4. Luego =, b = 0, c = d = 4. Es el plno de ecución: x + z = 4 plno que hbímos obtenido en l ctividd nterior. 40. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A(6,, 5) B(, 9, 7), de form explícit, como intersección de dos plnos. 4. Escribe ls ecuciones de los tres plnos coordendos. 4. Escribe ls ecuciones de los tres ejes coordendos en el espcio. 4. En el cubo de digonl O(0, 0, 0) A(6, 6, 6) escribe ls ecuciones de los plnos que formn sus crs. Escribe ls ecuciones de tods sus rists, ls coordends de sus vértices..4. Alguns ecuciones Qué puntos verificn l ecución x + =? Depende! Depende de si estmos en un plno o en el espcio. En el plno, podemos ver l ecución como que el cudrdo de l distnci de un punto genérico X(x, ) l origen O(0, 0) es siempre igul : D = (x 0) + ( 0) = x + = El lugr de todos los puntos del plno que distn del origen es l circunferenci de centro O(0, 0) rdio. En el espcio el punto genérico X(x,, z) tiene tres coordends, O(0, 0, 0), tmbién. No es un circunferenci, ni un esfer. Y qué es? Lo que está clro es que si cortmos por el plno OXY, (z = 0) tenemos l circunferenci nterior. Y si cortmos por el plno z =? Tmbién un circunferenci. Es un cilindro. El cilindro de eje, el eje verticl, de rdio de l bse. Qué puntos verificn l ecución x + + z =? Ahor sí. Sí podemos plicr l distnci de un punto genérico X(x,, z) l origen O(0, 0, 0), D = (x 0) + ( 0) + (z 0) = x + + z = Es l ecución de l superficie esféric de centro el origen rdio. 44. Escribe l ecución del cilindro de eje el eje OZ rdio. 45. Escribe l ecución de l esfer de centro el origen de coordends rdio.

12 Escribe l ecución del cilindro de eje, l rect x z t rdio. 47. Escribe l ecución de l circunferenci en el plno de centro A(, 5) rdio. 48. Al cortr un cierto cilindro por un plno horizontl se tiene l circunferenci del ejercicio nterior. Escribe l ecución del cilindro RESUMEN Ejemplos Teorem de Pitágors en el espcio Teorem de Tles: Poliedros regulres Prisms Pirámides Cilindro D = + b + c Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects prlels entre sí, b. Si l rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D, entonces los segmentos correspondientes son proporcionles Un poliedro regulr es un poliedro en el que tods sus crs son polígonos regulres igules en el que sus ángulos poliedros son igules. H cinco poliedros regulres: tetredro, octedro, icosedro, cubo dodecedro A A Lterl totl Volumen ALterl Perímetro Bse. Altur ; A Áre Áre ; totl Perímetro Áre A Lterl π R H ; Lterl Bse Volumen Áre bse. Altur Bse. Apotem pirámide Áre Lterl Áre bse. Altur Volumen Áre bse. Bse A totl R H R Altur =, b =, c = 4, entonces D = = 9 D = 9 = 5,4. Cono Esfer A Lterl π R G ; Volumen A totl Áre bse R G. Altur A totl 4 R ; 4 Volumen R R Ecuciones de l rect en el plno Ecución explícit: = mx + n.; Ecución implícit: x + b + c = 0; x Ecución prmétric: tv tv Ecuciones de l rect el plno en el espcio. Ecución implícit de un plno: x + b + cz + d = 0 Ecución prmétric de un rect: x z tv tv tv

13 85 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Teorem de Pitágors teorem de Tles. Clcul el volumen de un tetredro regulr de ldo 7 cm.. Clcul l longitud de l digonl de un cudrdo de ldo m.. Clcul l longitud de l digonl de un rectángulo de bse 5 cm ltur 6 cm. 4. Dibuj un prlelepípedo cus rists midn 4 cm, 5 cm 6 cm que no se un ortoedro. Dibuj tmbién su desrrollo. 5. Si el prlelepípedo nterior fuer un ortoedro, cuánto medirí su digonl? 6. Un vso de cm de ltur tiene form de tronco de cono en el que los rdios de ls bses son de 5 cm. Cuánto h de medir como mínimo un cuchrill pr que sobreslg del vso por lo menos cm? 7. Es posible gurdr en un cj con form de ortoedro de rists 4 cm, cm cm un bolígrfo de cm de longitud? 8. Clcul l digonl de un prism recto de bse cudrd sbiendo que el ldo de l bse mide 6 cm l ltur del prism 8 cm. 9. Si un scensor mide, m de ncho,,6 m de lrgo, m de ltur, es posible introducir en él un escler de m de ltur? 0. Cuál es l mor distnci que se puede medir en líne rect en un hbitción que tiene 6 m de ncho, 8 m de lrgo 4 m de ltur. Clcul l longitud de l rist de un cubo sbiendo que su digonl mide,46 cm.. Clcul l distnci máxim entre dos puntos de un tronco de cono cus bses tienen rdios 5 cm cm, ltur 0 cm.. En un pizzerí l pizz de 5 cm de diámetro vle l de 40 cm vle 5. Cuál tiene mejor precio? 4. Vemos en el mercdo un merluz de 0 cm que pes un kilo. Nos prece un poco pequeñ pedimos otr un poco mor, que result pesr kilos. Cuánto medirá? 5. En un dí frío un pdre un hijo pequeño vn exctmente igul brigdos, Cuál de los dos tendrá más frío? Longitudes, áres volúmenes 6. Identific qué cuerpo geométrico pertenecen los siguientes desrrollos: 7. Podrá existir un poliedro regulr cus crs sen hexgonles? Rzon l respuest. 8. Puedes encontrr dos rists prlels en un tetredro? Y en cd uno de los restntes poliedros regulres? 9. Utiliz un trm de cudrdos o ppel cudriculdo, busc todos los diseños de seis cudrdos que se te ocurrn. Decide cuáles pueden servir pr construir un cubo 0. Cuánts digonles puedes trzr en un cubo? Y en un octedro?. El triángulo de l figur se h plegdo pr obtener un tetredro. Teniendo en cuent que el triángulo no está pintdo por detrás, cuál de ls siguientes vists en perspectiv del tetredro es fls?. Un prism de 8 dm de ltur tiene como bse un triángulo rectángulo de ctetos dm 4 dm. Clcul ls áres lterl totl del prism.. Dibuj un prism hexgonl regulr que teng cm de rist bsl 0.9 dm de ltur clcul ls áres de l bse totl. 4. Un prism pentgonl regulr de 5 cm de ltur tiene un bse de 0 cm de áre. Clcul su volumen. 5. Clcul el áre totl de un ortoedro de dimensiones,7 dm, 6, dm 80 cm. 6. Clcul l superficie totl el volumen de un cilindro que tiene 7 m de ltur cm de rdio de l bse. 7. Clcul el áre totl de un esfer de 7 cm de rdio. 8. Clcul el potem de un pirámide regulr sbiendo que su áre lterl es de 50 cm su bse es un hexágono de 4 cm de ldo. 9. Clcul el potem de un pirámide hexgonl regulr sbiendo que el perímetro de l bse es de 6 dm l ltur de l pirámide es de 6 dm. Clcul tmbién el áre totl el volumen de est pirámide. 0. Un triángulo rectángulo de ctetos cm 6 cm gir lrededor de su cteto menor generndo un cono. Clcul el áre

14 86 lterl, el áre totl el volumen.. Tres bols de metl de rdios 5 dm, 0,4 m m se funden en un sol, Cuál será el diámetro de l esfer resultnte?. Cuál es l cpcidd de un pozo cilíndrico de,50 m de diámetro 0 m de profundidd?. Cuánto crtón necesitmos pr construir un pirámide cudrngulr regulr si queremos que el ldo de l bse mid cm que su ltur se de 5 cm? 4. Clcul el volumen de un cilindro que tiene cm de rdio de l bse l mism ltur que un prism cu bse es un cudrdo de 4 cm de ldo 800 cm de volumen. 5. Cuál es el áre de l bse de un cilindro de,50 m de lto 5 dm de volumen? 6. El gu de un mnntil se conduce hst unos depósitos cilíndricos que miden 0 m de rdio de l bse 0 m de ltur. Luego se embotell en bidones de,5 litros. Cuántos envses se llenn con cd depósito? 7. Clcul l cntidd de crtulin necesri pr construir un nillo de 0 tetredros cd uno de los cules tiene un centímetro de rist. 8. Al hcer el desrrollo de un prism tringulr regulr de 5 dm de ltur, resultó un rectángulo de un metro de digonl como superficie lterl. Clcul el áre totl. 9. Determin l superficie mínim de ppel necesri pr envolver un prism hexgonl regulr de cm de ldo de l bse 5 cm de ltur. 40. El untmiento de Mdrid h colocdo uns jrdiners de piedr en sus clles que tienen form de prism hexgonl regulr. L cvidd interior, donde se deposit l tierr, tiene 80 cm de profundidd el ldo del hexágono interior es de 60 cm. Clcul el volumen de tierr que llenrí un jrdiner por completo. 4. Un hbitción tiene form de ortoedro sus dimensiones son directmente proporcionles los números, 4 8. Clcul el áre totl el volumen si demás se sbe que l digonl mide 7, m. 4. Un ortoedro tiene 0,7 dm de ltur 8 dm de áre totl. Su longitud es el doble de su nchur, cuál es su volumen? 4. Si el volumen de un cilindro de 5 cm de ltur es de 44 cm, clcul el rdio de l bse del cilindro. 44. (CDI Mdrid 0) Hn instldo en cs de Jun un depósito de gu de form cilíndric. El diámetro de l bse mide metros l ltur es de metros. ) Clcul el volumen del depósito en m. b) Cuántos litros de gu cben en el depósito? 45. (CDI Mdrid 0) Un envse de un litro de leche tiene form de prism, l bse es un cudrdo que tiene 0 cm de ldo. ) Cuál es, en cm, el volumen del envse? b) Clcul l ltur del envse en cm. 46. Un circunferenci de longitud 8,84 cm gir lrededor de uno de sus diámetros generndo un esfer. Clcul su volumen. 47. Un puert mide,8 m de lto, 70 cm de ncho cm de espesor. El precio de instlción es de 00 se cobr 5 por m en concepto de brnizdo, demás del coste de l mder, que es de 80 cd m. Clcul el coste de l puert si sólo se reliz el brnizdo de ls dos crs principles. 48. Cuál es el volumen de un esfer en l que l longitud de un circunferenci máxim es 5, m? 49. Clcul el áre lterl el volumen de los siguientes cuerpos geométricos cm cm 4 cm 6 cm 0cm 5 cm cm 4cm 50. Clcul el áre lterl el volumen de los siguientes cuerpos geométricos 5 cm 7cm L bse es cudrd 0 cm cm Tetredro de 5cm de rist Octedro de 6cm de rist Pirámides construids en el interior de un estructur cúbic de 5 dm de rist. 5. El gu contenid en un recipiente cónico de cm de ltur 5 cm de diámetro de l bse se vierte en un vso cilíndrico de 5 cm de diámetro de l bse. Hst qué ltur llegrá el gu? 5. Según Arquímedes, qué dimensiones tiene el cilindro circunscrito un esfer de 7 cm de rdio que tiene su mism áre? Clcul est áre. 5. En l construcción de un globo erostático esférico de un metro de rdio se emple lon que tiene un coste de 00 /m.

15 87 Clcul el importe de l lon necesri pr su construcción. 54. Clcul el rdio de un esfer que tiene,5 dm de volumen. 55. El Atomium es un monumento de Brusels que reproduce un molécul de hierro. Const de 9 esfers de cero de 8 m de diámetro que ocupn los vértices el centro de un estructur cúbic de 0 m de digonl, relizd con cilindros de metros de diámetro. Si utilizmos un escl :00 tnto ls esfers como los cilindros son mcizos, qué cntidd de mteril necesitremos? 56. Un piscin mide 0 m de lrgo, 5 m de ncho m de lto. ) Cuántos litros de gu son necesrios pr llenrl? b) Cuánto costrá recubrir el suelo ls predes con PVC si el precio es de 0 / m? 57. Se h pintdo por dentro por fuer un depósito sin tpder de 8 dm de lto dm de rdio. Teniendo en cuent que l bse sólo se puede pintr por dentro, que se h utilizdo pintur de /dm, cuánto dinero h costdo en totl? 58. Cuál de ls dos cmpns extrctors de l figur izquierd tiene un coste de cero inoxidble menor? 59. En un vsij cilíndric de m de diámetro que contiene gu, se introduce un bol. Cuál es su volumen si después de l inmersión sube 0,5 m el nivel del gu? 60. El precio de ls tejs es de,6 /m Cuánto costrá retejr un viviend cuo tejdo tiene form de pirámide cudrngulr regulr de,5 m de ltur 5 m de ldo de l bse? 6. Se enroll un crtulin rectngulr de ldos 40 cm 6 cm formndo cilindros de ls dos forms posibles, hciendo coincidir ldos opuestos. Cuál de los dos cilindros resultntes tiene mor volumen? 6. Cd uno de los cubos de l figur tiene cm de rist. Cuántos h que ñdir pr formr un cubo de 6 cm de volumen? 6. Un tubo de enso tiene form de cilindro bierto en l prte superior remtdo por un semiesfer en l inferior. Si el rdio de l bse es de cm l ltur totl es de cm, clcul cuántos centilitros de líquido cben en él. 64. El ldo de l bse de l pirámide de Keops mide 0 m, su ltur 46 m. Qué volumen encierr? 65. L densidd de un tpón de corcho es de 0,4, cuánto pesn mil tpones si los diámetros de sus bse miden,5 cm, cm, su ltur cm? 66. Comprueb que el volumen de un esfer es igul l de su cilindro circunscrito menos el del cono de igul bse ltur. 67. Clcul el volumen de un octedro regulr de rist cm. 68. Construe en crtulin un prism cudrngulr regulr de volumen 40 cm, de áre lterl 40 cm. 69. El cristl de un frol tiene form de tronco de cono de 40 cm de ltur bses de rdios 0 0 cm. Clcul su superficie. 70. Un bote cilíndrico de 5 cm de rdio 0 cm de ltur tiene en su interior cutro pelots de rdio,5 cm. Clcul el espcio libre que h en su interior. 7. Un embudo cónico de 5 cm de diámetro tiene un litro de cpcidd, cuál es su ltur? 7. En un depósito con form de cilindro de 0 dm de rdio, un grifo vierte 5 litros de gu cd minuto. Cuánto umentrá l ltur del gu después de medi hor? 7. L lon de un sombrill biert tiene form de pirámide octogonl regulr de 0,5 m de ltur 40 cm de ldo de l bse. Se fij un mástil en el suelo en el que se encj el vértice de l pirámide qued un distnci del suelo de,80 m. En el momento en que los ros de sol son verticles, qué áre tiene el espcio de sombr que determin? 74. Un pecer con form de prism recto bse rectngulr se llen con 65 litros de gu. Si tiene 65 cm de lrgo 0 cm de ncho, cuál es su profundidd? 75. En un heldo de cucurucho l gllet tiene cm de ltur 4 cm diámetro. Cuál es su superficie? Si el cucurucho está completmente lleno de heldo sobresle un semiesfer perfect, cuántos cm de heldo contiene? Inicición l Geometrí Anlític 76. Clcul l distnci entre los puntos A(7, ) B(, 5). 77. Clcul l distnci entre los puntos A(7,, 4) B(, 5, 8). 78. Clcul l longitud del vector de componentes u = (4, 5). 79. Clcul l longitud del vector de componentes u = (4, 5, 0). 80. El vector u = (4, 5) tiene el origen en el punto A(, 7). Cuáles son ls coordends de su punto extremo? 8. El vector u = (4, 5, ) tiene el origen en el punto A(, 7, 5). Cuáles son ls coordends de su punto extremo? 8. Dibuj un cudrdo de digonl el punto A(, ) C(5, 6). Qué coordends tienen los otros vértices del cudrdo?

16 88 Clcul l longitud del ldo de l digonl de dicho cudrdo. 8. Dibuj un cubo de digonl A(,, ) B(4, 4, 4). Qué coordends tienen los otros vértices del cubo? Y sbes, son 8 vértices. Clcul l longitud de l rist, de l digonl de un cr de l digonl del cubo. 84. Se X(x, ) un punto del plno, A(, 4), escribe l expresión de todos los puntos X que distn de A un distnci. 85. Se X(x,, z) un punto del espcio, A(, 4, ), escribe l expresión de todos los puntos X que distn de A un distnci. 86. Escribe l ecución prmétric de l rect que ps por el punto A(, 7) tiene como vector de dirección u = (4, 5). Represéntl gráficmente. 87. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A(, 7) B(4, 6), de form explícit, implícit prmétric. Represéntl gráficmente. 88. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A(, 4, 6) B(5,, 8), de form explícit, como intersección de dos plnos. 89. En el cubo de digonl A(,, ) B(5, 5, 5) escribe ls ecuciones de los plnos que formn sus crs. Escribe tmbién ls ecuciones de tods sus rists, ls coordends de sus vértices. x Escribe l ecución del cilindro de eje rdio Escribe l ecución de l esfer de centro A(, 7, ) rdio 4. x 5 t 9. Escribe l ecución del cilindro de eje, l rect z rdio. 9. Escribe l ecución de l circunferenci en el plno de centro A(, 7) rdio. 94. Al cortr un cierto cilindro por un plno horizontl se tiene l circunferenci del ejercicio nterior. Escribe l ecución del cilindro. AUTOEVALUACIÓN. Ls longitudes de los ldos del triángulo de vértices A(, ) B(, 4) C(0, ) son: ), 5, 5 b), 5, 5 c) 5,, d),, 5. En el triángulo rectángulo de ctetos 4 cm se multiplicn por 0 tods sus longitudes. El áre del nuevo triángulo es: ) 6 m b) 6 dm c) 60 cm d) 0,6 m. L ltur de un prism de bse cudrd es 0 cm el ldo de l bse es 5 cm, su áre totl es: ) 450 cm b) 45 dm c) 45 cm d) 0,45 m 4. Un depósito de gu tiene form de prism hexgonl regulr de 5 m de ltur ldo de l bse m. El volumen de gu que h en él es: ) 60 m b) 45 m c) 0000 dm d) 90 m 5. El tejdo de un cset tiene form de pirámide cudrngulr regulr de 0,5 m de ltur 000 cm de ldo de l bse. Si se necesitn 5 tejs por metro cudrdo pr recubrir el tejdo, se utilizn un totl de: ) 05 tejs. b) 50 tejs. c) 45 tejs. d) 05 tejs. 6. Un cj de dimensiones 0, 0 5 cm, está llen de cubos de cm de rist. Si se utilizn todos pr construir un prism recto de bse cudrd de 0 cm de ldo, l ltur medirá: ) 55 cm b) 65 cm c) 75 cm d) 90 cm 7. El rdio de un esfer que tiene el mismo volumen que un cono de 5 dm de rdio de l bse 0 cm de ltur es: ) 5 dm b) 75 dm c) 50 cm d) 50 cm 8. Se distribuen 4,9 litros de disolvente en lts cilíndrics de 5 cm de ltur cm de rdio de l bse. El número de envses necesrio es: ) 00 b) 0 c) 4 d) L ecución de un rect en el plno que ps por los puntos A(, 5) B(, ) es: ) = x + b) x = c) = x + d) = x L ecución de l esfer de centro A(,, 5) rdio es: ) x x + + z 5z + 9 = 0 b) x 4x z 0z + 9 = 0 c) x 4x z 0z + 8 = 0 d) x 4x z 0z + 9 = 0