Departamento de Matemáticas. ITAM Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c

Transcripción

1 Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del curso. Departamento de Matemáticas. ITAM

2 Introducción Programación lineal jmorales La programación lineal es una de las aportaciones de la matemática con alto impacto en las aplicaciones. El problema por resolver es el siguiente: minimizar f (x) = c T x (1) sujeta a Ax = b, x 0,

3 en donde

4 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n

5 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n c es el vector de costos

6 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n c es el vector de costos A es una matriz de m n con m < n

7 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n c es el vector de costos A es una matriz de m n con m < n b es un vector m-dimensional.

8 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n c es el vector de costos A es una matriz de m n con m < n b es un vector m-dimensional. El vector x es llamado el vector de variables de decisión

9 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n c es el vector de costos A es una matriz de m n con m < n b es un vector m-dimensional. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo

10 en donde x 0 indica x i 0, c es el vector de costos i = 1, 2,..., n A es una matriz de m n con m < n b es un vector m-dimensional. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto determinado por Ax = b, x 0 es llamado la zona factible.

11 Objetivos En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la programación lineal:

12 Objetivos En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la programación lineal: Estudiar diversos problemas que se pueden formular como (1)

13 Objetivos En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la programación lineal: Estudiar diversos problemas que se pueden formular como (1) Estudiar las condiciones teóricas que aseguran la existencia de una solución de (1)

14 Objetivos En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la programación lineal: Estudiar diversos problemas que se pueden formular como (1) Estudiar las condiciones teóricas que aseguran la existencia de una solución de (1) Utilizar las condiciones de optimalidad para diseñar algoritmos prácticos que resuelvan eficientemente (1)

15 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación.

16 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL.

17 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL. 3 Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad de KKT.

18 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL. 3 Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad de KKT. 4 Método simplex I. Teoría.

19 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL. 3 Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad de KKT. 4 Método simplex I. Teoría. 5 Método simplex II. Aspectos numéricos.

20 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL. 3 Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad de KKT. 4 Método simplex I. Teoría. 5 Método simplex II. Aspectos numéricos. 6 Métodos de puntos interiores I. Aspectos básicos. Condiciones de KKT modificadas. La trayectoria central.

21 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL. 3 Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad de KKT. 4 Método simplex I. Teoría. 5 Método simplex II. Aspectos numéricos. 6 Métodos de puntos interiores I. Aspectos básicos. Condiciones de KKT modificadas. La trayectoria central. 7 Métodos de puntos interiores II. Aspectos numéricos.

22 Contenido del curso 1 Introducción. Motivación. 2 Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema fundamental de la PL. 3 Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad de KKT. 4 Método simplex I. Teoría. 5 Método simplex II. Aspectos numéricos. 6 Métodos de puntos interiores I. Aspectos básicos. Condiciones de KKT modificadas. La trayectoria central. 7 Métodos de puntos interiores II. Aspectos numéricos. 8 Extensiones. Complementariedad lineal. Programación cuadrática convexa.

23 Condiciones de optimalidad (KKT). Forma estándar en donde c A T λ s = 0 Ax b = 0 x i s i = 0, i = 1, 2,..., n (x, s) 0 λ es el vector de multiplicadores de Lagrange asociados con las igualdades Ax b = 0 s es el vector de multiplicadores de Lagrange asociados con las desigualdades x 0.

24 Condiciones de optimalidad (KKT). minimizar f (x) = c T x (2) sujeta a Ax b 0, c A T π = 0 (Ax b) i π i = 0, i = 1, 2,..., m Ax b 0 π 0 en donde π es el vector de multiplicadores de Lagrange asociados con las desigualdades Ax b 0

25 Ejemplo de un PL minimizar 2x 1 x 2 sujeta a x 1 + (8/3)x 2 4 x 1 + x 2 2 2x 1 3 x 0,

26 Forma estándar de un PL minimizar 2x 1 x 2 sujeta a x 1 + (8/3)x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + x 4 = 2 2x 1 + x 5 = 3 x 0,

27 Puntos extremos de un PL 2 x 4 = 0 x 5 = 0 x 1 = 0 1 x 3 = 0 Ω 1 2 x 2 = 0

28 Zona factible de un PL 2 x 1 + x 2 = 2 2x 1 = 3 x 1 = 0 1 x 1 + (8/3)x 2 = 4 Ω 1 2 x 2 = 0

29 Zona factible e isoĺıneas de un PL x f = 2x 1 + x Ω 2.25 x * x 1