Matemáticas UNIDAD 7 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

Transcripción

1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 7 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 CÁLCULO DE ÁREAS 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Determinación y aplicación de fórmulas para calcular el área de cuadrados y rectángulos. Identificación y uso de unidades de área: mm 2, cm 2 y m 2. Determinación y aplicación de fórmulas para calcular el área del triángulo rectángulo. Generalización al área de un triángulo cualquiera. Cálculo de área con ayuda de descomposiciones y resolución de problemas que impliquen cálculo de áreas de triángulos, rectángulos y paralelogramos en situaciones de 2 y 3 dimensiones. 2. DURACIÓN APROXIMADA 4 semanas. 3. CONTENIDOS El área de cuadrados y rectángulos El área de triángulos 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 El área de cuadrados y rectángulos Este contenido centra su atención en el cálculo del área de rectángulos y cuadrados. El primer aprendizaje esperado se relaciona con el reconocimiento, interpretación y empleo de unidades de área de uso frecuente, en especial el milímetro cuadrado, el centímetro cuadrado y el metro cuadrado. En contextos específicos suelen utilizarse otras unidades de área que conviene conocer, como por ejemplo la hectárea y el kilómetro cuadrado. El segundo aprendizaje esperado se refiere a estas unidades de área. El tercer aprendizaje esperado se refiere al empleo de fórmulas de cálculo para la determinación del área de rectángulos y cuadrados. Generalmente, este tema ya ha sido tratado en NB2 y su tratamiento en 5º básico constituye principalmente una instancia de sistematización y consolidación. APRENDIZAJES ESPERADOS El área de cuadrados y rectángulos Reconocen el mm 2, el cm 2 y el m 2 como unidades de área y las utilizan correctamente. Interpretan otras unidades de área en el marco de contextos del mundo real (hectárea, km 2 ). Determinan mediante cálculo el área de cuadrados y rectángulos, efectuando eventualmente las mediciones que se requieran. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 4.2 El área de triángulos APRENDIZAJES ESPERADOS En este contenido se amplían las posibilidades de cálculo de áreas para diferentes figuras geométricas. A partir del procedimiento para calcular el área del rectángulo es relativamente fácil deducir un procedimiento para calcular el área de un triángulo rectángulo. A ello se refiere el primer aprendizaje esperado. Sobre la base del área del triángulo rectángulo es posible establecer procedimientos de cálculo para el área de un triángulo cualquiera. A ello se refiere el segundo aprendizaje esperado. El tercer aprendizaje esperado se refierea las posibilidades de descomponer polígonos en rectángulos y triángulos de modo de poder determinar su área utilizando los procedimientos de cálculo de área de estas figuras. El área de triángulos Determinan mediante cálculo el área de triángulos rectángulos, efectuando eventualmente las mediciones que se requieran. Determinan mediante cálculo el área de un triángulo cualquiera, efectuando eventualmente las mediciones que se requieran. Determinan al área de superficies que pueden descomponerse en rectángulos y triángulos. 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Operaciones con magnitudes Es conveniente ir introduciendo poco a poco a los estudiantes al trabajo con magnitudes que se expresan en términos de una unidad de medida y en especial a las operaciones con ellas. Al efectuar adiciones o sustracciones con cantidades que incluyen una unidad de medida, la situación es bastante simple. Los términos de una adición o sustracción deben estar expresados en una misma unidad de medida y el resultado queda expresado en esa unidad. Así, por ejemplo, 50 centímetros + 20 centímetros = 70 cm, 200 gramos 75 gramos = 125 gramos, etc. Es importante resaltar el hecho que la adición o sustracción no varían la magnitud con la que se está trabajando. Si sumo dos longitudes, el resultado es una longitud; si resto dos intervalos de tiempo el resultado es un intervalo de tiempo, y así sucesivamente. Veamos ahora qué sucede en el caso de multiplicaciones o divisiones. Si multiplicamos o dividimos una magnitud por un número puro, el resultado corresponde a esa misma magnitud. El resultado de multiplicar un volumen por 5 será un volumen, el resultado de dividir una cantidad de dinero por 8 será una cantidad de dinero. Pero si multiplicamos o dividimos entre sí dos magnitudes, el resultado corresponde a una magnitud diferente. Si multiplico la longitud de los lados de un rectángulo, el resultado no es una longitud sino que es un área. Si divido una distancia por un intervalo de tiempo, el resultado no es una distancia ni es un intervalo de tiempo, es una velocidad. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 Al tratar en forma sistemática el tema del cálculo de áreas debemos hacer hincapié en este punto. Los estudiantes ya saben que para encontrar el área de un rectángulo debemos multiplicar la longitud de uno de sus lados por la longitud del otro lado. También debieran saber que si la longitud de los lados está expresada en centímetros, el área resulta expresada en centímetros cuadrados. Lo que necesitamos enfatizar ahora es que esta nueva unidad (el centímetro cuadrado) surge precisamente del producto centímetro centímetro. Como las dos unidades que se multiplican son iguales, el resultado recuerda las potencias. Y de allí su nombre y su símbolo (cm 2 ). En 7º, al tratar el cálculo de volumen de cuerpos geométricos, encontraremos que el volumen de un prisma recto se obtiene multiplicando 3 longitudes. Si las longitudes están expresadas en metros, el resultado quedará expresado en metro metro metro, que se asocia a una potencia y se abrevia m El Sistema Internacional de Unidades (SI) El sistema de unidades utilizado hoy día en la mayor parte de los países, incluido Chile, es el llamado Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI) creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas sobre la base del Sistema Métrico Decimal. El SI define 7 magnitudes básicas y sus respectivas unidades. En la siguiente tabla se indican estas magnitudes básicas con su respectiva unidad de medida y símbolo. MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa UNIDAD metro kilogramo segundo ampere kelvin mol candela SÍMBOLO m kg s A K mol cd Hay que hacer notar que los símbolos no son abreviaturas. Por lo tanto, no tienen punto ni agregan una s en caso de plural. Se recomienda asimismo respetar el uso de mayúscula o minúscula indicado en la tabla. El SI considera también un conjunto de prefijos que multiplican la unidad básica por una potencia de 10. La siguiente tabla muestra algunos de los prefijos de uso más frecuente. PREFIJO tera giga mega kilo deci centi mili micro nano SÍMBOLO T G M k d c m μ n EQUIVALENCIA FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 La siguiente tabla muestra algunas unidades de uso frecuente con sus respectivos símbolos de acuerdo con las disposiciones del SI. UNIDAD centímetro milímetro kilómetro milígramo milisegundo 5.3 Las unidades de área Las unidades de área más frecuentes en situaciones cotidianas son el milímetro cuadrado (mm 2 ), el centímetro cuadrado (cm 2 ), el metro cuadrado (m 2 ) y el kilómetro cuadrado (km 2 ). 1 m 2 es el área equivalente al área de un cuadrado de 1 m de lado. En forma similar, 1 mm 2 es el área equivalente al área de un cuadrado de 1 mm de lado, 1 cm 2 es el área equivalente al área de un cuadrado de 1 cm de lado y 1 km 2 es el área equivalente al área de un cuadrado de 1 km de lado. Un cuadrado de 1 m de lado tiene un área de 1 m 2. Como 1 m equivale a mm, el área de un cuadrado de 1 m de lado, expresada en mm 2 será: mm mm = mm 2. De igual forma, el área de un cuadrado de 1 m de lado, expresada en cm 2 será: 100 cm 100 cm = cm 2. De modo que entre estas unidades de área se tienen las siguientes equivalencias: 1 m 2 = cm 2 = mm 2. Siguiendo un razonamiento similar, se concluye que 1 km 2 = m 2. Es necesario mostrar y deducir estas equivalencias, pues se suele caer en el error de pensar que puesto que 1 m es igual a 100 cm, entonces 1 m 2 debe ser igual a 100 cm 2. Lo mismo se puede decir de las demás equivalencias entre otras unidades de área. Y en 7º año, al tratar las unidades de volumen, volveremos a encontrarnos con una situación muy similar. 5.4 Cuál es la base y cuál es la altura? SÍMBOLO c m m m k m m g m s Con frecuencia los estudiantes aprenden que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura. Este enunciado induce al error de pensar que todo triángulo tiene una base que correspondería al lado horizontal situado en la parte inferior del triángulo. En triángulos, el término base se entiende en relación con una determinada altura y se refiere al lado al que llega la altura. Cualquier lado del triángulo puede ser considerado base puesto que a cada lado corresponde una altura. Así, el lado a es la base correspondiente a la altura ha, el lado b es la base correspondiente a la altura hb y el lado c es la base correspondiente a la altura hc. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 Es necesario insistir en este punto pues, como se dijo, muchos estudiantes tienden a pensar que la fórmula de cálculo para el área de un triángulo es válida solo para un lado del triángulo. De hecho, en todo triángulo debe cumplirse que: a. h a b. h b c. h c 2 = 2 = 2 O también: a. h a = b. h b = c. h c Esta última relación proporciona un ejemplo geométrico de magnitudes inversamente proporcionales. Si el producto de la longitud de un lado por la longitud de su correspondiente altura es constante, podremos decir que la longitud de la altura es inversamente proporcional a la longitud del lado correspondiente. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO GRUPAL) EL ÁREA DE CUADRADOS Y RECTÁNGULOS Esta guía propone algunas actividades destinadas a recordar y consolidar conocimientos básicos relativos al área del rectángulo. Se actualiza la fórmula respectiva y se proponen algunas actividades que implican aplicación de la fórmula. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES DE ÁREA En esta guía se proponen actividades que permiten establecer equivalencias entre diversas unidades de área. Se introducen asimismo la hectárea y sus equivalencias, y se proponen situaciones en contextos reales en las que se requiere calcular áreas. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO En esta guía se establece y ejercita un procedimiento para calcular el área de un triángulo rectángulo como la mitad del producto de sus catetos. El procedimiento se justifica completando un rectángulo en que dos de los lados son los catetos del triángulo rectángulo. GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO En esta guía se introduce el concepto de altura de un triángulo y se llama la atención a las características que tienen las alturas en los triángulos rectángulos y en los triángulos obtusángulos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA Considerando que la altura de un triángulo lo divide en dos triángulos rectángulos, en este guía se establece un procedimiento general para calcular el área de un triángulo cualquiera. La guía trata primero el caso del triángulo acutángulo y luego el caso del triángulo obtusángulo. Se proponen actividades que muestran que la fórmula encontrada es válida cualquiera que sea el lado del triángulo qe se considere. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) CÁLCULO DE ÁREAS EN DIFERENTES CONTEXTOS En esta guía se proponen situaciones variadas que permiten ampliar y aplicar los conocimientos adquiridos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6