Cónicas y Cuádricas. Tema V. 2 Intersección de una recta y una cónica. 1 Definición y ecuaciones.

Transcripción

1 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC Tem V Cónis Cuádris Cónis En todo este pítulo trbjremos en el plno fín eulídeo E 2 on respeto un refereni retngulr {O; ē, ē 2} Denotremos por (, ls oordends rtesins respeto est refereni por (,, t ls oordends homogénes Definiión euiones Definiión Un óni es un urv pln determind, en oordends rtesins, por un euión de segundo grdo De est form l euión generl de un óni será: = on (, 22, 2 (,, (pr grntizr que l euión es de segundo grdo Otrs epresiones equivlentes de l euión de un óni son: En funión de l mtriz A soid l óni (tod mtriz simétri determin un óni: ( 2 3 =, on A = A En funión de l mtriz T de términos udrátios: ( ( T + 2 ( =, on T = 3 En oordends homogénes: t A t ( 2 3 =, on A = ( 2 Ω 2 22 De l últim euión deduimos que, en oordends homogéns, los puntos de l óni son los vetores utoonjugdos de l form udráti que determin l mtriz soid A Definiión 2 Diremos que un óni es degenerd undo está formd por dos rets (igules o distints, reles o imginris Veremos más delnte que un óni es degenerd undo su mtriz soid A tiene determinnte nulo 2 Interseión de un ret un óni Considermos un óni dd por un mtriz simétri A Sen P = (p Q = (q dos puntos ulesquier Clulemos en oordends homogénes l interseión de l ret que los une l óni: ret P Q ( = α(p + β(q óni (A( t = Sustituendo l primer euión en l segund qued: (α(p + β(qa(α(p + β(q t = α 2 (pa(p t + 2αβ(pA(q t + β 2 (qa(q t = - Si (pa(p t = (pa(q t = (qa(q t = l euión se umple pr ulquier pr (α, β luego l ret está ontenid en l óni - En otro so, obtenemos un euión de segundo grdo de disriminnte: H tres posibiliddes: 4 = [(pa(qt ] 2 [(pa(p t ][(qa(q t ] > : Ret sente H dos soluiones reles distints, luego l ret ort l óni en dos puntos distintos 2 = : Ret tngente H un soluión doble, luego l ret ort l óni en un punto doble 3 < : Ret eterior No h soluiones reles L ret no ort l óni Podemos plir esto dos situiones: Ret tngente l óni en un punto P de l mism Si P está en l óni entones (pa(p t = Por tnto l ret tngente tendrá por euión: (pa( t = 89

2 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC 2 Rets tngentes l óni desde un punto P eterior Si P es un punto eterior l óni, ls rets tngentes l mism se obtendrán medinte l euión: [(pa( t ] 2 [(pa(p t ][(A( t ] = teniendo en uent que dih euión se desompondrá omo produto de dos euiones lineles En l siguiente seión veremos omo l polridd nos proporionrá otro método pr lulr ests rets 3 Polridd Trbjmos on un óni de mtriz soid A Definiión 3 Ddo un punto P de oordends homogénes (p, p 2, p 3 un óni determind por un mtriz A, se llm ret polr de P respeto l óni se denot por r P, l ret de euión: P se die el polo de l ret ( p p 2 p 3 A t Observión 32 Los oneptos de polo ret polr son dules Supongmos que l óni definid por A es no degenerd Ddos un polo P su ret polr r p l fmil de rets psndo por P se orresponde on ls rets polres de los puntos de r P Pr omprobr esto simplemente tenemos en uent lo siguiente Sen (p ls oordends de P Si B C son dos puntos de r P, on oordends (b ( respetivmente, se tiene que: = (pa(b t = P ret polr de B (pa( t = P ret polr de C Por tnto el hz de rets que ps por P será: rets psndo por P α(ba( t + β(a( t = (α(b + β(a( t = rets polres de los puntos α(b + β( rets polres de los puntos de r P Vemos l interpretión geométri de l ret polr Se C l óni (no degenerd definid por A, P el polo r P l orrespondiente ret polr: Si P no está en l óni l ret polr interse l óni, entones los puntos de interseión de l ret polr l óni son los puntos de tngeni de ls rets tngentes l óni psndo por P Prueb: Se X C r p Entones se verifin ls euiones: X C (A( t = X r p (pa( t = ret uniendo X P α(p + β( = Vemos que l ret que une P X es tngente C Intersemos dih ret on l óni obtenemos: α 2 (pa(p t + 2αβ(pA( t + β 2 (A( t = α 2 (pa(p t = es deir h un úni soluión por tnto l ret P X es tngente l óni en X Observión: Como onseueni de esto, pr lulr ls tngentes un óni desde un punto eterior P, bst lulr l ret polr de P e interserl on l óni Ls rets pedids son ls que unen estos puntos on P 2 Si P está en l óni, entones l ret polr es l ret tngente l óni en el punto P Prueb: Es un so prtiulr de l situión nterior 3 Si P no está en l óni l ret polr no interse l óni, entones l ret polr r P se obtiene de l siguiente form: se tom un ret psndo por P se interse on l óni Ls orrespondientes tngentes l óni por esos puntos se intersen en un punto de l ret polr r p Prueb: Es onseueni de ls observiones nteriores 4 Puntos rets notbles soidos un óni En lo que sigue trbjremos sobre un óni u mtriz soid respeto un determindo sistem de refereni es A 4 Puntos singulres Definiión 4 Un punto singulr de un urv es un punto de no diferenibilidd de l mism Equivlentemente, un punto singulr de un urv es un punto on más de un direión de tngeni Equivlentemente, si tod ret psndo por un punto P de un urv ort l urv on multipliidd > en P, entones P es un punto singulr 9

3 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC Vemos undo preen puntos singulres en un óni Se P = (p un punto de l óni Tommos un ret ulquier psndo por P Pr ello elegimos un punto ulquier Q = (q que no esté en l óni lo unimos on P Su euión en oordends homogénes es: ( = α(p + β(q Si intersemos on l óni, nos qued l euión: 2αβ(pA(q + β 2 (qa(q = El punto P es singulr si l úni soluión de est euión es β = on multipliidd 2, pr ulquier punto (q, es deir si: Esto se umple undo: Conluimos lo siguiente: (pa(q = pr ulquier (q (pa = - Pr que (, b, se entro ls soluiones de λ hn de ser vlores opuestos pr ulquier direión (p, q (, Esto signifi que: ( b A ( p q - Deduimos que l euión del entro es: = pr ulquier (p, q (, ( b A = (,, h 43 Direiones sintótis síntots Definiión 44 Ls direiones sintótis son los puntos del infinito que perteneen l óni Ls síntots son ls rets que psn por el entro tienen un direión sintóti Teorem 42 Un óni dd por un mtriz A tiene puntos singulres si sólo si det(a = En ese so l óni se die degenerd los puntos singulres (fines son los que verifin l euión: De l definiión es lro que ls direiones sintótis (p, q, se obtienen resolviendo l euión: A = ( p q A ( p q =, (p, q (, 42 Centro Definiión 43 El entro de un óni es un punto fín entro de simetrí de l mism Llmemos (, b, ls oordends homogénes del entro Vemos omo lulrlo: - Considermos l euión de un ret que ps por el entro tiene un determindo vetor diretor (p, q: (,, t = (, b, + λ(p, q, Si desrrollmos es euión, obtenemos: p pq + 22q 2 = Vemos que es un euión de segundo grdo uo disriminnte es T Por tnto: - Si T >, entones no h direiones sintótis (óni de tipo elíptio - Si T =, h un direión sintóti (óni de tipo prbólio - Si T <, h dos direiones sintótis (óni de tipo hiperbólio 44 Diámetros - Sustituimos en l euión de l óni obtenemos: Definiión 45 Un diámetro de un óni es l ret polr (fín de un punto del infinito Al punto del infinito se le llm direión onjugd on el diámetro ( p q A ( p q λ ( b A ( p q λ + ( b A ( b = Observión 46 Culquier diámetro ps por el entro (o entros de l óni 9

4 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC Prueb: Supongmos que A es l mtriz de l óni (, b, es un entro Un dimétro tiene por euión: ( u u 2 A donde (u, u 2 es l direión onjugd Por otr prte vimos que si (, b, es el entro verifi: Deduimos que: = ( b A = ( h A ( b ( u u 2 A ( b por tnto el diámetro ontiene l entro 45 Ejes = = ( h Definiión 47 Se llmn ejes los diámetros perpendiulres su direión onjugd Observión 48 Ls direiones onjugds de los ejes son los utovetores de T soidos utovlores no nulos Prueb: Se (u, u 2, un punto del infinito ( u u 2 A l euión del orrespondiente diḿetro Operndo, obtenemos que el vetor norml de l ret es: ( u u 2 T Como est ret debe de ser perpendiulr l direión onjugd, este vetor norml h de ser prlelo (u, u 2 por tnto: = ( u u 2 T = λ ( u u 2 Deduimos que (u, u 2 es un utovetor de T, soido l utovlor λ Finlmente tenemos en uent que si λ =, entones l ret nterior serí l ret del infinito, por tnto no es un eje 46 Vérties Definiión 49 Se llmn vérties los puntos interseión de los ejes on l óni 47 Foos, diretries eentriidd Definiremos estos tres oneptos pr ónis no degenerds, es deir, u mtriz soid A es no singulr Definiión 4 Un foo de un óni es un punto F que verifi l siguiente ondiión: el oiente entre ls distnis de ulquier punto de l óni F su ret polr d es onstnte: d(x, F d(x, d = e, pr ulquier punto X en l óni A l ret polr de un foo se le denomin diretriz A l onstnte e se le denomin eentriidd 5 Desripión de ls ónis no degenerds 5 L elipse rel L euión reduid de un elipse es: =,, b 2 b2 (supondremos b, de mner que el rdio mor de l elipse este olodo sobre el eje OX Cundo = b se trt de un irunfereni de rdio Sus puntos rets notble son: Centro: (, 2 Direiones sintótis: No tiene 3 Asíntots: No tiene 4 Diámetros: Culquier ret psndo por el entro 5 Ejes: Si b los ejes son = e = Si = b ulquier diámetro es un eje 6 Vérties: Si b los vérties son (,, (,, (, b (, b Si = b ulquier punto de l óni es un vértie 92

5 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC 7 Foos: (, (, on 2 = b Diretries: = 2 = 2 9 Eentriidd: e = < (vle si se trt de un irunfereni Todos estos vlores se obtienen diretmente utilizndo que, en este so, l mtriz soid l óni es: ( 2 A = b 2 plindo ls definiiones vists pr d uno de los oneptos nteriores Nos fijmos en prtiulr en los foos, diretries eentriidd Si onsidermos el punto (, on 2 = b 2 + 2, su ret polr será: (,, A(,, t = 2 = = 2 Ahor ddo un punto X = (, ulquier de l óni vemos ul es el oiente entre ls distnis de diho punto l foo l diretriz En primer lugr teniendo en uent que (, verifi l euión de l óni que 2 = b 2 + 2, tenemos: Por otr prte: Por tnto: d(f, X = ( = 2 2 = b 2 b = = = 2 d(diretriz, X = 2 = 2 d(f, X d(d, X = 2 2 Deduimos que efetivmente (, es un foo l eentriidd es Análogmente se puede ver que (, es el otro foo de l óni 5 L elipse omo lugr geométrio Definiión 5 L elipse tmbién puede definirse omo el lugr geométrio de los puntos del plno u sum de distnis los foos es onstnte Vemos que est definiión es oherente on l euión foos ddos previmente Ddo un punto (, de l óni vimos que: Por tnto: d(f, X = 2 d(f, X + d(f 2, X = 2 = ; d(f 2, X = = 2 52 L hipérbol L euión reduid de un hipérbol es: 2 Sus puntos rets notble son: Centro: (, 2 =,, b 2 b2 2 Direiones sintótis: (, b, (, b, 3 Asíntots: = b e = b 4 Diámetros: Culquier ret psndo por el entro 5 Ejes: = e = 6 Vérties: (, (, 7 Foos: (, (, on 2 = 2 + b 2 8 Diretries: = 2 = 2 9 Eentriidd: e = > Todos estos vlores se obtienen diretmente utilizndo que, hor, l mtriz soid l óni es: ( 2 A = b 2 Comprobmos los foos, diretries eentriidd Si onsidermos el punto (, on 2 = 2 + b 2, su ret polr será: (,, A(,, t = 2 = = 2 Ahor ddo un punto X = (, ulquier de l óni vemos ul es el oiente entre ls distnis del punto l foo l diretriz En primer lugr teniendo en uent que (, verifi l euión de l óni que 2 = 2 + b 2, tenemos: d(f, X = ( = b2 2 2 b 2 = = = 2 2 = Por otr prte: d(d, X = 2 = 2 93

6 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC Por tnto: d(f, X d(d, X = 2 2 = Deduimos que efetivmente (, es un foo l eentriidd es Análogmente se puede ver que (, es el otro foo de l óni 52 L hipérbol omo lugr geométrio Definiión 52 L hipérbol tmbién puede definirse omo el lugr geométrio de los puntos del plno u difereni de distnis los foos en vlor bsoluto es onstnte Vemos que est definiión es oherente on l euión foos ddos previmente Ddo un punto (, de l óni vimos que: Por tnto, si si : 53 L prábol d(f, X = 2 d(f, X d(f 2, X = ; d(f 2, X = d(f, X d(f 2, X = 2 L euión reduid de un prábol es: 2 = 2p, p = 2 = 2 (supondremos p > pr que l prábol esté situd en el semiplno positivo Sus puntos rets notble son: Centro: No tiene (tiene un entro impropio (,, 2 Direiones sintótis: (, 3 Asíntots: No tiene 4 Diámetros: Rets prlels l eje OY 5 Ejes: = 6 Vérties: (, 7 Foo: (, p 2 8 Diretries: = p 2 9 Eentriidd: e = De nuevo, todos estos vlores se obtienen diretmente utilizndo que en este so l mtriz soid l óni es: ( A = p p Comprobmos un vez más los foos, diretries eentriidd Si onsidermos el punto F = (, p su ret polr será: 2 (, p 2, A(,, t = p p2 2 = + p 2 = Ahor ddo un punto X = (, ulquier de l óni vemos ul es el oiente entre ls distnis del punto l foo l diretriz En primer lugr teniendo en uent que (, verifi l euión de l óni: d(f, X = 2 + ( p 2 2 = 2p p2 4 p = 2 + p + p2 4 = + p 2 Por otr prte: d(d, X = + p 2 Deduimos que efetivmente (, p es un foo l eentriidd es 2 53 L prábol omo lugr geométrio Definiión 53 L prábol tmbién puede definirse omo el lugr geométrio de los puntos del plno u distni l foo es l mism que l distni l diretriz Esto es onseueni inmedit de que l eentriidd es 6 Cmbio de sistem de refereni Sen dos sistems de refereni R = {O; ē, ē 2} R 2 = {Q; ē, ē 2} Denotmos por (, e (, respetivmente ls oordends rtesins en d un de ls referenis Supongmos que - el punto Q on respeto l primer refereni tiene por oordends (q, q 2 - {e } = C{e}, donde C = M B B 94

7 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC Entones sbemos que l fórmul de mbio de refereni es: (, = (q, q 2 + (, C ó (,, t = (,, t ( C q q 2 7 Clsifiión de ónis euión reduid Dd un óni definid por un mtriz simétri A, enontrr su euión reduid onsiste en her un mbio de refereni de mner que l euión de l óni on respeto es nuev refereni se lo más senill posible En onreto relizmos: Supongmos que tenemos l euión de l óni dd por un mtriz A ( l orrespondiente T de términos udrátios on respeto l refereni R : t A t = T ( ( + 2 ( = Si hemos el mbio de refereni en oordends homogénes obtenemos: ( t BAB t = on B = t C q q 2 Deduimos que l mtriz de l óni en l nuev refereni es: por tnto: A = BAB t Teorem 6 Ls mtries A, A de un óni on respeto dos refenis R, R 2 distints, son mtries ongruentes A = BAB t siendo B l mtriz de mbio de refereni de R 2 R, en oordends homogénes Si hemos el mbio de refereni en oordends rtesins obtenemos: ( CT C t + {términos de grdo } = Por tnto deduimos que: Teorem 62 Ls mtries de términos udrátios T, T de un óni on respeto dos refenis R, R 2 distints son mtries ongruentes T = CT C t siendo C l mtriz de mbio de l bse de R 2 l de R Un giro Nos permite olor el eje o ejes de l óni prlelos los ejes de oordends de l nuev refereni L mtriz de términos udrátios en l nuev refereni será digonl 2 Un trslión Que nos permite olor el/los entro/s (si eiste/n de l óni en el origen de oordends (en otro so llevremos un vértie l eje de oordends Antes de omenzr el desrrollo, hemos l siguiente observión importnte: Supondremos que l menos un término de l digonl de l mtriz T de términos udrátios es no negtivo Si est propiedd no se umple, bst trbjr on l mtriz A en lugr de on A De est form segurmos que T siempre tiene l menos un utovlor positivo 7 Pso I: Reduión de términos udrátios (el giro Ddo que l mtriz T de términos udrátios es simétri tiene dos utovlores reles λ λ 2, on λ Supondremos λ > Además sbemos que eiste un bse ortonorml de utovetores {ū, ū 2} de mner que: T = CT C t on {ū} = C{ē} T = L euión de mbio de oordends es: (, = (, C de form que en l nuev bse l euión de l óni es: Operndo qued: ( λ λ 2 CT C t ( + 2 ( 3 23 C t ( + 33 = λ 2 + λ b 3 + 2b 23 + b 33 = 95

8 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC 72 Pso II: Reduión de términos lineles (l trslión Ahor prtir de l euión nterior ompletmos ls epresiones de e l udrdo de un binomio, sumndo restndo los términos deudos En onreto: - Pr : λ 2 + 2b 3 = λ ( b3 + b2 3 b2 3 λ λ - Pr : Si λ 2 : λ b 23 = λ 2( b23 + b2 23 b2 23 λ 2 λ 2 Si λ 2 = b 23 : λ 2 λ 2 2 2b 23 + b 33 = 2b 23( + b33 2b 23 = λ ( + b3 λ 2 b2 3 λ = λ 2( + b23 λ 2 2 b2 23 λ 2 Hemos en d so l trslión orrespondiente obtenemos ls siguientes forms reduids: Si λ 2 Si λ 2 = b 23 Si λ 2 = b 23 = Cmbio de Coordends: Cmbio de Coordends: Cmbio de Coordends: = + b3 λ = + b23 λ 2 = + b3 λ = + b33 2b 23 = + b3 λ (b 33 =, entones l euión reduid es: λ 2 + λ 2 2 = Rets imginris ortándose en un punto ( 33 <, entones l euión reduid es: λ 2 + λ = Elipse rel 2 Si λ 2 = ( 23, entones 33 = l euión reduid es: λ = Prábol (b 23 = 33 > λ = Rets prlels imginris ( 23 = 33 = λ 2 = Ret doble rel (d 23 = 33 < Euión reduid: Euión reduid: Euión reduid: λ 2 + λ = λ = λ = λ = Rets prlels reles Es deir nos qued un euión reduid de l form: λ 2 + λ = on ls siguientes posibiliddes pr los vlores de λ 2, 23 33: Si λ 2 >, entones 23 = si: ( 33 >, entones l euión reduid es: 3 Si λ 2 <, entones 23 = si: ( 33, entones l euión reduid es: λ 2 + λ = Hipérbol (b 33 =, entones l euión reduid es: λ 2 + λ = Elipse imginri λ 2 + λ 2 2 = Rets reles ortándose en un punto 96

9 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC 73 Clsifiión euión reduid en funión de T A Teniendo en uent que los determinntes de T A se onservn por giros trsliones, podemos reesribir l lsifiión nterior en funión de T A De nuevo suponemos lgún término de T positivo: A > A = A < T > Elipse imginri Rets { imginris ortándose Elipse rel Rets prlels img rg(a = 2 T = Prábol Rets prlels reles Prábol rg(a = Ret doble T < Hipérbol Rets reles ortándose Hipérbol Además undo l óni es no degenerd podemos lulr l euión reduid, prtir de los utovlores λ >, λ 2 de T de A : Si T =, entones qued: 2 Si T =, entones qued: λ 2 + λ =, on = A T λ 2 2 =, on = A λ Podemos inluso dr l refereni en que se obtienen ests forms reduids: En el so de T (elipse o hipérbol, l bse de l nuev refereni está formd por los utovetores de T normlizdos el nuevo origen situdo en el entro de l óni Simplemente h que tener uiddo de ordenr los utovetores de mner oherente omo se ordenn los utovlores 2 En el so de T = (prábol, l bse de l nuev refereni está formd por los utovetores de T normlizdos el nuevo origen en el vértie Ahor demás de ordenr orretmente los utovetores, h que omprobr si se h esogido orretmente el signo del utovetor soido l utovlor nulo 74 Clsifiión medinte digonlizión por ongrueni Otr form de lsifir un óni dd por un mtriz A es digonlizr est mtriz por ongrueni, pero on l siguiente restriión: L últim fil no puede ser ni sumd ls demás ni multiplid por un eslr ni mbid de posiión Un operión prohibid on est fil signifirí que l trnsformión que hemos llev puntos propios en puntos del infinito vievers Con esté método llegremos un form digonl (eepto si se trt de un prábol que nos permitirá lsifir fáilmente l óni Observión 7 H que tener en uent que l form digonl que obtenemos de est form, NO se orresponde neesrimente on l euión reduid de l óni Es deir, este método nos permite lsifir l óni, pero NO dr su euión reduid 75 Obtenión de ls rets que formn ls ónis degenerds Un vez lsifid l óni omprobdo que es degenerd, l form más ómod de lulr ls rets que l formn es l siguiente: Si se trt de rets prlels (reles o imginris o de un ret doble, se lul l ret de entros Si es un ret doble hemos termindo En otro so intersemos l óni on un ret ulquier (lo más senill posible obtenemos dos puntos (reles o imginrios Ls rets busds son ls prlels l ret de entros psndo por dihos puntos 2 Si se trt de rets que se ortn (reles o imginris, se lul el entro Luego intersemos l óni on un ret ulquier (lo más senill posible que no pse por el entro obtenemos dos puntos (reles o imginrios Ls rets busds son ls que unen el entro on dihos puntos 8 Hes de ónis Definiión 8 Dds dos ónis C C 2 de euiones: (A ( t = (A 2( t = el hz de ónis generdo por ells orresponde l fmili de ónis de euiones: o equivlentemente: {α[(a ( t ] + β[(a 2( t ] = ; α, β IR, (α, β (, } {[(A ( t ] + µ[(a 2( t ] = ; µ IR} {(A 2( t = } Ls ónis de un hz heredn propieddes omunes de ls ónis que lo genern Por ejemplo: 97

10 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC - Si P es un punto omún de C C 2, entones P pertenee tods ls ónis del hz - Si r es un tngente C C 2 en un punto P, entones r tmbién es tngente en P tods ls ónis del hz - Si r es un síntot omún C C 2, entones r tmbién es síntot de tods ls ónis del hz - Si P es un punto singulr de C C 2, entones P es un punto singulr de tods ls ónis del hz - Si P es el entro de C C 2, entones P es el entro de tods ls ónis del hz Teniendo en uent este heho, vemos omo onstruir ls fmilis de ónis que umplen lguns de ests ondiiones Hz de ónis por utro puntos no linedos Supongmos que A, B, C, D son utro puntos no linedos Considermos ls rets r AB, r 2 CD; s AC; s 2 BD El orrespondiente hz es: α(r r 2 + β(s s 2 = 2 Hz de ónis por tres puntos no linedos l tngente en uno de ellos Supongmos que A, B, C son tres puntos no linedos tg A es l tngente en A Considermos ls rets 3 Hz de ónis por dos puntos l tngente en ellos Supongmos que A, B son dos puntos tg A, tg B ls orrespondientes tngentes Considermos l ret r AB El orrespondiente hz es: α(r 2 + β(tg A tg B = 3 Hz de ónis por un punto, onoid l tngente en él un síntot De nuevo es un so prtiulr del nterior Supongmos que A es el punto tg A l orrespondiente tngente Se sint l síntot Considermos l ret El orrespondiente hz es: r {ret psndo por A prlel sint} α(r 2 + β(tg A sint = 3 Hz de ónis onoids dos síntots De nuevo es un so prtiulr del nterior Supongmos que sint sint 2 son ls dos síntots Considermos l ret: r {ret del infinito} u euión homogéne es t = fín es = (!? El orrespondiente hz es: α( 2 + β(sint sint 2 = El orrespondiente hz es: r AB, r 2 AC; s BC α(r r 2 + β(s tg A = 2 Hz de ónis por dos puntos un síntot Es un so prtiulr del nterior, si pensmos que l síntot es un ret tngente en el punto del infinito Supongmos que B, C son los puntos sint es l síntot Considermos ls rets r {ret psndo por B prlel sint} r 2 {ret psndo por C prlel sint} s BC El orrespondiente hz es: α(r r 2 + β(s sint = 98

11 Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC 9 Apéndie: seiones plns de un ono Cónis no degenerds Cónis degenerds Elipse Hipérbol Prábol Dos rets Ret doble Un punto 99