Trabajo 2. Jonathan A. Trejos O. El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría.

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Trabajo 2. Jonathan A. Trejos O. El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría."

Lorena Palma Soler
hace 7 años
Vistas:

2 Trabajo Jonathan A. Trejos O. 1 Primer problema El primer problema es uno típico de teoría de números, en el cual se puede apreciar la simetría. Enunciado 1 Halle y pruebe una bonita fórmula para el producto de todos los divisores de un número entero positivo. Para la solución hacemos unas pocas pruebas con 1, 15, 16 respectivamente: = = = 16 4 vemos que los primeros dos casos podemos aparear como (1 1)( 6)(3 4) = 1 3 (1 15)(3 5) = 15 sin embargo en el tercer caso, si intentamos aparear (1 16)( 8)(4) = 16 4 la diferencia entre los primeros dos casos y el tercero es que 16 es cuadrado perfecto y por tanto tienen un número impar de divisores. Con todos los casos en n sea un entero positivo no cuadrado perfecto, tendremos que si d n podremos

Para la solución hacemos unas pocas pruebas con 1, 15, 16 respectivamente: 1 3 4 6 1 = 1 3 1 3 5 15 = 15 1 4 8 16 = 16 4 vemos que los primeros dos casos podemos aparear como (1 1)( 6)(3 4) = 1 3

3 realizar la asociación d n/d de modo que no haya un punto fijo, esto implica que podremos reorganizar el producto de todos los divisores de n de tal modo que sean τ(n)/ - donde τ es la función número de divisores- multiplicaciones d n/d = n, luego hallamos d = d n τ(n)/ (d n/d) = τ(n)/ (n) = n τ(n) con lo que hallamos la fórmula bonita para el caso en que n no es cuadrado perfecto. Para incluir el caso en el que n es cuadrado perfecto notamos que la misma asociación d n/d en este caso nos da un único punto fijo n, de modo que podremos reorganizar la multiplicación como τ(n) 1 multiplicaciones del tipo d n/d = n multiplicado por (n), es decir d = n d n τ(n) 1 (d n/d) = n τ(n) 1 n = n n τ(n) = n τ(n) por tanto, dado n entero positivo su suma está dada por n τ(n) que es la fórmula bonita que buscábamos. Segundo problema Este problema trata sobre una de las propiedades ópticas de la parábola. Enunciado Recuerde que una parábola se define como todos los puntos en el plano, tal que la distancia de un punto fijo (el foco) es igual a la distancia a un punto fijo (la directriz). Demuestre la propiedad reflexiva de una parábola: si un rayo de luz viaja perpendicularmente a la directriz, si toca la concavidad de un espejo parabólico, el rayo se reflejará, de modo que su reflejo pasará por el foco. El acercamiento conseguido consiste en usar el cálculo vectorial elemental de curvas para probar esta propiedad. Se aclara que no se considera el más simple, 3

Para incluir el caso en el que n es cuadrado perfecto notamos que la misma asociación d n/d en este caso nos da un único punto fijo n, de modo que podremos reorganizar la multiplicación como τ(n) 1

4 y es posible que no se esté explotando la simetría como es debido, sin embargo fue el método conseguido. Una parábola la podemos describir eligiendo un sistema coordenado apropiado de modo que su ecuación sea x = 4py (1) el foco se encontrará en (0, p) y podemos a la parábola describirla como una curva de un solo parámetro r(x) = (x, x ), la recta L que representa al haz de 4p luz deberá tener la forma L(t) = (x, x ) + (0, 1)t 4py El valor del vector derivada en este punto es r (x) = (1, x ) y por tanto la recta p tangente es L T (t) = (x, x 4p ) + (1, x p )t Debemos hallar el ángulo θ de incidencia del rayo sobre la parábola, este se puede hacer por medio del producto punto entre los vectores directores de L y L T, cuyo resultado es luego, x p = 1 4p + x p cos θ cos θ = x 4p + x () por tanto, el haz de luz puede ser representado por L R (t) = (x, x 4p ) + (1, y 0)t 4

de un solo parámetro r(x) = (x, x ), la recta L que representa al haz de 4p luz deberá tener la forma L(t) = (x, x ) + (0, 1)t 4py El valor del vector derivada en este punto es r (x) = (1, x ) y por

5 con tal que el ángulo de reflexión de L R sobre la parábola, sea el mismo que el ángulo de incidencia de la recta L sobre la parábola, de manera equivalente debe cumplirse la ecuación (1, y 0 ) (1, x p ) = (1, y 0) (1, x ) cos θ p es decir, 1 + xy 0 p = y0 4p + x p x (4p + x = 1 p x 1 + y0 que despejándose y 0 obtenemos y 0 = x 4p 4px (3) de esto tenemos que L R (t) = (x, x 4p ) + (1, x 4p )t 4px tomando entonces el valor t = x obtenemos L R (t) = (x, x 4p ) + ( x, 4p x ) = (0, p) 4p que implica que el rayo reflejado pasa por el foco. Con lo que terminamos este problema. 3 Tercer problema El siguiente pone de manifiesto inmediato el uso del principio del palomar. Enunciado 3 Siete punto son colocados en un hexágono regular cuyos lados tienen longitud 1. Demuestre que existen al menos dos cuya distancias es a los sumo la unidad. 5

)t 4px tomando entonces el valor t = x obtenemos L R (t) = (x, x 4p ) + ( x, 4p x ) = (0, p) 4p que implica que el rayo reflejado pasa por el foco. Con lo que terminamos este problema.

6 Partimos el hexágono en seis triángulos cada uno de los cuales tiene exactamente un lado común al hexágono y todos tienen como vértice común el centro del hexágono, todos estos triángulos son isósceles. Cada uno de los ángulos interiores miden 10 grados por tanto cada ángulo de uno de los triángulos con lado común con el hexágono mide 60, lo que implica que todos los triángulos son equiláteros. Al haber seis triángulos y siete puntos tenemos que debe haber al menos dos en uno de los triángulos, la distancias máxima de cualquier par de puntos dentro de los triángulos es la unidad. Por tanto al menos dos puntos distan a los sumo la unidad. 4 Cuarto problema Un problema interesante sobre el uso de los principio del extremo. Enunciado 4 Ponga los enteros 1,, 3,..., n (sin repetición) en cualquier orden sobre una tablero de ajedrez de n n, con uno en cada cuadrado. Demuestre que existen dos entradas adyecentes cuya diferencias es al menos n + 1. En este problema podemos ver varios casos particulares. Por ejemplo si uno de los números no está en uno de los lados del tablero, va a tener 8 elementos adyacentes, esto es de utilidad para los enteros no muy grandes, menores que ocho porque implica que si todos los elementos adyacentes de n con n < 8 no distan n + 1 entonces n debe estar en una esquina si n 4 y debe por lo menos estar en un costado del tablero si 4 < n < 8. Esto sucede porque si n 4 entonces n 16 a la sumo 4 enteros m tales que n m n 1 y por tanto no es posible colocar las seis de las ocho casillas adyacentes de modo que todo que la distancia con n sea menor a n 1, entonces debe estar esquinado. El razonamiento es parecido si 4 < n < 8. El caso general es como sigue Supongamos que 1 está en las coordenadas (i, j) y el entero n está en las coordenadas (i, j ). Si 0 < i i j j entonces la cantidad mínima de casillas entre 1 y n es j j. Los otras casos se comportarán de manera análoga. Construiremos un camino que une a 1 y n de tal manera que sea necesario que alguno adyacente a los elementos construidos tenga necesariamente con él una distancia de n + 1. Comencemos con el 1, si algún elemento difiere con él n + 1 hemos terminados, de otro modo si x es adyacente a él entonces x n + 1, llamamos m 0 al x que tiene la cantidad mínima de casillas entre n. Del mismo modo si m 0 tienen adyacente a él algún número con el que difiera n + 1 terminamos de otro modo si x es adyacente a él entonces n + x n + 1, llamamos m 1 al x que tiene la cantidad mínima de casillas con n. Continuamos este procedimiento hasta m j j si este tiene adyacente algún número con el que difiera n 1, terminamos, si no todo x adyacente a él 6

Cada uno de los ángulos interiores miden 10 grados por tanto cada ángulo de uno de los triángulos con lado común con el hexágono mide 60, lo que implica que todos los triángulos son equiláteros.

7 cumple que (j j )n + x (j j 1)n + 1, sea m j j 1 el x que tenga la cantidad mínima de casillas con n. Este último es adyacente a n y su diferencia con n es n (j j 1)n 1 n m j j 1 n (j j )n es fácil probar que la diferencia más a la izquierda difiere a lo menos en n + 1. Con lo que terminamos. 7

Documentos relacionados

7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas

Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 49 7. Cónicas. Propiedades métricas y ópticas Cónicas Círcunferencias, elipses, parábolas, e hipérbolas son llamadas secciones cónicas