Unidad 1: Números naturales y operaciones

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1 Unidad 1: Números naturales y operaciones Recuerdas? 1. Para qué sirven los números naturales? Para contar. 2. Qué significa que nuestro sistema de numeración es decimal? En el número 3 045, qué orden de unidades representa la cifra 4? En el sistema decimal, cada unidad de un orden vale 10 del orden inmediatamente inferior. Decenas. 3. Escribe con todas las cifras los números anterior y siguiente a un millón y Cuántas centenas hay en unidades? 90 centenas. 5. Calcula mentalmente: a) b) c) d) : 50 a) b) 425 c) d) 20 Actividades propuestas 1. Halla el orden de unidades que representa la cifra 5 en cada uno de los números siguientes: a) b) c) d) a) 5 decenas de millar. b) 5 unidades de millón. c) 5 unidades de millar. d) 5 decenas. 2. Escribe con letras los números del ejercicio anterior. a) Cincuenta y dos mil trescientos cuatro. b) Ciento cinco millones trescientos cuarenta mil doscientos trece. c) Veinticinco mil trescientos. d) Trece mil cincuenta y seis. 3. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 podemos formar números naturales diferentes. Si usamos una sola vez cada cifra, cuál es el número mayor y cuál es el menor que podemos escribir? El más grande es y el más pequeño es Escribe los números anterior y posterior a: a) 2 millones y medio. b) 500 unidades de millar. a) y b) y Escribe con números romanos los números siguientes: a) b) 840 c) a) MMMMMMMCCCLV b) DCCCXL c) MMMMMMMMMDCLXXVII 6. Completa la siguiente frase: Las son a los números, lo que las letras son a las Las cifras son a los números, lo que las letras son a las palabras. 7. Halla dos maneras diferentes de hacer cada una de las operaciones siguientes. Compara los resultados y di qué propiedad has podido comprobar. a) 32 (17 + 3) b) (25 + 5) 10 a) 32 (17 + 3) = = (17 + 3) = = = 640 b) (25 + 5) 10 = = 300 (25 + 5) 10 = = = 300 El resultado es el mismo de las dos maneras en cada caso, ya que se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. 8. En una caja de grapas caben 500 grapas. Calcula mentalmente cuántas cajas se necesitarán para cada número de grapas que se indica. Comprueba los resultados con la calculadora. a) grapas. b) grapas. c) grapas. d) grapas. a) 30 cajas. b) 500 cajas. c) 240 cajas. d) 311 cajas. 9. Juan tiene que hacer un trayecto de km. El primer día recorre la quinta parte del trayecto, y el segundo día, 350 km. Cuántos kilómetros le faltan por recorrer? La quinta parte: : 5 = ( ) = 450 Le faltan 450 km por recorrer. 4

2 10. El lampista que ha instalado los enchufes nuevos de casa cobra 32 cada hora y 40 por el desplazamiento. Ha trabajado 3 horas. Tendremos bastante con 150 para pagarle el trabajo? Qué cantidad falta o sobra? 32 /h 3 h = 96 ; = 136. Basta con 150 para pagarle el trabajo. Sobran Qué nombre recibe el término que falta en cada una de las operaciones siguientes? Calcúlalo. a) 32 n = b) 325 n = 198 c) n 50 = 300 d) 350 : 7 = n a) Un factor, n = : 32 = 32. b) El sustraendo, n = = 127. c) Un factor, n = 300 : 50 = 6. d) El cociente, n = 350 : 7 = Calcula mentalmente y comprueba el resultado con la calculadora: a) b) c) d) 33 : 11 e) f) a) = 125 b) = 50 c) = d) 33 : 11 = 3 e) = 35 f) = Completa la tabla. Intenta hacer los cálculos mentalmente y utiliza la calculadora para comprobar los resultados. b 1 b 2 b 3 b 4 b El tallo de un arbusto está dividido en dos tallos más jóvenes y cada uno de estos tallos se divide en dos tallos más. Expresa en forma de potencia y calcula el número de tallos que tiene el arbusto en la última división = 2 2 = 4. Tendrá 4 tallos. 15. Entre qué dos números naturales consecutivos se encuentra la raíz cuadrada de 55? De cuál de los dos números está más cerca? 7 2 < 55 < < 55 < 64 7 < 55 < 8 55 es más cercano a 7 que a Halla el valor de n en cada una de estas potencias: a) 3 n = 27 b) 12 2 = n c) n 2 = 100 d) 2 n = 16 a) 3 n = 27 n = 3 b) 12 2 = n n = 144 c) n 2 = 100 n = 10 d) 2 n = 16 n = Calcula: a) : 7 b) 10 9 : c) : 3 d) : 15 e) 950 ( ) 12 : 3 f) : a) : 7 = = 77 b) 10 9 : = = 19 c) : 3 = = 6 d) : 15 = = e) 950 ( ) 12 : 3 = : 3 = = : 3 = = 830 f) 24 + (12 : 2 2 ) 3 5 = = = = La siguiente combinación de teclas puede dar resultados distintos según las calculadoras. Cuáles serían los diferentes resultados? Por qué? = Los diferentes resultados son 39 y 3. El resultado correcto es 3. Las calculadoras pueden dar un resultado erróneo si las utilizamos mal. Primero debemos indicarle que calcule el producto de 5 3 y después la resta Calcula: a) b) 5 4 : 5 2 c) : (2 3 ) 2 a) = 2 7 b) 5 4 : 5 2 = 5 2 c) 2 9 : 2 6 = 2 3 = 8 5

3 20. Con ayuda de la calculadora, encuentra la cuarta potencia del cuadrado del cubo de dos y escribe en letras el resultado. La cuarta potencia del cuadrado del cubo de dos es [(2 3 ) 2 ] 4, que con la calculadora da El resultado en letras se escribe: dieciséis millones setecientos setenta y siete mil doscientos dieciséis. 21. Consigue el número 756 a partir de sumar, restar, multiplicar o dividir los números 10, 5, 6, 1, 25 y 3, sin repetirlos. La solución podría ser del tipo: = = Marta pregunta a su abuela cuántos años tiene y su abuela le responde planteándole un problema: si del cuadrado de 10 le resta el cubo de 3, tendrá la respuesta. Cuántos años tiene la abuela de Marta? El cuadrado de 10 es 10 2 y el cubo de 3 es = = El presupuesto para la fiesta mayor de un pueblo es de La orquesta, el grupo de teatro y el de animación infantil cuestan Para la publicidad y el alquiler de sillas y escenarios se necesitan El resto es para pagar al personal de la organización. Cuál es la cantidad destinada a pagar a este personal? = Cuál de los números siguientes es múltiplo de 3 y de 7 a la vez: 45, 98, 153, 2 400, 840? 840 es múltiplo de 3 y 7 a la vez. 25. Escribe los cinco primeros múltiplos de 17. Los cinco primeros múltiplos de 17 son: 17, 34, 51, 68 y Halla todos los divisores de 12 y de 24. Comprueba que todos los divisores de 12 lo son también de 24. Puedes explicar por qué? Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Todos los divisores de 12 lo son de 24 porque 12 es divisor de Escribe un número de tres cifras que sea divisible a la vez por 2, por 3, por 5 y por 10. Explica el proceso que has seguido. El producto = 30 es el número menor múltiplo de 2, 3, 5 y 10, pero no es de 3 cifras = 120 sí verifica esta condición, al igual que 150, Clasifica en primos y compuestos los números siguientes: 27, 29, 31, 3, 37, 39, 51, 57 y 59. Los números 3, 29, 31, 37 y 59 son primos. El resto son compuestos. 29. Descompón en factores primos los números 96, 360, 135, 120, 225 y = 2 5 3; 360 = ; 135 = 3 3 5; 120 = = ; 225 = ; 432 = Con los libros que tengo se pueden formar lotes de 6, 8 y 10 libros sin que falte ni sobre ninguno. Qué condición tiene que verificar el número de libros para que esto sea así? Cuál es el número mínimo de libros que puedo tener? El número debe ser un múltiplo común de 6, 8 y 10. El número mínimo de libros es el m.c.m. (6, 8, 10) = Halla: a) m.c.m. (32, 40) b) m.c.m. (24, 15) c) m.c.m. (25, 60) a) 32 = 2 5 y 40 = m.c.m. (32, 40) = = 160 b) 24 = y 15 = 3 5 m.c.m. (24, 15) = = = 120 c) 25 = 5 2 y 60 = m.c.m. (25, 60) = = = Halla: a) m.c.d. (32, 24) b) m.c.d. (50, 175) c) m.c.d. (27, 45) a) 32 = 2 5 y 24 = m.c.d. (32, 24) = 2 3 = 8 b) 50 = y 175 = m.c.d. (50, 175) = 5 2 = 25 c) 27 = 3 3 y 45 = m.c.d. (27, 45) = 3 2 = Cuál es el menor número posible que dividido por 3, 5 y 7 da de resto siempre 2? El número ha de ser el m.c.m. (3, 5, 7) más 2. Es = La madre de Juan va a la peluquería cada 6 días, y la de Ana, cada 10. Si el día 2 de junio coinciden, cuál es el siguiente día que volverán a encontrarse? Volverán a coincidir al cabo de los días que corresponden al m.c.m. (6, 10) = 30. Al cabo de 30 días será el 2 de julio. 6

4 35. Juan agrupa sus cromos de 10 en 10, de 15 en 15 o de 20 en 20 sin que le sobre ninguno. Cuántos cromos tiene Juan si tiene una cantidad comprendida entre 200 y 300? m.c.m. (10, 15, 20) = 60. Juan tiene un número de cromos entre 200 y 300 y múltiplo de 60. Tiene 240 cromos. Actividades finales 1. Escribe en letras los números siguientes: a) b) c) d) a) Veintisiete mil trescientos uno. b) Quinientos dos mil setecientos ochenta y nueve. c) Dos mil uno. d) Tres millones cuatrocientos cincuenta y seis mil trescientos siete. 2. Escribe en numeración romana los primeros 17 números naturales. I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI y XVII. 5. De una fuente manan 3 L de agua por minuto. Cuánto tiempo tardarán en llenarse 600 botellas de 2 L de capacidad cada una? 600 botellas de 2 L son L : 3 = 400 Tardarán 400 min en llenarse las 600 botellas. 400 min = 6 h 40 min 6. Escribe el número menor y el mayor que pueden formarse utilizando cada una de las diez cifras una sola vez. Halla la diferencia entre los dos números. El más pequeño es , y el más grande, La diferencia es: A la derecha de un número de dos cifras escribimos el mismo número, con lo cual tenemos un número de cuatro cifras. Cuál es el cociente entre el número formado de este modo y el número inicial? Per ejemplo: La división : 24 = Calcula y escribe la cuarta potencia de los cinco primeros números naturales. 1 4 = 1; 2 4 = 16; 3 4 = 81; 4 4 = 256; 5 4 = Utiliza las potencias de 10 para escribir los números siguientes de manera abreviada: a) Medio millón. b) Cinco millones. c) Tres billones. d) Cuatro centenas de millar. a) Medio millón: b) Cinco millones: c) Tres billones: d) Cuatro centenas de millar: A un partido de fútbol han asistido espectadores. La mitad se ha desplazado hasta el estadio utilizando el transporte público; la tercera parte ha ido en transporte privado, y el resto, a pie. Calcula el número de espectadores que ha ido al estadio en cada medio de transporte y a pie. Transporte público: : 2 = Transporte privado: : 3 = A pie: ( ) = Los cálculos son correctos: = Escribe y calcula el resultado de las potencias siguientes: a) Base 3 y exponente 5. b) Base 7 y exponente 2. c) Base 2 y exponente 7. a) 3 5 = 243 b) 7 2 = 49 c) 2 7 = Calcula: a) b) 4 3 : c) (5 3 ) 2 d) a) = = 63 b) 4 3 : = 64 : 16 4 = 0 c) (5 3 ) 2 = 5 6 = d) = = 28 7

5 11. Escribe cada uno de los siguientes números con todas sus cifras: a) b) c) d) a) = b) = c) = d) = Escribe en forma de una sola potencia el cuadrado del cubo del cuadrado de 6. ((6 2 ) 3 ) 2 = Lanzamos una moneda al aire cuatro veces y anotamos los resultados. Cuántos resultados diferentes podemos obtener? En cada jugada se pueden dar 2 resultados diferentes. En cuatro tiradas: = 2 4 = Calcula mentalmente los paquetes de 500 hojas que se pueden hacer con: a) hojas. b) hojas. c) hojas. d) hojas. a) 8 paquetes. b) 100 paquetes. c) 26 paquetes. d) 240 paquetes. 15. Calcula: a) : : 14 b) ( ) c) : 9 (750 : 25) d) : : 2 e) 455 : : 8 89 f) [45 + ( ) 15] : (75 60) a) = 13 b) = 196 c) = 345 d) = 130 e) = 10 f ) ( ) : 15 = Expresa, si es posible, en forma de una sola potencia y calcula: a) b) : 3 4 c) d) e) : 4 5 f) a) No se puede expresar en forma de una sola potencia: = = 17 b) : 3 4 = 3 1 = 3 c) No se puede expresar en forma de una sola potencia: = = 20 d) = = 0 e) : 4 5 = 4 0 = 1 f) No se puede expresar en forma de una sola potencia: = = = Calcula mentalmente el valor de n en cada caso: a) 2 n : 2 3 = 2 5 b) n = 3 7 c) 5 n : 5 4 = 1 d) (6 3 ) n = 6 6 e) 3 n + 1 = 10 f) = n a) 8 b) 3 c) 4 d) 2 e) 2 f) Entre qué números naturales está la raíz cuadrada de 175? Se trata de observar entre qué dos cuadrados perfectos está el número = = 196 Como 175 está entre el número 169 y 196, podemos decir que la raíz cuadrada de 175 está entre los números naturales 13 y Una piscina tiene L de capacidad. Está llena solo hasta la tercera parte. El grifo que la llena arroja 48 L por minuto. El desagüe de la piscina está mal cerrado y pierde 8 L de agua por minuto. Cuántas horas tardará en llenarse la piscina? Cada minuto se añaden 40 L en la piscina. La tercera parte: L : 3 = L. Quedan por llenar: L L = L : 40 = La piscina tardará en llenarse minutos, que son 40 horas. 8

6 20. Escribe los múltiplos de 15 comprendidos entre 200 y 300. Se multiplica 15 por los números naturales sucesivos hasta obtener los que hay entre 200 y 300. Son: 210, 225, 240, 255, 270, 285 y Clasifica en primos y compuestos los números siguientes: 29, 33, 49, 51, 63, 67, 73 y 89 Son primos: 29, 67, 73 y 89. Los otros son compuestos. 22. Descompón en factores primos los números siguientes: a) 160 b) 105 c) 333 d) 780 e) 945 f ) 690 a) 160 = b) 105 = c) 333 = d) 780 = e) 945 = f) 690 = Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de: a) 12 y 48 b) 72 y 30 c) 7 y 9 d) 12, 18 y 72 e) 100, 250 y 300 f) 1, 2, 3, 5 y 7 a) m.c.d. (12, 48) = 12; m.c.m. (12, 48) = 48 b) m.c.d. (72, 30) = 6; m.c.m. (72, 30) = 360 c) m.c.d. (7, 9) = 1; m.c.m. (7, 9) = 63 d) m.c.d. (12, 18, 72) = 6; m.c.m. (12, 18, 72) = 72 e) m.c.d. (100, 250, 300) = 50; m.c.m. (100, 250, 300) = = f ) m.c.d. (1, 2, 3, 5, 7) = 1; m.c.m. (1, 2, 3, 5, 7) = Calcula mentalmente el m.c.m. de 5, 15 y 30. m.c.m. (5, 15, 30) = En un aeropuerto aterriza un avión de la compañía A cada 14 minutos. Cada 35 minutos aterriza un avión de la compañía B. Hoy, a las 9 h, han coincidido en el aterrizaje en dos pistas distintas. Cuándo será la próxima ocasión en que aterricen a la vez dos aviones de estas compañías? m.c.m. (14, 35) = son los minutos que pasarán hasta que vuelvan a aterrizar juntos por primera vez. Será a las 10 h 10 min. 26. El grupo A de 1.º de ESO tiene 32 alumnos y el grupo B tiene 28. Se quieren hacer grupos de trabajo en cada clase con el mismo número de alumnos. Cuáles son los equipos más numerosos que se pueden hacer? La posibilidad la da el m.c.d. (32, 28) = 4. Cada grupo será de 4 alumnos. 27. El m.c.m. de dos números primos entre sí es 132. Cuál es su m.c.d.? Si uno de los números es 12, cuál es el otro número? El m.c.d. de dos números primos entre ellos es 1. El m.c.m., 132, es el producto de dos números. 132: 12 = 11 El otro número es Cómo puedes saber si un número es múltiplo de 15 sin hacer la división? Es cierto que si un número es múltiplo de 2 y de 4, lo es también de 8? Por qué? Pon un ejemplo. Un número es múltiplo de 15 si lo es de 3 y 5. Un número múltiplo de 2 y de 4 puede no ser múltiplo de 8. Todo múltiplo de 4 lo es de 2 y, por tanto, solo hay que coger un múltiplo de 4 que no sea múltiplo de 8, por ejemplo, Marta tiene dos tablas de madera de 75 cm y 50 cm para construir una estantería. Quiere cortarlas en dos trozos del mismo tamaño, lo más largos posible, y quiere aprovechar toda la madera. Cuánto tiene que medir cada trozo? Cuántos trozos saldrán en total? m.c.d. (75, 50) = 25. Debe hacer cada tablón de 25 cm. En total tendrá 5 trozos. 30. Se quiere cercar con una alambrada un solar rectangular de 120 m por 110 m, de modo que los postes que la aguanten estén a la misma distancia entre sí. Cuál es la distancia máxima que habrá entre dos postes? Se trata de buscar el máximo común divisor de los números 120 y 110, ya que este será un divisor común a los dos y el más grande de ellos. m.c.d. (120, 110) = m.c.d. ( , ) = 2 5 = 10 La distancia máxima que habrá entre los dos postes será de 10 m. 31. En una parada, el autobús A pasa cada 8 minutos, el autobús B, cada 12 minutos, y el autobús C, cada 15. A las siete de la mañana salen los tres autobuses de la parada. A qué hora volverán a encontrarse en la misma parada? m.c.m. (8, 12, 15) = min = 2 h Se volverán a encontrar a las 9 h. 9

7 32. En una bolsa hay entre 450 y 500 caramelos. Si se cuentan de 2 en 2 siempre sobra uno; si se cuentan de 3 en 3 también sobra uno, y ocurre lo mismo si se cuentan de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6. Cuántos caramelos hay en la bolsa? Hay que buscar un múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 que tras sumarle 1 se encuentre entre 450 y 500. m.c.m. (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Un múltiplo de = 480. El número de caramelos es Un número se denomina perfecto si coincide con la suma de sus divisores diferentes de él mismo. Averigua cuáles de los números siguientes son perfectos: 6, 27, 28, 12, 15 y 16 El 6 es perfecto: = 6. El 27 no es perfecto: = 13. El 28 es perfecto: = 28. El 12 no es perfecto: = 16. El 15 no es perfecto: = 9. El 16 no es perfecto: = Si dividimos y 880 por un mismo número de dos cifras, los restos de las respectivas divisiones son 8 y 7. Halla este número = y = 873. El número debe ser de dos cifras y divisor común de 4365 y = = El número es Se quiere cercar una parcela rectangular, de dimensiones 36 m y 28 m, mediante la colocación de postes que estén situados a la misma distancia unos de otros. En cada una de las esquinas del terreno tiene que haber un poste y es necesario que el número de postes sea el mínimo posible. Cada cuántos metros tendremos que colocar uno? Cuántos necesitaremos? Para resolver esta actividad, organizad un grupo de trabajo con tres personas, analizad el problema y proponed la solución. Si el número de estacas debe ser el mínimo posible, la distancia entre estacas debe ser la máxima posible. Esta distancia será el máximo común divisor del largo y el ancho: m.c.d. (36, 28) = 4. Clavaremos una estaca cada 4 m. El perímetro de la parcela es: ( ) 2 = 128 m. El número total de estacas se obtiene dividiendo el perímetro entre la distancia que hay entre cada estaca: 128 : 4 = 32 Harán falta 32 estacas. Qué te cuentas? Juega y diviértete con tus amigos y amigas! 1. Resuelve este crucigrama numérico: Horizontales: a 3 7 b c a) Número de dos cifras, la suma de las cuales es 10. b) Número par de tres cifras. c) Número de tres cifras impares, cada una menor que la anterior. Verticales: 1) Número de dos cifras, la segunda de las cuales es mayor que la primera. 2) Número de tres cifras, la segunda de las cuales es mayor que las otras dos. 3) Múltiplo de 3 de tres cifras. 2. Cuántos puntos obtendrás si vas de A a B de modo que acumules el mínimo número de puntos posible? A 12 puntos Completa con los números naturales del 1 al 16 las casillas vacías de este cuadrado mágico, de forma que las filas, las columnas y las diagonales sumen ) La tercera columna: = 11. B 10

8 2) La cuarta fila: = 3. 3) La diagonal que va del primer cuadrado al último: = 6 4) La segunda columna: = 15. 5) La primera fila: = 4. 6) En estos momentos nos falta poner los números 12, 9, 8 y 5. En la segunda fila nos quedan dos números que sumen 21 ( = 21); de los cuatro números que nos faltan solo el 12 y el 9 suman 21. Por lo tanto llenamos la segunda fila. 7) La primera columna: = 8. 8) Solo nos queda poner el Piensa un número y triplícalo. El producto es par o impar? a) Si es par, divídelo por 2. Multiplica el cociente por 3. Divide el producto por 9. Cuál es el cociente? El doble de este cociente es el número que habías pensado! b) Si es impar, súmale una unidad y divide la suma por 2. Triplica el cociente. Divide el producto por 9. Cuál es la parte no decimal del cociente? El doble de esta parte más 1 es el número que habías pensado! La solución depende del número que has pensado. a) Supongamos que hemos pensado el 18: 18 3 = = = = 9 Fíjate en que si lo multiplico por 2 me da el número pensado. b) Supongamos que hemos pensado el 15: 15 3 = = = = 2 = = 7 Fíjate en que si lo multiplico por 2 y le sumo 1 me da el número pensado. 5. Coloca los números del 1 al 8 en las casillas de forma que un número y sus vecinos (de la derecha y de la izquierda y en diagonal) no sean consecutivos Coloca los números del 1 al 6 en los puntos, de modo que la suma de los números de cada circunferencia sea igual a la suma de los números de las otras Qué tres cifras pondrías en las casillas de la fila superior para que cumplan todas las condiciones que se indican? No hay ninguna cifra común Hay una cifra común Hay una cifra común, pero mal colocada Hay una cifra común, pero mal colocada Hay una cifra común. Los números en otras culturas Inventa un sistema de numeración! Imagina y dibuja un sistema de numeración que utilice un código inventado por ti. Escribe algunas sumas y restas utilizando este sistema, y pásalas a un compañero de clase para que las resuelva, junto con el código inventado. Se podría asignar a cada número una imagen o un dibujo, como por ejemplo que cada número del 1 al 10 correspondiera al dibujo de un signo del zodiaco. Unidad 2: Fracciones Recuerdas? 1. Escribe la fracción que representa la parte coloreada. 4 8 = Escribe dos fracciones cualesquiera menores que la unidad y dos mayores. Respuesta abierta. 3. Escribe una fracción equivalente a 3 4. Respuesta abierta. 4. De cada 15 alumnos de primero de ESO, hay 11 que son simpatizantes del Hércules. Cuántos alum - nos son simpatizantes del Hércules si en la clase hay 30 alumnos? =