Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. A B x A x B. A= B x A x. (con otra notación; A B A By A

Transcripción

1 TEM 0: PRELIMINRES. CONJUNTOS Un conjunto es un reunión en un todo de determindos objetos bien deinidos y dierentes entre sí. estos distintos objetos se les denominn elementos. Con el in de evitr contrdicciones, se dn un serie de requisitos l hor de deinir un conjunto: - evitr l mbigüedd - los elementos hn de ser distintos - el propio conjunto no puede ser un elemento Un ejemplo de contrdicción es el siguiente: se el conjunto ormdo por los conjuntos que se contienen sí mismos. Un conjunto puede deinirse de dos orms: - por extensión Ej: = { bcd,,, } - por comprensión Ejs: = { x/ xes primo} = { x N / xes primo} Existe el llmdo conjunto vcío, que crece de elementos. ={} Dos conjuntos son igules si tienen los mismos elementos. = x x es un subconjunto de (está incluido en ) si todo elemento de lo es tmbién de. x x Pr todo conjunto se cumple: l resto de los subconjuntos de los llmremos subconjuntos propios. = y Diremos que está contenido o incluido estrictmente en si está incluido en y no es el propio. y (con otr notción; y ) Trbjremos siempre con subconjuntos de un conjunto myor l que llmremos universo o conjunto universl U. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 3

2 Pr representr conjuntos se utilizn los llmdos digrms de Venn: U C Ddo un conjunto llmremos prtes de ( ) l conjunto ormdo por todos los subconjuntos de. Ejemplo: Se = { bcd,,, } { } ( ) =,{ },{ b},{ c},{ b, },{ c, },{ bc, },{ bc,, } {} ( ) {} ( ) ( ) { } ( ) ( ) { {} } ( ) ( ) { } ( ) { } { b, },{ bc, } ( ) Ejercicio: Escribe un conjunto tl que { } { bc} {,,} ( ). OPERCIONES CON CONJUNTOS Se U el conjunto universl. Ddo están en. U, llmmos complementrio de l conjunto de los elementos de U que no { } = x U / x U Ddos los conjuntos y ( U) intersección como:,, se deinen respectivmente l unión y l = { x U / x ó x } = { x U / x y x } TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 4

3 { / con } = x U i I x i I i { / } = x U i I x i I i i i Ejemplo: U = R i = 0 i [ ] [ ] = [ 0, ]; = 0, ; = 03,... 3, i { 3,,...} 0 = [ 0, ] = i= i i i= = {} 0 Dos conjuntos y son disjuntos si su intersección es el conjunto vcío. = Ejercicio: Sen, U tles que =, demostrr que =. Propieddes Doble complementción: = Conmuttiv: socitiv: Idempotenci: bsorción: = = ( ) C = ( C) ( ) C = ( C) = = ( ) = ( ) = TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 5

4 Neutrlidd: Dominción: Inverss: Inverss de Morgn: Distributiv: = U = U = U = = U = = = ( C) = ( ) ( C) ( C) = ( ) ( C) Otrs operciones Se U el universo, y, U, se deine como dierenci: { / y } = x U x x = Se U el universo, y, U, se deine como dierenci simétric: { / ó pero } ( ) ( ) = x U x x x = Ejemplo: U = N = = { 0468,,,, }; { 0369,,, } = = = = { ,,,,,, } { 06, } { 48,, } { 3489,,,,} Ejercicio: Demostrr, usndo ls propieddes nteriores, l siguiente iguldd: = ( ) ( ) Principio de inclusión y exclusión = + C = + + C C + C TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 6

5 Producto crtesino Ddos dos conjuntos y, llmremos pr ordendo lists del tipo ( b, ), donde y b. ( b, ) = ( ', b') = ' y b= b' Se deine el producto crtesino como el conjunto de todos los pres ordendos en y. {(, ) / y } = b b Est deinición se puede extender tres o más conjuntos. El crdinl del producto crtesino de dos conjuntos es igul l producto de los crdinles de éstos: = Ejemplo: (mismos conjuntos que en el nterior) { } = (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),... (, ),(, ) En este cso, el resultdo no pertenece l universo (ley extern). Gráicmente: RELCIONES Llmmos relción de en un subconjunto, R, de. Si ( b, ) R, se suele representr por R b. En cso contrrio, R b. Ejemplo: (mismos conjuntos que en el nterior) { } { } R= ( 69, ),( 03, ),( 43, ) 6R9, etc. R= ( 03, ),( 06, ),( 86, ) 0R3, etc R TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 7

6 Ejemplo: R b si es divisor de b 3 5 R 4 6 Ejemplo: R R R R {( xy, ) x y } {( xy, ) x y } R= / + = circunerenci R= / + círculo Ejercicio: Si. = n y = m, clculr el número de relciones que se pueden deinir de en Dominio: Dom( R ) = { x / b con xrb} Imgen: Im( R ) = { x / con Rx} Composición de relciones y relción invers R Sen, y C conjuntos y R C. Se deine l composición de R con R como l relción de en C siguiente: ( ) R! R c b con R b y br c Ejemplo: 3 R R C m n b o c p 3 R! R n m p o C TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 8

7 L composición de relciones tiene propiedd socitiv. No tiene conmuttiv, porque no hbrí ningún conjunto en común en medio. Dd un relción R de en, podemos deinir un relción R de en, llmd relción invers, como br Rb. Ejemplo: (mismos conjuntos que el nterior) R = {( 96, ),( 30, ),( 34, )} Relciones binris Decimos que un relción es binri si el conjunto inicil y el inl coinciden. Ejemplo: { 34,,, } = R R b si es divisor de b R Pr cd conjunto se deine l relción identidd como: Ejemplo: = I = { bc,, } {(, ),( bb, ),( cc, )} Ib = b Ejemplo: (mismo conjunto que el nterior) 3 4 TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 9

8 Propieddes que pueden presentr ls unciones binris Relexiv: R ntirrelexiv: R Simétric: b, Rb br (ls relexivs son tmbién simétrics) ntisimétric: b R, b br = b (ls relexivs son tmbién ntisimétrics) Trnsitiv: bc R,, b brc R c Ejemplos: b c e d 3 c b d R R R3 Relexiv: R 3 ntirrelexiv: ningun Simétric: R ntisimétric: R Trnsitiv: R 3 Relciones de equivlenci. Prticiones de conjuntos Un relción binri R en un conjunto se dice que es de equivlenci si es relexiv, simétric y trnsitiv. Ejercicio: En Z se deine l relción de congruenci módulo de l siguiente orm: b (mod. ) b es múltiplo de. Demuestr que es un relción de equivlenci. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 0

9 b = k pr lgún k Z b = + k pr lgún k Z = 0..., 4, 0468,,,,,,... [ 0] =..., 3,,,, 345,,,... [ ] Ddo un conjunto, llmremos prtición de un mili de subconjuntos { i I} i, no vcíos de, tles que: = i I i = i, j I con i j i j Ejemplo: = i = { 0,,,3,4,5,6,7,8,9} { i, i + } con i { 0,,,3,4} Se R un relción de equivlenci en y de, [ ]. Llmmos clse de equivlenci, l subconjunto de todos los elementos relciondos con. [ ] = { x / xr} Teorem: Se R un relción de equivlenci en y, b. [ ] Rb [ ] = [ b] (propiedd relexiv) Si [ ] [ b] entonces [ ] [ b] Corolrio: Ls clses de equivlenci de un relción R en estblecen un prtición de. Demostrción de que Rb [ ] = [ b] Rb [ ] = [ b] Prtimos de: R b. Queremos demostrr: x [ ] x [ b] x [ ] xr (deinición de clse de ) x [ ] xr xrb (propiedd trnsitiv) x [ ] xr xrb x [ b] x b TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin

10 x [ b] xrb xr (propiedd simétric y trnsitiv) x [ b] xrb xr x [ ] [ ] = [ b] Rb Prtimos de: [ ] = [ b] Queremos demostrr: Rb [ ] [ b] (primer de ls propieddes del teorem) [ ] [ b] Rb (deinición de clse de b) x b Ejercicio: Demostrr l tercer propiedd del teorem. Ejemplo: Pr l relción de congruenci módulo en Z, ls clses ormn los pres por un ldo y los impres por otro. Dd un relción de equivlenci R en un conjunto, se llm conjunto cociente de con l relción R, y se represent R, l conjunto ormdo por ls clses de equivlenci. Ejemplo: { 0 } { 3 } Z (mod. ) = [ ],[ ] = [ ],[ ] =... Z (mod. ) = Z Ejercicio: Escribir ls dierentes clses de equivlenci que deinen l relción congruenci módulo 5 en los enteros, y el conjunto Z 5. Relciones de orden Un relción R en un conjunto : R. Se dice que es un relción de orden si es relexiv, ntisimétric y trnsitiv. Ejemplo: = {,,,,,,,,} Rb divide b Se un conjunto, R un relción de orden en, y, b, decimos que y b son R b o br. comprbles si TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin

11 Se dice que R es un relción de orden totl si todos los elementos de son comprbles entre sí. En cso contrrio se dice que R es un relción de orden prcil. Ejemplo: = {,,, bcd} b R R b R 3 b c d c d c d Relción de orden totl: R Relción de orden prcil: R No es relción de orden: R 3 (es simétric) 4. FUNCIONES Sen y dos conjuntos y. Decimos que es un unción o plicción si: Dom( ) = Si ( b, ) y ( c, ) entonces b = c. (todo elemento del conjunto originl tiene imgen, y est imgen es únic) Ejemplos: 3 b c d : R ( x ) R = x + l conjunto lo llmremos conjunto inicil y l conjunto conjunto inl. Si ( b, ) ( ) = b., diremos que b es imgen de o que es origen de b y lo denotremos por Pr expresr que es un unción de en, en vez de, escribiremos :. Ejemplo: : R R ( x) = x {(, ) / } {(, ) /, } = x x x R = x y x R y = x TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 3

12 Ejemplo: L relción de identidd en un conjunto es un unción: I =, ( x) = x Ls representciones de I N y de I R son: N I N N R R I R Dd un unción : podemos relcionr subconjuntos de con subconjuntos de de l siguiente orm: Se X, llmmos imgen de X l conjunto: { / con } { / } ( x) = y x X ( x) = y = ( x) x X Se Y, llmmos imgen invers o preimgen de Y l siguiente conjunto: { / } ( y) = x ( ) Y Ejemplo: 3 3 ({,,3, 4 ) = ({,3} ) = {3} {,3} Ejercicio: Dd l unción : R R, ( x) = senx, clculr l preimgen del intervlo ( 0, ) y l imgen del intervlo [ 3π π],. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 4

13 Tipos especiles de unciones Un unción : se dice inyectiv si: xx, ' x x' se tiene ( x) ( x') Ejemplo: ( si ( x) = ( x') entonces x = x' ) b c 3 R g R No son inyectivs ni ni g. hz : {} Q x hx ( ) = x (sí es inyectiv) x x' hx ( ) = hx ( ') = x = x' x x' Un unción : es sobreyectiv si: Im( ) = Ejemplos: b c 3 R g R No son sobreyectivs ni ni g. hr : R hx ( ) = + x (sí es sobreyectiv) Un unción : es biyectiv si es inyectiv y sobreyectiv. Ejercicio: Condiciones que hn de cumplir dos conjuntos pr poder deinir unciones biyectivs entre ellos. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 5

14 Composición de unciones. Función invers Dds dos unciones : y g: C, se deine compuesto con g como: ( ) ( ) g! : C g! ( x) = g ( x) En conjuntos: R R C R! R C ( ) R! R c b / R b y br En unciones: : g : C g! : C ( ) g! ( ) = c b / ( ) = by g( b) = c ( ( )) g = c Diremos que un unción : es inversible si l relción invers es un unción. : Teorem: Un unción : es inversible si, y sólo si, l unción es biyectiv. Ejemplos: : R ( x ) R = x : R R ( x) = x + ( x) = x No es inversible Sí es inversible Teorem: Se : un unción inversible, entonces:! = I y! = I Y, demás, es l únic unción que cumple ests condiciones pr. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 6

15 5. LEYES DE COMPOSICIÓN Ddo un conjunto, llmmos operción binri intern o ley de composición intern culquier unción de en. Ejemplos: *: *( b, ) = c * b= c *: Z Z Z * b = + b b es un ley de composición intern. :Z Z Z b = + b no es un ley de composición intern. {, b, c} b c b c b b b c c b = es un ley de composición intern. Ddo un conjunto, X y * un ley de composición intern en. Decimos que X es prte estble de respecto * si * es ley de composición intern en X. Ejemplo: X = {,} b es prte estble de respecto (del ejemplo nterior). Ddos dos conjuntos y llmremos ley de composición extern en culquier unción del tipo *:. Propieddes socitiv: Se * un ley de composición intern en un conjunto. Decimos que * tiene propiedd socitiv si: xyz,, x*( y* z) = ( x* y)* z Proposición: Se * un ley de composición intern en, con propiedd socitiv, y X. Si X es prte estble de respecto *, entonces * tiene propiedd socitiv en X. Conmuttiv: Se * un ley de composición intern en un conjunto. Decimos que * tiene propiedd conmuttiv si: xy, x* y= y* x TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 7

16 Proposición: Se * un ley de composición intern en, con propiedd conmuttiv y X. Si X es prte estble de respecto *, entonces * tiene propiedd socitiv en X. Ejemplo: ={0,,,3} tiene propiedd conmuttiv. {,} 0 es prte estble de. en {,} 0 tiene tmbién propiedd conmuttiv Dd un ley de composición intern en un conjunto, un elemento c centrl si: x x* c= c* x Llmmos centro l conjunto de todos los elementos centrles. se dice Distributiv: Sen * y dos leyes de composición intern en un conjunto. es distributiv por l izquierd respecto de * si: ( ) ( ) ( ) xyz,, x y* z= xy * x z es distributiv por l derech respecto de * si: ( y * z) ( ) ( ) xyz,, x= y x* zx es distributiv respecto de * si lo es por l izquierd y por l derech. Elementos prticulres Elemento neutro: Un elemento e es neutro pr * so: x x* e= e* x = x Proposición: El elemento neutro, si existe, es único. Demostrción: Suponiendo que hy dos elementos neutros: e y e e* e' = e' e* e' e'* e e e' e'* e= e = = TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 8

17 Simétrico de un elemento: Se e el elemento neutro pr un ley de composición intern * en un conjunto. Ddo x, x' es el simétrico de x si: Si un elemento x Ejemplos: x* x' = x'* x = e tiene simétrico se dice que es simetrizble. ( ) ( ) Z, + = ; ' = Z, = ; ' = no hy Proposición: El simétrico del simétrico de un elemento es el mismo elemento: ( ''= ). Proposición: Si * tiene propiedd socitiv en y es único. Demostrción: Suponiendo que hy dos simétricos: y ''* * ' = ''* ( * ' ) = ''* e= '' ' '' ''* * ' = ( ''* ) * ' = e* ' = ' = es simetrizble, su simétrico Proposición: Si * es socitiv en, tiene elemento neutro y siguientes ecuciones tienen solución únic: Demostrción: * x = b x* = b es simetrizble, ls * x = b ( '* ) * x = '* b e* x = '* b x = '* b '* b b* ' x* = b x*( * ') = b* ' x* e= b* ' x = b* ' = Proposición: Si * es socitiv y y b son simetrizbles entonces * b tmbién lo es y: Demostrción: ( * b) ' = b'* ' ( * b) *( b'* ' ) = *( b* b')* ' = * e* ' = * ' = e Elementos simpliicbles o regulres: Se * un ley de composición intern en un conjunto. c c es regulr por l derech si: es regulr por l izquierd si: * c= b* c = b TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 9

18 c c* = c* b = b es regulr si lo es por l izquierd y por l derech. Si todos los elementos de son regulres, se dice que * stisce l ley de simpliicción. Proposición: Si * es socitiv, todo elemento simetrizble es regulr. Ejercicio: uscr un ejemplo con elementos no simetrizbles. Elemento bsorbente: Se * un ley de composición intern en, y se c c es bsorbente si, * c= c* = c. Elemento idempotente: Se * un ley de composición intern en, y se es idempotente si * =. Si todos los elementos de son idempotentes diremos que con * es idempotente. 6. ESTRUCTURS LGERÁICS (,*) es semigrupo si: * es ley de composición intern en Cumple l propiedd socitiv Opcionles: Propiedd conmuttiv Elemento neutro (semigrupo belino) (con elemento neutro) (,*) es grupo si: * es ley de composición intern en Cumple l propiedd socitiv Posee elemento neutro Todos los elementos son simetrizbles Opcionl: Propiedd conmuttiv (belino) TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 0

19 (,*, ) es seminillo si: * es ley de composición intern en es ley de composición intern en Cumple l propiedd socitiv Cumple l propiedd socitiv Cumple l propiedd conmuttiv Propiedd conmuttiv (opcionl, belino) Posee elemento neutro Elemento neutro (opcionl, con elemento unidd) Cumple que es distributiv respecto * (,*, ) es nillo si: * es ley de composición intern en es ley de composición intern en Cumple l propiedd socitiv Cumple l propiedd socitiv Cumple l propiedd conmuttiv Propiedd conmuttiv (opcionl, belino) Posee elemento neutro Elemento neutro (opcionl, con elemento unidd) Todos los elementos son simetrizbles Cumple que es distributiv respecto * (,*, ) es cuerpo si: * es ley de composición intern en es ley de composición intern en Cumple l propiedd socitiv Cumple l propiedd socitiv Cumple l propiedd conmuttiv Posee elemento neutro Posee elemento neutro Todos sus elementos son simetrizbles (menos el 0) Todos los elementos son simetrizbles Propiedd conmuttiv (opcionl, belino) Cumple que es distributiv respecto * Ejemplos: Ddo el conjunto Z 4 { 0 3} ormdo por ls siguientes clses: = [ ],[ ],[ ],[ ], llmdo convergenci en módulo cutro, y { } { } { } { } [ 0] =..., 4, 048,,,,... [ ] =..., 359,,,,... [ ] =...,, 60,,,... [ 3] =..., 37,,,,... Se deine un operción como: + [0 ] [] [ ] [3] [0 ] [0 ] [] [ ] [3] [] [] [ ] [3] [0 ] [ ] [ ] [3] [0 ] [] [3] [3] [0 ] [] [ ] - Es un ley de composición intern (todos los elementos pertenecen l conjunto originl) - Tiene propiedd socitiv (por ser l sum l operción) - Tiene propiedd conmuttiv (puede verse mbos ldos de l digonl principl) - Tiene elemento neutro (l clse del cero, [ 0 ]) - Cd elemento tiene simétrico (si en tods ls columns y ils prece el elemento neutro, en este cso, l clse del cero). Por lo tnto, se trt de un grupo belino. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin

20 Ddo el conjunto ormdo por ls siguientes permutciones: { ρ ρ ρ µ µ µ } S3 = 0,,,,, 3 S3 = 3! = 6 Se deine l operción de composición como:! ρ ρ ρ µ µ µ 0 3 ρ ρ ρ ρ µ µ µ ρ ρ ρ ρ µ µ µ ρ ρ ρ ρ µ µ µ µ µ µ µ ρ ρ ρ µ µ µ µ ρ ρ ρ µ µ µ µ ρ ρ ρ Es un ley de composición intern (todos los elementos pertenecen l conjunto) - Tiene propiedd socitiv (deinid con l composición de conjuntos) - No es conmuttiv (puede verse en l digonl principl) - Tiene elemento neutro (l permutción ρ 0 ) - Es simetrizble (est permutción prece en tods ls ils y columns). Por lo tnto, se trt de un grupo. Not sobre ls permutciones Ls permutciones se deinen como unciones biyectivs de un conjunto sobre sí mismo. En l práctic representn ls distints ordenciones posibles entre dos conjuntos igules. Ejemplos: Ddo el conjunto {, }, hy dos permutciones posibles: En el ejemplo del prtdo nterior, ls permutciones resultntes serín: ρ0 = ρ ρ = 3 = µ = µ µ 3 = 3 = 3 3 TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin

21 Propieddes de los grupos Si ( G,*) es un grupo:. El elemento neutro es único.. Culquier elemento tiene un único simétrico, 3. ( * b) ' = b'* ' 4. Todos los elementos son regulres (se pueden simpliicr). 5. Ls ecuciones * x = b y x* = b tienen solución únic. Ddo un grupo ( G,*) y H G, se dice que H es un subgrupo de G si ( H,*) es tmbién grupo. Pr ello, h de cumplir: H h de ser prte estble de G! xy, H x* y H * debe cumplir l propiedd socitiv (no hce lt demostrrl) H de poseer elemento neutro " e H Todo elemento h de ser simetrizble # H ' H Teorem (de crcterizción): Se ( G,*) un grupo y H G. H es subgrupo de G si ( H,*) es tmbién grupo. Se h de cumplir que: i) H ii) xy, H x* y' H Demostrción (plicndo ls propieddes nteriores y el teorem) de lo siguiente: H es subgrupo H y x, y H x* y' H L demostrción es l más sencill. Usrl como Ejercicio. Pr demostrr : H * ' H e H " i) ii ) Si H ' H H e H H e H * ' ' x H y H # x H x y H x y H y H *( ')' ' *! ii ) # TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 3

22 Observción: Pr culquier grupo ( G,*), {} e y G son subgrupos que llmremos impropios. los demás los llmremos subgrupos propios. Si ( G,*) es un grupo inito, llmmos orden del grupo l número de elementos que tiene G. Teorem de Lgrnge: Se ( G,*) un grupo inito de orden n. Si H es un subgrupo de G de orden m, entonces m debe ser un divisor de n. Ejercicio: Encontrr todos los subgrupos de ( Z 6,+). Subgrupos normles: Ddo un grupo ( G,*) y un subgrupo de éste H, se dice que H es subgrupo norml si: G * H = H* donde * H = { * h / h H} H* = { h* / h H} Teorem (de crcterizción): Ddo un subgrupo H de ( G,*) H G es subgrupo norml h H * h * ' H Ejemplo: (usndo el mismo ejemplo de ls permutciones de tres elementos) Se H = { ρ, ρ, ρ } 0 {,, } H {,, } ρ! H = ρ ρ ρ =! ρ = ρ ρ ρ {,, } H {,, } µ! H = µ µ µ =! µ = µ µ µ Por lo tnto, es un subgrupo norml. Si un grupo es conmuttivo, todos sus subgrupos serán normles. Si un subgrupo es norml, el grupo no tiene por qué ser conmuttivo. Ejercicio: Según el ejemplo nterior, ddo el conjunto H = { ρ µ } subgrupo de G y, si lo es, si es un subgrupo norml.,, comprobr si es un 0 TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 4

23 Propieddes de los nillos (,*, ) es nillo si:. (,*) es grupo belino. (, ) es semigrupo (y cumple, por tnto, l propiedd socitiv) 3. es distributiv respecto * Pr hblr de los nillos se emplerá un notción y terminologí determind, pr poder dierencir los elementos neutros, simétricos, etc. de mbos conjuntos. Notción ditiv * + e * ' "opuesto" n 0 "cero" *...* n ( n N) Notción multiplictiv e n ', "uno","unidd" "inverso" n... ( n N) Est notción no signiic que ls operciones que se vyn utilizr sen únicmente l sum y l multiplicción, sino que se simbolizrán de est orm. Por ello, l siguiente iguldd no siempre es ciert: ( + b) = + b + b es en el cso de trtrse de nillos conmuttivos: ( ) [ ] [ ] + b = ( + b) ( + b) = ( + b) + b ( + b) = ( + b) + ( b + b b) = = + b+ b + b b = + b+ b + b + b + b Ejemplos: Z 5 = {[ 0],[ ],[ ],[ 3],[ 4] }. Sólo lo + [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 0] [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 4] [] [] [ ] [] 3 [ 4] [] 0 [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 0] [ ] [] 3 [] 3 [] 4 [] 0 [] [] [ 4] [ 4] [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [] [] 0 [] [ ] [] 3 [ 4] [ ] [ 0] [ ] [ 4] [ ] [ 3] [] 3 [] 0 [] 3 [] [] 4 [] [ 4] [ 0] [ 4] [ 3] [ ] [ ] ( Z 5, +,) es un nillo belino con elemento unidd, y por lo tnto, es un cuerpo belino. En l segund tbl, se ignor l column y il del cero pr estblecer si es o no simetrizble. Z 6 = {[ 0],[ ],[ ],[ 3],[ 4],[ 5] } TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 5

24 + [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 5] [ 0] [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 5] [] [] [ ] [] 3 [ 4] [] 5 [] 0 [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 5] [ 0] [ ] [] 3 [] 3 [] 4 [] 5 [] 0 [] [] [ 4] [ 4] [ 5] [ 0] [ ] [ ] [ 3] [] 5 [] 5 [] 0 [] [] [] 3 [] 4 [ 0] [ ] [ ] [ 3] [ 4] [ 5] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [ 0] [] [] 0 [] [ ] [] 3 [ 4] [] 5 [ ] [ 0] [ ] [ 4] [ 0] [ ] [ 4] [] 3 [] 0 [] 3 [] 0 [] 3 [] 0 [] 3 [ 4] [ 0] [ 4] [ ] [ 0] [ 4] [ ] [] 5 [] 0 [] 5 [] 4 [] 3 [] [] No es cuerpo (no es simetrizble) pero sí nillo conmuttivo con elemento unidd. Teorem (regl de los signos). Se (, +,) un nillo. b, i) 0 = 0= 0 ii) ( b) = ( ) b = ( b) iii) b = ( ) ( b) Demostrción de i): 0+ 0= 0 ( 0+ 0) = = 0 ( 0+ 0) + ( 0) = 0+ ( 0) = 0 0 0= 0 (se demuestr de orm nálog pr 0 = 0) nillo de integridd: Ddo (, +,) un nillo. Un elemento ( ) es divisor de cero si: b ( b 0) / b = 0 ó b = 0 0 se dice que Si en un nillo no hy divisores de 0 diremos que es un nillo de integridd. Si demás tiene elemento unidd y es belino, diremos que es un dominio de integridd. Proposición: Se (, +,) un nillo y. es simpliicble no es 0 ni divisor de 0 Corolrio: Si (, +,) es un nillo de integridd, todos los elementos son simpliicbles slvo el 0. Subnillos: Ddo un nillo (, +,) y un subconjunto (, +,) es un nillo.. es un subnillo de si TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 6

25 (, + ) es subgrupo de (, + ) (,) es prte estble de (,) {,, b + ( b) y b {0} y son subnillos impropios de (, +,). Ideles: Ddo un nillo (, +,) se dice que un subconjunto I no vcío es un idel del nillo si stisce: - Si i, j I entonces i+ ( j) I - Si i I y i I entonces i I Si I es un idel de (, +,), entonces es un subnillo de (, +,). Ejemplo: {[ 0],[ ]} es un idel de ( Z 4, +,) (ver un ejemplo nterior) Propieddes de los cuerpos ( K, +,) es un cuerpo si: ( K, + ) es un grupo belino ( K { }, ) 0 es un grupo (no es obligtorio que se belino) es distributiv respecto +.. Todo cuerpo belino es dominio de integridd.. Todo dominio de integridd inito es cuerpo. Ejercicio: Justiicr por qué ( Z n, +,) es cuerpo n es primo. 3. Los únicos ideles de un cuerpo ( K, +,) son {0} y K. 4. En un cuerpo K, l ecución = bx ( b 0 ) tiene solución únic. TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 7

26 4. HOMOMORFISMOS Sen y dos conjuntos y * y leyes de composición intern en ellos, respectivmente. Un unción : se dice homomorismo si: xy, ( x* y) = ( x) ( y) (,*) (, ) x ( x) y x* y ( y) ( x) ( y) Ejemplo: Se = ( 0, ), y considermos (,) y ( R, + ). L unción : R ( x) = logx es un homomorismo. ( x) = logx ( y) = logy ( x y) = log( x y) = log x+ log y Composición de homomorismos Considermos los conjuntos con sus leyes de composición intern: (,*) (, ) ( C, ) Si : y g: C son homomorismos, entonces ( g! ): C es un homomorismo. : ( x* y) = ( x) ( y) x, y : C g( x y) = g( x) g( y) x, y ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) (! )( ) (! )( ) g! : C x, y ( g! )( x* y) = g ( x* y) = g ( ( x) ( y) = = g x g y = g x g y Imgen de un homomorismo Sen (,*) y (, ) dos estructurs y : un homomorismo. El conjunto Im( ) es prte estble de (, ). Im( ) es prte estble xy, Im( ) b, ( ) ( b) = ( * b) x y Im( ) / ( ) = x ( b) = y TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 8

27 Propieddes del conjunto imgen Se : un homomorismo de (,*) en (, ).. Si * es socitiv en, entonces es socitiv en Im( ).. Si * es conmuttiv en, entonces es conmuttiv en Im( ). 3. Si e es el elemento neutro de * en, entonces () e es el elemento neutro de en. (,*) (, ) Im( ) e () e Demostrción: Prtiendo de: xy, x* e= e* x= x Hy que demostrr: y Im( ) y () e = () e y = y Si ( x) = y ( x* e) = ( e* x) = ( x) = ( x) ( e) = ( e) ( x) = ( x) = y 4. Si y son simétricos en (,*), entonces ( ) y ( ') son simétricos en ( Im( ), ). Conclusión: El conjunto imgen tiene ls misms propieddes que el conjunto originl. Por eso se le llm homomorismo. Tipos de homomorismos Sen (,*) y (, ) dos estructurs y : un homomorismo. es monomorismo es inyectiv es epimorismo es sobreyectiv es isomorismo es biyectiv (cundo tods ls propieddes son igules en dos conjuntos, se hbl de conjuntos isomoros) Si es un homomorismo de (,*) en (,*), lo llmremos endomorismo, y si demás es biyectivo, utomorismo. Ejercicio: Por qué no precen hor unciones sobreyectivs o inyectivs (en los endomorismos)? TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 9

28 Homomorismos de grupos Sen (,*) y (, ) dos grupos y : un homomorismo. Si X es un subgrupo de ( X) es subgrupo de. Si Y es un subgrupo de ( Y) es un subgrupo de. Núcleo de un homomorismo Sen (,*) y (, ) dos grupos y : un homomorismo. Se e el elemento neutro de (, ). Se deine el núcleo de como: Ker ( ) = { x / ( x) = e } (,*) (, ) e * e Ker( ) es un subgrupo norml de (,*). Subgrupo: Norml: Si Ker( ) = xy, Ker ( ) x* y' Ker( ) x Ker( ) * x* ' Ker( ) El elemento neutro e * siempre pertenece Ker( ). Teorem: Se un homomorismo de grupos de (,*) en (, ). Demostrción: ) Si Ker( ) = { e * } es inyectiv. es inyectiv Ker( ) = { e * } (siendo e * el elemento neutro de (,*)) ( ) = ( b) = b, b ( ) = ( b) ( ) ( b)' = ( b) ( b)' = e Por ser homomorismo: ( * b') = e Como ( * b') = e, * b' Ker ( ). TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 30

29 Como en el núcleo sólo está el elemento neutro: * b' = e* Concluyéndose que = b. b) Si es inyectiv Ker( ) = { e * } e* Ker ( ) (trivil) Suponiendo x ( x) = e ( e ) = e * Ker( ) con x e * por ser inyectiv, ( x) = ( e ) x = e contrdicción * * Homomorismos de nillos Ddos dos nillos (, +,) y (,*, ), un unción : es un homomorismo si xy, : ( x+ y) = ( x)* ( y) ( x y) = ( x) ( y) Núcleo de un homomorismo entre nillos Sen (, +,) y (,*, ) dos nillos y : un homomorismo de nillos. Se 0 el neutro pr + en y 0 el neutro pr * en. Se deine el núcleo de como: Ker ( ) = { x / ( x) = 0 } Teorem: es inyectiv Ker( ) = { 0 } Homomorismos de cuerpos Sen (, +,) y (,*, ) dos cuerpos y : un homomorismo. Ker( ) = { 0 } (inyectivo) ó Ker( ) = {} (homomorismo nulo, x ( x) = 0 ) TEM 0: PRELIMINRES Luis F. GIMILIO ROZ págin 3