5. Vibraciones en Máquinas

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1 DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 004 V. BADIOLA 5. Vibraios Máquias Ua vibraió s ua pquña osilaió alrddor d la posiió d quilibrio. Los oviitos vibratorios áquias s prsta uado sobr las pizas lástias atúa furzas variabls. Gralt, stos oviitos so idsabls, aú uado aluos asos (trasportadors vibratorios, p.) s disña dlibradat la áquia. El aálisis d las vibraios rquir l siuit prodiito ral: Evaluar las asas la lastiidad d las pizas a studio Calular la atidad d rozaito atuat Idalizar l iplto áio ral, rplazádolo por u sista aproxiadat quivalt d asas, rsorts aortiuadors Esribir la uaió difrial d oviito dl sista idalizado Rsolvr la uaió itrprtar los rsultados El sista idal ás sillo osist d ua asa úia, u rsort úio u aortiuador, oo ustra la siuit fiura. Est sista s dfi oo u sista d u rado d librtad. Fiura La uaió difrial d oviito para st sista s: & x x& x F(t) () - 8 DISEÑO DE MÁQUINAS I

2 004 V. BADIOLA Dod: : asa : ostat dl rsort (furza por uidad d dforaió) : ostat d aortiuaito (furza por uidad d vloidad). S supo qu l aortiuaito s visoso, s dir, qu la furza rsistt s proporioal a la vloidad. F(t): furza xtra, fuió dl tipo x: dsplazaito d la asa dsd la posiió d quilibrio státio x &, & x : drivadas prira suda rsptivat d x o rspto a t. Cualquir sista d u solo rado d librtad pud dsribirs por dio d la isa fora d uaió difrial srita atriort, si la furza dl rsort s proporioal al dsplazaito la furza d rozaito s proporioal a la vloidad. Para l sista ral d u solo rado d librtad podos sribir: & x x& x F(t) () Dod,, so la asa quivalt, la ostat d aortiuaito quivalt la ostat dl rsort quivalt, rsptivat. El dsplazaito x pud sr lial o aular. Ejplo: 5.. VIBRACIONES LIBRES S prst uado dspués d ua prturbaió iiial, o xist iua furza xtra d xitaió, sto s, F(t)0. La uaió difrial s: & x x& x 0 (3) S busa soluios d la fora: x C st Así, la soluió d sta uaió pud sribirs: Dod: x A st st B s s (4) (5) DISEÑO DE MÁQUINAS I - 8 -

3 DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 004 V. BADIOLA A A so ostats dtriadas por las odiios iiials. Al valor s doia aortiuaito rítio. S dfi l aortiuaito rlativo oo l oit tr l aortiuaito ral l aortiuaito rítio. ξ (6) S pud distiuir trs asos: CASO : AMOTIGUAMIENTO SUPERCRÍTICO > > Las raís d la uaió so dos soluios distitas, rals ativas: x st st A B (7) La soluió o s dl tipo odulatorio sio qu s dl tipo xpoial drit, tid ats a ro ofor aor s l aortiuaito : x xx o Fiura t CASO : AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO Las raís d la uaió so dos soluios iuals, rals ativas: ( A B) t x (8) Si l aortiuaito s iual o aor qu l rítio, tos la soluió d la uaió para vibraios librs o oti térios priódios. La asa, dspués d la prturbaió iiial, rrsa a la posiió d quilibrio pro o osila. Es dir, st aso, al iual qu l aso, la soluió o s dl tipo odulatorio sio dl tipo xpoial drit. El Caso orrspod o ξ > l Caso o ξ DISEÑO DE MÁQUINAS I

4 004 V. BADIOLA DISEÑO DE MÁQUINAS I Fiura 3 CASO 3: AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO < < Est aso orrspod o < ξ. Las raís d la uaió so dos soluios distitas opljas. B A x t j t (9) ( ) γ α t si X x d t (0) dod las ostats γ, X s dtria d las odiios iiials. α () d () d s la fruia aortiuada dl sista. Si l aortiuaito fura ro, la fruia sría, la ual s llaa fruia atural. Fiura 4

5 DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 004 V. BADIOLA Caso partiular: aortiuaito ulo (js) E st aso, X si( t γ) x d. El sista tras la prturbaió iiial s quda osilado d fora idfiida a qu o ha rozaito. La fruia d osilaió s (3) d Fiura VIBRACIONES FORZADAS E st aso, s osidra qu atúa la furza aróia F(t) F si( t) ( t) & x x& x F(t) F si (4) o La soluió d la uaió difrial s la dada atriort para vibraios librs, adiioada d ua itral partiular. La soluió pud sribirs la fora: x X αt si ( t γ) Y si( t φ) d La prira part d la xprsió atrior rprsta la vibraió trasitoria, la ual dsapar o l tipo. La suda part s llaa vibraió stado staioario s la part qu ralt prsta ás itrés, a qu suprado l priodo trasitorio, l sista prará osilado o ua aplitud Y ua fruia. (5) o Fiura 6-85 DISEÑO DE MÁQUINAS I

6 004 V. BADIOLA Colusios: Para u sista dtriado (dfiido,,), la aplitud Y dpd d la fruia : Y o (6) ( ) F La fuió YY() ti u áxio, qu s produ la fruia rítia. Y ax Y,ax (7) Cuado la fruia d la xitaió oiid o, la dforaió qu s produ s áxia. Si 0, tos. No s db trabajar u j las proxiidads d la vloidad rítia, a qu s produirá aplituds áxias. Cuado u sista trabaja a fruias raas a la vloidad rítia, s di qu s produ la rsoaia. La fruia d opraió (vloidad d iro dl j) s liita por llo a 0.65 o 5.3. VELOCIDAD CRÍTICA EN EJES Todos los js, au si la prsia d aras xtras, s dfora durat la rotaió. La aitud d la dforaió dpd d la riidz dl j d sus soports, d la asa total dl j, d las pizas qu s l añad, dl dsquilibrio d la asa o rspto al j d rotaió dl aortiuaito prst l sista. La dforaió, osidrada oo ua fuió d la vloidad d iro dl j, prsta sus valors áxios las llaadas vloidads rítias. U sista d asa, srá u sista d dl, tdrá vloidad rítia. Para sistas d asas, sto s dl, habrá vloidads rítias. Noralt, sólo la vloidad rítia ás baja (prira) oasioalt la suda ti rlvaia. Las otras so ralt ta altas qu stá u aljadas d la s vloidads d opraió. E la prira vloidad rítia, la flxió dl j siu la fora ás silla posibl. E la suda, la flxió siu la suda fora ás silla, t. Por jplo, u j soportado sus xtros o dos asas rlativat rads ( oparaió o la dl j), s dfora sú la ofiuraió ostrada las fiuras siuits, uado rota la prira la suda vloidad rítia rsptivat. Fiura 7 DISEÑO DE MÁQUINAS I

7 DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 004 V. BADIOLA Para u j qu llva ua sola asa, asuido qu su asa s pquña oparaió o la asa qu llva uida: Dod: Fiura 8 x: dforaió dl j durat la rotaió, l puto d loalizaió d la asa : xtriidad furza dforaió (8) ( x ) x x D la uaió atrior s ddu qu si la xtriidad s ula, la dforaió x dl j tabié srá ula, salvo qu s upla qu idtriaió.. Etos, 0 x, 0 Por lo tato, si la xtriidad s ula, l úio valor d vloidad l ual s pud produir dforaió dl j s doia fruia atural d osilaió, vi dada por la xprsió siuit: (9) Sa l pso d la asa la dforaió státia (dforaió produida por ua furza, l puto d loalizaió d la asa, sto s, dforaió dbida a su propio pso), s la ostat d ravitaió DISEÑO DE MÁQUINAS I

8 004 V. BADIOLA DISEÑO DE MÁQUINAS I Est valor s la prira vloidad rítia dl j. Pusto qu hos osidrado u sista d dl, srá la úia vloidad rítia. Para u j d asa dspriabl o varias asas otradas uidas a él ( rados d librtad) xist distitos étodos d álulo d las vloidads rítias: Método d Ralih: proporioa ua aproxiaió para la prira vloidad rítia d u sista d asas últipls (sobrstiaió) Método d uaió d fruias: proporioa valors xatos d las vloidads, pro rsulta u étodo opljo para >3 Método d Durl: proporioa otra aproxiaió para la prira vloidad rítia d u sista d asas últipls (substiaió) Obsérvs qu las uaios d Ralih Durl so aproxiaios a la prira fruia atural d vibraió, la ual s supo iual a la vloidad rítia d rotaió (aso para 0). E ral, la uaió d Ralih sobrstia la fruia atural, itras qu la d Durl la substia MÉTODO DE RAYLEIGH Cosidros u j o asas, asuaos rozaito ulo. Dsios por la dforaió dl j durat la rotaió, l puto d loalizaió d la asa. Sa las dforaios dbidas a los psos. Fiura 9 La ría iétia dl sista s: ( ) ( ) ( )... E (0) La ría iétia adquirida s iual al trabajo d dforaió sario para llvar las asas a las posiios,...,,. Est trabajo d dforaió s: d... F... F F I ualado las xprsios, s obti: ()

9 DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 004 V. BADIOLA La aproxiaió d Ralih osist osidrar qu las dforaios o aplituds Y so proporioals a las dforaios dbidas a los psos : i Y oo: C () i i sustitudo, i i i (3) i (4) d dod s obti la prira vloidad rítia: (5) La isa uaió pud usars para alular la prira vloidad rítia d u j qu ti ua asa distribuida. Fiura 0 S divid la asa distribuida u úro d parts,,, t. S osidra la asa d ada part oo si stuvira otrada su propio tro d ravdad. La xpriia da l úro d subdivisios qu db usars, pro pud vrs qu o ua partiió o u rfiada s obti ua bua prisió. Para u j si asas adiioals, s ddu qu: 5 (6) 4 ax ax Fiura - 89 DISEÑO DE MÁQUINAS I

10 004 V. BADIOLA MÉTODO DE ECUACIÓN DE FRECUENCIAS Est étodo prit l álulo xato d las vloidads rítias d u j. S plata l aálisis para u sista d dos asas, luo s xtrapolará para l aso ral d asas. La uaió qu s plata s la uaió d fruias, ilu uos fators qu s doia ofiits d ifluia qu s dfi a otiuaió. a: dforaió obtida l puto dbido a ua ara uitaria apliada l puto a: dforaió obtida l puto dbido a ua ara uitaria apliada l puto a: dforaió obtida l puto dbido a ua ara uitaria apliada l puto a: dforaió obtida l puto dbido a ua ara uitaria apliada l puto Dbido al tora d riproidad d Maxll, s upl qu aa Fiura Dostraió dl étodo F F (7) Las dforaios so: a a F F a a F F (8) Luo, sustitudo las xprsios (7) (8), a a a a (9) Dividido abas xprsios por trasforado l sista atrior uo hooéo: DISEÑO DE MÁQUINAS I

11 DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES 004 V. BADIOLA a ( a ) ( a ) a 0 0 (30) Para qu xista ua soluió distita d la trivial ula, l dtriat dl sista hooéo atrior db sr ulo: a ( a ) a ( a ) Dsarrollado st dtriat: 0 (3) a a ( a ) ( a ) 0 4 ( a a ) ( a a a a ) 0 ( a a ) x ( a a a a ) 0 x x, ( a a ) ± ( a a ) 4( a a a a ) (3) S obti así dos soluios positivas dos soluios ativas. Las soluios ativas o ti stido físio, a qu o xist fruias ativas. Las soluios positivas so las vloidads rítias, tal qu: > Para sistas o ás d dos asas, l álulo dl dtriat s vulv opljo, itrsará ás obtr la soluió aproxiada por otro étodo (Ralih, p.) Las uidads d los ofiits aij so L F N - 9 DISEÑO DE MÁQUINAS I

12 004 V. BADIOLA MÉTODO DE DUNKERLEY D la uaió d fruias s ddu ua uaió aproxiada llaada d Durl, para l álulo d la prira vloidad rítia. a a, a qu x b (33) x S pud dspriar l tério, a qu >>, o lo qu: a a a a Ya qu a a. (34) Y oo, sustitudo la xprsió atrior, (35) : fruia atural o rítia dl j si sólo tuvira la asa. : fruia atural o rítia dl j si sólo tuvira la asa. Así, ral a a... (36) Es u iportat distiuir tr. Rordos qu dsia la dforaió dl j durat la rotaió a la fruia rítia. Dbido al fóo d rsoaia, sta dforaió s suprior a la orrspodit a la dforaió orrspodit a los psos. a a DISEÑO DE MÁQUINAS I - 9 -