Matemáticas B 4º E.S.O. Tema 1 Los números Reales 1 3º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS. Simplificar la fracción, si es posible N = 50

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1 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.0 INTRODUCCIÓN º ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS º RACIONALES(Q)???????? NO RACIONALES NATURALES(N) 0 ; ; ; ENTEROS (Z) - ENTEROS NEGATIVOS -11; ; 8... Decimles exctos :0,1; ;... FRACCIONARIOS. Decimles periódicos puros : ;7,1;... (Rcioles o eteros) ) Decimles periódicos mixtos :7,1... ; - ; 5 ; π;decimles o periódicos... º 1.0. PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL º Pr obteer l expresió deciml de u frcció, se efectú l divisió del umerdor etre el deomidor. º Ejemplos: 8 Nturl 9, 5 Deciml excto 1,... 1, ) Deciml periódico puro 7 1, ,1 6 ) Deciml periódico mixto 6 º 1.0. PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN º Decimles exctos: N,8 100N 8 8 N 100 Multiplicr por l poteci de 10 decud pr covertirlo e etero. Despejr N 119 Simplificr l frcció, si es posible N 50 º Decimles periódicos puros: N, 8 100N 8, 8 99N 6 6 N 99 Multiplicr por l poteci de 10 decud pr obteer otro úmero co el mismo periodo. Restrlos (Se v los periodos) Despejr N Simplificr l frcció, si es posible N 6 99

2 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles º Decimles periódicos mixto: N, 8 ) Multiplicr por l poteci de 10 decud pr covertirlo e periódico puro 10N,8 100N 8,8 90N N 90 Multiplicr por l poteci de 10 decud pr obteer otro úmero co el mismo periodo. Restrlos (Se v los periodos) Despejr N Simplificr l frcció, si es posible N NÚMEROS IRRACIONALES º INTRODUCCIÓN º Números rcioles so los que se puede poer como cociete de dos úmeros eteros. Su expresió deciml es exct o periódic. º Números irrcioles so los o rcioles, es decir, los que o puede obteerse como cociete de dos úmeros eteros. Su expresió deciml es ifiit o periódic. º Hy ifiitos úmeros irrcioles, lguos de los cules so especilmete iterestes. Vemos lguo: - L digol del cudrdo de ldo 1: - Si p o es cudrdo perfecto, p es irrciol. - E geerl, si p es u úmero etero y p o es u úmero etero (es decir, p o es u poteci -ésim), etoces p es irrciol L digol de u petágoo de ldo uidd: φ ( fi : Número áureo) - L relció etre l logitud de u circufereci y su rdio: Π ( pi )

3 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 1. LOS NÚMEROS REALES º 1..1 DEFINICIÓN º El cojuto formdo por los úmeros rcioles y los irrcioles se llm cojuto de úmeros reles y se desig por R. REALES (R) NATURALES (N) 0 ; ; ; ENTEROS (Z) - ENTEROS NO NATURALES -11; ; 8... (Eteros egtivos) RACIONALES (Q) Decimles exctos :0,1; ;... FRACCIONARIOS. Decimles periódicos puros : ;7,1;... (Rcioles o eteros) ) Decimles periódicos mixtos :7,1... IRRACIONALES (I) ; - ; 5 ; π;decimles o periódicos... º Co los úmeros reles podemos relizr ls misms opercioes que hcímos co los úmeros rcioles: sumr, restr, multiplicr y dividir (slvo por el cero) y se sigue mteiedo ls misms propieddes. Tmbié podemos extrer ríces de culquier ídice (slvo ríces de ídice pr de úmeros egtivos) y el resultdo sigue siedo u úmero rel. Eso o ocurrí co los úmeros rcioles. º 1.. LA RECTA REAL º Si e u rect situmos u orige (el cero, 0) y mrcmos l logitud uidd, cd puto le correspode u úmero rciol o u úmero irrciol. Es decir, cd puto de l rect le correspode u úmero rel. Por eso, l rect uméric l llmmos rect rel. º 1.. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS SOBRE LA RECTA REAL º Todo úmero rel puede siturse sobre l rect rel, depediedo de cómo se el úmero:

4 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles º Represetció de turles, eteros o decimles exctos º Ejemplo: ;, ,1,,,,5,6,7,8,9,,1,,,,5,6,7,8,9,5 º Deciml periódico: Puede expresrse e form de frcció y represetr l frcció (Se divide cd uidd e tts prtes como teg e deomidor y se tom tts como teg el umerdor.) Ejemplo : 0,8.. 5/6 0 1 º Ejemplo : 11/ /6 (Se divide igul pero l uidd etre el 1 y el ) Ejemplo : -11/6-1 5/6 (Se divide igul pero l uidd etre el 1 y 1l ) º Represetció de irrcioles cudráticos º Si u úmero irrciol es rdicl cudrático o u combició de ellos, se puede represetr costruyedo triágulos rectágulos (Se utiliz el teorem de Pitágors dode l hipoteus es lo que queremos dibujr.) ( 10 ) + 1

5 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 5 º Represetció de úmeros irrcioles º Si u úmero irrciol viee ddo por su expresió deciml, podemos represetrlo, de form proximd: Ejemplo:, ,1,,,,5,6,7,8,9,,1,,,,5,6,7,8,9,5 Podemos fir tto como quermos. Los úmeros reles puede ser represetdos e l rect rel, segú los csos, de form exct, o bie co tt proximció como quermos. 1. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS º Pr desigr lguos trmos de l rect rel, existe u omecltur especil: º NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Itervlo bierto (,b) { x / < x < b } Nº compredidos etre y b, si icluir i b Itervlo cerrdo [,b] { x / x b } Nº compredidos etre y b, mbos icluidos. (,b] { x / < x b } Nº compredidos etre y b, Itervlo semibierto icluido b pero o [,b) { x / x < b } Nº compredidos etre y b, icluido pero o b (-,) { x / x < } Números meores que Semirrect (-,] { x / x } Nº meores que y el propio (,+ ) { x / < x } Números myores que [,+ ) { x / x } Nº myores que y el propio L propi rect rel se represet e form de itervlo, sí: R (-,+ )

6 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 6 POTENCIAS º PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS º [1] 0 1 [] m. m+ [6] (.b).b [8] - 1 [] 1 [] m : m- [7](:b) : b b b [9] b [5] ( m ) m. 1.5 RAÍCES Y RADICALES º DEFINICIÓN º Se llm ríz -ésim de u úmero y se escribe, u úmero b que cumple l siguiete codició: b si b se llm rdicl, rdicdo, y, ídice de l ríz. º 1.5. ALGUNAS PECULIARIDADES DE LAS RAÍCES º Si 0, existe culquier que se Si < 0, sólo existe su ríz de ídice impr. Auque e geerl, u úmero positivo,, tiee dos ríces cudrds: y -, co os referimos su ríces positiv, es decir,. º 1.5. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES º Form expoecil de rdicles : m 1 m º 1.5. POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA º Ríces cudrds: , º Potecis: x y 6 x y 6 1, ,

7 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles 7 º Ríces co l tecl x y (8) 8 ( : 5 ) 11, x y 10 1/x, º 1 y Tecl x (E otrs clculdors x ) x 5, y 1.6 PROPIEDADES DE LOS RADICALES º Los rdicles tiee u serie de propieddes que se deduce de ls propieddes de ls potecis: º p p 1... b b. b b p. ( ) m m 5. p º 6. Sum o difereci de rdicles : Dos rdicles distitos o puede sumrse si o es obteiedo sus expresioes decimles proximds. Sólo puede sumrse rdicles idéticos º 7. Pr multiplicr o dividir rdicles: Primero hy de reducirlos ídice comú º 8. Rciolizció de deomidores : A veces coviee suprimir ls ríces del deomidor. Pr ello hy que multiplicrlo por l expresió decud. Nturlmete, el umerdor tmbié se multiplicrá por es mism expresió ( ) 5

8 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles NÚMEROS APROXIMADOS. NOTACIÓN CIENTÍFICA º 17.1 EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. º Cudo utilizmos los úmeros decimles pr expresr medicioes cocrets, se debe dr co u ctidd decud de cifrs sigifictivs. º Se llm cifrs sigifictivs quells co ls que se expres u úmero proximdo. Sólo de debe utilizr quells cuy exctitud os coste. º Pr expresr u ctidd co u úmero determido de cifrs sigifictivs recurriremos l redodeo, si l primer cifr que desprecimos es myor o igul que 5 umetmos e u uidd l últim cifr sigifictiv y si es meor que cico l dejmos como está. Ejemplos: Redoder co tres cifrs sigifictivs: Al redoder úmeros decimles, ormlmete, os quedmos co dos decimles CONTROL DEL ERROR COMETIDO º Cudo dmos u medid proximd, estmos cometiedo u error. º El Error Absoluto es l difereci etre el Vlor Rel y el Vlor Aproximdo, e vlor bsoluto (e positivo) Error Absoluto Vlor Rel Vlor Aproximdo El vlor excto, geerlmete, es descoocido. Por tto, tmbié se descooce el error bsoluto. Lo importte es poder cotrlo: el error bsoluto es meor que U cot del error bsoluto se obtiee prtir de l últim cifr utilizd: (0,5 uidd de l últim cifr utilizd) º Pero o es lo mismo cometer u error de u cetímetro l medir u tiz que u pizrr, por tto defiimos: El Error Reltivo como es el cociete etre el error bsoluto y el vlor rel Error Reltivo Error Absoluto Vlor Rel Es tto meor cuáts más cifrs sigifictivs se us. º Llmmos cots de los errores ctiddes myores o igules que los errores co meor o igul úmero de cifrs sigifictivs.

9 Mtemátics B º E.S.O. Tem 1 Los úmeros Reles NOTACIÓN CIENTÍFICA º INTRODUCCIÓN º Los úmeros siguietes está puestos e otció cietífic:, (1 cifrs prtir de l com) 7, , (1 cifrs de l com l 7) º L otció cietífic tiee sobre l usul l siguiete vetj: ls cifrs se os d cotds, co lo que el orde de mgitud del úmero es evidete. Est otció es útil, sobre todo, pr expresr úmeros muy grdes o muy pequeños. º 1.8. DEFINICIÓN º U úmero puesto e otció cietífic cost de : - U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero(l de ls uiddes) - El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml. - U poteci de bse 10 que d el orde de mgitud del úmero. N, bcd... x 10 Prte eter (sólo u cifr) bcd... Prte deciml 10 Poteci eter de bse 10 º Si es positivo, el úmero N es grde Si es egtivo, el úmero N es pequeño º 1.8. OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA º E sums y e rests hy que preprr los sumdos de modo que teg todos l mism poteci de bse 10 y sí poder scr fctor comú. 5, , , , (5, ) , , , º El producto, el cociete y l poteci so imeditos, teiedo e cuet: 10 b. 10 c 10 b+c 10 b : 10 c 10 b-c b b. c ( 10 ) 10 (5, ). (6, ) (5,. 6,) , , , (5, ) : (6, ) (5, : 6,) , , , (5, ) (5,) , , , c