TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES

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1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES

2 1.1. Números rcioles. Los úmeros reles Sucesivs mlicioes el cmo umérico. LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,,4,...} LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-,-2,-1,0,1,2,,4,...} LOS NÚMEROS RACIONALES. Los úmeros rcioles se simboliz co l letr Q. Decimos que x es rciol si y solo si existe dos úmeros eteros,q tles que x=/q

3 1.1. Números rcioles. Los úmeros reles Exresió deciml de los úmeros rcioles Todos los úmeros rcioles dmite u exresió deciml, que se obtiee l relizr l oerció idicd. Puede ser de tres tios: Números decimles exctos: cudo el úmero de cifrs decimles es fiito. Por ejemlo: 0,5. Números decimles eriódicos uros: cudo el úmero de cifrs decimles es ifiito y existe u cojuto de cifrs decimles que se reite ifiitmete (eriodo). Por ejemlo: 0,... Números decimles eriódicos mixtos: cudo el úmero de cifrs decimles es ifiito y existe lgus cifrs decimles que o se reite (rte o eriódic) y otrs cifrs decimles que se reite ifiitmete (rte eriódic). Por ejemlo: 0,122222

4 1.1. Números rcioles. Los úmeros reles Frcció geertriz de úmeros decimles exctos y eriódicos Se x=e,d u úmero deciml excto, dode E so ls cifrs de l rte eter, y D ls cifrs de l rte deciml, siedo el úmero de ED cifrs de D, etoces x 100 ceros Se x=e,p u úmero deciml eriódico uro, dode E so ls cifrs de l rte eter, y P ls cifrs de l rte eriódic, siedo el úmero EP E de cifrs de P, etoces x 99 ueves Se x=e,ap u úmero deciml eriódico mixto, dode E so ls cifrs de l rte eter, A ls cifrs del teeriodo y P ls cifrs de l rte eriódic, siedo m el úmero de cifrs de A y el úmero de cifrs de P, etoces EAP EA x ueves m ceros

5 1.1. Números rcioles. Los úmeros reles Desidd de los úmeros rcioles q 2 Cosideremos dos úmeros rcioles culesquier y q, es clro que el úmero tmbié es rciol y está situdo etre y q. Si hor cosidermos el úmero q q 2 2 este úmero estrá situdo etre q Los úmeros irrcioles y q. Reitiedo este roceso idefiidmete odrímos coseguir ifiitos úmeros rcioles etre y q. Ddos dos úmeros rcioles y q culesquier, existe ifiitos úmeros rcioles etre y q. Est crcterístic defie l desidd de Q, y or eso decimos que Q es u cojuto DENSO. Los úmeros irrcioles so quellos úmeros que o se uede exresr como cocietes de úmeros eteros. L exresió deciml de u úmero irrciol es u úmero deciml que o es excto i eriódico, tiee ifiits cifrs decimles que o se reite. Este cojuto se exres medite l letr I

6 1.1. Números rcioles. Los úmeros reles Los úmeros reles. L rect rel El cojuto formdo or todos los úmeros rcioles e irrcioles se deomi cojuto de los úmeros reles y se rereset medite l letr R. 1'

7 1.1. EJERCICIOS 1. Determir si los siguietes úmeros so o o úmeros rcioles: ) b) c) d) 4, Efectur ls siguietes oercioes utilizdo l frcció geertriz de cd úmero deciml: ) 0'6 1'2 b) 4 0' 0'6 c) 0'4 0'5 01' 2 0'06 1'5. Determir si los siguietes úmeros so rcioles o irrcioles: ) b) c) d) Reresetr e l rect rel los siguietes rdicles cudráticos: ) 4 b) Clcul l frcció irreducible corresodietes. 1, b) 0, c) 0, d) 8, Escribe dos úmeros rcioles comredidos etre:. 4/5 y 5/7 b) 1 y /2 c) -8/9, 0

8 1.2. Itervlos, semirrects y etoros. Oercioes co itervlos Orde e R Ddos dos úmeros reles y b, diremos que b si y solo si e l reresetció de dichos úmeros, b qued situdo l derech de o bie b coicide co. Ddos dos úmeros reles y b, diremos que cero. b si y solo si b- es ositivo o b es myor o igul que b b b es meor que b b, b b es myor que b b Proieddes de ls desigulddes de úmeros reles Si, b y c so úmeros reles culesquier etoces se verific que si b c b c. Si y b so úmeros reles culesquier y c es u úmero rel ositivo etoces si b c bc. Si y b so úmeros reles culesquier y c es u úmero rel egtivo si b c bc.

9 1.2. Itervlos, semirrects y etoros. Oercioes Itervlos y semirrects. Itervlo cerrdo de extremos,b: se desig or [,b] y est defiido or [, b] { x R / x b}, so los úmeros reles comredidos etre y b icluidos los extremos. Itervlo bierto de extremos,b: se desig or (,b) y est defiido or: (, b) { x R / x b}, so los úmeros reles comredidos etre y b excluyedo los extremos. Itervlos semibiertos (,b] y [,b) está defiidos or: (, b] { x R / x b} [, b) { x R / x b} Semirrects (, ) { x R / x } (, ] { x R / x } (, ) { x R / x } [, ) { x R / x }

10 1.2. Itervlos, semirrects y etoros. Oercioes co itervlos Etoros Se llm etoro de cetro y rdio r, y se rereset or E(,r) l itervlo bierto (-r,+r). Se llm etoro reducido de cetro y rdio r, y se rereset or E*(,r) l itervlo (-r,+r)\{} Oercioes co itervlos Ddos dos itervlos I, I 1 2 se defie l oercioes uió e itersecció como: I I 1 I2 x R / 1 I2 x R / { x I1 ó x I 2 } { x I y x } Ejemlos: ) ( 2,4) [4,7) b) [ 2, ) (0,4) c) ( 2,4) [4,7) Ø 1 I 2

11 1.2. Ejercicios 1. Ddos los siguietes cojutos de úmeros reles, orderlos de meor myor: ,,, y ,,1'67,1'67 y 1'698 '4,'8,'8,'8 y '401 b. 8 c Iterclr tres úmeros reles de form orded etre los res de úmeros siguietes: ) 1'02,1'01 b) '02, '02.. Relizr ls siguietes oercioes co itervlos y reresetr el resultdo obteido: ) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6) c) (4,9](5,8] d) (4,9](5,8] e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4] g) (-,4](2,+) h) (-,4](2,+)

12 1.. Potecis y Rdicles Potecició de úmeros reles. Proieddes Se u úmero rel ( R ), y se u úmero etero ( Z ) se defie l oteci de bse y exoete como: 1 si >0 y si >0. veces Proieddes de ls otecis: m m (roducto de otecis de l mism bse) m : m (cociete de otecis de l mism bse) b ( b) (roducto de otecis del mismo exoete) : b ( : b) (cociete de otecis del mismo exoete) m m ( ) (oteci de u oteci) Ejemlos: ; ;

13 1.. Potecis y Rdicles Ríz -ésim de u úmero rel Se u úmero rel, y u úmero turl diremos que x es l ríz -ésim de y se escribe x x. A l exresió se le llm rdicl y se uede exresr como oteci de exoete frcciorio 1 m m /. E el cso. / El vlor umérico de u rdicl es el resultdo de efectur l ríz -ésim que idic, sí: 9 y que 2 9 y ( ) 2 9, 27 y que 27, 27 y que 4 ( ) 27, ues y ( 5) 4 625, 2 o existe e los reles, 6 0 0, 2 = , = Como odemos observr el vlor umérico de u rdicl deede del rdicdo y del ídice, sí: Si >0: si el ídice es imr el resultdo es u ríz -ésim ositiv si el ídice es r existirá dos ríces u ositiv y otr egtiv Si =0: el resultdo es siemre 0 Si <0: si el ídice es imr existirá u ríz -ésim egtiv si el ídice es r o existirá igu ríz rel.

14 1.. Potecis y Rdicles 1... Rdicles equivletes. Dos rdicles diremos que so equivletes si tiee el mismo vlor umérico. Ejemlo: Los rdicles 6 27 y so equivletes ues su vlor umérico es / 6 / 6 1/ m m Reducció de rdicles ídice comú U utilidd de l roiedd terior cosiste e l costrucció de vrios rdicles co el ídice comú. Pr ello bst cosiderr el m.c.m. de los ídices de los rdicles y licr l roiedd. Por ejemlo, cosideremos los siguietes rdicles , 2,, m m Est roiedd ermite comrr rdicles de ídices diferetes.

15 1.. Potecis y Rdicles Oercioes co rdicles. Producto de rdicles. Si tiee el mismo ídice se cumle m b m b Cociete de rdicles Si tiee el mismo ídice se cumle m m : b : b m Poteci de rdicles m Est roiedd sólo es válid cudo existe los rdicles y o existe. Ríz m-ésim de u rdicl m m m 6 6. Ejemlo: ( ) y que Extrcció e itroducció de fctores de u rdicl. r r Sum y difereci de rdicles. Solmete odemos sumr o restr dos rdicles si estos so semejtes, or ejemlo: Puede ocurrir que iicilmete los rdicles o se semejtes, ero extryedo o itroduciedo fctores se uede covertir e semejtes y odemos relizr l oerció. Por ejemlo:

16 1.. Potecis y Rdicles Simlificció de rdicles. Simlificr u rdicl cosiste e obteer u rdicl equivlete que teg el ídice meor, y extrer de l ríz todos los fctores osibles. Por ejemlo, simlificr el rdicl Rciolizció de deomidores. El rocedimieto or el cul trsformmos u exresió lgebric que cotiee rdicles e el deomidor e otr exresió lgebric equivlete si rdicles e el deomidor se deomi rciolizció de deomidores. Pr rciolizr utilizmos vrios rocedimietos: ) Cudo e el deomidor hy u úico sumdo que cotiee u rdicl de ídice 2 del tio. Etoces multilicmos umerdor y deomidor or. Por ejemlo: b) Cudo e el deomidor rece u úico sumdo que cotiee u rdicl del tio m co <m. E ese cso multilicmos umerdor y deomidor or el rdicl m q dode +q=m. Co esto coseguimos hcer desrecer el rdicl del deomidor.

17 1.. Potecis y Rdicles. EJERCICIOS. 1. Relizr ls siguietes oercioes co otecis: x y z y ) ( 5 : 4 (/8) b) 1 4 x z y z 2. Order de myor meor los siguietes rdicles: ) 8 16, 125, b) 4, 45, 16. Efectu y simlific ls siguietes exresioes, rciolizdo si fuese ecesrio: ) b) d) e) 4. Rcioliz los deomidores de: ) b) c) Simlific ls siguietes exresioes: ) 4 2 b) 4 y x yx x 5 5 c) c) y 2 y 2y

18 1.4. Logritmos Coceto de logritmo Se >0 y 1 y cosideremos y 0. El logritmo e bse de y es el exoete l que debemos elevr r obteer y. Se rereset medite log y : log y x x y OBSERVACION x Pr obteer log y es ecesrio que y se ositivo, ues tod otecis 0, es decir, o es osible clculr log 2 ( 7) ues o existe igú úmero rel que verifique que x Logritmos decimles y logritmos eerios Los logritmos de bse 10 se deomi logritmos decimles y se escribe si idicr e el subídice l bse. Así or ejemlo, log5 log De l mism form los logritmos co bse el úmero e, se deomi logritmos eerios e hoor Joh Neer y se escribe medite l brevitur l. Así or ejemlo l5 log 5 e

19 1.4. Logritmos Proieddes de los logritmos. 1. log 1 0 r culquier >0, 1 2. log 1 r culquier >0, 1. log ( M N) log M log N. 4. log ( M / N) log M log N N 5. log ( M ) N log M 6. CAMBIO DE BASE: log M logb log b M Ejemlos: 1) log 27 log 5 1/ 25 log ) Utiliz l clculdor r obteer el vlor de >: ) log 24 b) log 121

20 1.4. EJERCICIOS: Logritmos 1. Clculr or defiició, si el uso de l clculdor: ) log 0' 01 b) d) log 27 e) Sbiedo que l( ) 0' 25 r obteer el resultdo de: log c) log( 100) log 5 f) log 1 / 2 2 g) log 0 ' 2 2/ 50 x, l y 0' 15 y 10 2' 0 y x log l x 01' x. Utiliz ls roieddes de los logritmos y su defiició r obteer: ) 27 log log log l, utiliz ls roieddes de los logritmos y l defiició b) l log 5 log 5 7 c) log 6 6 log 2l(5 ) 6 2 e 6 8 d) 16 e x y l 1 1 0' e e e 5 10 log 0' Utiliz l clculdor r obteer u roximció or redodeo l cetésim de: ) log 5 72 b) log c) log 2 17