GEOMETRÍA. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta 2x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia

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1 Puebas de Acceso a la Univesidad GEOMETRÍA Junio 94.. Sin esolve el sistema detemina si la ecta x y + = 0 es exteio secante ó tangente a la cicunfeencia (x ) + (y ) =. Razónalo. [5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los tes planos: x y + z = x y + z = x y + az = b halla los valoes de a y b paa que se coten en una ecta. Calcula. [5 puntos] Junio 94. Dados los puntos A ( 5) y B (!4) halla las coodenadas de un punto C peteneciente al plano XY de foma que A B y C estén alineados. [5 puntos] Septiembe 94.. Halla el luga geomético de los puntos cuya distancia al plano B : x z + = 0 es el doble de la distancia al plano B : x + y = 0. Razónalo. [5 puntos]. Detemina la posición elativa del plano "x + y 6z + 7 = 0 y de la ecta del paámeto ". [5 puntos] x y + z α = = según los valoes 6 α 4 Septiembe 94. Detemina la ecuación del plano que pasa po el punto M ( 0!) y es pependicula a la ecta x y z = = [5 puntos] Junio 95. Enconta los valoes de " y $ paa que los cuato puntos A ( 0!) B ( 0) C ( $) D ("!) fomen un paalelogamo. Calcula su áea. [5 puntos] Junio 95.. Sean u y v dos vectoes en el plano. Demosta que si los vectoes u+v y u!v tienen el mismo módulo entonces u y v son otogonales. [5 puntos] = λ. De todos los planos que contienen a la ecta : y = λ escibi la ecuación del que pasa po el punto P ( 0 00 ). = + λ [5 puntos] Septiembe 95. Enconta el luga geomético de los puntos del plano cuya difeencia de distancia a los puntos A (!40) y B ( 4 0) es 4. Cómo se llama esta cuva?. La ecuación obtenida está en foma educida?. [5 puntos] Septiembe 95.. Usando vectoes aveigua si los puntos A ( 0) B ( 0 40 ) C (! ) y D ( ) son coplanaios o no lo son. [5 puntos]. Calcula los valoes de " paa los que el plano π : α x y z = α + 5 es paalelo a la ecta Aveigua si existe algún valo de " paa el que la ecta está contenida en el plano B. [ puntos] + y + z = : y + z =

2 Junio 96. x y. Paa qué valoes de k la ecuación : + = 5 k 6 k tienen los mismos focos. [5 puntos] epesenta una elipse?. Compoba que todas esas elipses. Utilizando las popiedades de dependencia e independencia lineal de vectoes aveigua la posición elativa de la ecta deteminada po los puntos A ( 0!) y B ( 0) y la ecta s deteminada po C (4 ) y D ( 00). [5 puntos] Junio 96.. Halla la ecuación de la cicunfeencia que tiene cento ( 4) y es tangente a la ecta x + 4y 4 = 0. [5 puntos]. Enconta el punto de intesección de la ecta de coodenadas. [5 puntos] = + λ : y = λ con el plano π pependicula a que pasa po el oigen = λ Septiembe 96.. Halla la ecuación del luga geomético de los puntos del plano que equidistan del punto ( 0 6 ) y del eje de abscisas. Cómo se llama esta figua?. [5 puntos]. Dados el punto A ( ) y el plano π de ecuación x y + z = 0 halla el punto de intesección de π con la ecta que pasa po A y es pependicula a π. [5 puntos] Septiembe 96.. Detemina el cento y el adio de la cicunfeencia que pasa po los puntos ( 0 0) ( 0 ) y (4). [5 puntos]. Utilizando las popiedades de dependencia e independencia lineal de vectoes deduci la posición elativa de la ecta deteminada po los puntos A ( 0) y B ( ) y la ecta s deteminada po los puntos C ( ) y D (!) [5 puntos] Junio 97.. Sea (u v w) una base otonomal halla todos los vectoes que son otogonales a u y a módulo. [5 puntos] u + v w que tengan. Nos dan la ecta deteminada po los puntos A ( ) y B ( 0!!) y la ecta s deteminada po los puntos C (! ) y D ( 4!). Razona su posición elativa. [5 puntos] Junio 97.. Halla la ecuación de la cicunfeencia que pasa po los puntos ( 6 0) y ( 0 4) y que tiene el cento en la ecta x y = 0. [5 puntos] = + λ. Halla el punto P de la ecta de ecuaciones paaméticas y = + λ que con los puntos A ( ) y B ( 0) = foma un tiángulo ectángulo de hipotenusa BP. [5 puntos]

3 Puebas de Acceso a la Univesidad Septiembe 97.. Halla en función del paámeto positivo a la posición elativa de la cicunfeencia de ecuación (x ) + y = a y la ecta de ecuación y = x. [5 puntos]. Halla el punto de la ecta = + λ y = + λ = + λ más póximo al punto A ( 0!) [5 puntos] Septiembe 97.. Halla la ecuación del luga geomético de los puntos P del plano tales que la suma de los cuadados de las distancias de P a A ( 0 0 ) y a B ( 0) es 4. Qué figua epesenta esta ecuación? [5 puntos]. Halla el punto del eje OY que es coplanaio con los puntos P ( ) Q ( ) y R ( 0). [5 puntos] Junio 98. Halla el punto simético del punto A (!) especto al plano π de ecuación geneal x + y z = 5. [5 puntos] Junio 98. Nos dan los vectoes a = ( 0! ) b = ( 0!) y c = ( 00) halla: i) Valo absoluto del poducto mixto de a b y c y da su significado geomético. [ punto] ii) Ángulo que foman b y c. [05 puntos] iii) Razona si ( abc) foman base y en caso afimativo halla las coodenadas de (!0) en dicha base. [ punto] Septiembe 98. Luga geomético de los centos de las cicunfeencias que pasan po los puntos ( ) y ( 6 0) [5 puntos]. Ente todas éstas escibi la ecuación de la que tiene adio mínimo [ punto]. = Septiembe 98. Halla el punto (o puntos) P de la ecta de ecuaciones paaméticas y = + λ que con los puntos = + λ A ( ) y B (!) foman un tiángulo isósceles de lados iguales AP y BP [5 puntos]. Halla también el áea de dichos tiángulos [ punto]. Junio 99. Nos dan la ecta deteminada po los puntos A ( ) y B ( ) y la ecta s dada po z = 0. Se pide: y = 0 i) Aveigua su posición elativa. [ punto] ii) Si existe halla la ecuación geneal del plano que las contiene. [5 puntos] Junio 99. Halla la ecuación de la cicunfeencia que tiene cento C (!) y es tangente a la ecta x 4y = 0 [ punto]. De todas las ectas paalelas a la bisectiz del pime cuadante enconta las que sean tangentes a esta cicunfeencia [5 puntos]. Septiembe 99. Se sabe que el poducto mixto [ u v w ] vale y que el módulo del vecto v w es. Se pide: i) Halla azonadamente el volumen del tetaedo de vétices A B C y D sabiendo que AB = u v AC = w AD = w + v [5 puntos]. ii) Halla azonadamente la longitud de la altua de dicho tetaedo que une el vétice B con la caa ACD [ punto] y

4 + y + z = 0 Septiembe 99. Dadas la ecta : y la ecta s deteminada po los puntos P (0) y Q x y + z + 4 = 0 ( aa) se pide halla a paa que estas ectas estén contenidas en un plano [5 puntos]. Escibi la ecuación geneal de dicho plano [ punto] = + α Junio 00. Dada la ecta de ecuaciones paaméticas y = + α y los puntos P ( ) y Q (! ) se pide: = ) Enconta la posición elativa de y la ecta deteminada po P y Q [5 puntos] ) Halla el punto o puntos R de paa los que el tiángulo PQR es isósceles de lados iguales PR y QR [ punto]. Junio 00. Supone que el plano coodenado z = 0 es un espejo (eflectante en ambas caas). Desde el punto A ( 4 ) se emite un ayo de luz que eflejándose en este espejo ilumina el punto B ( 0!). ) En qué punto del espejo debe incidi el citado ayo? [5 puntos] ) Halla la ecuación geneal del plano que contiene a los ayos incidente y eflejado. [ punto] Septiembe 00. Halla la ecuación de la cicunfeencia C que pasa po los puntos ( 0 ) y ( 0!) y es tangente a la ecta : y = x + [5 puntos]. En el haz de ectas paalelas a hay ota tangente a C halla su ecuación. [ punto] Septiembe 00. Halla el valo del paámeto m paa que las ectas y s dadas po: x + 5 y z + x m y z : = = s : = = 4 se coten [5 puntos]. Enconta entonces el punto de intesección [ punto] Junio 0. Sean la ecta deteminada po los puntos A ( 0! ) y B (!! ) y s la ecta de ecuaciones x y z = =. Se pide: 5 a) Aveigua su posición elativa [ punto] b) Halla si existe una ecta que pase po el punto C ( 4) y que cote a las ectas y s [5 puntos] Junio 0. Dados los puntos: A ( 00) B ( 0!0 ) y C ( 0 0) se pide: a) Halla el luga geomético de los puntos del espacio que equidistan de A B y C indicando qué figua foman [5 puntos]. b) Halla las coodenadas del cento de la cicunfeencia que pasa po esos puntos [ punto] Septiembe 0. Dados los puntos A ( ) B (! ) C ( 00) y D ( 0 0) se pide halla el punto P peteneciente a la ecta deteminada po A y B tal que el tiángulo CDP sea ectángulo con hipotenusa CP. [5 puntos] Septiembe 0. Halla la ecuación de la cicunfeencia que es tangente al eje OX en el punto ( 4 0) y pasa po el 8 6 punto 5 5 [5 puntos]. Halla la ecuación de la ota tangente a esta cicunfeencia que pasa po el oigen de coodenadas [ punto]. + y = Junio 0. La ecta cota en P y Q espectivamente a los planos y = 0 y x = 0. λy + z = a) Detemina los puntos (si los hay) en el eje OZ que equidisten de P y Q. Natualmente estos posibles puntos dependen del valo de λ. [ puntos] b) Detemina λ paa que además los puntos del eje OZ fomen con P y Q un tiángulo equiláteo. [ puntos] 4

5 Puebas de Acceso a la Univesidad Junio 0. Sabemos que en el plano el luga geomético de todos los puntos equidistantes de dos dados es una ecta. Pues bien ocue que si en luga de pedi que el cociente de las distancias sea elegimos oto valo fijo el luga geomético pasa a se una cicunfeencia. a) Compueba esta afimación tomando como puntos (!0) y (0) y un paámeto λ como cociente de las distancias. [ punto] b) Da una expesión del cento y del adio de la cicunfeencia del apatado a) en función de λ. [ punto] c) Repesenta la figua paa λ =. [05 puntos] Septiembe 0. Sea H la hipébola de ecuación xy = 4. Sean C y C dos cicunfeencias ambas con cento el oigen de coodenadas y tales que a) C es tangente a la hipébola. b) C cota a la hipébola H en un punto de abscisa. Repesenta gáficamente las tes cónicas anteioes [ punto] y calcula el áea de la coona cicula enceada ente las dos cicunfeencias [5 puntos]. Septiembe 0. a) Halla azonadamente la ecuación del luga geomético de los centos de las cicunfeencias que pasan po los puntos ( 0) y (0). [ punto] b) Ente todas estas cicunfeencias halla la ecuación de aquélla o aquéllas cuyo cento equidista de los ejes coodenados. [5 puntos] Junio 0. Sean los puntos A ( ) y B ( 5 ). Calcula a) Ecuación geneal de la cicunfeencia que pasa po el punto B y tiene su cento en A [ punto] b) Ecuación de la tangente a esta cicunfeencia en B [ punto] c) Áea del tiángulo fomado po la tangente anteio y los ejes coodenados [05 puntos] Junio 0. Sean el plano : x y + 4z = P. a) Calcula la distancia δ ente el plano π y el punto P [05 puntos] b) Halla la ecuación de un plano paalelo a π y distinto del mismo que también diste de P la misma distancia δ [5 puntos]. c) Calcula el volumen de la figua limitada po el plano π y los tes planos coodenados [05 puntos] π y el punto ( ) Septiembe 0. Sea C una cicunfeencia cuyo cento es el punto ( ) y que es tangente a los dos ejes coodenados. a) Escibi su ecuación geneal [ punto]. b) Detemina los puntos de C donde la tangente es paalela a la bisectiz del pime cuadante [5 puntos]. Septiembe 0. Sea el tiángulo de vétices A (4 ) B ( 5) y C (6 6). a) Halla la ecuación de la altua que pasa po el vétice C [5 puntos] b) Calcula la longitud de los dos segmentos en que la altua anteio cota al lado AB [ punto] Junio 04. Sean los puntos A ( 0) y B ( 4). Detemina: a) Ecuación del plano π mediatiz del segmento AB [05 puntos]. b) El volumen del tetaedo fomado po π y los tes planos coodenados [ punto]. c) Ecuación de la ecta pependicula al plano π que pasa po el oigen [ punto] Nota: El plano mediatiz de un segmento es pependicula al segmento y pasa po su punto medio. Junio 04. Sea el plano π de ecuación x 5y + z + = 0 y sean y s las ectas con ecuaciones y z 4 x + : x = = ; s : = y = z + Detemina: 5

6 a) Los puntos de intesección del plano π con cada una de las ectas [ punto]. b) El áea y peímeto del tiángulo fomado po los dos puntos anteioes y el oigen de coodenadas [5 puntos] y z Septiembe 04. La ecta x = = cota a los tes planos coodenados en tes puntos. Detemina las coodenadas de estos puntos [05 puntos] las distancias existentes ente cada pa de ellos [ punto] e indica cuál es el que se encuenta en medio de los otos dos [ punto].. a) Detemina las ecuaciones de los planos π y σ que son pependiculaes a la ecta y que pasan espectivamente po los puntos ( 4 ) y ( ) [5 puntos] b) Calcula la distancia que hay ente ambos planos π y σ [ punto] Septiembe 04. Sea la ecta que pasa po los puntos ( ) y ( 0 ) Junio 05. Escibi la ecuación de la cicunfeencia con cento ( ) de esta cicunfeencia que equidistan de los ejes. [5 puntos] y cuyo adio es y luego detemina los puntos Junio 05. Sea el plano : x y + z = A = a) Detemina el punto simético de A especto de π. [5 puntos] b) Volumen de la figua del espacio limitada po el plano π y los tes planos catesianos. [ punto] π y el punto ( ) Septiembe 05. Detemina el punto simético del ( 8 4 ) especto del plano x y + z = 7 [5 puntos] x + y z = Septiembe 05. Sea la ecta intesección de los dos planos x y + z = a) Detemina el plano π que contiene a la ecta y que pasa po el oigen de coodenadas [5 puntos] 0 [ punto] b) Escibi la ecuación de la ecta pependicula a π y que pasa po el punto ( ) Junio 06. Calcula la distancia ente las ectas y s donde x = + k : y = k y z = + k s : x = + k y = + k z = 4 k Junio 06. a) Estudia si son linealmente independientes los vectoes a = ( ) b = ( 0 ) y c = ( ) el vecto v = ( 0 0 ) como combinación lineal de a b y c. [5 puntos] x y b) Son el plano π : x + y + z + = 0 y la ecta : = = z otogonales?. Justifica la espuesta.. Expesa [ punto] mz Septiembe 06. Paa qué valoes del paámeto m la ecta x = y + = es paalela al plano x + y + z = 9? Detemina el punto de intesección de la ecta y el plano paa m =. [5 puntos] Septiembe 06. a) Estudia la dependencia o independencia lineal de los vectoes u = ( 0 9) v = ( ) w = ( 5 4). [075 puntos] b) Dados los planos: π : x y + z + = 0 y π : x + y 5z = 0 detemina el ángulo que foman. [75 puntos] 6

7 Puebas de Acceso a la Univesidad Junio 07. Escibi las ecuaciones implícitas de una ecta con la diección del vecto ( 0) y que pasa po P el simético de P = ( 0 0) especto al plano π : x + y + z = 5. [5 puntos] Junio 07. a) Las componentes de u v y w u = 0 v = w = en una cieta base de V son: ( ) ( ) = ( 4 7). Halla en esa misma base las componentes del vecto u v + w. [075 puntos] 7x + 5y 7z = 0 5x 5y z 6 = 0 b) Detemina la posición elativa de las siguientes ectas: : : x + z + = 0 x y 7 = 0 [75 puntos] x + y + z = 0 Septiembe 07. Dadas las ectas x z + 4 = 0 s x = y + 4 = z 8 a) Compoba que se cotan. [5 puntos] b) Halla el ángulo que foman. [ punto] x + y = 7 Septiembe 07. Se considean la ecta y el punto P ( ). y + z = 4 a) Calcula la ecuación del plano π que es pependicula a la ecta y contiene al punto P. [5 puntos] b) Estudia paa qué valoes de k los vectoes { ( ) ( 0 k 0 ) ( 0 0 k) } son linealmente independientes Junio 08. x y + 5 z + Opción A. Considea la ecta = = y el plano π x + 4y + 4z = a) ( punto) Estudia la posición elativa de y π. b) (5 puntos) Calcula la ecuación implícita de un plano π que es pependicula a π y contiene a. [ punto] Opción B. a) (5 puntos) Calcula la ecuación de la ecta que pasa po el oigen y es pependicula al plano π x + y + z =. Obtene el punto de cote de la ecta con el plano π. x = λ b) (5 puntos) Halla el punto de la ecta y = λ z = + λ cuya distancia al punto P ( 0 ) sea 5. Septiembe 08. Opción A. Se considean la ecta y los planos π y π siguientes: a) (5 puntos) Detemina la posición elativa de los dos planos. b) (5 puntos) Calcula la distancia de a π. x = λ y = + λ z = 4 λ π x + y z = 0 π + x + y z = 0 Opción B. a) ( punto) Obtene los valoes de α y β paa los cuales el vecto de componentes ( α β 0) tiene módulo x = λ y es pependicula a la ecta y = λ. z = a = b = 0 b) (075 puntos) Estudia si los vectoes ( ) ( ) c = ( 0 ) son linealmente independientes. c) (075 puntos) Calcula el ángulo que foman dos ectas cuyos vectoes dieccionales son b y c espectivamente. 7

8 Junio 09. Opción A. Sean los vectoes u = ( ) v = ( ) w = ( 5) ; calcula: a) (05 puntos) u ( v + w ). b) (05 puntos) u ( v w ). c) (075 puntos) La ecuación del plano que pasa po el punto P ( 0 0 ) y es pependicula al vecto u. d) (075 puntos) El ángulo que foman u y v. Opción B. a) ( punto) Estudia la posición elativa de los planos π x y + z = 0 y π x y z =. x y z = b) (5 puntos) Considea la ecta x y + z = 5 paalela a la anteio que pasa po el oigen.. Analiza si el punto P ( 6 ) se halla o no sobe la ecta Septiembe 09. Opción A. a) (5 puntos) Calcula la ecuación del plano que pasa po los puntos A ( 50 ) y B ( 40 ) y es x y + z = 0 paalelo a la ecta. x + y z = 5 u = b) ( punto) Estudia si los vectoes ( ) v = ( 00 ) y w = ( ) son linealmente independientes. Opción B. a) (5 puntos) Halla el punto simético de A ( 0 ) especto del plano π x + y + z =. x + y + z = b) ( punto) Obtene las ecuaciones de la ecta x y z = x + y = 7 y z + Junio 0. Dadas las ectas: y s x = = y + z = 4 a) Justifica si son o no pependiculaes. ( punto) P a la ecta. (5 puntos) b) Calcula la distancia del punto ( ) en foma paamética y en foma continua. Junio 0. a) Calcula la ecuación del plano que pasa po los puntos ( ) ( ) plano π x y z = 0. (75 puntos) a = b) Estudia si los vectoes ( ) b = ( 0 ) c = ( 0 0 ) y es pependicula al son linealmente independientes. (075 puntos) Septiembe 0. a) Calcula el plano deteminado po los puntos ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ). ( punto) b) Detemina el ángulo que foman los planos π x + y + z = y π z = 0. (075 puntos) a = 0 y b =. (075 puntos) c) Obtene el poducto vectoial de ( ) ( ) Septiembe 0. Estudia la posición elativa de la ecta A ( ) B( 0 ) y C( 4 ). Son pependiculaes?. Halla la distancia del punto x + z = y = y el plano deteminado po los puntos 4 6 P a la ecta (5 puntos) 8

9 Puebas de Acceso a la Univesidad SOLUCIONES Junio 94.. La ecta es secante a la cicunfeencia.. a = b = 4. Junio C Septiembe 94.. Dos planos: π x + 6y + z 7 = 0 π ' 9x + 6y z 5 = 0. < Si α = : la ecta es paalela al plano < Si α : la ecta cota al plano en un punto Septiembe 94. x y z 4 = 0 Junio 95. α = β = ; S = u Junio 95.. Calcula u + v y u v e iguálalos.. x + y + z = 0 Septiembe 95. x + y = 0. Es una hipébola. La ecuación no está en foma educida. Septiembe 95.. Los cuato puntos son coplanaios.. α = ±. ò α paa el que d π. Junio 96.. k < 6. Focos: F ( 0) y F (!0). y s son paalelas. Junio 96.. x + y x 8y + 8 = Septiembe 96.. x y + 6 = 0. Es una paábola Septiembe 96.. C ( ). = 0.. y s se cotan. Junio 97.. x = 0. y s se cotan. Junio 97.. ( x 5) + ( y 5) = 6. P ( 0 ) y x = 0 Septiembe 97.. < Si a = : la ecta es tangente a la cicunfeencia < Si a < : la ecta es exteio a la cicunfeencia < Si a > : la ecta es secante a la cicunfeencia. El popio punto A ( 0!) Septiembe 97.. x + y x = 0. Es una cicunfeencia.. ( 0!0) Junio 98. A ( 6!) Junio 98. i) 4. Volumen del paalelepípedo cuyas aistas son los vectoes a b y c. o ii) α = 90. b y c son pependiculaes. iii) Sí foman base. Coodenadas: (!0) Septiembe 98. x y 7 = 0. x + y 8x y + = 0 Septiembe 98. P (!!). S = u Junio 99. i) y s son paalelas. ii) x y z + = 0 Junio 99. x + y + x y = 0 x y + + = 0 x y + = 0 Septiembe 99. i) V = u ii) h = u Septiembe 99. a = ; x 5y z = Junio 00. ) y s se cuzan. ) R ( 0 ) Junio 00. ) Dos puntos: P ( 0 0) Q (!!40 ) ) x y = 0 9

10 Septiembe 00. x + y x 4 = 0 ; y = x! 8 Septiembe 00. m =! ; Junio 0. a) y s se cuzan. x y z 4 b) = = 0 Junio 0. + y = 0 a) Es una ecta: x z + 4 = b) Septiembe 0. P ( 0) Septiembe 0. x + y 8x 6y + 6 = 0 ; 4 x 7y = 0 Junio 0. a) Si λ = 0 : cualquie punto de OZ λ Si λ 0 : 0 0 b) Si λ = 0 : ( 0 0 ) y ( ) Si λ 0 : Ningún punto de OZ veifica la condición. Junio 0. a) x + y + x + = 0 λ λ( λ) b) C 0 = λ λ c) Se tata de una cicunfeencia de adio 0. Septiembe 0. Septiembe 0. a) 4 x y = 0 b) x + y x y + = 0 Junio 0. a) x + y 6x 4y + 8 = 0 b) y = x + c) 45 u Junio 0. 4 a) δ = b) x y + 4z 4 = 0 c) 6 u Septiembe 0. a) x + y x y + = 0 b) + Septiembe 0. a) y = x + 4 h C b) l = 0 l = 0 Junio 04. a) x + y z + = 0 b) V = u x y z c) = = + Junio 04. π : 4 ; π s : 0 a) ( ) ( ) b) S = 6 u ; P = u Septiembe A ( 0 ) 0 B C ( 0 ) 4 4 d ( A B) = d ( A C) = 4 d ( B C) = Como d ( A B) + d( B C) = d( A C) B se encuenta ente A y C. Septiembe 04. a) π x + y + z = 0 ; σ x + y + z + = 0 4 d π σ = b) ( ) u S = 9π u Junio 05. x + y 4x + y 4 =

11 Puebas de Acceso a la Univesidad Junio 05. A ' 7 0 a) ( ) b) u 6 Septiembe 05. A ' 4 4 ( ) Septiembe 05. a) π 5 x + 5y 4z = 0 b) x y z = = Junio 06. d s = ( ) 0 Junio 06. a) Son linealmente independientes. v = a + b c. b) El plano y la ecta son otogonales. Septiembe 06. m = ; ( ) Septiembe 06. a) Son linealmente independientes 05 b) α = ac cos 75º 5' 4' ' 4 Junio 07. x + y 6 = 0 z = 0 Junio a) b) y se cuzan. π = 6 Opción B. α = β = ó α = β = b) d ( ) b) Sí son linealmente independientes. c) 90º (las ectas son pependiculaes) Junio 09. Opción A. a) 9 b) ( 8 ) c) x y + z = 0 d) 95º 46' 5.45'' Opción B. a) Secantes b) No Septiembe 09. Opción A. a) x + y z 9 = 0 b) Son linealmente independientes. 5 Opción B. a) A ' 6 6 x = + t x y z + b) y = 5t ; = = 5 z = + t Junio 0. a) Sí que son pependiculaes. b) 69 d = 5 47 u Junio 0. a) x + y + z = 0 b) Son linealmente independientes. Septiembe 0. a) x + y + z = 0 b) 60º 5 c) ( ) Septiembe 0. Se cotan en un punto. No son pependiculaes. d = 0 Septiembe 07. a) Compoba 6 b) α = ac cos 8º 0' 44" 8 Septiembe 07. a) π 4x y + z = 0 b) k 0 Junio 08. Opción A. a) La ecta es paalela al plano. b) x z 5 = 0 Opción B. a) x y z b) ( ) = =. ( ) Septiembe 08. Opción A. a) Secantes (son pependiculaes)