HISTORIA DE LA GEOMETRÍA...02

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1 ÍNDIE I IMESTRE PÍTULO I. HISTORI DE L GEOMETRÍ...02 II. ELEMENTOS DE L GEOMETRÍ SEGMENTO..08 III. ÁNGULOS..16 IV. TRIÁNGULOS I PROPIEDDES ÁSIS...28 Geometría 1º 1

2 HISTORI DE L GEOMETRI GEOMETRÍ Geometría (del griego geo, tierra ; metrein, medir ), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea. GEOMETRÍ DEMOSTRTIV PRIMITIV El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el ntiguo Egipto, Sumeria y abilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconeas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de aiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos aiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El teto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de teto básico de geometría hasta casi nuestros días. Geometría 1º 2

3 PRIMEROS PROLEMS GEOMÉTRIOS Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta Los griegos, y en particular polonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas. rquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproimación del valor de pi ( ), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71. GEOMETRÍ NLÍTI La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una coneión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante epresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos,, y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen con b y c, con c y a, y con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas Geometría 1º 3

4 líneas se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano. MODERNOS VNES La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos arl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János olyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos etraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. asi al mismo tiempo, el matemático británico rthur ayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. unque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco Geometría 1º 4

5 puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal. Geometría 1º 5

6 PROLEMS PR L LSE 1. Quién colocó la piedra angular de la geometría científica? 2. ómo contribuyó Euclides, en el avance de la geometría? 3. El libro de Euclides se denominó: 4. Quiénes introdujeron los problemas de construcción? 5. Quienes estudiaron a las curvas conocidas como cónicas? 6. En qué contribuyó rquímedes? 9. Diga cuáles son los otros campos de la geometría 10. En qué época la geometría tuvo un letargo en su avance? 11. uáles son los tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega? 12. Quienes impulsaron los modernos avances de la geometría? 13. Qué es la geometría demostrativa? 7. Quiénes desarrollaron la geometría no Euclídea? 14. Qué matemático, escribió el Discurso del Método? 8. uál es el concepto de geometría? 15. En qué se interesaban los primeros geómetras? Geometría 1º 6

7 PROLEMS PR L S 1. Parte de la matemática que se ocupa de las propiedades en su forma más elemental ) stronomía ) Geometría ) Topología D) Física E) Química 2. Uno de los campos de la geometría es: ) Topología ) Geografía ) Meteorología D) stronomía E) Geología 3. olocó la piedra angular de la geometría científica ) Euclides ) polonio ) rquímedes D) Pitágoras E) Descartes 4. La geometría demostrativa de los griegos se ocupaba de: ) Planos y Rectas ) Ángulos ) Puntos y Rectas D) urvas E) Polígonos y círculos 5. Escribió el libro Los Elementos ) Pitágoras ) Euclides ) Descartes D) Gauss E) rquímedes 6. Quiénes introdujeron los problemas de construcción? ) Los Persas ) Los Egipcios ) Los Griegos D) Los abilonios E) Los Romanos 7. En que año se demostró la cuadratura del círculo ) 1772 ) 1662 ) 1552 D) 1882 E) Estudió a las ónicas ) Nikolai Lobacheski ) rthur ayley ) polonio de Perga D) rquímedes E) Euclides 9. Quién publicó el libro El Discurso del Método? ) Pitágoras ) René Descartes ) polonio de Perga D) Euclides E) Fiedrich Gauss 10. Quién desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones? ) rthur ayley ) János olyai ) Euclides D) Gauss E) rquímedes Geometría 1º 7

8 ELEMENTOS DE L GEOMETRÍ - SEGMENTOS ELEMENTOS DE L GEOMETRÍ El Plano Imagina una hoja de papel que se etiende indefinidamente en todas sus direcciones. Esto te dará una idea de Plano. El plano no tiene límite y solamente podemos representar una parte de él. La recta es una línea que se etiende indefinidamente en ambos sentidos. Se designa a veces por dos letras mayúsculas o por una sola letra (mayúscula o minúscula). La recta es un sub conjunto de plano, esto quiere decir que el plano contiene infinitas rectas. Notación: : Se lee recta : Se lee recta L : Se lee recta m El Punto En el plano P se han trazado las rectas m y n las cuales se cortan en el punto, o sea la intersección de las dos rectas en el punto. Luego: Geometría 1º 8

9 Semirrecta.. El punto divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de semirrecta. Rayo : Rayo de Origen O y que pasa por : Rayo de Origen O y que pasa por la unión de una semirrecta con un punto frontera se llama rayo. El punto donde se inicia el rayo se llama origen. Segmento : Se lee Segmento : Se lee Segmento La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluyendo a dichos puntos se llama segmento. Un segmento se denota por letras mayúsculas que corresponden a sus etremos, con una rayita superior. El segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener longitud. SEGMENTOS Medición o omparación de Segmentos La longitud de un segmento es la distancia que hay entre los dos puntos de cada uno de sus etremos. Ejemplo: l medir el segmento con una regla graduada en centímetros comprobamos que su medida es de 4 cm. Operaciones con Segmentos Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes. Geometría 1º 9

10 Ejemplo: on respecto a la figura que se muestra, realizar las operaciones siguientes: 1) M + MN N 4) 2M. N MN N 2) 2M + 3MN 5) N 2 M 2 3) M. MN + MN. N PROLEMS PR L LSE NIVEL I 1. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4. Hallar PQ 3. Si: + = 32 Hallar 2. Si: M y N son puntos medios de ó. Hallar: Geometría 1º 10

11 4. Hallar, si = 9; D = 11, D = En una recta se ubican los puntos consecutivos, y tal que = 6 y + = 10 Hallar 5. Si: 2 = 3 = 7D = 84, Hallar NIVEL II 6. Si: y son puntos medios de y. Hallar D 7. Si: = D = 18; = DE = 16. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y 8. Si: + D = 36. Hallar D NIVEL III 10. En una recta se ubican los puntos consecutivos, y, siendo = 12. alcule la longitud del segmento cuyos etremos son los puntos medios de y respectivamente 11. En una recta se ubican los puntos,, y D tal que siendo D = 12. alcule. 3 D En una recta se ubican los puntos consecutivos, y tal que = 2 y = 6. alcule: 13. Si: M es punto medio de y E = 32. Hallar M, Geometría 1º 11

12 14. Si: = 10, = 18. Hallar M, siendo M punto de 15. Si M es punto medio de y + = 38. Hallar M Rpta PROLEMS PR L S 1. En una recta se toman los puntos consecutivos, y ; = 30, = 12. Hallar ) 16 ) 15 ) 14 D) 18 E) Si P y Q son puntos medios de y. Hallar MR 4. Hallar QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30 ) 8 ) 9 ) 10 D) 11 E) Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60. Hallar PS ) 12 ) 20 ) 24 D) 26 E) Si: PR + PQ = 64. Hallar QR ) 41 ) 43 ) 47 D) 48 E) Si: M y N son puntos medios de y Hallar PQ ) 14 ) 15 ) 16 D) 18 E) 20 ) 24 ) 36 ) 48 D) 46 E) 50 Geometría 1º 12

13 7. Si: PQ = RS = 14; QR = ST = 12. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y ST. 9. Si M es punto medio de Ln y KL + Kn = 40. Hallar KM ) 34 ) 36 ) 39 D) 38 E) Si: N es punto medio de PR y PQ QR = 48. Hallar NQ ) 10 ) 20 ) 30 D) 40 E) Si N es punto medio de QR y además PQ + PR = 30. Hallar PN ) 15 ) 28 ) 29 D) 34 E) 17 ) 10 ) 15 ) 20 D) 30 E) 40 ND HY TN ONTGIOSO OMO EL OPTIMISMO. VIVIR ON UN MIGO OPTIMIST ES ENONTRR L LVE DE L FELIIDD. EL LLNTO DE LOS OTROS SUELE HERNOS LLORR; PERO L RIS DE LOS OTROS, INVRILEMENTE, IRREMISILEMENTE, NOS HRÁ REÍR. MDO NERVO Geometría 1º 13

14 SÍS QUÉ... EN L RRER PROFESIONL DE DMINISTRIÓN El Licenciado en dministración, organiza, promueve y desarrolla empresas e instituciones que ofrecen bienes o servicios a los diferentes mercados, hace uso de métodos e instrumentos científicos y tecnológicos para optimizar el potencial humano, los recursos materiales, tecnológicos, económicos, y financieros de las organizaciones para mejorar la calidad, competitividad, eficacia y eficiencia. Gerencia, asesora y presta consultoría a organizaciones. Realiza investigaciones administrativas, formula y administra proyectos de inversión. Geometría 1º 14

15 uenta la historia que Thales de Mileto, el gran matemático griego, en uno de sus viajes se dirigió a Egipto, donde quedó maravillado del esplendor y grandeza de las pirámides y lejos de medir la altura de una de ellas optó por un mejor camino, el cálculo, gracias a la sombra que proyectaba esta gigantesca construcción, la ayuda de un bastón que portaba y los conocimientos de geometría que tenía, pudo lograr su ansiado objetivo. Geometría 1º 15

16 ÁNGULOS Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo. DEFINIIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común. ELEMENTOS - Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común Notación: En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice. lgunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice., El símbolo se lee ángulo Geometría 1º 16

17 MEDID DE UN ÁNGULO Los ángulos se miden en grados seagesimales. Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador. uando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura. ISETRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes. divide al 0 en dos ángulos. 0 P y 0 P que son congruentes por tener la misma medida luego. es bisectriz de 0 LSIFIIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDID 1.-Ángulo Nulo uando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.. m0 = 0º. 2.-Ángulo gudo Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.. 0º < m 0 < 90º. Geometría 1º 17

18 3._Ángulo Recto Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.. m 0 = 90º. 4.-Ángulo Obtuso Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º.. 90 < m 0 < 180º. 5.-Ángulo Llano Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran etendidos en direcciones opuestas). m 0 = 180º. 6.-Ángulo de una Vuelta Es el ángulo cuya medida es 360º. m 0 = 360º. Geometría 1º 18

19 LSIFIIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSIIÓN Ángulos onsecutivos Son los que tienen lados en común y el mismo vértice Ángulo Opuestos por el Vértice Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida) LSIFIIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN L OMPRIÓN DE SUS MEDIDS Ángulos omplementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º. Geometría 1º 19

20 . + = 90º. Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º. + = 180º. TEOREMS FUNDMENTLES Teorema I La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º = 180º. Teorema II La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360º. Geometría 1º 20

21 = 360º. PROLEMS PR L LSE NIVEL I 1. En la figura, hallar 3. Se tiene los ángulos consecutivos 0, 0 y 0D, m 0 = 60º y m OD = 40º, m 0D = 80º. Hallar m En la figura, hallar 2. Hallar 5. En la figura mostrada, hallar Geometría 1º 21

22 NIVEL II 6. En la figura mostrada: = 3 10º = 2 + 5º Hallar el complemento de 9. En la figura, m 0D = 90º. Hallar el valor de 7. En la figura mostrada es bisectriz del ángulo 0 es bisectriz del ángulo 0 m 0 = 72º. Hallar m 0y NIVEL III 10. Hallar el suplemento del complemento de 20º 11. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 16º. 8. En la figura, hallar el valor de = + 5º = + 20º = º = 100º Hallar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 66º. 13. El suplemento de es igual a 4 ; hallar 14. El complemento de más el suplemento de es igual a 170º. Hallar Geometría 1º 22

23 15. Si el suplemento de es igual a 2 Hallar Sabias que : 1º > 60 1 > 60 1º > 3600 Por ejemplo : onvertir : a) 45º 2 22º 1º 2 22º 60' 2 45º 2 22º 30' 45º 2 22º30' 60 b) 17º 4 4º 1º 4 4º 60' 4 17º 4 4º 15' 4º15' 2(60 ) º = 5º4'48' ' 25 Geometría 1º 23

24 16. alcular : 17. alcular 35º 2 27º 2 c. El segundo seagesimal es (1 ) ( ) d. Un grado (1º) ; equivale a 60 minutos seagesimales (60 ) ( ) 18. alcular 19. alcular 125º 4 127º 8 e. Un minuto (1 ) equivale a 60 segundos seagesimales (60 ) ( ) 23. Indicar verdadero o falso, según corresponda: 20. alcular 85º Indicar verdadero ó falso según corresponda: a. El ángulo tiene dos lados ( ) b. El ángulo tiene dos bisectrices ( ) c. El ángulo esta formado por dos semirrectas. ( ) d. Todos los ángulos están medidos en grados seagesimales ( ) e. El ángulo agudo es mayor que 90º ( ) 22. Indicar verdadero ó falso según el ángulo. a. La unidad del ángulo es el grado seagesimal (1º) ( ) b. El minuto seagesimal es (1 ) ( ) a. El ángulo agudo es menor que 90º; pero mayor que 0º ( ) b. El ángulo obtuso es mayor que 90º; ( ) pero menor que 180º c. El ángulo recto mide 180º ( ) d. El ángulo llano mide 90º ( ) e. El ángulo de revolución ó de una vuelta mide 360º ( ) 24. Relacionar las siguientes alternativas: a) Ángulo gudo ( ) 180º b) Ángulo Obtuso ( ) 27º c) Ángulo Recto ( ) 360º d) Ángulo de una vuelta ( ) 90º e) Ángulo Llano ( ) 150º Geometría 1º 24

25 25. alcular : (23º) 26. alcular : SSSSS(142º) NIVEL I PROLEMS PR L S 1. En la figura, hallar 0D.m 0 = 50º, m 0D = 30º. y m 0D = 70º Hallar m 0 ) 5º ) 10º ) 15º D) 20º E) 25º ) 12º ) 20º ) 10º D) 15º E) 16º 4. En la figura, hallar 2. Hallar ) 70º ) 80º ) 90º D) 100º E) 60º ) 90º ) 80º ) 100º D) 110º E) 120º 3. Se tienen los ángulos consecutivos 0, 0 y Geometría 1º 25

26 5. En la figura, m 0D = 100º. Hallar el valor de 8. Hallar el complemento del complemento del complemento de 50º ) 40º ) 50º ) 60º D) 80º E) 30º 9. El suplemento de un ángulo es 5 y el complemento del ) 15º ) 12º ) 10º D) 15º E) 16º NIVEL II 6. En la figura que se muestra, hallar mismo ángulo es. uál es ese ángulo? ) 20º ) 22º30' ) 23º D) 23º30' E) 24º 10. Hallar el suplemento del complemento de 40º ) 120º ) 130º ) 140º D) 110º E) 90º ) 10º ) 15º ) 20º D) 25º E) 30º 7. En la figura mostrada = 4 15º ; = 5 ) 52º ) 42º ) 32º D) 22º E) 12º NIVEL III 11. alcular en grados y minutos. º = 37º alcular en grados y minutos. º = 105º 8 Geometría 1º 26

27 Símbolos ño utor 1228 Fibonacci Regiomontano Widmann = Recorde 30º 1571 Reinhold decimales 1585 Stevin 2, Naiper Log Naiper 1629 Girard 3 < 4 4 > Harriot Descartes 1675 Leibniz F() 1734 Euler 1736 Euler e 1739 Euler Sen, cos 1753 Euler 1755 Euler i 1777 Euler Ángulos 1816 relle Geometría 1º 27

28 TRIÁNGULOS I PROPIEDDES SIS ONEPTO Es un polígono que tiene tres lados LSIFIIÓN Según la Medida de sus Lados Escaleno Isósceles Equilátero Según la Medida de sus Ángulos Obtusángulo cutángulo Rectángulo PROPIEDDES ÁSIS 1. La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º = 180º. Geometría 1º 28

29 2. Un ángulo eterior cualquiera es siempre igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.. = +. NIVEL I 1. Hallar en: PROLEMS PR L LSE 4. alcular 2. Hallar : 3. Hallar : 5. Hallar su D es bisectriz Geometría 1º 29

30 9. En la figura, hallar NIVEL II 10. Determinar 6. Del gráfico calcular NIVEL III 11. alcular, si = = D 7. Hallar 8. Hallar en 12. Determinar. Si =, P = Q Geometría 1º 30

31 13. Hallar 15. Hallar en: 14. Hallar la suma de los ángulos,,, D y E. Geometría 1º 31

32 PROLEMS PR L S 1. Hallar en: ) 10º ) 30º ) 20º D) 40º E) 5º 4. Hallar si: QS es una bisectriz ) 12º ) 13º ) 14º D) 15º E) 16º 2. Hallar en: ) 30º ) 40º ) 38º D) 25º E) 20º 5. Hallar en: ) 10º ) 20º ) 30º D) 40º E) 50º 3. Hallar en: ) 70º ) 80º ) 90º D) 60º E) 100º Geometría 1º 32

33 6. Hallar en: ) 30º ) 40º ) 50º D) 60º E) 70º 9. En la figura, hallar ) 10º ) 20º ) 30º D) 40º E) 50º 7. Hallar en: ) 15º ) 50º ) 30º D) 60º E) 40º ) 15º ) 12º ) 11º D) 10º E) 14º 10. Hallar el valor de 8. En la figura, hallar ) 10º ) 30º ) 40º D) 20º E) 60º Geometría 1º 33

34 ernhard Riemann ( ), matemático alemán que elaboró un sistema de Geometría que contribuyó al desarrollo de la Física teórica moderna. Nació en reselenz y estudió en las universidades de Gotinga y erlín. Su tesis doctoral Foundations for a General Theory of Functions of a omple Variable (Fundamentos para una teoría general de funciones de variables complejas), presentaba en 1851, ontituyó una etraordinaria aportación a la teoría de funciones. Desde 1857 hasta su muerte fue profesor de matemáticas en la Universidda de Gotinga. La importancia de la Geometría de Riemann radica en el uso y etensión de la Geometría Euclídea y de la Geometría de superficies, que conduce a muchas Geometrías diferenciales generalizadas. El efecto más importante de estas investigaciones fue que logró una aplicación geométrica para algunas abstracciones del análisis de tensores, que conducía a algunos de los conceptos que utilizó más tarde lbert Einstein al desarrollar su teoría de la relatividad. La Geometría de Riemann también es necesaria para tratar la electricidad y el magnetismo en la estructura de la relatividad general. Geometría 1º 34

35 SÍS QUÉ... EN L RRER PROFESIONL DE INGENIERÍ DE SISTEMS E INFORMÁTI El ingeniero de sistemas tiene como función principal elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos (hardware, software y de comunicación); estas soluciones pueden corresponder a construcción, adaptación y/o implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las necesidades de las empresas, en todos sus niveles de gestión (operativa, táctica y estratégica). Geometría 1º 35

36 ÍNDIE II IMESTRE PÍTULO V. TRIÁNGULOS II: LÍNES Y PUNTOS NOTLES...37 VI. ONGRUENI DE TRIÁNGULOS.51 VII. UDRILÁTEROS I - PROPIEDDES ÁSIS..59 MISELNE I.74 MISELNE II...77 REFORZMIENTO DE NGULOS 79 Geometría 1º 36

37 TRINGULO II: LINES Y PUNTOS NOTLES LTUR Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. Ortocentro (H) Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H: Ortocentro. PR REORDR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES UTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OTUSÁNGULO. SI ES RETÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTIE DEL ÁNGULO RETO. MEDIN Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. aricentro (G) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: aricentro Geometría 1º 37

38 TEOREM G 2GM G 2GN G 2GS PR REORDR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO RIENTRO. DIVIDE D MEDIN EN RELIÓN OMO 1 ES 2. EL RIENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLMDO TMIÉN GRVIENTRO O ENTRO DE GRVEDD DE L REGIÓN TRINGULR. ISETRIZ Segmento que divide a un ángulo interior o eterior en dos ángulos de igual medida. Incentro (I) Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita PR REORDR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INENTRO. EL INENTRO EQUIDIST E LOS LDOS DEL TRIÁNGULO. EL INENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO. Ecentro (E) Es el punto donde se intersectan dos bisectrices eteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia einscrita Geometría 1º 38

39 E: Encentro relativo de PR REORDR. TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXENTROS. LOS EXENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES L TRIÁNGULO. MEDITRIZ Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular. : Mediatriz de ircuncentro (O) Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo. : ircuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita Geometría 1º 39

40 PR REORDR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO IRUNENTRO. EL IRUNENTRO EQUIDIST DE LOS VÉRTIES DEL TRIÁNGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES UTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OTUSÁNGULO. SI ES RETÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE L HIPOTENUS. Propiedad: Si: 0 es circuncentro. = 2. EVIN Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Geometría 1º 40

41 evacentro () Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo. PR REORDR: TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS EVENTROS. OSERVIONES: - PR UIR UN PUNTO NOTLE SÓLO ES NEESRIO TRZR DOS LÍNES NOTLES DE L MISM ESPEIE. - EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSELES SI SE TRZ UN DE LS UTRO PRIMERS LÍNES NOTLES HI L SE; DIH LÍNE UMPLE LS MISMS FUNIONES QUE LS OTRS. - EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOENTRO, RIENTRO, INENTRO Y IRUNENTRO OINIDEN. - EN TODO TRIÁNGULO ISÓSELES, EL ORTOENTRO, RIENTRO, INENTRO Y EL EXENTRO RELTIVO L SE, SE ENUENTRN LINEDOS EN L MEDITRIZ DE L SE. Geometría 1º 41

42 PROPIEDDES ON LÍNES NOTLES 1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores.. a Ángulo formado por dos bisectrices eteriores.. a Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz eterior.. a a Geometría 1º 42

43 5.. a b a b Geometría 1º 43

44 PROLEMS PR L LSE NIVEL I 1. Hallar si M es bisectriz 4. Hallar si M es bisectriz interior del M Hallar a a Hallar : 5 3. Hallar º. Geometría 1º 44

45 NIVEL II 6. Hallar el valor de en 9. Hallar el valor de en 10. Hallar el valor de en 7. Hallar el valor de en 8. Hallar el valor de Geometría 1º 45

46 13. Hallar de en NIVEL III 11. Hallar el valor de 14. Hallar 12. Hallar el valor de 15. Hallar, si H es bisectriz Rpta Geometría 1º 46

47 PROLEMS PR L S 1. Hallar ) 10º ) 15º ) 17º D) 20º E) 30º 4. Hallar si M es bisectriz ) 10º ) 20º ) 30º D) 40º E) 50º 2. Hallar en ) 30º ) 35º ) 36º D) 40º E) 20º 5. Hallar M si M es mediana ) 40º ) 30º ) 20º D) 10º E) 15º 3. Hallar, si F es bisectriz ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 E) 5 6. Hallar el valor de si G es el baricentro Geometría 1º 47

48 ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 E) 5 9. Hallar 7. Hallar en la siguiente figura ) 80º ) 90º ) 100º D) 110º E) 120º ) 30º ) 40º ) 60º D) 70º E) 45º 10. Hallar 8. Hallar el valor de en ) 30º ) 60º ) 90º D) 70º E) 120º ) 60º ) 90º ) 120º D) 140º E) N.. Geometría 1º 48

49 Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la ritmética, de la stronomía y de la Música. Geometría 1º 49

50 SÍS QUÉ... L RRER PROFESIONL DE ODONTOLOGÍ El odontólogo trata las afecciones y enfermedades buco dentales y coneas. Desarrolla acciones de carácter integral, de diagnóstico, prevención, promoción, tratamiento, recuperación, rehabilitación y administración de salud del sistema estomatognático, tanto a nivel individual como de la comunidad. Ámbito de Trabajo: Sector salud, servicios de sanidad, hospitales militares policiales, clínicas, policlínicos, servicios odontológicos, centros educativos, seguros, empresas industriales, consultorios particulares e instituciones odontológicas. Geometría 1º 50

51 ONGRUENI DE TRINGULOS DEFINIIÓN Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente. OSERVIÓN: = PQR EN UN PROLEM DDO SE PODRÁ FIRMR QUE DOS TRIÁNGULOS SON ONGRUENTES SI TIENEN OMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGULES, DE LOS ULES UNO DE ELLOS DEE SER UN LDO. SOS DE ONGRUENI EN TRIÁNGULOS 1. aso (L..L.) 2. aso (.L..) Geometría 1º 51

52 3. SO (L.L.L.) 4. aso (L.L..) : Opuesto al mayor lado PROPIEDDES EN ONGRUENI DE TRIÁNGULOS 1. De la isectriz Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo. P. 0 P De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los etremos de dicho segmento.. P = P. 3. De la ase Media de un Triángulo El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado. Geometría 1º 52

53 Si: // Si: M y N son puntos medios. N = N.. MN De la Mediana Relativa a la Hipotenusa La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.. M. 2 Geometría 1º 53

54 PROLEMS PR L LSE NIVEL I 1. Hallar a + b en 5. Hallar el valor de en 2. Hallar el valor del ángulo en NIVEL II 6. Hallar el valor de en 3. Hallar en Hallar el valor de 7. Hallar el valor del ángulo Geometría 1º 54

55 8. alcular 12. Hallar el valor de en 60 a a b b Hallar el valor de en Hallar el valor de en 10. Hallar el valor de en 14. Hallar el valor de en NIVEL III 11. Hallar el valor de en: 15. Hallar el valor de Geometría 1º 55

56 PROLEMS PR L S 1. Hallar P + Q en: 4. Hallar el valor de en ) 24 ) 14 ) 34 D) 44 E) Hallar en: ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 E) Hallar el valor del ángulo en ) 30º ) 60º ) 50º D) 35º E) 40º 3. Hallar el valor de + y en ) 50º ) 30º ) 80º D) 70º E) 90º 6. Hallar el valor de en 20 ) 7 ) 8 ) 9 D) 10 E) 11 ) 20º ) 160º ) 80º D) 60º E) N Geometría 1º 56

57 7. Hallar el valor de en 10. Hallar el valor de en a 6 7 b 5 b a 5 ) 10º ) 20º ) 15º D) 13º E) N ) 20 ) 10 ) 30 D) 40 E) Hallar el valor de en ) 12 ) 13 ) 14 D) 15 E) Hallar el valor del ángulo en ) 11 ) 12 ) 13 D) 14 E) 15 Geometría 1º 57

58 Euclides en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas recoge gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico. Geometría 1º 58

59 UDRILÁTEROS DEFINIION.- Es aquel polígono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un etremo común D ELEMENTOS.- 1) LDOS,, D y D Son los segmentos rectilíneos que lo limitan. Los lados que no tiene vértice común recibe el nombre de lados opuestos. Ejm: y D, son lados opuestos como y D. 2) VERTIES: (,, y D) Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadrilátero, el número de lados es igual al número de vértices. 3) ÁNGULOS INTERIORES ( 1, 2, 3 y 4) Son los ángulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de s interiores en un cuadrilátero es = 360. Se cumple que: = 360 Geometría 1º 59

60 4) ÁNGULOS EXTERIORES (1, 2, 3 y 4) Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. Los ángulos eteriores son adyacentes a los interiores. La suma de sus ángulos eteriores en un cuadrilátero es igual a = 360 5) DIGONLES y D Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos. LSIFIIÓN DE LOS UDRILÁTEROS Por la forma de su contorno onveos.- Son aquellos cuadriláteros en los que cualquier recta secante, determina 2 puntos de corte. 1 2 D óncava.- Son aquellos cuadriláteros en los que eiste al menos una secante que determina más de dos puntos de corte Geometría 1º 60

61 LSIFIIÓN DE LOS UDRILÁTEROS ONVEXOS De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros se dividen en: Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.. Trapezoides.- Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados opuestos, ningún lado paralelo al otro paralelo. a. Simétrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la otra. Propiedades: Línea de Simetría m m L : mediatriz de D ˆ D Dˆ ; D Dˆ Dˆ D D L b. simétrico: Es aquel que no tiene ninguna simetría. También llamado trapezoide irregular. b a c d. Trapecios.- Es el cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos denominados bases. M l l m N m H D SES: ; D // MN // D Geometría 1º 61

62 // MN : Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Se le conoce también como base media. H : ltura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases. LSIFIIÓN DE LOS TRPEIOS a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales. a b b. Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales. b Se cumple D D Â ˆ ; Ĉ Dˆ D Las diagonales - Los ángulos opuestos son suplementarios + = 180 Geometría 1º 62

63 c. Rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos es perpendicular a sus bases. + = 180 D PROPIEDDES DEL TRPEIO a m m b 2 a b a n n b 2 a b. PRLELOGRMOS.- Son aquellos cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ángulos opuestos son de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. demás sus diagonales se bisecan mutuamente. m n 0 n m Se cumple: H : altura // D y D // D ; D O O y O OD D H Geometría 1º 63

64 - Los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios. ˆ Dˆ ; Â Ĉ Â Ĉ ˆ Dˆ a. Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho. b a F a H b D ( H ; F: lturas) b. Rectángulo.- Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales y rectos (equiángulo) y sus lados opuestos iguales dos a dos. Llamado también, cuadrilongo. D Â ˆ Ĉ Dˆ Se cumple: D ; - Las diagonales son iguales: D 90 D Geometría 1º 64

65 c. Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramo equilátero. a a D D D a a - Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ángulos. d. uadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos iguales y rectos (es un paralelogramo equiángulo y equilátero) = 45 D D D - Sus diagonales son iguales. D Geometría 1º 65

66 PROPIEDDES GENERLES 1. Ángulo formado por 2 bisectrices. 2 D 2. ángulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos. 2 D 3. cuadrilátero cóncavo. ˆ D Geometría 1º 66

67 4. a b a 2 b 5. a b a 2 y b 2 a y b Geometría 1º 67

68 NIVEL I PROLEMS PR L LSE 01) Del gráfico. alcular según corresponda. : ) alcular. 2 : ) Hallar la base menor de un trapecio, sabiendo la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 40. : NIVEL II : 06) alcular 80º 03) alcular º : 07) alcular. : 04) Hallar º 130 º 4 3 Geometría 1º 68

69 : 08) D: es un cuadrado PD y QD son triángulo equiláteros. alcular. P Q 12) En un trapecio, la mediana mide 15 y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 7. alcular la medida de la base mayor. : D : 09) alcular EF, si ED = 4, D = 7 y D = 17 (F = F). F 13) Las bases de un trapecio isósceles son proporcionales a los números 5 y 7. Si la suma de los lados no paralelos es 14 y su perímetro es 38. alcular la longitud de la mediana. : 45 : NIVEL III 10) Hallar la base menor de un trapecio si la diferencia en la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a 10. E D 14) Si D = 7 y E = 5. alcular NK, sabiendo además que N es mediana y N = MN. D N M K E : 11) alcular la relación entre las medidas de las bases de un trapecio en la cual se cumple que las diagonales trisecan a la mediana. : : 15) En un trapecio D ( : base menor) la medida del ángulo  = 60 y la medida del ángulo Dˆ = 60º. Si = 4 y D = 6. alcular la mediana del trapecio. Geometría 1º 69

70 PROLEMS PR L S 01) Las bases y la mediana de un trapecio suman 66. Hallar la mediana. a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 45 02) En un cuadrilátero D los lados, y D tienen igual medida. Si la medida del ángulo ˆ 70 y la medida del ángulo Ĉ 60. alcular la medida del ángulo Â. a) 60 b) 75 c) 85 d) 80 e) ) En un trapecio isósceles D ( // D ) la medida del ángulo  =la medida del ángulo Dˆ = 60. alcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales y D, si = 6. a) 3 b) 4 c) 5 d) 5 e) 7 a) 30 b) 54 c) 42 d) 120 e) N 05) Del gráfico = y D = 12, calcular MN. M 120 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) N 06) La mediana del trapecio mostrado mide 10. alcular. N D 04) alcular D Geometría 1º 70

71 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 a) 75 b) 65 c) 35 d) 15 e) 45 07) Si D es un cuadrado P y QD son triángulos equiláteros, calcular. 09) En la figura D es un rectángulo: calcular la medida del ángulo H, si la medida del ángulo O = 130. P Q O D H D a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 08) En la figura calcular la medida del ángulo si D es un cuadrado y DE es un triángulo equilátero. 10) Las diagonales de un rombo miden 24 y 10 calcular su perímetro. a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 E 11) En la figura D es un D cuadrado de lado 4 2. Hallar el perímetro del rombo MN. Si M = 1. Geometría 1º 71

72 M a) 40º b) 50º c) 60º d) 35º e) N N a) 10 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22 D 14) En un trapecio D // D, la medida del ángulo D = 82, la medida del ángulo D = 16. alcular la longitud de la mediana si = 6 y D = ) En un rectángulo D por un punto P de la diagonal D se prolonga P hasta un punto medio M de modo que PM P y además D=20 y P = 6. Hallar M. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 13) alcular a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 15) En un trapezoide D la diagonal D es perpendicular al lado y = = D. alcular la medida del ángulo D. a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) Geometría 1º 72

73 c. 300? a.. Herófilo revoluciona la anatomía El médico griego Herófilo es el primero en basar sus conclusiones anatómicas en la disección del cuerpo humano. Reconoce el cerebro como centro del sistema nervioso. Diferencia los nervios motores de los sensoriales y es el primero en conocer que las arterias contienen sangre y no aire. c. 300? a.. Euclides escribe Elementos de geometría El matemático griego Euclides escribe Elementos de geometría, un etenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes, sobre geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. c. 300? a.. Zenón de itio funda el estoicismo proimadamente en el 300 a.. el griego Zenón de itio fundó la escuela filosófica del estoicismo. Mantenía que los individuos deben vivir de acuerdo con las leyes de la naturaleza. c. 300? a.. - d.. c. 300 Periodo Yayoi El periodo Jomon en Japón da paso al periodo Yayoi, una nueva cultura, que comienza en Kyûshû, se va etendiendo lentamente hacia el este y se impone de forma gradual. La cultura Yayoi es más avanzada, introduce el cultivo encharcado del arroz, el tejido, utilitarias cerámicas cocidas a altas temperaturas y herramientas de hierro. Geometría 1º 73

74 MISELÁNE DE EJERIIOS PROPUESTOS I 1. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =32; QR=8. Hallar PQ 3. Si: 3 = 4 = 6D = 72, Hallar 2. Hallar, si = 12; D = 15, D= Si: = D = 24; = DE = 20. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y Geometría 1º 74

75 5. Si: + D = 48. Hallar D 7. En una recta se ubican los puntos consecutivos, y, siendo = 84. alcule la longitud del segmento cuyos etremos son los puntos medios de y respectivamente 6. En una recta se ubican los puntos consecutivos, y tal que = 14 y + = 32 Hallar 8. En una recta se ubican los puntos, D, y D tal que, 4 3 siendod = 64. alcule. Geometría 1º 75

76 9. En una recta se ubican los puntos consecutivos, y tal que = 4 y = 15.alcule: 11. Si: = 16, = 28. Hallar M, siendo M punto de Rpta. 10. Si: M es punto medio de y E = 64. Hallar M 12. Si M es punto medio de y + = 62. Hallar M Geometría 1º 76

77 MISELÁNE DE EJERIIOS PROPUESTOS II 1. En una recta se toman los puntos consecutivos, y ; = 48, = 25. Hallar F) 20 G) 21 H) 22 I) 23 J) 24 P) 140 Q) 120 R) 130 S) 160 T) Si: PQ = RS = 18; QR = ST = 14. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y ST. U) 44 V) 46 W) 49 X) 48 Y) Hallar QR, si. PR = 20; QS = 24, PS = 36 K) 8 L) 9 M) 10 N) 11 O) Si: N es punto medio de PR y PQ QR = 56. Hallar NQ Z) 25 ) 28 ) 29 ) 24 DD) Si: 2PQ = 4QR = 3RS = 120. Hallar PS Geometría 1º 77

78 6. Si M es punto medio de LN y KL + KN = 72. Hallar KM EE) 16 FF) 26 GG) 36 HH) 40 II) Si N es punto medio de QR y además PQ + PR = 86. Hallar PN JJ) 13 KK) 23 LL) 48 MM) 86 NN) 43 Geometría 1º 78

79 REFORZMIENTO DE NGULOS 1. Se tiene los ángulos consecutivos 0, 0 y 0D m OD = 26º, m Hallar m 0., m 0 = 64º y 0 D = 78º. 3. En la figura mostrada es bisectriz del ángulo 0 es bisectriz del ángulo 0 m 0 = 66º. Hallar m 0y 2. En la figura mostrada: = 5 25º = º Hallar el complemento de 4. En la figura, hallar el valor de = º = º = º = 45º - Geometría 1º 79

80 5. En la figura, m 0D = 60º. Hallar el valor de 9. El suplemento de es igual a 4 ; hallar 10. El complemento de más el suplemento de es igual a 145º. Hallar 6. Hallar el suplemento del complemento de 60º 11. Si el suplemento de es igual a 4 Hallar 7. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 18º. 8. Halar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 48º. Geometría 1º 80

81 PROLEMS PR L S 3 1. En la figura, hallar 5 3. En la figura mostrada = 5 25º = 5 F) 12º G) 20º H) 10º I) 15º J) 16º P) 32º Q) 42º R) 35º S) 42º T) 52º 2. Se tienen los ángulos consecutivos 0, 0 y 0D.m 0 = 40º, m 0D = 58º. Y m 0D = 84º. Hallar m 0 K) 15º L) 14º M) 16º N) 20º O) 22º 4. Hallar el complemento del complemento del complemento de 42º U) 42º V) 54º W) 71º X) 48º Y) 24º Geometría 1º 81

82 5. El suplemento de un ángulo es 7 y el complemento del mismo ángulo es 2. uál es ese ángulo? Z) 50º ) 52º30' ) 53º ) 53º30' DD) 54º 6. Hallar el suplemento del complemento del complemento 28º EE) 59º FF) 60º GG) 61º HH) 62º II) 28º Geometría 1º 82

83 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel INDIE III IMESTRE PÍTULO VIII. IRUNFERENI PROPIEDDES...84 IX. IRUNFERENI - ÁNGULOS..93 X. SEMEJNZ PROPORIONLIDD 105 Geometría 1º 83

84 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel L IRUNFERENI PROPIEDDES oncepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia se llama radio. r Líneas notables en la circunferencia: * Radio : r * : UERD.- Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. uando pasa por el centro se llama diámetro (cuerda máima), t * : RET TNGENTE.- Es la recta que toca en un sólo punto a la circunferencia. t r Teoremas Fundamentales TEOREM I TEOREM DEL RDIO Y L TNGENTE Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. r t P P: punto de tangencia r : radio T: recta tangente Geometría 1º 84

85 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel TEOREM II TEOREM DE LS DOS TNGENTES. Si desde un punto eterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto eterior son congruentes. P TEOREM III r 0 P = P r TEOREM DE L ISETRIZ DEL ÁNGULO FORMDO POR 2 TNGENTES. El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el centro de la circunferencia, es bisectriz del ángulo. TEOREM IV TEOREN DE PONELET En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa más el doble del radio de la circunferencia inscrita. a + b = c + 2r b a r Geometría 1º c 85

86 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel TEOREM V TEOREM DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados opuestos suman igual que los otros 2 a + c = b + d b a c D TEOREM VI TEOREM DE STEINER a - c = b - d P S Q R c d D b a Geometría 1º 86

87 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L LSE NIVEL I 01) De las siguientes proposiciones cuales son V o F I. Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. II. El radio es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. III. Una recta tangente es aquella que tiene un punto en común con la circunferencia. 03) Si las bases de un trapecio isósceles miden 16 y 36. alcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita. : 04) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 y el radio de la circunferencia inscrita mide 4. alcular la longitud de la hipotenusa. : 02) Si = 2D y = 8, D = 16. alcular D. : 05) Si M, N y P. Son puntos de tangencia y = 7, = 8, = 9. alcular P. M P D N : : Geometría 1º 87

88 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel NIVEL II 06) Si = 12. alcular r. : r 2 3 D : 09) alcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo de perímetro 30, si el radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo mide 2. 07) Un rectángulo con lados de 36 y48 se divide por la diagonal en dos triángulos. En cada uno de ellos esta inscrita una circunferencia. La distancia entre sus centros es: : : 08) En la figura calcular el perímetro del triángulo. Si O es centro. E Q 1 F 5-a D Geometría 1º 88

89 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel NIVEL III 10) En la figura R, T y S son puntos de tangencia = 13, = 14 y = 15. alcular S. : 11) Hallar, si = 24 y r = 13. O r : 12) alcular el perímetro del trapecio mostrado. 2 8 : Geometría 1º 89

90 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L S 01) Del gráfico. Hallar PQ y P. Si: R = 2 y r = 1 r 1 P r2 R r D Q a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5 a) 2 b) 3 c) 4.5 d) 6 e) 7 d) 6 y 10 e) 11 y 22 04) Hallar, si = 8, R = 5 02) Del siguiente gráfico. alcular r, si = 7, = 4, E = 3 y D = 8 r E a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 D 05) alcular, si P = 7, R = 3 P R O 03) En el gráfico. alcular r 1 + r 2. Si = 9 y D = + D Q a) 45 b) 37 c) 60 d) 72 e) 30 Geometría 1º 90

91 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 06) Hallar r, = 3, = 4 09) En la figura = 6m. alcular PQ r P Q a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 6m b) 3m c) 12m d) 18m e) 9m 07) En la figura calcular si O, es centro y = 1, = 8 10) En la figura M, N y P. Son puntos de tangencia. Si M = 12. Hallar el perímetro del triángulo. M N O R a) 12 b) 24 c) 26 d) 18 e) 30 P a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 6 08) alcular el área del círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm y la diferencia de las medidas de los catetos es 4 cm. a) 4 cm 2 b) 6 cm 2 c) 8 cm 2 d) 16 cm 2 e) 32 cm 2 11) En la figura: P, Q, R y S, son puntos de tangencia. Si = 12, = 15 y D = 5. Hallar D. P Q R D S a) 7 b) 6 c) 8 d) 10 e) 9 Geometría 1º 91

92 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 12) Hallar. Si = 4, D = 10, D = 15 15) En la figura: + D = 24 y + D = 40. alcular PQ P D a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 13) Si = 8. alcular r. Q a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8 D r 53 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14) alcular r, = 5, = 12 r a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Geometría 1º 92

93 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel DEFINIIONES PREVIS IRUNFERENI - ÁNGULOS 1.- rco de circunferencia. Se denomina arco a una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. De la figura: TEOREMS SORE LOS ÁNGULOS EN L IRUNFERENI 1) Ángulo entral radio 0 radio O m O= O : Es el arco menor correspondiente a la cuerda. : Es el arco mayor correspondiente a la cuerda. 2.- Medida de una circunferencia. Una circunferencia se puede medir tanto en unidades angulares como en unidades lineales. En unidades angulares.- La medida de una circunferencia es 360, no interesa cuanto mide el radio. 2) Ángulo Inscrito P cuerda cuerda m P= 2 O O 360 orolario I: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco tienen igual medida. En Unidades Lineales.- Es igual a 2 por el radio. mayor radio, mayor longitud. r L = 2 c r Geometría 1º 93

94 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel orolario II.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto. 6) Ángulo Eterior r : Diámetro 0 O D O 3) Ángulo Semi Inscrito m O= O 2 O P Tangente cuerda O Q m PQ= 2 O 4) Ángulo E-inscrito Secante O cuerda O P m P= 5) Ángulo Interior O 2 O O 0 O m O= O 2 O Geometría 1º 94

95 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel SO PRTIULR TEOREM DEL ÁNGULO IRUNSRITO b O O b O O = 180 O onsecuencia Son iguales O O Geometría 1º 95

96 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L LSE NIVEL I 01) En la siguiente figura calcular, si la medida del ángulo, es igual a 40 y la medida del arco = ) De la figura mostrada. Hallar D : : 02) Del gráfico si: M = M; calcular M 04) Si = 110, O es el centro. Hallar T 100 O D : Geometría 1º 96

97 OLEGIO SNTÍSIM RUZ : on una visión hacia la Universidad San Miguel NIVEL II 05) En la figura D = 170, = 2. Hallar 07) alcular. D O : : 06) En la figura OD = ; la medida del ángulo D, es 20. alcular 20 O D 08) alcular E 2 M : : Geometría 1º 97

98 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 09) alcular NIVEL III 11) alcular. T es punto de tangencia y O es centro. D T O 100 : : 10) alcular. 12) En el gráfico: la medida del arco = 100. alcular + D E : Geometría 1º 98

99 OLEGIO SNTÍSIM RUZ : on una visión hacia la Universidad San Miguel 13) O es centro, calcular 15) En la figura hallar, si = ; la medida del arco = 140 D 20 : 14) En la figura: Si + = 100. alcular : 16) Hallar si la medida del arco = : : Geometría 1º 99

100 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 17) Si, = D; la medida del arco E = 86. Hallar D 19) Hallar 52 E 50 : 18) La medida del arco E = 242 y la medida del ángulo = X : 20) y son dos cuerdas congruentes de una circunferencia. alcular la medida del arco, si la medida del ángulo = 48. E : : Geometría 1º 100

101 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel La figura de Pitágoras está envuelta en un halo de leyenda, misticismo y hasta de culto religioso. Y no es tan etraño si pensamos que fue contemporáneo de uda, de onfucio y de Lao-Tse (los fundadores de las principales religiones orientales) El término "matemática", al igual que el de filosofía, se le debemos a él. uáles son las principales aportaciones matemáticas de la escuela pitagórica?... La primera y quizás la más importante el introducir la necesidad de demostrar las proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números - su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la astronomía. Geometría 1º 101

102 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L S 01) Hallar 04) D es un paralelogramo. Hallar E 53 D a) 1 b) 100 c) 132 d) 64 e) 64 02) Hallar a) 37 b) 53 c) 60 d) 51 e) ) Si O es centro T y E son tangentes. T a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) ) Hallar O 40 E a) 35 b) 45 c) 55 d) 65 e) ) La medida del arco MNP = 210 a) 30 b) 60 c) 40 d) 50 e) 70 N M P a) 30 b) 60 c) 50 d) 80 e) 90 Geometría 1º 102

103 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 07) La medida del arco TM = 100 P N O M T a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 08) Hallar 10) Si L // P ; la medida de arco T = 75 T L P D a) 500 b) 400 c) 218 d) 200 e) E 11) Hallar a) 50 b) 70 c) 30 d) 60 e) 49 09) D: trapecio, la medida del arco = 160 O D a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) a) 10 b) 20 c) 80 d) 45 e) 70 Geometría 1º 103

104 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 12) Hallar 14) Si O es centro: la medida del ángulo O = 60, EF = O. alcular. E 60 F O a) 80 b) 70 c) 60 d) 40 e) 30 a) 10 b) 15 c) 20 d) 5 e) 30 13) Hallar 15) Hallar a) 25 b) 40 c) 35 d) 30 e) a) 80 b) 40 c) 50 d) 20 e) 70 Geometría 1º 104

105 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROPORIONLIDD: PRINIPLES TEOREMS: SEMEJNZ Y PROPORIONLIDD 1. TEOREM DE LS PRLELS EQUIDISTNTES Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinan sobre cualquier recta secante, segmentos congruentes. Si L 1 // L 2 // L 3 // L 4 Entonces: EF FG D GH 2. TEORI DE THLES DE MILETO.- Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2 rectas secantes, los segmentos determinados en la primera secante secante son proporcionales a los segmentos determinados en la segunda secante. E F G D H Si L 1 // L 2 // L 3 // L 4 Entonces EF FG D GH También podría ser: EG EF ; D GH D FH Geometría 1º 105

106 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel asos Particulares ) En el Triángulo (EF// ) a m E F b n a m b n ) En el Trapecio F E ; F F E E Si PQ // // D Entonces m y n D Geometría 1º 106

107 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 16. TEOREM DE L ISETRIZ INTERIOR En todo triángulo, los lados laterales a una bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por la bisectriz del lado opuesto. a b m F n a = b m n a = m b n 5. TEOREM DE L ISETRIZ EXTERIOR En todo triángulo una bisectriz eterior determina sobre la prolongación del lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados laterales a dicha bisectriz. a = b m n a = m b n a b c m n 6. TEORÍ DEL INENTRO En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en 2 segmentos que son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados laterales y al lado donde cae la bisectriz. a I b F c I: Incentro del I = a + b IF c Geometría 1º 107

108 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 7. TEOREM DE MENELO En todo triángulo al trazar una recta secante a dos lados pero no paralela al tercer lado, se forman seis segmentos consecutivos. Empezando. 8. TEOREM DE EV a m n b Prolongación a.b.c = m.n. En todo triángulo al trazar tres cevianas concurrentes, empezando por cualquier vértice, se cumple que: El producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres. c m b b a n c a.b.c = m.n. 8. TEOREM PR LULR L LONGITUD DE UN ISETRIZ INTERIOR. c a m n Geometría 1º 108

109 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 9. TEOREM PR LULR L LONGITUD DE UN ISETRIZ EXTERIOR. b a c m n Geometría 1º 109

110 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L LSE NIVEL I 01) Hallar, si L 1 // L 2 // L 3 03) En la figura adjunta, y son proporcionales a F y F. Hallar F F. P 8 Q 4 6 R L 1 L 2 L F 10 : : 02) Hallar, si L 1 // L 2 // L 3, = 10, = 4, DF = 5 04) En la figura L 1 // L 2 // L 3 // L 4. Hallar GH, si EH = 27 D E F L 1 L 2 L D E F G H L 1 L 2 L 3 L 4 : Geometría 1º 110

111 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 05) En la figura mostrada L 1 // L 2 // L 3, si: EF = 3, = 16 y DF = 24. Hallar EF 07) Si L 1 // L 2 // L 3, y = 6, = 18, PQ = 4 y SQ = 2X + 3 D L 1 P L 1 E L 2 Q L 2 F L 3 S L 3 : : NIVEL II 06) alcular, si D // E 08) En la figura y son proporcionales a D y D, hallar D 5 12 D E D 20 : : Geometría 1º 111

112 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 09) En un triángulo se traza a la bisectriz eterior E. Si = 16, E = 32, E = 8. Hallar. NIVEL III 11) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8. alcular la distancia del baricentro a la hipotenusa. 16 D 32 8 E : 12) En un trapecio isósceles D de bases y D se inscribe una circunferencia tangente a los lados y D en M y N respectivamente. alcular MN, si = 8 y D = 12 : 10) En la figura mostrada. Si = 9, = 7, = 8 y MN //. Hallar MN : M N 13) En la figura hallar E si = 6, = 3 y = 4 E : : Geometría 1º 112

113 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 14) En la figura mostrada, hallar 16) En la figura mostrada. alcular +2 2a 2a b 3a 5a b 2b b -3 : 15) Hallar L 1 // L 2 P L 1 : 8 4 Q 10 L 2 : Geometría 1º 113

114 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L S 01) L 1 // L 2 // L 3, son paralelas. Hallar a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) L 1 L 2 L 3 04) En la figura L 1 // L 2 // L 3 // L 4. Si = 3, = 4, MN = 2 2, NP = 2 + 2, PQ = 3 + 1, D = y; hallar + y M N L 1 L 2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 02) Si el triángulo de la figura DE // entonces el triángulo es: D -1 1 E D a) 10 b) 15 c) 12 d) 13 e) 14 05) En la figura L 1 // L 2 // L 3. = 2 y DF = 12. Hallar DE P Q L 3 L 4 5 a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero d) Rectángulo e) Obtusángulo 6 +3 L 1 L 2 L 3 D E F 03) Si D // E // F : = 36, = 6, DE = 4( + 1) y EF = 10, hallar a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 D E F Geometría 1º 114

115 6 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 06) En la figura, calcular, si MN // 09) En la figura, hallar el valor de M a X 6-a N a+1 7 a) 30 b) 90 c) 60 d) 45 e) 37 7-a a) 12 b) 14 c) 10 d) 10 e) 18 F 07) En la figura, se muestran dos circunferencias. alcular 2 4 a) 37 b) 45 c) 53 d) 30 e) 60 2,5 10) Del gráfico adjunto, calcular +2 2b 08) En la figura. alcular 3b 18 D P a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 2p a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 Geometría 1º 115

116 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 11) alcular, si L 1 // L 2 // L L 1 L 2 L 3 a) 7 b) 12 c) 8 d) 9 e) 10 12) En la figura, calcular D 8 6 P +1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Geometría 1º 116

117 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel ÍNDIE IV IMESTRE PÍTULO XI. SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS XII. RELIONES MÉTRIS..126 XIII. RELIONES MÉTRIS EN TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS 134 Geometría 1º 117

118 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes. Si dos triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales. c a N b m M N L Si ~ MNL a m b n c k k: Razón de semejanza. SOS DE SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS 1er aso: (.) Dos ángulos congruentes Δ ΔMNL l N c a M L b Geometría 1º 118

119 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 2do aso: (L..L.) Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales. c b Si c q = b n y m m M N q M n Q Entonces Δ ΔMNQ 3er aso: (L.L.L.) Tres lados proporcionales. c a l N m b M n L Si a b c = = m n l Entonces Δ ΔMNL Geometría 1º 119

120 6 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L LSE NIVEL I 01) En la figura, calcular 03) DE //, hallar DE 4 D 5 E : : 02) Del gráfico hallar 04) // NL, hallar M N M L : : Geometría 1º 120

121 6 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 05) Hallar H 12 F 5 07) TQ //, Q = 2Q. Hallar TQ Q H 8 T : NIVEL II 06) PQ // EH, hallar EH F : 08) Hallar PH F E 6 P 4 3 Q H 10 6 P 6 T H : : Geometría 1º 121

122 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 09) N Q; L R. Hallar MN y NL 12 N 12 Q R M 30 L P 18 R : 10) Del gráfico PQ // ; 5P=3P; Q=12; alcular Q. : 12) En la figura, calcular, si F = 2 y F = 7 F : NIVEL III 11) En la semicircunferencia mostrada, calcular R : Geometría 1º 122

123 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L S 01) Hallar 04) En un triángulo sobre se toma un punto Q tal que = 6 y = 9. Hallar Q 3 5 Q a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02) Hallar, si dos triángulos son semejantes. 05) Hallar PQ, si P = 2, P = 6, = P Q a) 3 b) 6 c) 9 d) 11 e) 13 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03) Dos triángulos son semejantes; si la razón de semejanza es 2/3. Hallar e y 4 06) Los lados de un triángulo miden 4; 7; 10 y el perímetro de otro triángulo semejante al primero es 147. hallar el lado menor del segundo triángulo. a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 07) Hallar, si = 10, D = 4, DE =11 15 E a) 6 y 10 b) 4 y 8 c) 10 y 15 d) 14 y 7 e) 8 y 9 D Geometría 1º 123

124 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 08) Encontrar D, si D = 5, FD = 4, F = 6 11) Encontrar E F D 3 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 D 12) Hallar a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 09) Si D = 7, D =, E = 3. Hallar D E 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 1 e) 2 5 a) 1,2 b) 6,6 c) 4,2 d) 3,2 e) 1 13) alcular D, si = 3, E = 5, E = 15 10) alcular PQ, si = 6, = 8, = 10 Q E D a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 P a) 3,7 b) 4,2 c) 3 d) 4 e) 5 Geometría 1º 124

125 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel c. 586 a.. Deportación a abilonia del pueblo de Israel En el 586 a.., el rey babilónico Nabucodonosor II epulsó a los judíos de Palestina. Fueron deportados a abilonia, donde permanecieron hasta el 538 a.., en un periodo que constituyó el primer episodio de la diáspora judaica. c. 586 a.. Destrucción de Jerusalén a manos de Nabucodonosor II El rey Nabucodonosor, después de un asedio a la ciudad de Jerusalén de unos 16 meses, destruye la ciudad. Sedecías es capturado, llevado ante Nabucodonosor, obligado a presenciar la ejecución de sus hijos y después cegado, para más tarde ser enviado encadenado a abilonia, donde estuvo encarcelado durante el resto de su vida. mayo 28, c. 585 a.. Tales predice un eclipse El filósofo griego Tales de Mileto predice el eclipse total de Sol que tiene lugar el 28 de mayo del 585 a.., por lo que se hace famoso también por sus conocimientos de astronomía. Geometría 1º 125

126 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel RELIONES MÉTRIS ) RELIONES MÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO Elementos de un triángulo Rectángulo. a y b = Son las longitudes de los catetos c h m n y. = Es la longitud de la Hipotenusa = Es la altura relativa a la Hipotenusa. = Es la longitud de la proyección del cateto sobre la hipotenusa. = Es la longitud de la proyección del cateto sobre la hipotenusa. - Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo. TEOREM 1 En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa. 2 2 En la figura se cumple que: a = m. c b = n. c TEOREM 2 (Teorema de Pitágoras) En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En la figura se cumple que: Geometría 1º 126

127 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel TEOREM 3 En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma. En la figura se cumple que: 2 h = m. n TEOREM 4 En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa. En la figura se cumple que: TEOREM 5 En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa. En la figura se cumple que: = 2 a b h Geometría 1º 127

128 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L LSE NIVEL I 01) Hallar 03) Hallar : 02) Hallar : 04) Hallar : : Geometría 1º 128

129 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 05) Hallar 07) Hallar : : NIVEL II 08) alcular MN ; si R = 3r; r = 1 y = 6 06) Hallar M N : : Geometría 1º 129

130 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 09) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9, calcular el radio de le rueda. 10) En la figura, se pide la proyección de sobre la recta L L : : Geometría 1º 130

131 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel PROLEMS PR L S 01) Hallar a) 1 b) 2 c) d) 5 e) 13 a) 11 d) 12 c) 12,8 d) 13 c) 14 04) Hallar 02) Hallar a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11 a) 3 d) 6 c) 9 d) 11 c) 13 05) Hallar +6 03) Hallar + 7 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9 Geometría 1º 131

132 6 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 06) Hallar 09) Hallar a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 4 3 e) 5 3 a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 07) Hallar 11 10) Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm el lado del rombo mide: +5 a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 11) Hallar H, si P = 4, P = 9 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25 H 08) Hallar P a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 Geometría 1º 132

133 OLEGIO SNTÍSIM RUZ on una visión hacia la Universidad San Miguel 12) alcular la altura H del triángulo rectángulo. Si = 6 y = 8 H a) 8,4 b) 4,8 c) 2,8 d) 2,4 e) 4,7 13) alcular la altura del trapecio D ( // D) circunscrito a una circunferencia de centro O. Si O = 15 y OD = 20 a) 22 b) 25 c) 23 d) 26 e) 24 14) Si el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10. Hallar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia. a) 15 6 b) 12 d) 35 e) 36 6 c) 32 RETO DE L SEMN 15. alcular a) b) 8 2 c) d) 12 e) 9 D Geometría 1º 133