ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

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1 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado Objetivos específicos:. Recordarás a qué se llama: ecuación idéntica o identidad; ecuación condicional o ecuación; variable o incógnita, y constante.. Recordarás a qué se llama: solución o raíz de una ecuación; conjunto de soluciones de una ecuación; ecuaciones equivalentes; ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado.. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones básicas y las utilizarás para resolver una ecuación, transformándola en ecuaciones equivalentes.. Resolverás ecuaciones de primer grado. 5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización. 6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y resolverás ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.

2 7. Objetivo. Recordarás a qué se llama ecuación condicional o ecuación; variable o incógnita; constante, y ecuación idéntica o identidad. Se llama ecuación a una proposición algebraica que establece la igualdad entre dos epresiones a las que se llama miembros de la ecuación. En una ecuación hay una o más cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas y números llamados constantes. Una ecuación que se satisface para todos los valores de las variables para los que están definidos ambos miembros de la ecuación, se llama ecuación idéntica o identidad. En una identidad es común sustituir el signo = por el símbolo que se lee idéntico a. Ejemplos: a b a ab b.) Como se puede observar, la igualdad es cierta para cualquier valor de a, b ε R puesto que el segundo miembro es el desarrollo del cuadrado del binomio del primer miembro..) ; La división algebraica de la fracción del primer miembro da como resultado un cociente de y un residuo de : Por ello, la ecuación propuesta es una identidad para todos los valores de, ecepto para, debido a que este valor produce un cero en el denominador de los dos +

3 7. miembros de la ecuación. En estos casos se dice que cada miembro de la ecuación es indefinido para. Una ecuación condicional, o simplemente una ecuación, es una igualdad que resulta verdadera solamente para alguno o algunos valores de las variables. Ejemplos:.) En este caso la igualdad se cumple únicamente cuando 5. Cualquier otro valor de la variable hace que la proposición sea falsa..) y 0 Esta igualdad es verdadera para un número infinito de pares de valores de y de y, pero no para cualquier par de valores. Por ejemplo, se cumple para 5, y 5 ; para 0, y 0 ; para, y, etcétera; pero no se cumple para 5, y ; 0, y ;, y etcétera..) 0 Esta proposición es verdadera tanto cuando como cuando. Objetivo. Recordarás a qué se llama solución o raíz de una ecuación, conjunto de soluciones de una ecuación, ecuaciones equivalentes, ecuaciones de primer grado y ecuaciones de segundo grado. Si una ecuación se convierte en identidad para algunos valores de las variables, se dice que la ecuación se satisface para dichos valores. Los valores de las variables que satisfacen a la ecuación se llaman solución o raíz de la ecuación, y cuando hay más de una solución, a la totalidad de ellas se le llama conjunto de soluciones.

4 7. Resolver una ecuación significa encontrar su conjunto de soluciones. Ejemplos: En los siguientes ejemplos, donde, se encuentra el conjunto de soluciones y se indica el número de elementos de dicho conjunto..) 6 Se prueba para diferentes valores de si se encuentra(n) alguno(s) para los que la igualdad se cumple, por ejemplo, para : 6 ; 6 Para : 6 ; 6 9 Para : 6 ; 6 6 Puesto que la ecuación se satisface para, y sólo para este valor, la solución o raíz es única y el conjunto de soluciones de la ecuación es.) 6 0 Nuevamente al hacer la sustitución directa para diferentes valores de de entre los números enteros, se obtiene que la ecuación se satisface para y para. Por lo tanto, su conjunto de soluciones tiene dos elementos: {, }.) 9 0 Para esta ecuación no eiste número real alguno que la satisfaga ya que tanto como hacen que el primer miembro sea igual a 8 y no a cero. En este caso no eiste solución en por lo que el conjunto solución es vacío:

5 7. 5.) 8 Se observa que la ecuación propuesta es una identidad porque el segundo miembro es el desarrollo del binomio cuadrado del primer miembro: el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Recordando el contenido del objetivo, se cumple para todo valor de en el conjunto de los números reales por lo tanto, su conjunto solución es { } y su número de elementos es 5.) 0 Como en el ejemplo.) esta ecuación tiene dos raíces: = y =, de modo que su conjunto de soluciones tiene dos elementos: {, }. En los ejemplos y 5 el conjunto de soluciones de la ecuación que se analizó en cada uno es el mismo: {, }. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Al igual que un polinomio, el grado de una ecuación con una variable, es el mayor eponente al que se encuentra elevada la incógnita en alguno de los miembros de la ecuación. Ejemplos:.) El grado de la ecuación 5 9 es, puesto que en los dos miembros de la ecuación el mayor eponente al que se encuentra elevada la variable es.) La ecuación y 5y 9 y 7 es de grado porque es la mayor potencia a la que aparece elevada la variable y en el segundo miembro.

6 7. 6.) Para determinar el grado de la ecuación 6 9 Se analiza la epresión y al recordar que al elevar un eponente a otra potencia los 6 eponentes se multiplican, entonces, en el primer término la variable en los otros términos: ecuación es 6. 9 y y. Por lo tanto, el grado de la Las ecuaciones de grado uno, o de primer grado, se llaman también ecuaciones lineales; las ecuaciones de grado dos, o de segundo grado, se llaman también ecuaciones cuadráticas. Ejemplos:.) Las siguientes epresiones son ejemplos de una ecuación de primer grado o lineal: a) 7 5 La variable tiene eponente en el único término en que aparece. b) z 9z La variable z aparece en los miembros de la ecuación, pero en ambos su eponente es y por los productos indicados no puede variar. c) Como en el ejemplo anterior, tiene eponente en los términos en que aparece y no puede modificarse por las operaciones involucradas. 5 d) ; y 0 y Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por la variable y, se obtiene la ecuación equivalente: y 5 y que es una ecuación de primer grado.

7 7. 7 a 6 e) 0. a 6 Aunque a primera vista la ecuación parece de segundo grado, el numerador es una diferencia de cuadrados cuya factorización se simplifica con el denominador como: a 6 a 6 por lo que la ecuación a 6 0 a 6 es equivalente a la ecuación a 6 0 que es de grado uno. a 6a 6 a 6 a 6.) Las siguientes epresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado o cuadráticas a) 9 El primer miembro tiene a la variable elevada a la segunda potencia y no eiste otro término con el que pudiera eliminarse. b) 7 El producto de los binomios en el primer miembro de la ecuación da como resultado un término en cuadrática., por lo tanto la ecuación es de segundo grado o 0 c) Cuando se eleva al cuadrado el binomio del primer miembro se tiene, sin embargo en el segundo miembro aparece también con el mismo signo, por lo que al transponerse se cancelan y el mayor eponente de es, tanto en el primero como en el segundo miembro. 9 d) ; 0

8 7. 8 Al multiplicar los dos miembros de la ecuación por la variable se obtiene la ecuación equivalente: 9 que es una ecuación cuadrática por el producto que aparece en el segundo miembro. Objetivo. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones básicas y las utilizarás para resolver una ecuación transformándola en una ecuación equivalente. Uno de los métodos que se emplean para resolver una ecuación consiste en derivar de ella una serie de ecuaciones equivalentes, cada una más sencilla que la anterior, hasta llegar a una cuya conjunto de soluciones es obvio. Las operaciones que pueden efectuarse en una ecuación dada para obtener una equivalente, se derivan de las propiedades de las igualdades para la adición, la sustracción, la multiplicación y la división, que pueden resumirse como sigue: Si p q es una ecuación, con p y q epresiones algebraicas en, si r es otra epresión algebraica en, y k es una constante diferente de cero, entonces a) Si se suma o se resta la misma epresión r a ambos miembros de la ecuación, la ecuación que resulta es equivalente a la dada: p q es equivalente a p r q r y también p r q r b) Si ambos miembros de la ecuación se multiplican por, o se dividen entre la misma constante no nula, la ecuación resultante es equivalente a la dada: p q es equivalente a kp kq y también p q, para k 0 k k En el proceso de solución de una ecuación se aplican estas propiedades tantas veces como sea necesario, hasta obtener la o las raíces de la ecuación.

9 7. 9 Debe notarse que, mientras en a) se menciona la epresión r, que puede ser una constante o un polinomio, en el caso b) k es una constante no nula, y se restringe a ello porque si se multiplica o divide una ecuación por una epresión que contiene una variable, la ecuación que resulta puede o no ser equivalente a la original. Cuando no es equivalente puede ocurrir que, o bien se obtenga una raíz etraña (porque no corresponde a la ecuación original), o que se pierda una raíz de la ecuación original. Un caso de cada una de estas situaciones se analiza en los siguientes ejemplos. Ejemplos:.) La ecuación se resuelve transformándola en una ecuación equivalente más sencilla. Para determinar el valor de la incógnita se debe obtener una sucesión de ecuaciones equivalentes a la original cada vez más sencillas hasta despejar a. Para esta ecuación se necesita aplicar el principio de la suma de una epresión a los dos miembros, eligiendo r 0, con la cual todos los términos en estarán en el primer miembro y todos los términos constantes en el segundo: Ahora se suman los términos semejantes en cada miembro de la ecuación y se obtiene: 60 que como se ve, es una ecuación mucho más sencilla en la que se puede determinar el valor de fácilmente. Si ahora se aplica el principio de dividir los dos miembros de la ecuación por una constante diferente de cero, k, se encuentra el valor de : 60 ; de donde 0 Es importante comprobar que efectivamente este valor es la solución o raíz de la ecuación original, y esto se hace sustituyendo dicho valor en ella:

10 = = 0. Entonces = 0 es la solución o raíz de la ecuación propuesta.) Para determinar la raíz de la ecuación sucesión de ecuaciones equivalentes a ella. 5 0 ; 0, se encuentra una Lo primero que se debe hacer es buscar cómo eliminar los denominadores para obtener una ecuación equivalente más sencilla. Como en dos fracciones el divisor es la variable y en los otros dos, 0 es múltiplo de 5, el factor por el que conviene multiplicar la ecuación es r 0. Esta situación no corresponde eactamente al inciso b) y es un ejemplo de cuándo sí es posible obtener una ecuación equivalente a la dada multiplicando toda la ecuación por una epresión; como se tiene la condición 0, entonces r 0 El producto que se debe efectuar es: que queda como: Todas las fracciones que resultaron tienen alguna simplificación posible, con lo que la ecuación equivalente es más sencilla que la original: 0 0 Ahora, como en el ejemplo.) se suma a los dos miembros de la ecuación la epresión r 0 y se reducen términos semejantes:

11 Para obtener el valor de es necesario hacer miembros de la ecuación por esta constante, con lo cual se obtiene: 0 5 k y multiplicar los dos 5 Finalmente, se comprueba la validez de la solución sustituyendo el valor de en la ecuación original: ) Si se aplica el principio de igualdad para la suma o el principio de igualdad de la división a la ecuación caso equivalente, y en el otro no., la ecuación que se obtiene es, en el primer Se aplica primero el principio de igualdad de la suma de una epresión. Para ello se suma en ambos miembros la epresión 0 : y al tomar factor común se obtiene: 0

12 7. Esta ecuación tiene dos raíces: y ya que con cada uno de estos valores el primer miembro se hace cero y la ecuación se satisface; el conjunto de soluciones de la ecuación original es {, } Ahora si se aplicara sin restricciones el principio de igualdad para la división, al observar que el factor común en ambos miembros es si se divide la ecuación por este factor común (con para que el denominador no se anule) se obtiene la siguiente ecuación: que al simplificar resulta Entonces, al dividir la ecuación por el factor común únicamente se tiene una solución:, mientras que la ecuación original tiene raíces: y. Este es un ejemplo de cuándo la división por una epresión que contiene a la variable puede conducir a ecuaciones no equivalentes (también llamadas defectuosas) y perder raíces válidas, como en este caso..) Dada la ecuación, cuya raíz es, si se elevan al cuadrado los dos miembros de la igualdad (es decir, al multiplicar ambos miembros por el factor ) se obtiene la ecuación 6, que tiene por raíces y. La operación que se hizo introdujo lo que se llama una raíz etraña que es Objetivo. Resolverás ecuaciones de primer grado. La aplicación de las propiedades de la igualdad para las operaciones básicas, que permiten obtener ecuaciones equivalentes cada vez más simples para llegar a la solución de una ecuación dada, se sintetiza en las siguientes reglas y procedimientos:

13 7. Regla de transposición de términos. Cualquier término puede transponerse de un miembro a otro de la igualdad con la condición de que cambie su signo. Es posible cambiar los signos de todos los términos de una ecuación sin que esta varíe, porque equivale a multiplicar por los dos miembros de la ecuación. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita es conveniente aplicar el siguiente proceso: Paso. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay. Paso. Transponer los términos de manera que en un miembro aparezcan todos los que contienen a la incógnita y en el otro todas las cantidades conocidas. Paso. Reducir términos semejantes en cada miembro. Paso. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original. Ejemplos:.) Se aplica el proceso de solución mencionado para resolver la ecuación: Paso. Efectuar las operaciones indicadas. En cada uno de los miembros de la ecuación eiste una operación indicada por el paréntesis; si se efectúa el producto la ecuación queda como: Paso. Transponer los términos de manera que en un miembro aparezcan todos los que contienen a la incógnita y en el otro todas las cantidades conocidas. Los dos términos que contienen a la variable se reacomodan en el primer miembro y los cuatro términos constantes se pasan al segundo. Conviene recordar que a cada término que se trasponga debe cambiársele el signo

14 7. (con ello se están aplicando implícitamente las propiedades de la igualdad para la suma y la resta): Paso. Reducir términos semejantes en cada miembro: Paso. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. (Con ello se aplica la propiedad de la igualdad para la división). El coeficiente de es, por lo tanto, la ecuación equivalente que se obtiene es: de la que se obtiene directamente el valor de : 7 Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface a la ecuación dada: = = 75.) 5 ; Paso. Efectuar las operaciones indicadas. Toda ecuación con fracciones requiere suprimir los denominadores y después efectuar las operaciones que resulten.

15 7. 5 Se observan los denominadores de cada fracción: el primero es la diferencia de los cuadrados de y de, y el otro es la diferencia de estos. Como la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia de las bases: de modo que el denominador del segundo cociente es un factor del primer denominador. Entonces, para suprimir los denominadores se debe multiplicar por el máimo común múltiplo que es, precisamente, la diferencia de cuadrados: 5 El producto en cada miembro de la ecuación da por resultado la ecuación equivalente: 5 5 Paso. Transponer los términos para reunir a todos los que contienen a la incógnita en el primer miembro y a las constantes en el otro: 5 Paso. Reducir términos semejantes en cada miembro. Paso. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. En este caso el coeficiente de la incógnita es, por lo que se dividen ambos miembros de la ecuación por para obtener Paso 5. Verificar que la solución obtenida satisface la ecuación original. 5

16 que es cierta. 5 Este paso es especialmente importante en este caso, puesto que en el primer paso se multiplicó por una epresión que no es una constante..) 7 Paso. Para quitar los denominadores se debe multiplicar por el mínimo común múltiplo de los tres, que en este caso es Paso. Se dejan en el primer miembro los términos que contienen a la incógnita y en el segundo todos los demás, cambiando el signo a los que se transponen: Paso. Se reducen términos semejantes: 7 5 Paso. Se despeja la incógnita: Paso 5. Se verifica la solución obtenida:

17 7. 7 La solución es correcta. Objetivo 5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización. La ecuación general de segundo grado tiene la siguiente estructura: a b c 0 Si la ecuación dada tiene solución en el conjunto de los números reales, tendrá dos raíces, y sólo dos, que pueden ser diferentes o iguales. Si las raíces no son números reales, la solución estará dada por dos valores diferentes del conjunto de los números complejos. Cuando la ecuación es fácilmente factorizable, sus raíces se obtienen efectuando esta operación y aplicando el teorema que establece que si a, b y ab = 0, entonces a 0 ó b 0. Ejemplos:.) Para factorizar un trinomio de la forma números que multiplicados den a b c ac y sumados estos números en la epresión y se factoriza por agrupación., con a, se buscan dos b ; se sustituye b por la suma de Para la ecuación dada: a 6, b 5, c, por lo que ac Entonces se deben buscar dos números que multiplicados den y sumados 5. se obtiene al multiplicar por ; por ; 8 por y 6 por, y como ac =, uno de los factores deberá ser positivo y el otro negativo. De estos pares de números solamente 8 y pueden sumar + 5 si 8 es positivo y es negativo.

18 7. 8 Ahora se sustituye el término 5 por ( 8 ) y se factoriza por agrupación: Entonces 0 ó 0 Si 0, Si 0, ; Las dos raíces de la ecuación son comprobarse. Para 6 : 5 6 y, resultado que debe 5 Esta raíz satisface a la ecuación. 6 0 Para : La segunda raíz también satisface la ecuación, por lo tanto la solución es correcta..) 7 5 0

19 7. 9 Los dos números que se buscan deben tener un producto de 5 60 y una suma de ( 7): 60 se obtiene de 0 por ; 5 por ; por 5; 0 por 6. De estas posibilidades, sólo y 5 pueden sumarse algebraicamente para obtener -7: 5 7 Estas cantidades se sustituyen en lugar de ( 7) y se factoriza por agrupación de términos semejantes: Ahora se pueden determinar fácilmente las raíces de la ecuación: Si 0, Si 5 0, 5 Finalmente deben comprobarse los resultados sustituyendo cada solución: Para : = 0. Esta raíz satisface a la ecuación. Para 5 : La solución es correcta Objetivo 6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y resolverás ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.

20 7. 0 Para resolver una ecuación de segundo grado, el método de factorización no es el más eficiente. Aun para epresiones cuadráticas sencillas, determinar los dos valores cuya suma sea b y su producto sea ac es, cuando menos, tardado. Para encontrar las dos raíces de una ecuación de segundo grado conviene aplicar las fórmulas: b b ac y a b b a ac Las raíces de una ecuación cuadrática son dos, y sólo dos, que pueden ser reales diferentes o iguales, o complejas. El carácter de estas raíces depende del binomio en el radicando: b ac, que también recibe el nombre de discriminante de la ecuación general de segundo grado. El resultado de este binomio puede ser:. Positivo: b ac >0. En este caso las raíces de la ecuación serán reales y diferentes.. Nulo: b ac = 0. Puesto que el radical se anula, las raíces serán reales e iguales y su valor b a. Negativo: b ac < 0. En el conjunto de los números reales no eisten raíces cuadradas de números negativos; por lo tanto, si el radicando es negativo, las raíces son imaginarias y desiguales. Ejemplos:.) Como la ecuación se encuentra ya epresada en la forma general, todo lo que se necesita para determinar qué tipo de raíces tiene es identificar el valor de los coeficientes a, b y c y evaluar el discriminante. Las constantes son a ; b 5; c 5 El discriminante tiene un valor de: b ac = 5 5 = = 5 > 0

21 7. Corresponde al primer tipo, por lo que las raíces de la ecuación son reales y desiguales..) Para tener la ecuación epresada en la forma general (en el primer miembro un solo término en, otro en y un término independiente, e igualada a cero), se deben realizar las operaciones indicadas por los paréntesis: Ahora se trasponen todos los términos al primer miembro y se iguala a cero: Luego se reducen términos semejantes: 5 0 La ecuación está ya en la forma general, donde a ; b 5; c y el discriminante: b ac = ( 5) ()() = 5 88 = 6 < 0 Por lo tanto las raíces de la ecuación propuesta son complejas y diferentes..) Se eliminan los paréntesis realizando los productos indicados: Se iguala a cero pasando todos los términos al primer miembro; Se reducen términos semejantes: 8 8 0

22 7. Ahora a ; b 8; c 8 y el discriminante tiene un valor de: b ac = (8) ( )( 8) = 6 6 = 0 Las raíces son reales e iguales..) En este ejemplo se determina el valor de k para que las dos raíces de la ecuación k 6 0 sean iguales. Como se ha señalado, para que las dos raíces de una ecuación cuadrática sean iguales, el discriminante debe ser igual a cero. En la ecuación propuesta a k ; b 6, y c. Para encontrar el valor de k se deben sustituir estos valores en la fórmula del discriminante y despejar a la incógnita, que es precisamente k: 6 k 0 6 k 0 k 6 k k 6 Comprobación: El discriminante es 6 0 ; 6 6 =0, por lo que la ecuación 6 0 tiene dos raíces reales e iguales. Para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado, conviene aplicar el siguiente procedimiento:

23 7. Paso. Efectuar las operaciones indicadas, si las hay. Paso. Transponer todos los términos de la ecuación al primer miembro e igualar a cero el segundo. Paso. Reducir términos semejantes. Paso. Aplicar las fórmulas para resolver una ecuación de segundo grado. Paso 5. Si la solución eiste en el conjunto de los números reales, verificar que satisfaga a la ecuación original. Ejemplos:.) 9 5 Paso. Efectuar las operaciones indicadas: Paso. Trasponer todos los términos al primer miembro e igualar a cero: Paso. Reducir términos semejantes: 0 Paso. Aplicar las fórmulas para resolver la ecuación: a ; b ; c b b ac = a = 6 b b ac = a = 6 = = Comprobación La ecuación original es equivalente a 0 Para :

24 Entonces es solución de la ecuación. Para : también satisface a la ecuación..) Para resolver la ecuación m 0 m como la variable es, (m es un parámetro, es decir una constante que puede tomar diferentes valores) la ecuación ya está epresada en la forma general, donde: a m ; b m ; c Las raíces de la ecuación están dadas por: m m m m y m m m m Para encontrar el valor de las raíces, se efectúan primero las operaciones dentro del radical: m = m m m m m m m m El radicando es el desarrollo del cuadrado del binomio m por lo que m m = m m m m = m = m

25 7. 5 Y la segunda raíz: m m m m = m m m m El discriminante es el mismo para ambas raíces, de modo que m m = m m m = Comprobación Para : m m m 0 m m m m satisface a la ecuación. m = 0 m m m Para : m m = m m 0 también es solución de la ecuación..) Para encontrar dos números tales que su suma es 9 y la suma de sus cuadrados es 5 se plantea la siguiente ecuación: Sean y y los dos números, entonces, y 9 y y 5

26 7. 6 Para tener una sola ecuación con una variable, se despeja a y de la primera ecuación: y 9 y 9 y se sustituye este valor en la ecuación y 5: 9 5 Se eleva el binomio al cuadrado y se reducen términos semejantes: La ecuación que se debe resolver para encontrar los dos números es Para aplicar las fórmulas: a ; b 8; c = = = = = = 8 00 = 8 0 = 8 8 Como se puede comprobar: 7 + = 9 y ( 7 ) + ( ) = 9 + = 5 Y en la ecuación: = = = = 0

27 Las dos raíces satisfacen a la ecuación que se obtuvo del planteamiento. 7. 7