(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones

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1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial se refiere a la determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Para ilustrar este concepto matemático, considérense los casos siguientes: 1) Ángulo entre curvas. ) Velocidad y la aceleración en un instante determinado. 3) Razones de variación de una variable con respecto a otra. 4) Aproimación de valores de una función 5) Valores máimos y mínimos de una función. RAZÓN MEDIA DE VARIACIÓN Sea ( ) f = + 3 y supóngase que la variable " " aumenta de a.4. Entonces, el incremento será Δ =.4 Δ = 0.4 Para obtener el incremento Δ y de la función, se hace lo siguiente: ( ) ( ) y = + 3 ; y+δ y = +Δ + 3 +Δ Se restan ambas epresiones y, ( ) 3( ) ( 3 ) Δ y = +Δ + +Δ + Δ y = + Δ +Δ Δ 3+ Δ y = Δ +Δ + 3Δ Si se dividen ambos miembros entre Δ se tiene que: Δy Δ +Δ + 3Δ Δy = = +Δ + 3 Δ Δ Δ Definición. La razón media de variación de la función y = f con respecto a " " cuando esta variable ( ) eperimenta un incremento Δ, es igual al cociente del

2 incremento de la función entre el incremento de la variable Δy independiente, esto es, Δ. y y +Δ y f recta secante y + Δ Δy Se puede apreciar que, que representa a la razón media Δ de variación de la función con respecto a la variable independiente, es la pendiente de la recta secante. Por otro lado, la ecuación de una recta cuya pendiente es " m " y con ordenada al origen " b " es y = m+ b y si se determina en esta función su razón media de variación se tendrá: y = m+ b ; y+δ y = m( +Δ ) + b y+δ y = m+ mδ + b Δy Δ y = m+ mδ + b m b Δ y = mδ = m Δ Para el caso de una recta, la razón media de variación es constante y equivale a la pendiente " m " de la recta. y ( +Δ ) f f( ) y = m+ b Δ Δ y + Δ Δ y = m Δ

3 CONCEPTO DE RECTA TANGENTE 3 Se debe al célebre matemático francés Pierre de Fermat, de los grandes matemáticos del siglo XVII. Se basa en el siguiente razonamiento: La recta tangente en un punto " A " de una curva puede interpretarse como la posición límite de la secante, que es la tangente, cuando el punto " B " tiende al punto " A ". y f recta secante A B ( ) lim secante B A recta tangente = tangente LA DERIVADA COMO RAZÓN INSTANTÁNEA DE VARIACIÓN Si el punto " B " tiende al punto " A ", esto implica necesariamente que el incremento Δ tiende a cero y si Δy esto sucede, entonces el límite lim se conoce como la Δ 0 Δ razón instantánea de variación de " y " con respecto a " ". Para la función analizada con anterioridad, es decir, y = + 3, la razón media de variación es Δ y = +Δ + 3. Y si se calcula la razón instantánea de Δ Δ y variación se tendrá: lim = lim ( +Δ + 3) = + 3 y Δ 0 Δ Δ 0 cuando =, la razón instantánea de variación es 7. Definición. A la razón instantánea de variación de una función f con respecto a " ", se le conoce como la derivada de la función con respecto a la variable independiente, es decir,

4 Δ y lim = derivada de f con respecto a " " Δ 0 Δ De acuerdo con lo ya tratado, se puede escribir que: Δy = lim ; Δ y = f( 0 +Δ) f( 0) d Δ 0 Δ f( 0 +Δ) f( 0) = lim d Δ 0 Δ y si además se considera que Δ = 0, entonces f( ) f( 0 ) Δ 0 0 = lim d 0 0 Esta epresión define a la derivada de la función, específicamente en el punto en el que = 0. 4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA f y ( +Δ ) f secante B Δ y tangente ( ) lim recta secante B A = recta tangente B A Δ 0 ; lim β = α lim tanβ = tanα Δ 0 Δ 0 Δy Δy tan BAC=tan β= lim = tanα = Δ Δ 0 Δ d Por lo tanto la derivada es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica con el eje de las abscisas. Equivale a la pendiente de la recta tangente donde = tanα = mt d m es la pendiente de la recta tangente. T f( ) α A β Δ C + Δ

5 NOTACIONES DE LA DERIVADA Las notaciones más conocidas son: y' ó f' notación de Lagrange Dy ó Df d ó f d d i y ó f ( ) ( ) notación de Cauchy i ( ) notación de Leibniz ( ) notación de Newton 5 Ejemplo. Supóngase que parte de la trayectoria de un juego mecánico de montaña rusa tiene la forma mostrada en la figura, donde el recorrido de A a B y de B a C, son curvas parabólicas distintas, y el recorrido de C a D es una media circunferencia. A B C D Si se denota con " θ " el ángulo que forma el piso del carrito con la línea horizontal: i ) Qué valor tiene θ en el punto más alto? ii ) Qué valor tiene θ en el punto más bajo? iii ) Eisten otros puntos en donde tenga el mismo valor que los que tuvo en los primeros incisos? Solución. θ = 0 θ A B C D θ = 0 θ = 0

6 6 Ejemplo. Se tiene una pila de cemento colocada junto a una pared vertical sobre un piso horizontal. Considerando el origen de coordenadas en la intersección de piso y pared, el perfil del cemento está descrito, con una buena aproimación, por la curva y = + 9. Supóngase además que hay una escalera perfectamente recta e indeformable que se apoya simultáneamente en la pared, el cemento y el suelo. i) Demostrar que si la abscisa del punto de contacto de la escalera con la pila de cemento es 1.5, entonces la ecuación de la escalera se puede epresar como y = ii) Determinar la longitud de la escalera. Solución. i) Un modelo geométrico del problema planteado es el siguiente: y Pared Pila de cemento Escalera y = + 9 Piso

7 7 Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 4,0) y es tangente a la curva y = + 1. Obtener también las coordenadas del punto de tangencia y hacer un dibujo del problema planteado. Solución. La gráfica de la curva con la recta tangente y el punto de tangencia se muestran a continuación:

8 8 Ejemplo. El volumen de un cierto tipo de bacterias en un cultivo de laboratorio es inversamente proporcional al número de días " n " que pasan sin nutrientes, de tal forma que el modelo para esta relación es: 10,000 V = n función que se satisface a partir del primer día, es decir, cuando n = 1 y V = 10,000 bacterias. Obtener la razón de cambio en la que decrece el número de bacterias con respecto a los días sin alimento, cuando n = 4. Solución. Ejemplo. El costo de una cierta aleación de metales depende de la cantidad de oro que contiene. La mínima cantidad que debe contener es de 3 gramos y su costo es de $ 81,000 y aumenta este de acuerdo con el modelo: 3 C= donde " C " es el costo en pesos y " " el oro en gramos. Determinar la razón de cambio del costo de la aleación, con respecto a la cantidad de oro, cuando tiene "5" gramos de este metal precioso.

9 Solución. 9 MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS PARA DERIVAR Considérese la función: y = f( ) ( 1) Primer paso: Se incrementa en Δ el valor de la variable independiente, con lo que la variable dependiente eperimenta el correspondiente incremento Δ y: y+δ y = f( +Δ) ( ) Segundo paso: Se resta la epresión ( 1 ) de la ( ), con lo que se obtiene el incremento Δ y: Δ y = f( +Δ) f( ) ( 3) Δy Tercer paso: Se calcula el cociente de incrementos Δ, dividiendo la epresión ( 3 ) entre el incremento Δ. Así, y f( +Δ) f( ) Δ = ( 4) Δ Δ Cuarto paso: Se calcula el límite del cociente anterior cuando el incremento Δ tiende a cero:

10 ( + Δ ) ( ) Δ y f f lim = lim Δ 0 Δ Δ 0 Δ Si este límite eiste, entonces se obtiene la derivada de la función considerada: = f'( ) d y se dice que la función dada es derivable. Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones mediante el método de los cuatro pasos: 3 3 i) y = ; ii) y = ; iii) y =

11 11 Teorema. Derivada de la función constante Sea la función constante y = f( ) = k, con k una constante. Entonces su derivada es igual a cero, es decir, 0 d = y = k y k m T = = 0 d y k k ; lim lim ( 0 ) = k = = = 0 d Δ 0 Δ d Δ 0 d

12 Teorema. Derivada de la función identidad y = f =. Entonces su derivada es Sea la función identidad ( ) igual a la unidad, esto es, 1 d = y 1 y = 0 45 m T = = 1 d y +Δ ; lim lim () = = = 1 = 1 d Δ 0 Δ d Δ 0 d Teorema. Derivada de la función identidad elevada a un eponente real. Aquí sólo se verá el caso del eponente natural. Elevada a un eponente real también es demostrable. n Sea entonces la función y = ; n. Entonces su derivada está dada por: n 1 = n d ( ) n + Δ = lim d Δ 0 Δ A través del desarrollo del binomio de Newton, se llega a: ( ) 1 1 n n n n nn n n + Δ + Δ + +Δ = lim 1!! d Δ 0 Δ n nn ( 1) n 1 n 1 n lim = + Δ + +Δ d Δ 0 1!! n

13 d = n n 1 13 Ejemplo. Calcular la derivada de las funciones siguientes: i) f = ; ii) y = 4 ( ) 5 Teorema. Derivada de la suma de funciones h = f+ g. Entonces, la Considérese la función ( ) ( ) ( ) derivada de la función " h " es igual a: h' = f' + g' ( ) ( ) ( ) Teorema. Derivada del producto de una función por un escalar Sea la función h ( ) = α f ( ) ; α. Entonces su derivada será: ( ) = α '( ) h' f

14 Ejemplo. Obtener la derivada de la función: f = 5 ( ) 6 14 Ejemplo. Derivar las siguientes funciones: 1 i 4 1 ) f ( ) = ; ii ) y = Teorema. Derivada de una función como radicando de una raíz cuadrada. h = f. Entonces su derivada es igual a: Sea la función ( ) ( ) ( ) h' = f' ( ) f( )

15 Ejemplo. Obtener la derivada de la función 1 3 y = Teorema. Derivada del producto de dos funciones h = f g. Entonces, la derivada de " h " Sea la función ( ) ( ) ( ) es: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) h' f g' g f' Ejemplo. Obtener la derivada de: ( ) ( ) f =

16 Teorema. Derivada de un cociente de funciones. f( ) Sea la función " h " dada por h ( ) =, esto es, cuya regla g de correspondencia involucra el cociente de las funciones " f " y " g ". Entonces su derivada es igual a: g( ) f' ( ) f( ) g' ( ) h' ( ) = g( ) ( ) 16 Ejemplo. Derivar las siguientes funciones: i) f( ) = ; ii) y =

17 17 Teorema. Regla de la cadena (Derivada de una función de función) y f u u= g, ambas derivables, Sean las funciones = ( ) y ( ) tales que con ellas se logra la función compuesta y = f g D ; g D Entonces se cumple que: = d { f} ( ( )) g ( ) du du d A cada incremento Δ de la variable independiente " " le corresponde un incremento Δ u de la variable intermedia " u " y un incremento Δ y de la variable dependiente " y ". Si se multiplican numerador y denominador del cociente Δy Δ por Δ u, se llega a la siguiente identidad: Δy Δy Δu Δy Δy Δu = = ; Δu 0 Δ Δ Δu Δ Δu Δ Como u= g( ) es derivable, será también continua, por lo que si Δ 0, entonces Δu 0. Entonces, tomando límites en la epresión antes obtenida, se llega a: Δy Δy Δu lim = lim lim Δ 0 Δ Δu 0Δu Δ 0 Δ Y, por la definición de derivada, se tiene que: du = d du d y queda demostrado el teorema. Ejemplo. Obtener la derivada de la función 3 1 y = 1+

18 18 Ejemplo. Obtener la derivada de: ( ) f = 3 1 Ejemplo. Obtener para la siguiente función, mediante la d aplicación de la regla de la cadena, por pasos: ( ) y =

19 19 Ejemplo. Calcular las derivadas de las funciones siguientes y evaluarlas en el punto indicado. ( + 8) 3+ 9 i) y = ; = 1 ; ii) f 3 ( ) = ; = Resumen de las fórmulas obtenidas: Sean uvw,, funciones de " " y " C " una constante real: Entonces: DC= 0 D= 1 ( + ) = + ( ) D u v w Du D v D w DCv D v D CDv D uv = ud v+ vdu u D v vd u udv v = = C CDv = v n = n 1 n n n 1 Du = nu Du D Du u = u

20 DERIVADA DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA 0 Cuando se tenga una función en forma implícita, se utiliza la regla de la cadena para derivarla cuantas veces se presente. Ejemplo. Calcular d en la ecuación + y = 4 Ejemplo. Calcular para la ecuación: d 4 3 y y + 8y= 4 y

21 y Ejemplo. Considérese la ecuación + 4 = 18. y Demostrar que = y. d 1 DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS Teorema. Sea la función y senu ; u f( ) = =. Entonces: du = cosu d d

22 Teorema. Sea la función y cos u ; u f( ) = =. Entonces: du = senu d d Teorema. Sea la función y tan u ; u f( ) = =. Entonces: du = sec u d d Teorema. Sea la función y cot u ; u f( ) = =. Entonces: du = csc u d d

23 Teorema. Sea la función y sec u ; u f( ) = =. Entonces: du = secutanu d d 3 Teorema. Sea la función y csc u ; u f( ) = =. Entonces: du = cscucotu d d Ejemplo. Derivar las siguientes funciones: 1 cos i) f ( ) = ; ii) y = sen ( 1 5 ) ; iii) f ( ) = tan 1+ cos 1 3 iv) y = sec + csc ; v) f ( ) = cot( sen ) ( ) 1 3 vi) y = sec 6

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25 5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Teorema. Sea la función y angsenu ; u f( ) = d = =. Entonces: du d 1 u

26 Teorema. Sea la función y angcos u ; u f( ) = d = =. Entonces: du d 1 u 6 Teorema. Sea la función y angtan u ; u f( ) = =. Entonces: du = d d 1 + u

27 Teorema. Sea la función y angcot u ; u f( ) = =. Entonces: du = d d 1 + u 7 Teorema. Sea la función y angsec u ; u f( ) du = d d u u 1 = =. Entonces:

28 Teorema. Sea la función y angcsc u ; u f( ) du = d d u u 1 = =. Entonces: 8 Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones: ( ) = = ( ) = = ( ) if ) angsen1 ; iiy ) angsec iii) f angcot ; iv) y angcos 1 1 v) f = angtan ; vi) y = angcsc 8 ( ) ( )

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30 30 Resumen de las fórmulas para derivar funciones circulares directas e inversas: Sea u f( ) =. Entonces: du Du Dsenu = cosu Dangsenu = d 1 u du Du D cosu= senu Dang cosu= d 1 u du Du D tanu= sec u Dang tanu= d 1 + u du Du D cotu= csc u D cot d u= 1+ u du Du D secu= secutanu D secu= d u u 1 du Du D cscu= cscucotu Du = d u u 1