Capítulo 2 Juegos estáticos con información asimétrica

Transcripción

1 Capítulo Juegos estáticos con información asimétrica January 1, El equilibrio Bayesiano Definición 1.1. Un juego Bayesiano G consta de los siguientes elementos, G = (N, A, T, p, u) Un conjunto de jugadores N = {1,,..., n}. Los espacios de acciones A 1, A,..., A n de cada jugador. A = A 1 A A n, a = (a 1, a,..., a n ) El conjunto de los tipos posibles T 1, T,..., T n para cada jugador. El tipo t i T i es conocido sólo por el jugador i = 1,,..., n. El conjunto de todos los tipos es T = T 1 T T n. t = (t 1, t,..., t n ) Cada jugador i tiene una conjetura p i : T i (T i ) sobre los tipos de los demás jugadores. Puede depender de su propio tipo p i = p i (t i t i ) y se interpreta como la información que el agente i tiene sobre los tipos de los demás agentes (t i ), dado que su tipo es t i. Las conjeturas de los agentes tienen que ser consistentes y compatibles con la regla de Bayes: Existe una distribución de probabilidades q = (q 1,..., q n ) (T ) tal que q(t 1..., t n ) p i (t i t i ) = s i T i q(t i, s i ) El denominador s i T i q(t i, s i ) es la probabilidad de que el tipo del agente i sea t i. p i (t i t i ) es, según la regla de Bayes, la probabilidad de que los otros agentes (diferentes de i) tengan el tipo t i, dado que el tipo del agente i es t i. 1

2 Una estrategia pura del jugador i, s i : T i A i especifica la acción del jugador de cada uno de los tipos del jugador i. Una estrategia mixta del jugador i, σ i : T i (A i ) es un vector σ i (t i ) = (σ i (a 1, t i ),..., σ i (a n, t i )) donde σ i (a k, t i ) es la probabilidad de que el agente i de tipo t i juegue la estrategia a k. Las funciones de utilidad sobre sucesos: de los agentes u 1, u,..., u n son de la forma u i : A T R u i (a; t) depende de los tipos t = (t 1,..., t n ) y de las acciones de todos los agentes a = (a 1,..., a n ). Funciones de utilidad sobre estrategias: La utilidad esperada para el agente i de jugar la estrategia a i, dado que el resto de agentes están jugando las estrategia puras s k es t i T i u i U i (s 1,..., s ti 1, a i, s ti+1,... s n ) = ( s1 (t 1 ),..., s ti 1(t i 1), a i, s ti+1(t i + 1),... s n (t n ); t ) p i (t i t i ) La noción de equilibrio es el EN con las funciones de utilidad esperada anteriores. Competencia de Cournot con información asimétrica Duopolio de Cournot Supongamos dos empresas que compiten en cantidades (Modelo de Cournot). La función inversa de demanda es P (q) = a q con q = q 1 + q y q 1, q son las cantidades producidas por las empresas. Los costes de la empresa 1 son c 1 (q 1 ) = cq 1

3 Los costes de la empresa son { c a q c (q ) = c b q con probabilidad θ con probabilidad 1 θ con c b < c a. Hay información asimétrica: La empresa conoce su función de costes (sabe si su coste marginal es c a ó c b ) y conoce los coste de la empresa 1. Pero la empresa 1 sólo conoce su función de costes y que el coste marginal de la empresa es c a con probabilidad θ y c b con probabilidad 1 θ. La empresa tiene mejor información que la empresa 1. En primer lugar vamos a representar la situación como un Juego Bayesiano. Los jugadores son N = {1, }. Los tipos de las empresas son T 1 = {c} T = {c a, c b }. Las funciones de utilidad son los beneficios, π 1 (q 1, q, c) = (a q 1 q )q 1 cq 1 = (a q 1 q c)q 1 π (q 1, q, c a ) = (a q 1 q )q c a q = (a q 1 q c a )q π (q 1, q, c b ) = (a q 1 q )q c b q = (a q 1 q c b )q Los conjuntos de acciones son A c = A ca = A cb = [0, ). Las conjeturas de los agentes son p (c c a ) = p (c c b ) = 1 y p 1 (c a c) = θ, p 1 (c b c) = 1 θ Mejor respuesta de la empresa Si el coste de la empresa es c a entonces resuelve el problema max (a q 1 q ) q c a q = max (a q 1 q c a ) q q q La CPO es a q 1 q c a = 0 por lo que la mejor respuesta de la empresa si su coste es c a y la empresa 1 produce q 1 es q (c a ) = a q 1 c a

4 Si el coste de la empresa es c b entonces resuelve el problema max (a q 1 q ) q c b q = max (a q 1 q c b ) q q q La CPO es a q 1 q c b = 0 por lo que la mejor respuesta de la empresa si su coste es c b y la empresa 1 produce q 1 es Mejor respuesta de la empresa 1 q (c b ) = a q 1 c b La empresa 1 no sabe el coste de la empresa. Maximiza el beneficio esperado max θ (a q 1 q (c a ) c) q 1 +(1 θ) (a q 1 q (c b ) c) q 1 q 1 }{{}}{{} B.E. si la emp. tiene coste c a La CPO es B.E. si la emp. tiene coste c b θ (a q 1 q (c a ) c) + (1 θ) (a q 1 q (c b ) c) = 0 Obtenemos la función de reacción de la empresa 1 q 1 = θ (a q (c a ) c) + (1 θ) (a q (c b ) c) El EN verifica las ecuaciones q 1 = θ (a q (c a ) c) + (1 θ) (a q (c b ) c) q (c a ) = a q 1 c a q (c b ) = a q 1 c b Despejando q (c a ) y q (c b ) en la primera ecuación, obtenemos ( q 1 = θ a a q ) ( 1 c a c + (1 θ) a a q ) 1 c b c y de aquí obtenemos que q 1 = a c + θc a + (1 θ)c b 4

5 Sustituyendo este valor obtenemos q1 = a c + θc a + (1 θ)c b + 1 θ 6 (c a c b ) q (c a ) = a c a + c q (c b ) = a c b + c θ 6 (c a c b ) Comparación con el equilibrio de Cournot con información completa Con información completa y costes c 1, c el equilibrio de Cournot es q 1 = a c 1 + c q = a c + c 1 Observamos que el caso de información completa se obtiene del modelo de información incompleta eligiendo c 1 = c, c = c a = c b. Llamamos q 1 (c a ) = a c + c a la producción de la empresa 1 si sabe que el coste de la empresa es c a. y q 1 (c b ) = a c + c b la producción de la empresa 1 si sabe que el coste de la empresa es c b. Entonces q 1 (c a ) q 1 q 1 (c b ) Observamos que q (c a ) > a c a + c q (c b ) < a c b + c Esto ocurre porque la empresa no sólo ajusta su cantidad a su propio coste, sino que también tiene en cuenta que la empresa 1 no sabe el coste de la empresa y adopta una producción intermedia entre la que adoptaría si supiera que el coste de la empresa coste es a o b. 5

6 Subastas a sobre cerrado al primer precio Dos agentes participan en una subasta, i = 1,. Los agentes entregan sus pujas simultáneamente. El agente con una puja mayor se lleva el objeto y paga la cantidad pujada. En caso de empate, el ganador se determina lanzando una moneda al aire. Los participantes son neutrales al riesgo. Cada agente tiene una valoración v i [0, 1] del bien y sólo sabe cuál es su valoración. Sobre los posibles valoraciones v j del otro agente, sólo sabe que está uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1]. Es decir, prob(v j x) = x Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano y analizar los equilibrios. Los tipos de los agentes son T 1 = T = [0, 1]. La probabilidad de cada tipo es prob(v j x) = x. Estas son las conjeturas de los agentes. El conjunto de acciones para los agentes es A 1 = A = [0, 1]. Denotamos la puja (acción) del agente i = 1, por b i A i. Funciones de utilidad Las función de utilidad del agente i = 1, v i b i, si b i > b j ; u i (b i, b j v i ) = 0, si b i < b j ; (v i b i )/ si b i = b j. Una estrategia es una función b i (v i ) de T i en A i. Si cada agente j = 1, está utilizando la estrategia b j (v j ), entonces la mejor respuesta del agente i está determinada por el problema de maximización max b i (v i b i )prob(b i > b j (v j )) + 1 (v i b i )prob(b i = b j (v j )) y como prob(b i = b j (v j )) = 0 este problema es equivalente max b i (v i b i )prob(b i > b j (v j )) Vamos a probar que existe un equilibrio simétrico y lineal. Es decir, b i (v) = b j (v) = Av 6

7 Tenemos que determinar el valor de A. La condición anterior es max(v i b i )prob(b i > b j (v j )) = max(v i b i )prob(b i > Av j ) = b i b i ( = max(v i b i )prob v j < b ) i = max(v i b i ) b i b i A b i A La condición de primer orden es v i b i = 0 Por lo que es un EB simétrico. b i = v i 4 Asignación de Bienes públicos Dos vecinos viven en una isla sin carretera. El gobierno planea construir una carretera cuyo coste sería 0 millones. El valor monetario de la carretera sería 0 millones para el usuario, si este tiene coche y 0, si no lo tiene. La probabilidad de que un vecino tenga coche es p(coche) = p Esta información se publica en el periódico de la isla y es conocida por todos los agentes. Para tomar la decisión sobre si construir la carretera o no, el gobierno considera uno de los dos mecanismos siguientes. 4.1 Mecanismo A Mecanismo A Cada vecino rellena un formulario expresando si tiene coche o no. Se entiende que cada vecino que dice que tiene coche está dispuesto a pagar hasta 0 millones de euros para construir la carretera. Si el número de vecinos que dice tener coche es suficiente para cubrir el coste, se construye la carretera y el coste se reparte entre aquellos vecinos que han dicho que tienen coche. 7

8 Si el número de vecinos que dice tener coche no es suficiente para cubrir el coste, entonces no se construye la carretera. Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano y analizar los equilibrios. Los tipos de los agentes son T = T 1 = T = {coche, no coche}. Pero será más conveniente utilizar como tipo el valor que cada uno asigna a construir la carretera T = T 1 = T = {0, 0}. La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1 p, p(0) = p. Estas son las conjeturas de los agentes p i (t j = 0 t i ) = p El conjunto de acciones para los agentes es A = A 1 = A = {si, no}. Denotamos la acción del agente i = 1, por a i. La estrategia del agente i = 1, es una función T A i. Funciones de utilidad La función de utilidad del agente i = 1, es (se entiende que i j) Observemos que Es decir, la acción t i 0, si a i = si y a j = no; t u i (a 1, a t i ) = i, si a i = no y a j = si; t i 10, si a i = a j = si; 0, si a i = a j = no. es estrategia dominante. Información completa 0, si a i = si y a j = no; 0, si a u i (a 1, a 0) = i = no y a j = si; 10, si a i = a j = si; 0, si a i = a j = no. a i (0) = no Supongamos que t 1 = 0 y t = 0. El juego es si no si 0, , 0 no 0, -0 0,0 8

9 El EN es (si, no). Supongamos que t 1 = t = 0. El juego es si no si 0, 0 10, 0 no 0, 10 0,0 El EN es ( 1 si + 1 no, 1 si + 1 ) no Información incompleta Vamos a buscar un equilibrio simétrico en estrategias puras. Equilibrio simétrico significa que a 1 (t) = a (t) para todo t T. En equilibrio, a 1 (0) = a (0) = no. Es a 1 (0) = a (0) = si un equilibrio? Supongamos que t i = 0. (el agente i tiene coche) El pago esperado de este agente con la estrategia anterior es pu i (si, a j (0) 0) + (1 p)u i (si, a j (0) 0) = pu i (si, si 0) + (1 p)u i (si, no 0) = p(0 10) + (1 p)(0 0) = 10p + 10 Equilibrio simétrico en estrategias puras Mientras que si se desvía y sigue la estrategia b i = no, su pago esperado es pu i (no, a i (0) 0) + (1 p)u i (no, a i (0) 0) = pu i (no, si 0) + (1 p)u i (no, no 0) = p(0 0) + (1 p) 0 = 0p Por tanto, la estrategia a 1 (0) = a (0) = si es un EB si p 0p, es decir si p 1/. 9

10 En resumen, si p 1/ hay un EB simétrico en estrategias puras a 1 (0) = a (0) = no a 1 (0) = a (0) = si Este equilibrio es eficiente: Se construye la carretera si t 1 + t > 0. Hay algún otro equilibrio simétrico en estrategias puras? Es a i (0) = a i (0) = no i = 1, un EB? El pago esperado con esta estrategia es 0. Mientras si un agente se desvía, su pago esperado es 10. Por lo tanto, a i (0) = a i (0) = no i = 1, no es un EB. Información incompleta. Equilibrio simétrico en estrategias mixtas Ahora nos preguntamos si existe un EB simétrico en estrategias mixtas cuando p > 1/. El equilibrio simétrico en estrategias mixtas debe ser de la forma a 1 (0) = a (0) = w si + (1 w) no = Supongamos que el agente i es de tipo t i = 0 = 0. Recordemos que una condición necesaria para que la estrategia de arriba sea un un EN en estrategias mixtas es que el agente esté indiferente entre a i (0) = si y a i (0) = no. Vamos a expresar esta condición. Cuando el agente declara a i (0) = si y el otro agente j i sigue la estrategia mixta a j (0) = (w, 1 w) entonces el pago esperado para el agente i es [ ] p w u i (si, si 0) + (1 w) u i (si, no 0) + (1 p)u i (si, no 0) = [ ] p w(0 10) + (1 w)(0 0) + (1 p)(0 0) = = pw Si el agente declara a i (0) = no y el otro agente j i sigue la estrategia mixta a j (0) = (w, 1 w) entonces el pago esperado para el agente i es [ p w u i (no, si 0) + ] (1 w) u i (no, no 0) + (1 p)u i (no, no 0) = [ ] p w 0 + (1 w) 0 + (1 p) 0 = = 0pw 10

11 Por tanto la estrategia a 1 (0) = a (0) = w si + (1 w) no es un EB si es decir si pw = 0pw w = 1 p En conclusión, hemos encontrado que 1. Si p 1/ entonces 1 p 1 a i (0) = no, a i (0) = si Eficiencia es un EB.. Si p > 1/ entonces es un EB. a i (0) = no, a i (0) = 1 1 si + (1 p p ) no Cuál es la probabilidad de que sea eficiente construir la carretera? Hay cuatro casos posibles para los agentes, (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) Eficiente si si si no prob p p(1 p) p(1 p) (1 p) La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente es p + p(1 p) = p p Cuál es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo el mecanismo A? si p 1/, (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) prob p p(1 p) p(1 p) (1 p) prob constr La probabilidad de construir la carretera es p + p(1 p) = p p 1 11

12 La probabilidad de construir la carretera coincide con la probabilidad de que sea eficiente construirla. Pero si p > 1/, (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) prob p p(1 p) p(1 p) (1 p) prob. 1 (1 w) w w 0 constr. = w w La probabilidad de construir la carretera es p (w w ) + p(1 p)w = 4 El mecanismo es ineficiente con probabilidad p (1 w) + p(1 p)(1 w) = p p 4 La gráfica de la función p p es p p / 4 y = / 4 1 / p Vemos que si 1/ < p 1, entonces p p > 4 La probabilidad de construir la carretera es menor que la probabilidad de que sea eficiente construirla. 4. Mecanismo B Mecanismo B Ordenamos los agentes i = 1,. El agente 1 indica cuánto está dispuesto a pagar por construir la carretera: ξ 1 [0, 0]. El individuo conociendo ξ 1 informa que su decisión es 1. si : y entonces la carretera se construye y los agentes pagan las cantidades ξ 1 y ξ = 0 ξ 1. 1

13 . no : y entonces la carretera no se construye y los agentes pagan las cantidades ξ 1 = 0 y ξ = 0. Vamos a escribir este mecanismo en forma de Juego Bayesiano y analizar los equilibrios. Los tipos de los agentes son T = T 1 = T = {coche, no coche}. También utilizaremos como tipo el valor que cada uno asigna a construir la carretera T = T 1 = T = {0, 0}. La probabilidad de cada tipo es p(0) = 1 p, p(0) = p. Estas son las conjeturas de los agentes p i (t j = 0) = p Los conjuntos de acciones de los agentes son A 1 = [0, 0], A = {si, no}. Denotamos la acción del agente i = 1, por a i. La estrategia del agente 1 es una función a 1 : T 1 A 1. La estrategia del agente es una función a : T A 1 A. Funciones de utilidad La función de utilidad del agente 1 es u 1 (a 1, a, t 1 ) = La función de utilidad del agente es Segunda etapa u (a 1, a t 1 ) = { t1 a 1, si a = si; 0, si a = no. { t (0 a 1 ), si a = si; 0, si a = no. vamos a calcular los EB. Como es un juego secuencial, lo resolvemos por inducción hacia atrás. Primero analizamos las acciones del jugador. Si el jugador 1 elige la acción a 1, los pagos del jugador son 1. u = t (0 a 1 ) = t 0 + a 1, cuando a = si.. u = 0, cuando a = no. La mejor respuesta del jugador 1 es a (0, a 1 ) = si, a (0, a 1 ) = { no si a1 < 0; si, si a 1 = 0. 1

14 Primera etapa El jugador 1 anticipa la reacción del jugador. Si el tipo del jugador 1 es t 1 = 0, su mejor estrategia es elegir a 1 (0) = 0. Supongamos ahora que el tipo del jugador es t 1 = 0 y busquemos su estrategia óptima. Si su mensaje es a 1 = 0, entonces su utilidad esperada es 10. Si su mensaje es a 1 < 0, entonces su utilidad esperada es p(0 a 1 ) + (1 p) 0 = 0p pa 1 Es decir, Entre todos los mensajes a 1 < 0 su estrategia óptima es elegir a 1 = 0.Y su utilidad esperada sería 0p. El jugador 1 debe decidir si su mensaje es a 1 = 0 o a 1 = 0. Elige a 1 = 0 si 0p > 10. O lo que es lo mismo si p > 1 En conclusión 0, si p > 1/; a 1 (0) = 0 a 1 (0) = 0, si p < 1/; w [0, 0], si p = 1/. Equilibrio En resumen, el EB es Eficiencia 0, si p > 1/; a 1 (0) = 0 a 1 (0) = 0, si p < 1/; w [0, 0], si p = 1/. a (0, a 1 ) = si, a (0, a 1 ) = { no si a1 < 0; si, si a 1 = 0. Cuál es la probabilidad de que la carretera se construya siguiendo el mecanismo B? 14

15 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) Eficiente si si si no prob p p(1 p) p(1 p) (1 p) carretera se si si cuando p < 1/ si no construye no cuando p > 1/ La probabilidad de que construir la carretera sea eficiente es p + p(1 p) = p p. La probabilidad de construir la carretera es p + p(1 p) = p p si p < 1/ p + p(1 p) = p si p > 1/ El mecanismo es ineficiente con probabilidad p(1 p) = p p. Cuál de los dos mecanismos es más eficiente? El mecanismo A es más ineficiente que B si es decir si p p 4 > p p p > 4 5 Más información puede ser peor Consideremos el siguiente juego con información incompleta, L M R L M R T 1,1/ 1,0 1,/4 T 1,1/ 1,/4 1,0 B, 0,0 0, B, 0, 0,0 1 w 1 1/ w 1/ Los agentes piensan que con probabilidad 1/ juegan el juego w 1 y con con probabilidad 1/ juegan el juego w. EL único EN es (B, L). Cada jugador obtiene un pago esperado de. Supongamos ahora que el jugador conoce si están jugando w 1 o w. El único EN es (T, R) ó (T, M). El pago del jugador es /4. Preferiría no estar informado. El jugador no puede comprometerse de manera fiable a ignorar la información. 15