5.1 La función logaritmo natural: derivación

Transcripción

1 CAPÍTULO Funcions logarímica, ponncial oras funcions rascnns. La función logarimo naural: rivación Dsarrollar usar propias la función logarimo naural. Comprnr la finición l númro. Drivar funcions qu involucran la función logarimo naural. La función logarimo naural Rcorar qu n la rgla gnral la poncia Th Grangr Collcion JOHN NAPIER (0-67) El mamáico scocés John Napir invnó los logarimos. Napir formó l érmino logarimo con os palabras grigas: logos (razón) arihmos (númro), para nominar la oría qu sarrolló a lo largo vin años qu aparció por primra vz n l libro Mirifici Logarihmorum canonis scripio (Una scripción la maravillosa rgla los algorimos). Aunqu no inroujo la función logarimo naural, algunas vcs s llama función logarimo napiriana. n n n n C, Rgla gnral la poncia. in una rsricción imporan, no s aplica al caso n. D hcho, oavía no s ha nconrao una anirivaa o primiiva para la función ƒ(). En sa scción s usará l sguno orma funamnal l cálculo para finir sa anirivaa o primiiva. Ésa s una función qu no ha aparcio prviamn n s libro. No s algbraica ni rigonomérica, sino qu sá incluia n una nuva clas funcions, llamaas funcions logarímicas. Esa función paricular s la función logarimo naural. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL La función logarimo naural s fin como ln > 0., El ominio la función logarimo naural s l conjuno oos los númros rals posiivos. A parir la finición s uc qu ln s posiiva para ngaiva para 0 (figura.). Amás, ln() 0, a qu los límis infrior suprior ingración son iguals cuano. = Si >, > 0. = Si <, < 0. Si, noncs ln 0 Si 0, noncs ln 0 Figura. E X P L O R A C I Ó N Rprsnación la función logarimo naural Usano sólo la finición la función logarimo naural, razar una gráfica. Eplicar l razonamino.

2 SECCIÓN. La función logarimo naural: rivación = ln (, 0) Caa pquño sgmno rco in una pnin Figura. Para ibujar la gráfica ln, s pu pnsar n la función logarimo naural como una anirivaa o primiiva aa por la cuación ifrncial. La figura. s una gráfica gnraa por compuaora; llamaa campo pnins o campo irccions, qu consa pquños sgmnos pnin. La gráfica ln s la solución qu pasa por l puno (, 0). S suiarán campos pnins n la scción 6.. El siguin orma rsum varias propias básicas la función logarimo naural. TEOREMA. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL La función logarimo naural in las siguins propias.. El ominio s (0, ) l rcorrio o rango s (, ).. La función s coninua, crcin inciva.. La gráfica s cóncava hacia abajo. DEMOSTRACIÓN El ominio ƒ() ln s (0, ) por finición. Amás, la función s coninua, por sr rivabl. Y s crcin porqu su rivaa = = = = = = = = ln = = = = = = = La función logarimo naural s crcin, su gráfica s cóncava hacia abajo Figura. f Primra rivaa. s posiiva para 0, como s musra n la figura.. Es cóncava hacia abajo porqu f Sguna rivaa. s ngaiva para 0. La pruba qu f s inciva s prsna n l apénic A. Los siguins límis implican qu l rcorrio o rango s oa la rca ral. lím ln 0 lím ln La jusificación ambos límis s ncunra n l apénic A. Uilizano la finición la función logarimo naural, s pun probar imporans propias las opracions con logarimos naurals. Si a sá familiarizao con los logarimos, l lcor rconocrá qu sas propias son caracrísicas oos los logarimos. TEOREMA. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Si a b son númros posiivos n s racional, s saisfacn las siguins propias.... ln 0 ln ab ln a ln b ln a n n ln a. ln a ln a ln b b

3 6 CAPÍTULO Funcions logarímica, ponncial oras funcions rascnns DEMOSTRACIÓN La primra propia a s ha iscuio. La sguna s uc l hcho qu os anirivaas o primiivas una misma función ifirn n una consan. Dl sguno orma funamnal l cálculo la finición la función logarimo naural, s sab qu ln. Así pus, s consiran las os rivaas lna a a ln a ln 0. Como ln(a) (ln a ln ) son anirivaas o primiivas, bn ifrir a lo más n una consan. lna ln a ln C Tomano, s pu vr qu C 0. La rcra propia s musra manra análoga comparano las rivaas ln( n ) n ln. Por úlimo, al uilizar la sguna rcra propias, s pu comprobar la cuara. ln a b lnab ln a lnb ln a ln b El jmplo musra cómo usar propias los logarimos para sarrollar prsions logarímicas. EJEMPLO Dsarrollo prsions logarímicas f() ln a) ln 0 ln 0 ln 9 Propia. 9 ln ln b) Rscribir con ponn racional. ln Propia. g() ln c) ln 6 ln6 ln Propia. ) ln 6 ln ln ln ln ln Propia. ln ln ln ln ln ln ln ln ln Figura. Cuano s usan las propias los logarimos para rprsar funcions logarímicas, ha qu analizar si l ominio la función rscria s l mismo qu l la función original. Así, l ominio ƒ() ln son oos los númros rals salvo 0, minras qu l g() ln son oos los númros rals posiivos (vr la figura.).

4 SECCIÓN. La función logarimo naural: rivación 7 = Ára = = El númro Es mu probabl qu a s haan suiao los logarimos n cursos anriors álgbra. Ahí, sin las vnajas l cálculo, suln finirs n érminos un númro bas. Por jmplo, los logarimos comuns inn bas 0 porqu log 00. (Volvrmos a so n la scción..) Para finir la bas los logarimos naurals, s aprovcha qu la función logarimo naural s coninua, inciva con rcorrio o rango (, ). Por ano, b isir un único númro ral al qu ln, como musra la figura.. Es númro s noa por la lra. Pu mosrars qu s irracional qu in un valor aproimao..7 s la bas los logarimos naurals porqu ln = Figura DEFINICIÓN DE La lra noa l númro ral posiivo al qu ln. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para aprnr más sobr l númro, s rcomina vr l arículo Unpc Occurrncs of h Numbr, Harris S. Shulz Bill Lonar n la rvisa Mahmaics Magazin. Sabino qu ln, usar las propias logarímicas para calcular los logarimos naurals oros númros. Por jmplo, usano la propia ( 0, 0) (, ) (, ) (, ) (, ) = ln Si n, noncs ln n Figura.6 (, ) ln n n ln n n s pu valuar ln( n ) para ivrsos valors n, como s musran n la abla n la figura.6. ln Los logarimos sa abla son fácils calcular sa forma porqu los valors son poncias nras. Sin mbargo, la maoría las prsions logarímicas s pun valuar mjor con una calculaora. EJEMPLO Evaluación prsions con logarimos naurals a) ln 0.69 b) ln.66 c) ln 0..0

5 8 CAPÍTULO Funcions logarímica, ponncial oras funcions rascnns La rivaa la función logarimo naural La rivaa la función logarimo naural s a por l orma.. La primra par l orma provin la finición la función logarimo naural como una anirivaa o primiiva. La sguna par l orma s simplmn la vrsión la rgla la cana la primra par. TEOREMA. DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Sa u una función rivabl n.. > 0 ln,. ln u u u u u, u > 0 EJEMPLO Drivación funcions logarímicas E X P L O R A C I Ó N Usar una hrramina graficación para rprsnar ln n la misma panalla, con Eplicar por qué las gráficas aparnmn son iénicas. a) b) u ln u ln u u ln c) Rgla l prouco. ln ln ln ln ln ln ln u. u. ) Rgla la cana. ln Napir uilizaba las propias los logarimos para simplificar cálculos con proucos, cocins poncias. Por supuso, acualmn con las calculaoras a nusra isposición ha poco lugar para sas aplicacions los logarimos. No obsan, s gran valor l uso las propias los logarimos para simplificar la rivaa proucos, cocins poncias. EJEMPLO Propias los logarimos como aua n la rivación Drivar f ln. Solución Como f ln ln ln Rscribir s pu scribir f. ans rivar. Drivar.

6 SECCIÓN. La función logarimo naural: rivación 9 EJEMPLO Propias los logarimos como aua n la rivación Drivar f ln. Solución f ln ln ln ln f 6 Escribir la función original. Rscribir ans rivar. Drivar. NOTA En los jmplos s pu vr la vnaja aplicar las propias los logarimos ans rivar. Consiérs, por jmplo, la ificula rivar ircamn la función l jmplo. En ocasions, s convnin usar los logarimos como aua n la rivación funcions no logarímicas. Es procimino s llama rivación logarímica. EJEMPLO 6 Drivación logarímica Enconrar la rivaa,. Solución Noar qu 0 para oo. Así, ln sá finio. Iniciar aplicano l logarimo naural n los os mimbros la cuación. Y a coninuación aplicar las propias los logarimos la rivación implícia. Por úlimo, spjar., ln ln ln ln ln Escribir la cuación original. Aplicar logarimo naural n ambos laos. Propias los logarimos. Drivar. Dspjar. Susiuir.

7 0 CAPÍTULO Funcions logarímica, ponncial oras funcions rascnns Puso qu l logarimo naural no sá finio para númros ngaivos, nconrarmos con frcuncia prsions como lnu. El siguin orma afirma qu s pun rivar funcions la forma lnu ignorano l signo l valor absoluo. TEOREMA. DERIVADAS CON VALORES ABSOLUTOS Si u s una función rivabl al qu u 0, noncs. ln u u u DEMOSTRACIÓN Si u 0, noncs u u, l rsulao s obin aplicano l orma.. Si u 0, noncs u u, s in ln u lnu u u u u. EJEMPLO 7 Drivaas con valors absoluos Enconrar la rivaa f lncos. Solución Sgún l orma., omar u cos scribir ln cos u u sn cos an. ln u u u u cos ln ( ) EJEMPLO 8 Localización rmos rlaivos Localizar los rmos rlaivos ln( ). (, ln ) Mínimo rlaivo La rivaa cambia ngaivo a posiivo n Figura.7 Solución Al rivar, s obin. Como 0 para, s pu aplicar l cririo la primra rivaa concluir qu l puno (, ln ) s un mínimo rlaivo. Como no ha más punos críicos, és s l único rmo rlaivo (vr la figura.7).