DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Autores: Jun Alberto Rodríguez Velázquez Cristin Steegmnn Pscul ESQUEMA DE CONTENIDOS Conceptos básicos Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles (SEL) Clsificción de los SEL Usndo Mthcd Rngo Teorem de Rouché-Fröbenius Discusión de SEL con prámetros INTRODUCCIÓN Comenzmos el mth-block presentndo los principles conceptos relciondos con ls ecuciones y sistems de ecuciones (Identidd, ecución, sistem de ecuciones, sistem de ecuciones lineles, etc). Presentmos l clsificción de los sistems de ecuciones lineles (SEL) de cuerdo su solución y enuncimos el teorem de Rouchè-Fröbenius, que es l principl herrmient pr l discusión de los SEL. Pr poder plicr dicho teorem necesitmos sber clculr el rngo de mtrices, es por eso que un de ls secciones del mth-block se dedic l estudio del rngo. Presentmos vrios ejemplos que ilustrn los psos seguir pr discutir los SEL con prámetros. Y por último discutimos lgunos SEL con yud del progrm Mthcd. A prte de este mth-block, pr completr el estudio de los sistems de ecuciones lineles recomendmos los mth-blocks tituldos Sistems de Ecuciones Lineles: Resolución y Modelos mtemáticos. OBJETIVOS Conocer l clsificción de los SEL de cuerdo su solución. Conocer el concepto de rngo de un mtriz y los métodos de cálculo. Conocer y plicr el teorem de Rouchè-Fröbenius. Discutir SEL con prámetros. Mostrr ls posibiliddes que brind el progrm Mthcd pr discutir los SEL. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

2 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles CONOCIMIENTOS PREVIOS Es recomendble hber leído, previmente, los mth-blocks reltivos : Álgebr de mtrices. Determinntes. Mtriz invers. Además, recomendmos los introductorios Mthcd. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Ecuciones y sistems de ecuciones: Conceptos básicos Un de ls relciones más usds en mtemátics es l relción de iguldd =, est jueg un ppel fundmentl en el estudio de ls ecuciones y sistems de ecuciones. Iniciremos nuestro estudio presentndo lgunos tipos de epresiones en ls que intervienen igulddes. L siguiente epresión indic l iguldd entre dos cntiddes numérics (4 7 ) = 65. Diremos que est es un iguldd numéric, mientrs ls siguientes epresiones, que indicn l iguldd entre epresiones lgebrics (precen vribles), ( + y) = + y = 6, son denominds igulddes literles. L primer iguldd literl es un identidd y que se verific pr culquier vlor numérico de ls vribles que en ell precen. En cmbio, l segund iguldd literl es un ecución y que sólo se verific pr lgunos vlores numéricos de l vrible que en ell precen. Estos vlores son = y =. Ls soluciones de un ecución son los vlores de ls incógnits que stisfcen l iguldd. Y resolver un ecución signific determinr tods ls soluciones si es que eisten. Vemos lgunos ejemplos: = =. L ecución linel 4 8 = 7 tiene solución =. Esto se verific sustituyendo:. L ecución eponencil tiene solución =. Al sustituir tenemos: = = = =. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

3 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles. L ecución diferencil y '' + y' = tiene solución y = c + c e, donde c,c R. Pr comprobrlo clculmos ls derivds y sustituimos: y' = ce, y'' = c e ; l sustituir se obtiene c e c e =. 4. L ecución linel 4 5y + z = tiene infinits soluciones, lguns de ells son ls siguientes: y z 4 / En muchs ocsiones los problems estudidos conducen vris ecuciones que relcionn ls misms incógnits. En esos csos estmos en presenci de un sistem de ecuciones. Ls soluciones de un sistem de ecuciones son los vlores de ls incógnits que stisfcen l iguldd en cd un de ls ecuciones del sistem. Discutir un sistem de ecuciones signific determinr si tiene soluciones y cuáles son. Vemos lgunos ejemplos de sistems de ecuciones:. El sistem de ecuciones lineles + y + z = y + z = 5 + y + z = 8 4 tiene solución = 5, y = 7 y z = 8.. El sistem de ecuciones lineles tiene l mism solución del nterior.. El sistem de ecuciones polinómics + y + z = y + z = y + z = 7 y = 5( ) y = tiene soluciones =, = 5 y = El sistem de ecuciones eponenciles con dos incógnits + y = y+ = tiene solución = e y =. En todos los ejemplos nteriores l comprobción de l solución se obtiene de mner inmedit por sustitución. Nótese que los dos primeros sistems de ecuciones tienen l mism solución, en ese cso se dice que los sistems son equivlentes. Como hemos podido observr en los ejemplos nteriores, es fácil comprobr si determindos vlores de ls incógnits son solución de un determind ecución o sistem de ecuciones. Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

4 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles En cmbio, en muchs ocsiones no es fácil determinr si un ecución (o sistem de ecuciones) tiene solución, y en cso de tener, no siempre es fácil determinr con tod precisión tods ls soluciones. Es por eso que desde l ntigüedd los mtemáticos hn dedicdo mucho tiempo y esfuerzo determinr fórmuls, métodos y lgoritmos que permitn determinr l solución de cd tipo de ecución o sistems de ecuciones con que se hn ido tropezndo lo lrgo del desrrollo de nuestr civilizción. En muchos csos el esfuerzo dedicdo no h sido en vno, pero desfortundmente en lguns ocsiones tenemos que conformrnos con vlores proimdos de l solución después de hber relizdo tediosos cálculos mnules o con yud del ordendor. En los ejemplos nteriores hemos presentdo vrios tipos de ecuciones o sistems de ecuciones con el objetivo de ilustrr los conceptos de ecución, sistem de ecuciones, solución de un ecución y solución de un sistem, pero lo lrgo de este mth-block nos limitremos l estudio de los sistems de ecuciones lineles (SEL) que, por fortun, son muy fáciles de discutir; en todos los csos podremos determinr si los SEL tiene soluciones y cuáles son. Sistems de ecuciones lineles: Form mtricil Un sistem de ecuciones de l form m + + n + + n + + mn n n = b n = b m = b es denomindo sistem de ecuciones lineles (SEL) de orden n. representr en form de producto de mtrices como sigue: m m Los SEL se pueden m m n n mn b b = n bm donde ij son los coeficientes, ij ls incógnits, y b ij son los términos independientes. Este X B A = recibe el A = L mtriz ( ) producto suele escribirse en form simplificd como. nombre de mtriz del sistem o mtriz de los coeficientes. Otr form clr de epresr los SEL A B : es trvés de su mtriz mplid ( ) ij m m n n mn b b b m Ejemplo Consideremos el siguiente SEL: Proyecto e-mth 4 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

5 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles Proyecto e-mth 5 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD) = + + = + = + t z y z y t z y Su representción en form de producto de mtrices es: = t z y L mtriz del sistem es: 8 6 L mtriz mplid es: Como veremos más delnte, el estudio del rngo de l mtriz del sistem y de l mtriz mplid nos permitirá determinr el número de soluciones de los SEL. Es por eso que l siguiente sección está dedicd l estudio del rngo de un mtriz. Rngo de un mtriz Dd un mtriz de orden, m n consideremos k fils y k columns. Los elementos comunes ests fils y columns considerds formn un mtriz cudrd cuyo determinnte es denomindo un menor de orden k de l mtriz dd. Ejemplo: Consideremos l mtriz = A Un menor de orden de l mtriz A se obtiene l seleccionr dos fils y dos columns. Por ejemplo, si seleccionmos ls dos últims fils y ls dos últims columns obtenemos el siguiente menor: 8 = M Otro menor de orden es, por ejemplo, el que se obtiene de seleccionr ls dos últims fils y ls columns primer y tercer:

6 N = Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles 4 8 Ddo un menor, M, de orden k, se denomin menor orldo l menor M un menor de orden k + formdo por ls fils que determinn M y un culquier de ls restntes, y ls columns que determinn M y un culquier de ls restntes. Ejemplo: Consideremos l mtriz A y el menor M del ejemplo nterior. Entonces los menores orldos M son: El menor 4 8, que se obtiene l gregr l primer fil y l primer column, y el 4 4 menor 6 8, que se obtiene l gregr l primer fil y l segund column. El rngo de un mtriz A, no nul, es un número r que cumple ls siguientes condiciones:. Eiste un menor de A, de orden r, distinto de cero.. Todos los menores de A de orden r (en cso de que eistn) son nulos. El rngo de un mtriz A se denot por rg (A). Ahor podemos decir que el rngo de l mtriz A del ejemplo nterior es, rg( A) =, 8 menor = es diferente de cero y todos sus menores orldos son nulos. Esto es, = 6 8 = Recomendmos tener en cunt los siguientes psos l clculr el rngo de un mtriz:. Se suprimen tods ls fils o columns que estén formds sólo por ceros. + 4 y que el. Se observ, por simple inspección, si se precin fils o columns que sen combinción linel de sus prlels y se procede eliminrls.. Se elige un elemento no nulo de l mtriz, con lo que segurmos que el rngo es myor o igul uno, l eistir un menor no nulo de orden. A continución se orl este menor, es decir, formmos un menor de orden que conteng l número selecciondo. Si lguno de los menores sí formdos es no nulo, el rngo de l mtriz es l menos dos. 4. Repetimos este proceso de ir orlndo el menor que h resultdo diferente de cero en el pso nterior, hst obtener un menor, de orden k, que l orlrlo con ls restntes fils y columns de l mtriz, pr formr menores de orden k +, resulten todos ellos determinntes nulos. Entonces podemos concluir que el rngo de l mtriz es k. Proyecto e-mth 6 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

7 Como ejemplo vmos clculr el rngo de l siguiente mtriz: M = 4 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles Al observr ls fils vemos que l tercer es múltiplo de l primer. Eliminmos l tercer fil y obtenemos l siguiente mtriz: 6 M ' = rg (M) = rg(m' Seleccionmos el elemento de l primer fil y primer column de Así, ). M' que es diferente de cero. Así tenemos un menor no nulo de orden. Con esto sbemos que rg(m) = rg(m'). Ahor orlmos este menor prtir de l segund fil y l segund column y obtenemos 4 = =. rg(m') Ahor tenemos que rg(m) =. Si orlmos este menor prtir de l tercer fil y l tercer column, obtenemos = ( ) ( + + 6) =. Y como este menor es nulo buscmos otro, el que se obtiene considerndo l tercer fil y l últim column. Así obtenemos = ( ) ( + + 6) =. No podemos seguir orlndo este menor de orden que es diferente de cero porque tiene fils. Entonces concluimos que (M). rg = M ' sólo Un detlle tener en cuent l clculr el rngo de l mtriz de un sistem de ecuciones lineles y el de su mtriz mplid es que se cumple l siguiente relción: rg( A) rg( A B). El rngo de un mtriz tmbién se puede estudir prtir del concepto de dependenci linel de vectores o, de form equivlente, del método de Guss pr esclonr mtrices. Remitimos los interesdos ls págins 5 y 6 de []. Clsificción de los sistems de ecuciones lineles de cuerdo su solución. Teorem de Rouchè-Fröbenius Los SEL se clsificn de cuerdo su solución en comptibles e incomptibles. Un SEL es comptible cundo tiene solución, en cso contrrio se dice que es incomptible. A su vez, los SEL comptibles se clsificn en determindos e indetermindos: un sistem comptible es determindo si tiene solución únic, en cso contrrio es indetermindo. Proyecto e-mth 7 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

8 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles Teorem de Rouchè-Fröbenius Se AX = B un SEL de n incógnits. Entonces se cumple: rg (A) = rg(a B =n el SEL es comptible determindo; ) (A) rg(a B) rg = <n el SEL es comptible indetermindo con n rg(a) de libertd; (A) rg(a B) rg < el SEL es incomptible, grdos Ejemplo Consideremos el siguiente SEL: + y = + y = y = Pr discutir el sistem, primero determinmos l mtriz del sistem y l mtriz mplid: = A ( A B) = Como el menor = es diferente de cero y no es posible orlrlo, se obtiene rg ( A) =. En l mtriz mplid sí es posible orlr este menor: = (6 + ) ( ) =. De hí que (A) rg( A B) Entonces se obtiene que ( A B). rg < y podemos concluir que el sistem es incomptible. Ejemplo A continución vmos discutir el siguiente SEL: + y = 4 + z = 4 + y + z = 8 Determinemos l mtriz del sistem y l mtriz mplid: rg = Proyecto e-mth 8 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

9 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles A = ( A B) = rg ( A) = y que = y. A = Pr ver que ( A B) rg es suficiente con drse cuent que l últim fil es l sum de ls dos primers. Así, A) rg( A ) = ( = B = rg el sistem es comptible. Como el número de incógnits es n =, n = > = rg( A) = rg( A B), el sistem es comptible indetermindo con un grdo de libertd. En este cso es fácil determinr tods ls soluciones del sistem y que, como hemos dicho ntes, l últim ecución es l sum de ls dos primers. Por eso suprimiendo l últim ecución obtenemos el siguiente SEL + y = 4 + z = 4 que es equivlente l nterior. L solución se obtiene epresndo tods ls vribles en función de un de ells (un grdo de libertd). Si epresmos tods ls incógnits en función de z obtenemos = 4 z y = 4 (4 z) = 4 + z z = z Ejemplo Consideremos el siguiente SEL: = 4 t = + z = t o lo que es igul y 4 t t R. y = + y + z = y + z = Pr discutir el sistem de ecuciones, vmos determinr l mtriz del sistem y l mtriz mplid: - A = ( A B) = = = tenemos que ( A) =. Como A (6 ) ( 4 9), ( A B) =, rg( A) = rg n = por lo que el sistem es comptible determindo. rg De hí que En este cso, como l mtriz del sistem es cudrd y su determinnte es diferente de cero, podemos clculr su mtriz invers y resolver el sistem de ecuciones de l siguiente form: Clculmos A mnulmente o usndo mthcd medinte el comndo X - de l brr de herrmients Mtri (ver el mth-block sobre mtriz invers pr profundizr en los métodos de cálculo). En culquier cso obtenemos Proyecto e-mth 9 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

10 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles A = Epresmos el SEL en form mtricil: - y = z Multiplicmos por A por l izquierd y obtenemos: y = 4 z = Entonces, l solución del sistem es =, y = 5 y z = 7. En este mth-block no perseguimos como objetivo estudir en detlle todos los métodos pr resolver los SEL. Un estudio detlldo de dichos métodos prece el mth-block tituldo Sistems de Ecuciones Lineles: Resolución. Sistems homogéneos Diremos que un SEL es homogéneo si todos sus términos independientes son cero. Un SEL homogéneo es de l form: n n = n n = = m m Mtricilmente se epres sí: AX= En consecuenci l mtriz mplid tendrá l últim column de ceros, de form que rg (A) = rg(a ). De hí que, según el teorem de Rouchè-Fröbenius, podemos firmr que los sistems homogéneos siempre son comptibles. De tods forms, pr llegr est conclusión no necesitábmos usr este teorem y que, como l sum de ceros es cero, los sistems homogéneos siempre dmiten l solución trivil mn = = =. n = Entonces pr clsificr los SEL homogéneos de cuerdo su solución sólo tenemos que verigur si rg (A) = n. En cso firmtivo el sistem es comptible determindo por lo que l únic solución del sistem es l trivil. En cso contrrio, cundo rg (A) < n, el sistem es comptible indetermindo. Como ejemplo consideremos el siguiente SEL homogéneo: n Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

11 L mtriz del sistem es Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles + y + z = y + z = + y + z = A = = ( + ) ( + + ) = 4 Entonces rg (A) =. El sistem cuyo determinnte es A. es comptible determindo; sólo dmite l solución trivil. Discusión de sistems de ecuciones lineles con prámetros En est sección presentmos lgunos ejemplos de discusión de sistems de ecuciones lineles con prámetros. En todos ellos plicremos el teorem de Rouchè-Fröbenius. Ejemplo Clsifiquemos el siguiente sistem de ecuciones de cuerdo su solución ( + y + z = ky + kz = k + ky + z = En primer lugr vmos determinr l mtriz del sistem y l mtriz mplid: A = k k k k ( A B) = k k k k k R ) Estmos estudindo un sistem de ecuciones con incógnits, por eso el rngo de l mtriz del sistem es menor o igul que. Pr que este sistem se comptible determindo se tiene que cumplir que el determinnte de l mtriz del sistem se diferente de cero. Vemos pr qué vlores del prámetro k el determinnte es cero. El determinnte de A es: A = (k + k + ) (k + k + ) = k k = k( k). Así, A = k = o k =. Entonces podemos concluir que pr todos los vlores del prámetro k diferentes de y de se cumple que A y, por consiguiente, ( A B) = n. rg (A) rg = = Es decir, el sistem será comptible determindo pr todos los vlores reles del prámetro k ecepto pr k = y k =. Ahor vmos clsificr el sistem pr los csos k = y k = : Cso k = : Ls mtrices son Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

12 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles A = y ( A B) = Y sbemos que rg (A) < porque A =. Vemos si rg (A B) =. Pr eso vmos elegir menores de orden pr ver si lguno es diferente de cero. En efecto, el menor formdo por ls tres últims columns es diferente de cero: De hí que (A B) rg(a) Cso k = : = ( + + ) ( + + ) =. rg = > y concluimos que pr k = el sistem es incomptible. En este cso tenemos A = y ( A B) = Y sbemos que rg (A) < porque A =. Si encontrmos un menor no nulo de A de orden podremos decir que (A). fils y ls dos primers columns: rg = Elegimos el menor que result de seleccionr ls dos primers = =. rg (A) = Necesitmos clculr el rngo de l mtriz mplid. Y Entonces concluimos que. sbemos que = rg(a) rg(a B) por eso psremos directmente clculr los menores, de orden, de l mtriz mplid. Estos son: A =, = y = rg = = Ahor podemos concluir que pr k = el sistem es Entonces (A B) rg(a). comptible indetermindo con un grdo de libertd ( n rg(a) = = ). Ejemplo Clsifiquemos el siguiente sistem de ecuciones de cuerdo su solución ( k + y + z = k + ky + z = k + y + kz = k En primer lugr vmos determinr l mtriz del sistem y l mtriz mplid: k R ) Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

13 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles k A = k k ( A B) k = k k k k k Estmos estudindo un sistem de ecuciones con incógnits, por eso el rngo de l mtriz del sistem es menor o igul que. Pr que este sistem se comptible determindo se tiene que cumplir que el determinnte de l mtriz del sistem se diferente de cero. Vemos pr qué vlores del prámetro k el determinnte es cero. El determinnte de A es: A = (k + + ) (k + k + k) = k k + = (k ) (k + ). Así, A = k = o k =. Entonces podemos concluir que pr todos los vlores del prámetro k diferentes de y de - se cumple que A y, por consiguiente, ( A B) = n. rg (A) rg = = Es decir, el sistem será comptible determindo pr todos los vlores reles del prámetro k ecepto pr k = y k =. Ahor vmos clsificr el sistem pr los csos k Cso k = : Ls mtrices son = y k = : A = ( A B) = Y sbemos que en este cso rg (A) < porque A =. Vemos si rg (A B) =. Pr eso vmos elegir menores de orden pr ver si lguno es diferente de cero. En efecto, el menor formdo por ls tres últims columns es diferente de cero: De hí que rg (A B) > rg(a) Cso k = : En este cso tenemos = ( 8 ) ( ) = 8. = y concluimos que pr k A = y ( A B) = = el sistem es incomptible. El rngo de ests mtrices no es cero porque tienen elementos (menores de orden ) diferentes de cero. Además, como en mbs mtrices ls tres fils son igules obtenemos que rg (A) = rg(a B) =. Ahor podemos concluir que pr k = el sistem es comptible indetermindo con grdos de libertd ( n rg(a) = = ). Proyecto e-mth Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

14 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles Ejemplo [5] Hllr los vlores de y b pr que el sistem: + y z = + 5y 8z = + by + z = + y + bz = dmit soluciones distints de l trivil (=y=z=). L mtriz del sistem es: A = 5 b 8 b El sistem es homogéneo por eso siempre dmite l solución trivil. Como buscmos soluciones distints de l trivil, necesitmos determinr los vlores de y b tles que rg (A) <. En otrs plbrs, necesitmos determinr los vlores de y b tles que todos los menores de orden sen cero. Los menores de orden tres son: 5 b b = (5 6b 6) ( 5 + 8b) = + b + = = (5b 6 6) ( 5 + 4b 8) = + b + = + b = + b = b = = 5 8 b b = (b + 5 8) ( 8b b) = b b 6 = Sustituyendo comprobmos que b = y = son solución de l ecución nterior. b b = (b + 6 ) ( b + b + ) = b + + b = Sustituyendo comprobmos que b = y = son solución de l ecución nterior. Así pues, concluimos que ls soluciones no triviles del SEL inicil se obtienen pr los vlores b = y =. Proyecto e-mth 4 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

15 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Usndo Mthcd Utilizndo l función rnk del progrm Mthcd podemos clculr el rngo de un mtriz. Pr ello introducimos l mtriz estudid y le plicmos l función rnk. Ejemplo: Introducimos l siguiente mtriz: Clculmos su rngo: A := Como ejemplo de discusión de SEL con yud de Mthcd vmos retomr uno de los SEL con prámetros estudidos nteriormente. Ejemplo: Clsifiquemos el siguiente sistem de ecuciones de cuerdo su solución ( + y + z = ky + kz = k + ky + z = k R ) Proyecto e-mth 5 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

16 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles En primer lugr vmos introducir l mtriz del sistem: A := k k k k Ahor clculmos su determinnte con yud del comndo Symbolic: A k k Así, A k o k =. Igulmos cero y resolvemos: k ( k) =. = = Entonces podemos concluir que pr todos los vlores del prámetro k diferentes de y de se cumple que A y, por consiguiente, rg (A) = rg( A B) = n =. Es decir, el sistem será comptible determindo pr todos los vlores reles del prámetro k ecepto pr k = y k =. Ahor vmos clsificr el sistem pr los csos k = y k =. Cso k=: L mtriz del sistem tiene rngo A := rnk( A) = Mientrs que l mtriz mplid, que pr el cálculo con mthcd l denotremos por AB, tiene rngo AB := rnk( AB) = De hí que (A B) rg(a) Cso k = : rg = > = y concluimos que pr k = el sistem es incomptible. Ambs mtrices tienen rngo, esto es, Proyecto e-mth 6 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

17 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles A := rnk( A) = AB := rnk( AB) = Entonces (A B) rg(a) rg = = y podemos concluir que pr k = el sistem es comptible indetermindo con un grdo de libertd ( n rg(a) = = ). BIBLIOGRAFÍA [] Montes Lozno, A (998): "Álgebr", Módulo : "Mtrices, vectores y sistems de ecuciones lineles" Ediciones UOC [] G. J. Porter, D. R. Hill (996): Interctive Liner Algebr. A lbortory course using Mthcd, Springer-Verlg New York [] H. Benker (999): "Prcticl use of Mthcd. Solving mthemticl problems with computer lgebr system", Springer-Verlg New York [4] H. Anton, C. Rorres (): "Elementry Liner Algebr: Applictions Version", John Wiley&Sons [5] A. Negro, J. M. Poncel (987): Mtemátics, Alhmbr ENLACES [W] Págin web de l enciclopedi de PlnetMth.org sobre álgebr linel. En inglés. [W] Págin web de l "Sociedd Andluz de Educción Mtemátic THALES" donde se eplic, con grn cntidd de ejemplos clrtorios, diferentes conceptos todos ellos relciondos con ls mtrices y otros tems de álgebr linel. En espñol. [W] Proyecto e-mth 7 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)

18 Discusión de Sistems de Ecuciones Lineles El sitio de los estudintes y docentes universitrios. Recopilción de puntes, con ejemplos, sobre mtrices. En espñol. [W4] Págin web de "El Rincón del Progrmdor". En l sección de "Progrmción Gráfic" precen los "Fundmentos mtemáticos de l Informátic Gráfic" donde se eplicn diversos conceptos relciondos con el álgebr de mtrices y otros tems de álgebr linel. En espñol. [W5] Págin web de l School of Mthemtics nd Sttistics, University of St Andrews, Scotlnd. Trt sobre l histori del álgebr. En inglés. [W6] Págin web con plicciones de mtrices y determinntes. En inglés. [W7] Págin web del Deprtmento de Mtemátics y Estdístic de l Universidd de Nebrsk- Lincoln. Libro on-line sobre álgebr linel y sus plicciones. En inglés. [W8] Págin web sobre teorí de números. Libro on-line sobre álgebr linel. En inglés. [W9] Págin web de enlces relciondos con álgebr linel y teorí de mtrices. En inglés. [W] Págin web de l publicción "The Electronic Journl of Liner Algebr" publicd por "The Interntionl Liner Algebr Society". En inglés. [W] Págin en l que está recogid l informción relciond con el softwre disponible grtuitmente en l red pr l solución de problems de álgebr linel. En inglés. [W] Págin web del "Center for Ecellence nd Equity in Eduction" de l Universidd de Rice. Libro sobre álgebr linel. En inglés. Proyecto e-mth 8 Finncido por l Secretrí de Estdo de Educción y Universiddes (MECD)