Lección 3.1. Funciones Trigonométricas de Ángulos. 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 21

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1 Lección 3. Funciones Trigonométricas de Ángulos /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

2 Actividades 3. Referencia Texto: Seccíón 6. Ángulo; Ejercicios de Práctica: Problemas impares -33 página 09 (375 y 376); Sección 6. Funciones Trigonométricas de Ángulos; problemas impares 7 3, 9-33 páginas 5, 6 y 7(390 y 39); Sección 6.3 Funciones Trigonométricas de Números Reales, problemas impares, 9-5 Usa GRAPH para páginas y 6 (07 y 09) Asignación 3.: página 09 (375 y 376); problemas,, 6 y 3; De las páginas 5, 6 y 7(390 y 39);, problemas y 0. De las páginas y 6 (07 y 09), problemas, 58, 60 Referencias del Web: Videos de Julio Profesor.NET Conversión de medidas de ángulos De grados a radianes De radianes a grados Valores exactos de ángulos notables Método para obtener el Seno y el Coseno de 0, 30, 5, 60 y 90 /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

3 Medidas de Ángulos Grados (degrees). grado es equivalente a /360 de una revolución completa. B 35 O El transportador (proctractor) es un instrumento para medir ángulos. Radianes: radian es equivalente al ángulo que se forma por un sector cuyo largo (arc length) mide igual que el radio en donde se forma. A /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de

4 Medida: Clasificación de ángulos Un ángulo recto mide 90 o Un ángulo agudo mide menos de 90 o Un ángulo obtuso mide más de 90 o Un ángulo llano mide 80 o Signo 80 o 90 o 360 o 70 o /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

5 Ejemplo. Encuentre las medidas de dos ángulos, uno positivo y otro negativo, que son coterminales al ángulo de 7. a. 77 ; 3 b. 57 ; 3 c. 77 ; = = 3 3 c. 77 ; 3. Identifique el cuadrante en donde descansa el lado terminal del ángulo 8 a. I b. II c. III d. IV d. IV 3. Identifique el cuadrante en donde descansa el lado terminal del ángulo 8 a. I b. II c. III d. IV a. I /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de

6 Conversión entre grados y radianes Exprese en radianes. 60 radianes radianes 9 Exprese en grados. 80 radianes Equivalencias especiales ( Recordar!) rad /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de

7 Grados Minutos Segundos DMS grado ( o ) = 60 minutos (60 ) minuto ( ) = 60 segundos (60 ) Ejemplo: Convierta 8 o 0 5 a grados decimales " 5 3 6" Convierta a DMS = = = 3 + (0.5 60) 58.8 = 58 + (0.8 60) = = = (0. 60)" = " = 3 3 " = (0.8 60)" = " = " /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de

8 Ejemplo ) Convierte el ángulo a grados decimales redondeado a la centésima más cercana. a) b) 36.5 c)36.6 a ) Convierte el ángulo a grados minutos segundos (DMS). Redondee los segundos a la centésima más cercana. a) b) " c)83 53 a ) Convierta de 88 a radianes. a) 6π 5 b) 8π 5 c) 9π 5 b. 8π 5 3) Convierta de π 3 a grados. a) 60π b).05 c) 60 c. 60 /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de

9 Longitud y Área de un arco circular Sea el ángulo central medido en radianes asociado a un sector con arco de medida S y área A en un círculo con radio r. Entonces, s r A r /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de

10 Ejemplo Un círculo tiene radio de 5.60 cm. Encuentre el largo del arco que subtiende por los siguientes ángulos centrales. Luego, aproxime su resultado a la centésima más cercana: 7 a) b) 8 5 Cambie medida de grados a radianes c) Calcule área si θ = A = r θ = 5.60 () = cm /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de

11 Círculo de radio con centro en el punto origen. Tiene interceptos en (0,), (-,0), (0,-) y (,0). Asociado al número real t y el ángulo medido en radianes hay un punto P(a, b) que satisface. El Círculo Unitario P = (a, b) (-, 0) a b (0, ) y (0, -) t (, 0) x /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

12 Funciones Circulares de Ángulos Sea t un número real y P = (a, b) un punto en el círculo unitario asociado a t. Entonces: (coseno) (seno ) (tangente) cost a sin t b b tan t a P = (a, b) (0, ) y t Funciones recíprocas (secante) sect a (cosecante) csct b (cotangente) a cott b (-, 0) (0, -) (, 0) x /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

13 , 5 Ejemplo 5 Sea un punto en el círculo unitario asociado a un número real t. Determine los valores trigonométricos de t si: Solución: cost sect a sin t tant 5 b 5 5 a csct b a cott b /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de

14 Relaciones especiales para recordar 90 = (0,) 80 = (,0) 3 70 = (0, ) 360 = (,0) /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

15 Relaciones especiales para recordar 30 = 6 ( 3, ) 5 =, 60 = 3 (, 3 ) /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de

16 a) b) sin sin 60 cos 5 3 tan Ejemplo 6 Encuentre los valores exactos de: = 5 = 60 = ( 3 ( 3, ),, 3 ) c) cos cot 3 /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de

17 Ejemplo 7 a) Encuentre los signos de sin t, cos t, tan t si el lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante IV. Solución: cos t > 0 sin t < 0 tan t < 0 b) Encuentre el signo de sin 85. c) Encuentre el signo de tan 7π 6. d) Encuentre el signo de cos. sin 85 < 0 tan 7π 6 > 0 cos < 0 /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de

18 Ejemplo 8 Use su calculadora para aproximar los siguientes valores trigonométricos a cinco lugares decimales (Nota: Asegúrese que su calculadora está en modalidad de radianes o grades según aplique). ) sin ) tan π ) sec π ) cot 85 5) sin = sin /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de

19 Propiedades de Triángulos Rectos Teorema de Pitágoras - En un triángulo recto, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. Hipotenusa Cateto c a b Cateto Funciones Trigonométricas cos Adyacente de Hipotenusa sin tan Opuesto de Hipotenusa Opuesto de Adyacente de /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de

20 Ejemplo 9 Encuentre los valores trigonométricos del ángulo θ. h a b 6 b b 35 b θ cos Adyacente de Hipotenusa 35 6 sec cos sin Opuesto de Hipotenusa 6 csc sin 6 tan Opuesto de Adyacente de 35 cot 35 tan /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de

21 Ejemplo 0 Si β es un ángulo agudo y sec β = 8 3, determine valores trigonométricos de sin β y tan β sec β = 8 3, cos β = 3 8, Por Pitágoras x + 3 = 8 x + 9 = 6 x = 55 sin β = 55 8, tan β = 55 3 x = 55 /0/0 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de