IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

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1 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A, modelo Septiembre 0 ['5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máima. Es un problema de optimización Función a optimizar: Área (/)base.altura (/)..h Relación entre las variables: Perímetro 8 + y, de donde y 8/ / /. También tenemos es cuenta que tenemos dos triángulos rectángulos y podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. h y (/) ( - (/) ) (/) 6 + / / + 6, de donde como h es una longitud (es positiva) tenemos h -+6 A() (/)..h (/) Si A 0 y A < 0, b es un máimo de A(). A() (/)..h (/) A () (/) (/) (/) De A () 0, tenemos (/) , es decir (/). -+6, por tanto -+6 ( +6), luego /6 8/ y y (8/)/ / 8/. Si nos damos cuenta es un triángulo equilátero. Es decir las dimensiones del triángulo son 8/, y 8/ y su área es (/) (/).(8/). -(8/)+6 (/). 6/ 6 u. Veamos para terminar que es un máimo, es decir A (8/) < 0 A () (/) A (). -+6 A (8/) - 6/ ( -+6) (8/) 6/+ 6/ 6/ , de donde -+6 < 0 (estamos sumando dos números negativos), luego es un máimo.

2 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Ejercicio opción A, modelo Septiembre 0 Considera las funciones f, g: R R definidas por f() 6 y g(). [0'75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte. [ 75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. La gráfica de f() 6 ( a -, b 6, c 0), es la de una parábola con las ramas hacia abajo (a -<0), abscisa del vértice en -b/a -6/-, y ordenada en f() 6() () 9 [ V (,9) ]. Cortes con los ejes en: Para 0, f(0) 6(0) (0) 0. Punto (0,0), corte con OY. Para f() 0, 6() () 0 (6 ), de donde 0 y 6. Puntos (0,0) y (6,0), corte con OX. Un esbozo de su gráfica es La gráfica de g() ( a, b -, c 0), es la de una parábola con las ramas hacia arriba (a >0), abscisa del vértice en -b/a /, y ordenada en f() () () - [ V (,-) ]. Cortes con los ejes en: Para 0, f(0) (0) (0) 0. Punto (0,0), corte con OY. Para f() 0, () () 0 ( ), de donde 0 y. Puntos (0,0) y (,0), corte con OX. Un esbozo de su gráfica es Juntando ambas gráficas tenemos Para calcular sus puntos de corte resolvemos la ecuación f() g(), es decir 6. De 6, tenemos 8 0 ( 8), luego 0 y. Puntos (0,0) y (,8). Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. Observando las gráficas el área que me están pidiendo es:

3 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Área (f() - g())d 0 ( (6 - ) - ( - ))d - 0 (- + 8)d + 0 -() +() - (0) 6/ u. Ejercicio opción A, modelo Septiembre 0 α - 0 Dadas las matrices A α - y B. - - α [ 75 puntos] Calcula el rango de dependiendo de los valores de α. [0 75 puntos] Para α, resuelve la ecuación matricial A.X B. Calcula el rango de dependiendo de los valores de α. Para estudiar el rango de A estudiamos su determinante A. α - α - Adjuntos A α α F +F α - tercera (0) (α-)(-α+) + (α-)(α - ) 0 α- α- fila (α-)[( α-) + (α-)(α + )] (α-).( α-).(α+). Si α y α -, tenemos A 0, por tanto rango(a) Si α, tenemos A -, y como - F-F 0 0 0, resulta que rango(a), pues F +F nos queda sólo un fila con elementos no nulos. - - Si α -, tenemos A - -, y como - 0, luego rango(a) Para α, resuelve la ecuación matricial A.X B. Según el estudio del aparatado, para α, A (-).( -).(+) 0 y eiste la matriz inversa A - (/ A ).Adj(A t ). Multiplicando A.X B por la izquierda por la inversa A -, tenemos A -.A.X A -.B, de donde I.X A -.B, por tanto la matriz pedida es X A -.B A - ; A t - A, pues es una matriz simétrica; Adj(A) -, por tanto la matriz inversa es A - (/) Luego X A -.B (/). -. (/).. Ejercicio opción A, modelo Septiembre 0 Considera los puntos A(-,k,), B(k+,0,), C(,,0) y D(,0,). [ 5 puntos] Eiste algún valor de k para que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes? [ 5 puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen. Eiste algún valor de k para que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes? A(-,k,), B(k+,0,), C(,,0) y D(,0,). ^0

4 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Para que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes, como son vectores de tres coordenadas, tenemos que ver que el determinante det(ab, BC, CD) sea 0. AB (k+-(-), 0-k, -) (k+, -k, -) BC (-(k+),-0,0-) (-k,, -) CD (-,0-,-0) (, -, ) k+ -k - k+ -k - Adjuntos det(ab, BC, CD) -k - C-.C -k- +k 0 tercera +(-)( (-k-)(--k) (k+)(+k) ) - C +C k+ --k 0 columna - ( 6k+k +8+k (k+k +6+6k) ) - ( +k+k +) -k -k -. Resolvemos -k -k - 0, tenemos k -± -8 + k + 0. k, que no tiene solución real. Luego no hay ningún valor de k, para que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes. Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen. Sabemos que el volumen de un tetraedro es (/6) del volumen del paralelepípedo que determinan tres vectores con el mismo origen, es decir (/6) del valor absoluto del producto mito de AB, AC y AD ( lo indicaremos entre corchetes{ } ). Volumen (/6). { AB, AC, AD } AB (k+-(-), 0-k, -) (k+, -k, -) AC (-(-),-k,0-) (, -k, -) AD (-(-),0-k,-) (, -k, -) k+ -k - Adjuntos { AB, AC, AD } det(ab, BC, CD) -k - primera (k+)(-+k -k) (-k)(5) + (-)(-k-6+k) -k - fila (k+)(--k) +5k+6-k -k -k -8 -k +k + 6 -k -k-. Resolvemos (/6). { AB, AC, AD }, luego 6 -k -k-, lo cual me da lugar a dos ecuaciones: Primera: -k - k- 6; k -± - +k+8 0; k, que no tiene solución real. Segunda: -k - k - -6; k -± +6 +k - 0; k -± 5. Los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen si k -- 5 ó k -+ 5 Opción B Ejercicio opción B, modelo Septiembre 0 + Sea f la función definida por f() para 0. [ 5 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. [ 5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). + Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f(). a es una asíntota vertical (A.V.) de f() si lim a+ [ (f() ] + Como lim f() lim [ /0 - ] - ; la recta 0 es una A.V. de f() lim f() lim [ /0 + ] Como en la función que me han dado el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, f() tiene una asíntota oblicua (A.O.) de la forma y m+n con m lim [f()/)] y n lim [f() - m)], y es la misma en + y en -.

5 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna También se puede calcular la A.O. dividiendo numerador entre denominador y la A.O. es el cociente de la división entera. Lo vamos a realizar por división La A.O. de f() es y en ±. Como lim [f() - )] 0 +, f() está por encima de la A.O. en + (le damos a el valor + 00) Como lim [f() - )] 0 -, f() está por debajo de la A.O. en - (le damos a el valor - 00) Si hay es este caso A.O no hay asíntotas horizontales (A.H.) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Me están pidiendo la monotonía, que es el estudio de f () + f(). - ( + ). ( - - ) ( - ) f () 6 6 ( ) Si f () 0;.( ) 0, de donde 0 (no vale, porque 0 es A.V.) y 0, de donde ±. Como f (-) f () 80/(+) > 0, f () > 0 en < - y >, luego f() es estrictamente creciente en (-,-) y también en (,+ ). Como f (0 ) (-0 099)/(+) < 0, f () < 0 en (-,)-{0}, luego f() es estrictamente decreciente en (-,)-{0} Por definición en - hay un máimo relativo que vale f(- ) -. Por definición en + hay un mínimo relativo que vale f(). Aunque no lo piden un esbozo de la gráfica es : Ejercicio opción B, modelo Septiembre 0 Sean f, g: R R las funciones definidas por f() (/) + y g(). [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa -. [ 75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y + 5. Calcula el área de este recinto. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() (/) + en el punto de abscisa -. Sabemos que la recta tangente de f en - es y f(-) f (-).( (-)) f() (/) +, luego f(-) -+ f () -/, luego f (-), por la recta tangente es y.( + ). Operando sale y

6 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y + 5. Calcula el área de este recinto. La gráfica de f() (/) + ( a -/, b 0, c ), es la de una parábola muy parecida a - (ramas hacia abajo y con vértice en (0,0) ), pero un poco más abierta (al estar multiplicada por /) y desplazada unidades hacia arriba en el eje OY, es decir el vértice lo tiene en (0,). La gráfica de g() ( a, b 0, c -), es la de una parábola igual que (ramas hacia arriba y con vértice en (0,0) ), y desplazada unidades hacia abajo en el eje OY, es decir el vértice lo tiene en (0,-). La gráfica de y + 5, es la de una recta y con dos puntos es suficiente, para dibujarla. Hemos visto que era la recta tangente a f en -. Un esbozo de las gráficas pedidas es: Donde me piden el área de la región en amarillo, que he dividido en tres áreas A, A y A. Área pedida es A A + A + A. b A + A [(+5)-(- +)]d, donde b es el corte de f() - /+ con g(). (sólo solución - positiva) Igualando - /+, de donde + 6 +, es decir 5 0, luego ±, y b. b A + A [(+5)-(- +)]d [ + + ]d ( 8/++)-(-8/+-) 6/ u. - A c [(+5)-( -)]d, donde c es el corte de y +5 con g(). (sólo solución mayor de ). Igualando +5, de donde , luego - y, por tanto c. A c [(+5)-( -)]d - [ ]d + +6 (-9 +9/ + 8)-(-8/++) /6 u. El área pedida es A A + A + A 6/ + /6 5/ u. Ejercicio opción B, modelo Septiembre 0 α Sean las matrices A y B. -α - [ 5 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es (/).A. 6

7 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna [ 5 puntos] Para α -, determina la matriz X que verifica la ecuación A t.x B, siendo A t la matriz traspuesta de A. Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es (/).A. Sabemos que eiste la matriz inversa A - (/ A ).Adj(A t ), si det(a) A 0. α α A α+α α,, luego α 0. A ; A t α -α -α -α ; Adj(A t ) - α α - A - (/ A ).Adj(A t - α α ) (/α).. α α - Me dicen que A - α α α α / / (/).A, es decir (/).. -α - α / / Igualando miembro a miembro tenemos: De /α α/, tenemos 6 α, de donde α 9, y por tanto α ±. De -/α /, tenemos - α, de donde α -. De / -α/, tenemos -α, de donde α -. De / /, tenemos, lo cual es cierto. El único valor de α que verifica todas las igualdades es α -. Para α -, determina la matriz X que verifica la ecuación A t.x B, siendo A t la matriz traspuesta de A. Sabemos por las propiedades de las matrices que (A t ) - (A - ) t. Para α -, tenemos A - α - (/). (/)., y por tanto (A t ) - (A - ) t - (/).. -α Multiplicando por la izquierda por (A t ) - la epresión A t.x B, tenemos (A t ) -.A t.x (A t ) -.B, de donde tenemos I.X (A t ) -.B, es decir X (A t ) B (/).. (/) Ejercicio opción B, Septiembre 0 Dado el plano π de ecuación + y z 0 y la recta r de ecuaciones - y 5. + y - z - [ 75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. [0 75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(,-,) respecto del plano π. Halla el punto de intersección del plano π + y z 0 y la recta r - y 5. + y - z - Ponemos la recta r en forma vectorial con un parámetro λ, la sustituimos en el plano π, obtenemos el valor de λ, y después el punto de intersección P. 7

8 IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna De la recta r - y 5, poniendo λ, obtenemos y -5 + λ. Entrando con ambos valores en la + y - z - ª ecuación obtenemos λ λ - z -, de donde λ + 8 z, luego z + λ. La recta r en vectorial es r (, y, z) (λ, -5+λ, +λ) π + y z 0 P es la intersección de r y π. Sustituimos r en π (λ) +.(-5+λ) (+λ) 0, de donde 6λ, por tanto λ, y el punto pedido es P( (), -5+(), + () ) P(,,). Halla el punto simétrico del punto Q(,-,) respecto del plano π. Calculamos la recta s perpendicular al plano π (Nos sirve como vector director de la recta u el vector normal del plano n), que pasa por el punto Q. Calculamos el punto M intercesión de la recta s con el plano π. El punto M es el punto medio del segmento QQ, siendo Q el punto simétrico buscado. Calculamos la recta s. Punto el Q(,-,), vector director u n (,,-). Ecuación de s en vectorial s (, y, z) (+λ, -+λ, -λ) Punto M r π (punto de corte) De (+λ) + (-+λ) (-λ) 0, obtenemos 6λ 6, de donde λ, y el punto M es M(+(), -+(), -()) M(, 0, ) El punto M(, 0, ) es el punto medio del segmento QQ, es decir (, 0, ) ( (+)/, (-+y)/, (+z)/). De (+)/, tenemos. De 0 (-+y)/, tenemos y. De (+z)/), tenemos z El punto simétrico pedido es Q (, y, z) Q (,,). 8