DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Transcripción

1 De la gráfica a la expresión algebraica DE LA GRÁFICA A LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Rectas, Parábolas, Hipérbolas, Exponenciales Logarítmicas LA RECTA Comencemos localizando el punto donde la recta corta al eje OY, es decir, la ordenada en el origen n, que en el ejemplo vale n Después, a una unidad horizontal de dicho punto trazamos una recta vertical hasta que corte a la función. Se forma así un triángulo rectángulo donde el cociente entre el cateto vertical el horizontal determina el valor absoluto de la pendiente m. 3 En el ejemplo m 3 Para finalizar, si la recta es creciente (dibujando de izquierda a derecha, trazamos hacia arriba) la pendiente es positiva; en caso contrario será negativa. En el ejemplo, m +3 Con esto, la recta será mx + n, es decir, 3x + Ejemplo º: La ordenada en el origen es n

2 De la gráfica a la expresión algebraica El triángulo tiene de cateto vertical de cateto horizontal, por lo que m La recta es decreciente (de izquierda a derecha se dibuja hacia abajo) así la pendiente ha de ser negativa, m x Ejemplo ª: La ordenada en el origen es n El triángulo tiene de cateto vertical 4 de cateto horizontal, por lo que 4 m 4 La recta es creciente (de izquierda a derecha se dibuja hacia arriba) así la pendiente ha de ser positiva, m + 4 4x LA PARÁBOLA En primer lugar deberemos localizar el vértice, que se encuentra en el punto V( x0, 0 ) V( 3, ): A partir del vértice debemos construir un triángulo de lados paralelos a los ejes, cua base debe medir, cua altura alcance la curva:

3 De la gráfica a la expresión algebraica 3 El cociente entre el cateto vertical el horizontal determina el valor absoluto del coeficiente principal, es decir, a Por último, observar el sentido de las ramas. Si se dirigen hacia arriba, el coeficiente principal será positivo, mientras que si se dirigen hacia abajo, en coeficiente principal será negativo. Así, en nuestro caso a + Con estos datos, la parábola es ( ) ( ) ( ) 0 a x x0 + x 3 ( x 3) Ejemplo º: El vértice se encuentra en V (, 3 ) EL triángulo tiene de cateto vertical 3 cateto horizontal : a 3 3 Las ramas se dirigen hacia abajo, a x () ( ) Ejemplo º: ( + ) 3 3 x +

4 De la gráfica a la expresión algebraica 4 El vértice se encuentra en V ( 3, ) EL triángulo tiene de cateto vertical cateto horizontal : a Las ramas se dirigen hacia arriba, x 3 ( ) LA HIPÉRBOLA a + ( x 3) + Lo primero que debemos hacer es localizar dibujar las asíntotas. Donde se corten ambas tendremos en centro de la hipérbola C ( x 0, 0 ). En nuestro caso, las asíntotas son ; C,. x, por lo que el centro está en ( ) Seguidamente, a una unidad del centro, trazamos una vertical hasta que corte a la función, formándose así un rectángulo de base b altura a. Estos dos valores b 3 determinan k 3 a

5 De la gráfica a la expresión algebraica 5 Para finalizar, las asíntotas determinan cuatro sectores similares a los cuatro cuadrantes del plano. Si la función ocupa los sectores I III, el valor de k será positivo, mientras que si ocupa los sectores II IV la k será negativa, por lo que en nuestro caso k + 3 Con todo esto, la hipérbola será 0 x k x 0, es decir: 3 x Ejemplo º: x 0 Las asíntotas están en C( 0, ) El rectángulo tiene de base altura por lo que k Las ramas de la hipérbola ocupan los sectores I III, por lo que k es positiva: k + ( ) x 0 + x

6 De la gráfica a la expresión algebraica 6 Ejemplo º: Las asíntotas están en ( ) C x, El rectángulo tiene de base altura por lo que k Las ramas de la hipérbola ocupan los sectores II IV, por lo que k es negativa: k ) ( ) ( x x + LA EXPONENCIAL Localizamos dibujamos la asíntota horizontal Buscamos un punto de la gráfica que se encuentre a una unidad de la asíntota (en vertical), ( ) P,

7 De la gráfica a la expresión algebraica 7 Trazamos un eje vertical que pase por dicho punto Donde se corta este eje vertical con la asíntota se encuentra el centro de la exponencial C( x0, 0 ) C(, 3) Si la función es creciente, trazamos una vertical desde la asíntota hasta la función, a una unidad la derecha del centro, formándose así un triángulo; dividiendo el cateto vertical entre el horizontal quedará determinada la base de la exponencial, que en nuestro caso es a Con todo esto, la exponencial es ( xx 0 ) 0 a, es decir, + 3 ( x ) Ejemplo ª:

8 De la gráfica a la expresión algebraica 8 Asíntota: Punto P de la función a una unidad de la asíntota: P (, 0 ) Eje vertical x Centro, intersección del eje con la asíntota: C(, ) A una unidad a la derecha del centro, se forma un triángulo de cateto vertical cateto horizontal, por lo que la base de la exponencial es a La exponencial es ( ) x( ), es decir: x+ Ejemplo º: Asíntota: 3 Punto P de la función a una unidad de la asíntota: P(, ) Eje vertical x Centro, intersección del eje con la asíntota: C(, 3 ) A una unidad a la derecha del centro, se forma un triángulo de cateto vertical 4 cateto horizontal, por lo que la base de la exponencial es a 4 La exponencial es x ( 3) 4, es decir: x 4 3

9 De la gráfica a la expresión algebraica 9 LA LOGARÍTMICA En primer lugar, debemos trazar la asíntota vertical de la función logarítmica, que en nuestro ejemplo tiene de ecuación x En segundo lugar, trazar un eje horizontal que corte a la gráfica a una unidad de la P, 4 asíntota. Llamaremos dicho punto ( ) Determinamos el punto donde se cortan dicho eje la asíntota, ( x, ) C( 4) C 0 0, A una unidad hacia arriba del centro, trazamos una horizontal hasta que corte a la gráfica, formándose así un triángulo rectángulo cuo cateto horizontal nos determina la base del logaritmo a 3

10 De la gráfica a la expresión algebraica 0 Con todo esto, la función es Log ( x ), es decir, 4 Log3( x ) Ejemplo º: 0 a x0 Asíntota: x 3 Punto P sobre la curva a una unidad de la asíntota: P( 4, ) Eje horizontal por P: Punto C intersección del eje anterior la asíntota: C( 3, ) A una unidad hacia arriba del centro, trazamos una horizontal hasta la gráfica. Formamos un triángula que tiene por cateto horizontal a Con esto, ( ) Log( x 3 ) Ejemplo º: ( x 3 ) Log Asíntota: x 4 Punto P sobre la curva a una unidad de la asíntota: P ( 3, 4) Eje horizontal por P: 4 Punto C intersección del eje anterior la asíntota: C ( 4, 4) A una unidad hacia arriba del centro, trazamos una horizontal hasta la gráfica. Formamos un triángula que tiene por cateto horizontal a 3 Con esto, 4 Log3( x ( 4) ) ( x + 4 ) 4 Log3 +