COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA

Transcripción

1 COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE L UEN ESPERNZ signatura: NÁLISIS MTEMÁTICO 11º Profesor: Lic. EDURDO DURTE SUESCÚN TLLER OPERCIONES CON CONJUNTOS OPERCIONES CON CONJUNTOS En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se le asigna un número x + y llamado suma de x e y, un número x - y llamado diferencia de x e y y un número xy llamado producto de x e y. Estas asignaciones se llaman operaciones de adición, sustracción y multiplicación de números. En este taller se van a definir las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar o a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos y. UNIÓN La unión de los conjuntos y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a o a o a ambos. Se denota la unión de y por U que se lee «unión». Ejemplo 1: En el diagrama de Venn, aparece rayado, o sea el área de y el área de lo rayado Ejemplo 2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S T = {a, b, c, d, f, g} Ejemplo 3: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números reales negativos. P Q, unión de P y Q, consiste en todos los números reales exceptuado el cero. La unión y se puede definir también concisamente así: = {x x o x } Observación 2-1: Se sigue inmediatamente de la definición de la unión de dos conjuntos que y son el mismo conjunto, esto es: =

2 Observación 2-2: y son ambos subconjuntos de es decir, que: ( ) y ( ) En algunos libros la unión de y se denota por + y se la llama suma conjuntista de y o simplemente más L INTERSECCIÓN La intersección de los conjuntos y es el conjunto de los elementos que son comunes a y, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a y que también pertenecen a. Se denota la intersección de y por que se lee «intersección». Ejemplo 1: En el diagrama de Venn se ha rayado, el área común a ambos conjuntos y. lo rayado Ejemplo 2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S T = {b, d} Ejemplo 3: Sea V = {2, 4, 6,...}, es decir, los múltiplos de 2; y sea W = {3, 6, 9,...}, o sean los múltiplos de 3. Entonces V W = {6, 12, 18,...} La intersección de y también se puede definir concisamente así: quí la coma tiene el significado de «y». = {x x, x } Observación 2-3: Se sigue inmediatamente de la definición de intersección de dos conjuntos que = Observación 2-4: Cada uno de los conjuntos y contiene al como subconjunto, es decir, ( ) y ( ) Observación 2-5: Si dos conjuntos y no tienen elementos comunes, es decir, si y son disjuntos, entonces la intersección de y es el conjunto vacío, o sea =. En algunos libros, sobre todo de probabilidades, la intersección de y se denota por y se llama producto conjuntista de y o simplemente por.

3 DIFERENCI La diferencia de los conjuntos y es el conjunto de elementos que pertenecen a. pero no a. Se denota la diferencia de y por - que se lee «diferencia» o simplemente «menos». Ejemplo 1: En el diagrama de Venn se ha rayado, el área no es parte de. lo rayado Ejemplo 2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Se tiene: S T = {a, c} Ejemplo 3: Sean R el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números racionales. Entonces R Q es el conjunto de los números irracionales. La diferencia de y se pueden también definir concisamente como = {x x, x } Observación 2-6: El conjunto contiene al como subconjunto, esto es: ( - ) Observación 2-7: Los conjuntos ( - ), y ( - ) son mutuamente, esto es decir, la intersección de dos cualesquiera es vacía. La diferencia de y se denota a veces por / o bien por. COMPLEMENTO El complemento de un conjunto es el conjunto de elementos que no pertenecen a, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del. se denota el complemento de por ' Ejemplo 1: En el diagrama de Venn se ha rayado el complemento de, o sea el área exterior a. Se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo. ' lo rayado

4 Ejemplo 2: Siguiendo que el conjunto universal U sea el alfabeto, dado T = {a, b, c}, entonces T = {d, e, f,.y, z} Ejemplo 3: Sea E = {2, 4, 6,.}, o sea los números pares. Entonces E = {1, 3, 5,.}, que son los impares. quí se supone que el conjunto universal es el de los números naturales, 1, 2, 3,. También se puede definir el complemento de concisamente así: ' = {x x U, x } o simplemente: ' = {x x } Lo que se establece en seguida resulta directamente de la definición del complemento de un conjunto. Observación 2-8: La unión de cualquier conjunto y su complemento es el conjunto universal, o sea que ' = U Por otra parte, el conjunto y su complemento ' son disjuntos, es decir. ' = Observación 2-9: EL complemento del conjunto universal U es el conjunto vacío, y viceversa, o sea que: U' = y ' = U Observación 2-10: El complemento del complemento de un conjunto es el conjunto mismo. Más breve: (') = La siguiente observación muestra cómo la diferencia de dos conjuntos podría ser definida por el complemento de un conjunto y la intersección de dos conjuntos. En efecto, se tiene la siguiente relación fundamental: Observación 2-11: La diferencia de y es igual a la intersección de y el complemento de. o sea: - = ' La demostración de la Observación 2-11 se sigue inmediatamente de las definiciones: - = [x x, x } = {x [x, x '} = '

5 PROLEMS RESUELTOS UNIÓN 1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar unión, o sea : (a) (b) (c) (d) La unión de y es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a o a o a ambos. Se rayan entonces las áreas de y de como sigue: (a) (b) (c) (d) lo rayado 2. Sea = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a), (b) C (c) C, (d). Para formar la unión de y se reúnen todos los elementos de con todos los elementos de. De modo que = {1, 2, 3, 4, 6, 8} De igual manera. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} = {2, 4, 6, 8} Nótese que es precisamente. 3. Sean, y C los conjuntos del Problema 2. Hallar (1) ( ) C, (2) ( C). (1) Se determina primero = {1,2, 3, 4, 6, 8}. Entonces la unión de U y C es ( ) C = {1, 2, 3, 4. 6, 8,5} (2) Se determina primero C = {2, 4, 6, 8, 3, 5}. Entonces la unión de y C es ( C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5} Nótese que ( ) C = ( C).

6 4. Sean el conjunto X = (Tomás, Ricardo, Enrique}, el conjunto Y = {Tomás, Marcos, Emilio} y Z = Marcos, Emilio, Eduardo}. Hallar (a) X Y, (b) Y Z, (c) X Z. Para hallar X Y se hace la lista de los nombres de X con los nombres de Y; así Y = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio} Del mismo modo Y Z = {Tomás, Marcos, Emilio, Eduardo} X Z = {Tomás, Ricardo, Enrique. Marcos, Emilio, Eduardo} INTERSECCIÓN 5. En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar la intersección de y, esto es, de. La intersección de y consiste en el área que es común tanto a como a. Para encontrar, se raya primero con trazos oblicuos hacia la derecha (////) y luego se raya con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\) como se ve en la figura: (a) (b) (c) (d) Entonces es el área que tiene los dos rayados. El resultado final, que es, se raya ahora con líneas horizontales, como sigue: (a) (b) (c) (d) lo rayado Nótese que es vacía en (c) en que y son disjuntos. 6. Sean = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a), (b) C, (c) C, (d). Para formar la intersección de y se inscriben todos los elementos comunes a y ; así = (2, 4}. De igual manera, C = {3, 4}, C = {4, 6} y = {2, 4, 6, 8}. Nótese que es efectivamente.

7 7. Demostrar: =. Por la Observación 2-4, ( ). Pero el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto; en particular,. Por tanto, =. DIFERENCI 8. Sea = {1, 2, 3, 4}, = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) ( - ), (b) (C - ), (c) ( - C), (d) ( - ), (e) ( - ). (a) El conjunto - consiste en los elementos de que no están en. Como = {l, 2, 3, 4} y 2, 4, entonces - = {1, 3}. (b) Los únicos elementos de C que no están en son 5 y 6; por tanto, C - = {5, 6}. (c) - C = {2, 8}. (d) = {6, 8}. (e) = 9. En los diagramas de Venn del problema 1, rayar menos, o sea. Solución. En cada caso el conjunto consiste en los elementos de que no están en, es decir, el área en que no está en. (a) (b) (c) (d) - lo rayado Nótese que, como en, - = si y son disjuntos. Nótese también que, como en (d). = si es subconjunto de. COMPLEMENTO 10. Sean U = {1, 2, 3,..., 8, 9}, = {1, 2, 3, 4}. = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) ', (b) ', (c) ( C) ', (d) ( ) ', (e) (')v, (f) ( - C)'. (a) El conjunto ' consiste en los elementos que están en U pero no en. Por tanto, ' = {5. 6, 7, 8,}. (b) El conjunto de los elementos de U que no están en es '= {1,3, 5, 7, 9}

8 (c) ( C) = {3, 4} y entonces ( C)' = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9). (d) ( ) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces ( )' = {5, 7, 9}. (e) ' = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (')' = {1,2, 3, 4}, es decir, (')' =. (f) ( - C') = {2, 8} y entonces ( C)' = {1. 3, 4, 5, 6, 7, 9}. 11. En el diagrama de Venn siguiente, rayar (a) ', (b) ( )', (c) ( )', (d) ' ' (a) Como ', complemento de, consta de los elementos que no están en, se raya el área exterior a. ' lo rayado (b) Primero se raya el área : luego, ( )' es el área exterior a ( ). U lo rayado ( )' lo rayado (c) Primero se raya - ; y así ( - )' es el área exterior a - lo rayado ( - )' lo rayado (d) Primero se raya ', el área exterior a, con trazos oblicuos inclinados a la derecha (////) y se raya ' con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\), entonces resulta ser el área con doble rayado.

9 ' y ' con doble rayado ' ' lo rayado Nótese que el área de ( U )' es la misma que la de ' '. PROLEMS DIVERSOS 12. Sean U = {a, b, c, d, e}, = {a, b, d} y = {b, d, e}. Hallar (a), (b), (c) ', (d), (e) ', (f) ', (g) ' ', (h) ' - ', (i) ( '), (j) ( '). (a) La unión de y consta de los elementos de y los elementos de, es decir, = {a, b, d, e}. (b) La intersección de y consta de los elementos que son comunes a y, es decir, = {b, d}. (c) El complemento de consta de las letras que están en U pero no en ; así que ' = {a, c}. (d) El conjunto - está formado por los elementos de que no están en, esto es, - = {e}. (e) ' = {c, e} y = {b, d, e}; así que ' = {e} (f) = {a, b, d} y ' = {a, c}; así que ' = {a, b, c, d}. (g) ' = {c, e} y ' = {a, c}; entonces ' ' = {c}. (h) ' - ' = {a}. (i) Según (b), = (b, d}; luego ( )' = {a,c,e}. (j) Según (a), = {a, b, d, e}; luego ( ) = {c}. 13. En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) ( C), (2) ( ) ( C), (3) ( C), (4) ( ) ( C). C

10 (1) Primero rayar con trazos inclinados a la derecha y rayar C con trazos inclinados a la izquierda; entonces ( C) es el área con doble rayado. y C aparecen rayados ( C) lo rayado (2) Primero rayar con trazos inclinados a la derecha y C con trazos inclinados a la izquierda; entonces ( ) ( C) resulta ser el área total rayada como se muestra enseguida. y C lo rayado ( ) ( ) lo rayado Nótese que ( C) = ( ) ( C). (3) Primero se raya, con trazos inclinados a la derecha y se raya C con trazos inclinados a la izquierda: así resulta ser ( C) el área total rayada. y C lo rayado ( C) lo rayado (1) Primero se raya con trazos inclinados a la derecha y se raya C con trazos inclinados a la izquierda; ( ) ( C) es el área con doble rayado. y C lo rayado ( ) ( C) lo rayado.

11 Nótese que ( C) = ( ) ( C). PROLEMS PROPUESTOS 14. Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean = {a, b, c, d, e}, = {a, c, e, g} y C = {b, e,f, g}. Hallar: (1) C (3) C (5) ' (7) ( C)' (9) ( - ')' (2) (4) ' (6) ' C (8) C' (10) ( ')' 15. En los diagramas de Venn que siguen, rayar (1) V W, (2) W', (3) W - V (4) V' W, (5) V W, (6) V - W. V W V W (a) (b) 16. Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos, y C de modo que, y C tengan las siguientes características: (1), C, C = (3) C, C, C = (2), C, C (4) ( C), C, C, C 17. Determinar: (1) U (3) ' (5) ' (7) U (9) (2) (4) (6) U (8) ' (10). 18. Completar las siguientes afirmaciones insertando, o no (no comparables) entre cada par de conjuntos. quí y son conjuntos arbitrarios. (1)... - (3) '... - (5) '... - (2)... ; (4)... (6) La fórmula - = ' puede definir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas operaciones de intersección y complemento. Encontrar una fórmula que defina la unión de dos conjuntos,, mediante estas dos operaciones de intersección y complemento. CONTENIDOS TOMDOS DE: SEYMOUR y LIPSCHUTZ, Teoría de Conjuntos y Temas fines. Ed. Carvajal, Colección SCHUM, Cali, JUN M. SILV - DRIN LZO, Matemáticas, iblioteca Científica Tecnológica. Primera Edición. Ed. Limusa. México COMPILCIÓN: Rolando René Elizalde Córdova