2 - TEORIA DE ERRORES : Calibraciones

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1 - TEORIA DE ERRORES : Calbracoes CONTENIDOS Errores sstemátcos.. Modelo de Studet. Curvas de Calbracó. Métodos de los Mímos Cuadrados. Recta de Regresó. Calbracó de Istrumetos OBJETIVOS Explcar el cocepto de error sstemátco y la correccó de los msmos. Aplcar el Modelo Studet y el método de los mímos cuadrados. Operar co coceptos báscos de regresó. Realzar curvas de calbracó para dferetes strumetos. Utlzar la curva de calbracó para corregr valores meddos. II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Los errores sstemátcos provee de u defecto de costruccó o calbracó de u strumeto de medda. Puede deberse també a métodos de medda erróeos o a la accó costate de agetes exteros. La característca prcpal de este tpo de errores es que so costates y peródcos y tee por lo geeral gual setdo y magtud (por exceso o por defecto). Los errores sstemátcos afecta a la exacttud de las meddas o así a la precsó. II.. COMPENSACION DE ERRORES * Método de los Mímos Cuadrados Sí se tee ua sere de meddas de dos magtudes x e y que está relacoadas medate algua fucó y f(x), cada ua de las meddas es afectada por u certo error y se tedrá tatos errores como tatas medcoes se efectúe. decr: Sea pares de meddas de x e y, relacoadas medate ua fucó leal, es Y f ( x) m. X + b Sí teemos pares de meddas de X e Y, de la sguete maera: Nº de Medcoes 3 X X X X 3 X X Y X Y Y 3 Y Y 8

2 El propósto es ajustar la recta que mejor se aproxme a los putos, determado los parámetros m y b de la recta de tal forma que la dfereca etre los putos y la recta se matega e u valor mímo. La recta que satsface esta codcó es aquella que verfca que la sumatora de las desvacoes elevadas al cuadrado es míma. Dcho de otra maera la recta buscada es aquella que pasa por el cetro geométrco de la ube de putos y para la cual se observa ua meor dspersó. Y ρ y α Y f(x) m.x+b m tg α y y ρ y b y x X RECTA DE REGRESION La sguete deduccó se realzó supoedo que e el eje de las abscsas (X) se represeta a la varable que tee meor error, o sea los patroes. Además este error debe ser muy pequeño. Así, las desvacoes e de la varable Y respecto de la recta de ajuste puede ser expresadas por : e Y Y Ahora be, la suma de estas desvacoes elevadas al cuadrado debe ser míma, lo que sgfca que: o be, S S ( e ) ( Y Y ) Mímo ( Y ( b + m. X ) Mímo Para que dcha suma sea míma, la prmera dervada debe ser cero, etoces, dervado la expresó ateror respecto de m y de b e gualado a cero las dervadas, se determa los parámetros m y b que defe la mejor recta de ajuste de los putos, estos so: 9

3 m b ( ) x. Y x. Y ( x ) x. ( x ). Y x. ( x. Y ) ( x ) x. Dode: m pedete de la recta de ajuste b ordeada al orge. La ordea al orge b determa u error fjo de magtud costate cualquera sea el valor de la medcó. E el caso partcular de que la ordeada al orge sea cero, la recta de ajuste pasa por el orge de coordeadas y las expresoes aterores se smplfca a: m ( x. Y ) ( x ) Cuado la pedete m es dstta a (uo) dca que exste u error proporcoal que depede del valor de la medcó. 0

4 II.. CALIBRACION DE INSTRUMENTOS Todo strumeto de medcó tee ua certa exacttud y precsó que depede del tpo de equpo y que afecta a la precsó y exacttud de las medcoes que se efectúa co él. Las característcas del strumeto so proporcoadas por el fabrcate e cluye por lo geeral los valores de exacttud, precsó, alcace, rago, etre otras. Todo strumeto de medcó es perfecto, está exeto de sufrr desgastes por la accó del tempo, desajustes accdetales, etc. Lo cual trae aparejado ua dsmucó e la caldad de sus medcoes, ya que cada lectura que se realce se verá fluecada por u error de tpo sstemátco; por tal motvo debe efectuarse revsoes y cotroles peródcos del strumeto para asegurar ua caldad costate e las medcoes. U error sstemátco, báscamete puede corregrse de dos formas:. Elmado la causa que lo produce (calbracó propamete dcha).. Adcoado el valor del error sstemátco a la medcó s corregr el strumeto (correccó de las medcoes). De ser posble, es recomedable elmar las causas que produce el error sstemátco y que puede deberse prcpalmete a las sguetes causas, a saber: A. Hábtos de lectura correctos por parte del observador. B. Defectos de costruccó del strumeto. C. Desca lbracó del strumeto. D. Accó costate de agetes exteros. E. Métodos de medda apropados. E el caso de o poder elmar el error sstemátco se debe cuatfcar el valor del msmo ya que este afectará al resultado de cada medcó. A cotuacó se euca dos métodos usuales para su determacó y que se basa e la calbracó medate ua o más magtudes que se adopta como refereca y cotrol. II... CALIBRACION MEDIANTE UNA MAGNITUD PATRON * Modelo de Studet Cuado se cueta co ua úca magtud patró, puede aplcarse el modelo de Studet que se euca brevemete a cotuacó: Se debe medr N veces el valor patró P (magtud de refereca). Se evalúa el promedo de las medcoes Z. Se calcula el desvío estadar muestral σ -. Se determa el parámetro τ medate la sguete expresó. τ Z P σ

5 Falmete, se compara el valor de t co el de los coefcetes t de Studet. Ahora be, s τ < t etoces o hay evdeca de error sstemátco, e cambo s τ > t etoces hay evdeca de error sstemátco. E el caso de exstr dcho error, este puede calcularse de la sguete maera: δ Z P Sí el valor promedo es mayor que el valor patró, Z P, el error sstemátco será por exceso, y para corregr la medcó se deberá restar a cada medcó Z el valor de d. Sí el valor promedo es meor que el valor patró, Z P, el error sstemátco será por defecto, y para corregr la medcó se deberá sumar a cada medcó Z el valor de d. II... CALIBRACION MEDIANTE VARIAS MAGNITUDES PATRONES Curvas de Calbracó Muchas veces el strumeto trae medos para efectuar calbracoes secllas, de maera tal, de cuatfcar la falta de exacttud e forma aalítca y poder corregr las lecturas que se haga co tal strumeto; para ello es que se efectúa, las curvas de calbracó. Para realzar ua curva de calbracó se procede de la sguete maera: Se elge ua sere de magtudes patroes P, P,P 3,... P Se mde cada uo de los valores patroes co el strumeto que se desea calbrar, obteédose ua sere de medcoes Z, Z,Z 3,... Z Co los valores obtedos se tee ua sere de magtudes que puede ser represetadas medate ua fucó, es decr: Z f (P) La cuál se represeta e u sstema de ejes coordeados cartesaos obteédose u cojuto de putos que puede ajustarse, medate el método de los mímos cuadrados. Es coveete otar que dcha fucó puede ser leal o o, e cuyo caso el ajuste de los putos puede ser ua fucó dferete a la de ua recta. Sí la relacó es leal, es decr, la curva es u polomo de prmer orde, el ajuste se deoma recta de regresó o regresó leal y la fucó tedrá la forma: Z f (P) m.p + b dode los valores de m y b se calcula medate las ecuacoes deducdas e el puto II... Así, de la recta de regresó obteda se puede coclur lo sguete: a) Sí el strumeto está be calbrado, las medcoes efectuadas cocdrá co los valores patroes, la recta pasa por el orge del sstema de coordeadas cartesaas

6 y su pedete es gual a la udad, es decr que su clacó co el eje de abscsas es de 45º. (Fgura ) Z Z Pedete π 4 Pedete π radaes 4 O Fgura P O Fgura P b) Sí el strumeto o está be calbrado, etoces cada medcó estará afectada por u error sstemátco que se determa de la ecuacó de la recta de regresó.(fgura ) Dcho error sstemátco está coformado por dos tpos de errores:. El error fjo, que está determada por b y que agrega u valor costate a cada medcó.. El error proporcoal, que está expresado por la dfereca m y que agrega u valor proporcoal a cada ua de las medcoes. Ua vez determada la curva de calbracó del strumeto, esta se utlzará, cada vez que se efectúe ua medcó co dcho strumeto, para así poder corregr el valor meddo. Ejemplo: Supogamos que hallamos los sguetes valores de la curva de calbracó: m.00 y b 0.05 Etoces: Z.00 P S pesamos u cuerpo descoocdo e la balaza y os da ua lectura de 97 gr. (este es el valor de la lectura, o sea Z) para hallar el valor corregdo ( o sea P) se debe proceder así: Despejado P: 97 gr..00 P P gr gr. Sedo falmete P gr. el valor corregdo por la curva de calbracó. 3

7 II. PROCEDIMIENTOS A) Determacó de la Curva de Calbracó de ua Balaza. Determar las característcas de la balaza eléctrca (rago, alcace, exacttud, precsó, error de aprecacó, etc.). Seleccoar dez juegos de pesas patroes, tratado de cubrr el rago de la balaza. 3. Efectuar la medcó de cada pesa patró o juego de pesas, determado los valores meddos. 4. Cofeccoar ua tabla de valores meddos, e fucó a sus correspodetes valores patroes. 5. Determar la recta de regresó utlzado el método de los mímos cuadrados, calculado los valores de su pedete m y ordeada al orge b. MEDICION VALORES PATRONES (P ) VALORES MEDIDOS (Z ) (P. Z ) P P Z P. Z P ( P ) 6. Determar la expresó de la curva de calbracó para dcha balaza, esto es: Z m P + b 7. Grafcar e papel mlmetrado la curva de calbracó de la balaza. 8. Pesar u cuerpo cualquera y corregr el valor meddo medate la curva de calbracó. 9. Expresar todos los resultados co su correspodete error. 0. Elaborar las correspodetes coclusoes de la expereca. B) Determacó de la Curva de Calbracó de Urodesímetros Exste aparatos preparados para la lectura drecta de la desdad de líqudos llamados desímetros. Se basa e la medcó del volume sumergdo del cuerpo metras flota 4

8 lbremete e el líqudo a medr. El desímetro se sumerge e el líqudo y recbe u empuje de abajo haca arrba, gual al peso del volume del líqudo desalojado. Cuado se equlbra el peso del aparato y el empuje el cuerpo flotará, dejádo sumergdo u certo volume calbrado para leer drectamete la desdad del líqudo. Como el volume del aparato sempre es el msmo, los dferetes empujes que recba, depederá drectamete de la desdad del líqudo aalzado. Para efectuar la calbracó del urodesímetro se debe preparar solucoes patroes de desdad coocda ( d, d, d 3,...d ), y efectuar las lecturas de estas solucoes co el aparato para obteer los valores (z, z, z 3...z ). Sí el aparato está be calbrado, se deberá obteer ua equvaleca total etre los valores leídos y etre los patroes ( Stadard ). Esto es que s se represeta grafcamete se obtedría ua recta de 45º que pasa por el orge. S embargo es de esperar que haya fluctuacoes que habrá de evaluar. Por lo tato s deomamos d a la desdad de las solucoes stadard, y z a las desdades correspodetes leídas co el desímetro, habrá ua relacó: z m d + b Sedo (m) el factor de correccó; sí m, quere decr que el urodesímetro es correctamete calbrado. Metras que (b) es u factor de valor costate que cuatfcará el error sstemátco del urodesímetro s es que este error exste. Las codcoes totales de correcta calbracó so: m y b 0.. Preparacó de la solucó stadard: Para ello se empleará como materal el SO 4 K puro que se dluye e catdades apropadas de agua pura trdestlada y desmeralzada. De acuerdo a la tabla sguete se prepara cco cocetracoes: Stadard Agua pura (cm 3 ) SO 4 K (g) Desdad (g/l) 00 0, ,850, ,09, ,000, ,6,060. Se llea el vaso hasta tres cuartos de su capacdad co la solucó stadard y se coloca detro el urodesímetro, pero sumstrádole u movmeto de rotacó, para estar seguros que flota lbremete. 3. Se debe evtar la formacó de burbujas y que el aparato toque las paredes del recpete. 4. Se debe leer el fodo del mesco que se forma y la temperatura del líqudo. 5. Se debe efectuar las correccoes por temperatura s correspode. 5

9 6. Determar la recta de regresó utlzado el método de los mímos cuadrados, calculado los valores de su pedete m y ordeada al orge b. MEDICION VALORES PATRONES (d ) VALORES MEDIDOS (z ) (d. z ) d d z d. z d ( d ) 7. Determar la expresó de la curva de calbracó para dcha balaza, esto es: z m d + b 8. Grafcar e papel mlmetrado la curva de calbracó. 9. Determar la desdad de ua muestra cualquera y corregr el valor obtedo medate la curva de calbracó realzada aterormete. 6