- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Cálculo II. Funciones Riemann integrables

Transcripción

1 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Cálculo II Fucioes Riem itegrbles Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur 8 6 F El cálculo de áres de cojutos puede hcerse sbiedo clculr áres de cojutos que tiee rectos todos sus ldos slvo uo. L igur de l ldo muestr cómo se puede dividir e trozos: uo de ellos, que se h desigdo como F, tiee ldos rectos slvo el de rrib. Ese ldo que o es recto estrá deiido de lgu orm, por ejemplo l gráic de u ució. E este cpítulo se estudi u orm de clculr ls áres de cojutos de ese tipo. Se cooce como itegrl de Riem. Se trt de clculr sums de rectágulos pr ecotrr el áre totl como límite de ess sums. El método exhustivo (que proviee de l époc de l greci tigu) es el orige de est ide itegrl como límite de sums rectágulos. L itegrl de Riem permite el cálculo del áre ecerrd por l gráic de u ució e u itervlo, l meos pr u clse muy mpli de ucioes. Más delte se verá cómo hy ucioes que permite hcer estos cálculos y otrs que o. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Fucioes itegrbles. Pr u ució o egtiv Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur : [,b] R + itegrr es clculr el áre subycete l gráic B = A = 7 b A =. Pr ucioes geerles (positivs, egtivs o co prte positiv y prte egtiv) : [,b] R l itegrl mide cuát áre hy por ecim del eje X meos cuát áre hy por debjo. E l igur de l izquierd l itegrl mide = 7 = 5. A = b Fucioes Riem itegrbles

2 Hy ucioes o uls cuy itegrl es egtiv o cero. Por ejemplo, l ució - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur veriic : x [, ] (x) = x =, =, =. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Itegrció de ucioes costtes. Por deiició, si : x [,b] (x) = c R es u ució costte, l itegrl de e [,b] es = c (b ), que es u úmero positivo, egtivo o cero segú se c. Itegrció de ucioes esclods (o simples o costtes trozos). U prtició de [,b] es u colecció iit de putos = x < x < x <... < x = b. Suele escribirse P = { = x < x < x <... < x = b}. U ució esclod (socid es prtició) es u ució que es costte e cd itervlo (x k, x k ) de l prtició, es decir, u ució : x [,b] (x) = c k si x (x k, x k ) (el vlor e los extremos puede ser (x k ) = c k o bie (x k ) = c k+ ). Por deiició, l itegrl es c c 3 c = c (x x ) + c (x x ) + + c (x x ) = c k (x k x k ) = k= c k k k= x x x bx3 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Se deot por E [,b] l cojuto de ucioes esclods e [,b]. Es evidete que se trt de u espcio vectoril e el cul l itegrl E [,b] R es u uciol liel. E otrs plbrs, si,д E [,b] etoces α + βд E [,b] y demás Además es u uciol moótoo: (α + βд) = α,д E [,b], д = + β dode д sigiic que (x) д(x) pr todo x [,b]. д. д, Fucioes Riem itegrbles

3 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Es ácil comprobr que si,д E [,b] etoces i(,д), sup(,д) E [,b], dode, por deiició, i(,д)(x) = i( (x),д(x)) y sup(,д)(x) = sup( (x),д(x)). E geerl o hy igu relció etre los vlores ( д) y ( ) ( д). Hy ejemplos que muestr que puede drse culquier comprció, meor, myor o igul. Ls ucioes esclods so l bse pr el cálculo de itegrles de ucioes más complejs, que y o so esclods pero que puede proximrse e lgú setido por ésts. Fucioes Riem itegrbles. Se : [, b] R u ució cotd, es decir, existe M > que veriic (x) < M pr todo x [,b]. Se dice que es Riem itegrble o R- itegrble (o itegrble e el setido de Riem) e [,b] si pr todo ε > existe ucioes esclods h, k E [, b] tles que ) h k b) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (k h) < ε ( está ecjd etre ucioes esclods cuy diereci e áre es t pequeñ como se quier) Ejemplo. Culquier ució esclod e [, b] es Riem itegrble: si es esclod se elige h = k = que veriic los prtdos ) y b) teriores. Ejemplo. L ució que vle cero e todos los putos de [, ] slvo (/) = es R-itegrble. Pr est ució se elige h = y k : x [, ] k(x) = x [ ε, + ε ] resto que veriic h k y demás / k h b Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur (k h) = k = ε L mism ide sirve pr probr que so R-itegrbles ucioes que so costtes e u itervlo slvo e u ctidd iit de putos e los que l ució tom vlores rbitrrios. Más delte se verá lgus clses de ucioes, como ls moótos o ls cotius, que so R-itegrbles. Si embrgo hy ucioes muy secills que o lo so. Ejemplo. L ució de Dirichlet : x [, ] si x Q si x Q o es R-itegrble e [, ]. Pr comprobrlo bst observr que si h y k so ucioes esclods e [, ] y veriic h k etoces debe cumplir h y k. Por tto cumple (k h) = Fucioes Riem itegrbles 3

4 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur y o es R-itegrble, o se puede itegrr e el setido de Riem. Est ució sí es itegrble e u setido más mplio (l itegrl de Lebesgue) y su itegrl de Lebesgue vle. Por otr prte hy resultdos que muestr tipos de ucioes que so R-itegrbles. Es cierto que o so muchs ucioes, pero icluye ls ucioes que so cotius e csi todos los putos. Proposició. Tod ució : [,b] R moóto (creciete o decreciete) es R-itegrble. Además (k h) = b k= y por tto es R-itegrble. Demostrció. Se creciete (l prueb es similr si es decreciete). Se = x < x <... < x = b u prtició de [, b] co putos igulmete seprdos (equidisttes), es decir, x k x k = (b )/ pr k =,...,. Se deie ls ucioes esclods h : x [,b] h(x) = (x k ) k : x [,b] k(x) = (x k ) Es evidete que h k, y que es creciete. b ( (xk ) (x k ) ) = b - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur } (x [x k, x k ]). ( (xk ) (x k ) ) = b ( (x ) (x ) + (x ) (x ) (x ) (x ) ) = b ( ) (b) () Proposició. Si : [,b] R es cotiu, etoces es R-itegrble e [,b]. Demostrció. Como es cotiu e [, b], que es u cojuto compcto, etoces es uiormemete cotiu e [,b]. Por tto, ddo ε >, existe δ > tl que k= x, y [,b], x y < δ = (x) (y) < ε b. Se u prtició = x < x <... < x = b tl que x k x k < δ pr k =,,...,. Se cosider ls ucioes esclods } h : x [,b] h(x) = mi{ (x) : x [x k, x k ]} = m k ( ) (x [x k : x [,b] k(x) = mx{ (x) : x [x k, x k ]} = M k ( ) k, x k ]). Ests ucioes cumple h k (es evidete, y que e cd itervlo [x k, x k ] l ució h es el vlor míimo de y l ució k es el vlor máximo de ). Por otr prte, (k h) = [ Mk ( ) m k ( ) ] k < k= plicdo l cotiuidd uiorme de. ε b k = k= ε (b ) = ε b Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Este resultdo prueb que ls ucioes elemetles so R-itegrbles e los itervlos e los que se cotius. Y se verá más delte que tmbié so R-itegrbles ls ucioes Fucioes Riem itegrbles 4

5 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur que se cotius trozos. Si embrgo hy ucioes que o se puede itegrr, como e el ejemplo terior. L itegrl de Lebesgue, que o se v estudir e este curso, permite el cálculo del áre subycete pr tods ls ucioes Riem itegrbles y pr muchs más e ls que l itegrl de Riem o ucio. Est itegrl de Lebesgue extiede l itegrl de Riem y puede clculr itegrles de ucioes que o so Riem itegrbles. Al coicidir mbs itegrles e ls ucioes elemetles se hbl de l itegrl ddo eteder que sólo hy u proceso pr el cálculo de itegrles. Proposició. Pr u ució : [,b] R cotd, so equivletes ) es R-itegrble e [, b], es decir, pr todo ε > existe ucioes esclods h, k E [,b] tles que h k y (k h) < ε. { } { } b) sup h : h E [,b], h = i k : k E [,b], k E este cso, l úmero rel que prece e el prtdo b) se le llm itegrl de e [,b] y se escribe { } { } = sup h : h E [,b], h = i k : k E [,b], k Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Cálculo de l itegrl. Hllr el vlor de est itegrl se puede hcer utilizdo vrios métodos. Por ejemplo, y se verá más delte que pr u ució que se R-itegrble se puede tomr putos de u prtició = x < x <... < x = b y sí = lim b (x k ) = lim (b ) (x ) + (x ) (x ). k= - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (el áre es el pso l límite del cálculo de l bse por l medi de ls lturs). Por comodidd se puede elegir los putos equidisttes, y sí = x < x = x + b < x = x + b = x + b <... < x = x + b = b. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Pr clculr π se x se elige putos de u prtició de [, π] y sí π se x = x < π < π <... < 9π < π (π ) se π + se π se 9π + se π = Est proximció será poco justd y que se h utilizdo sólo diez vlores. Mejor π proximció se cosigue eligiedo más putos, por ejemplo,, π,..., π, y se tiee π se x (π ) se π + se π se 99π + se π = Fucioes Riem itegrbles 5

6 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Pr putos ( = ) se obtiee el vlor π se x Al ñdir más putos cd vez se v obteiedo más cirs decimles excts, π se x Co este método se puede clculr itegrles como e x tg x = π π se x x = Tmbié se puede clculr el áre de u círculo (cetrdo e el orige co rdio ) de ecució x + y = o el de u elipse de semiejes y b de ecució x / + y /b =. x + y = A = π b x + y b = A = πb Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Regl de los trpecios y regl de Simpso. Pr hcer el cálculo de l itegrl, dode es u ució R-itegrble, existe más métodos, como l regl de los trpecios o l regl se Simpso. E mbs se elige u prtició = x < x <... < x = b de putos equidisttes (x k x k = (b )/). Lógicmete, l ctidd de putos umetrá pr obteer más precisió. E l regl de los trpecios, e cd itervlo [x k, x k ] de l prtició se mide el áre del trpecio cuy bse es [x k, x k ] y sus dos lturs so (x k ) y (x k ). Este áre es b (x k ) + (x k ) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (x k ) x k x k (x k ) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur L regl de los trpecios cosiste e tomr como proximció de l sum de ess áres de todos los trpecios P x k x k x k+ b [ (x ) + (x ) + (x ) (x ) + (x ) ] E l regl de Simpso, e cd dos itervlos cosecutivos [x k, x k ] y [x k, x k+ ] se cosider el poliomio P de grdo que ps por los putos (x k, (x k )), (x k, (x k )) y (x k+, (x k+ )). Este poliomio ecierr e [x k, x k+ ] u áre igul b 3 [ (x k ) + 4 ( xk + x ) k+ ] + (x k+ ) Fucioes Riem itegrbles 6

7 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur L regl de Simpso cosiste e tomr como proximció de l sum de ess áres ecerrds por los poliomios de grdo, y se obtiee (e este proceso se elige pr) b 3 [ (x ) + 4 (x ) + (x ) + 4 (x 3 ) + (x 4 ) (x ) + (x ) ] Ver, por ejemplo, Fórmuls de Newto Cotes e lgu pági como Wikipedi. Sums de Riem y propieddes de l itegrl. Dds dos prticioes de [,b], P = { = x < x <... < x = b} y P = { = x < x <... < x = b}, se dice que P es más i que P si P P, es decir todos los putos de P está e P. Se escribe tmbié P P. Se deotrá por P[,b] l cojuto de prticioes de [,b]. Dd u ució cotd : [,b] R, se llm sum de Riem de reltiv l prtició P l úmero rel S(, P) = (t k ) k (t k ) k, k= - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur = P dode k = x k x k y t k es u puto del itervlo [x k, x k ]. Si t k se elige como el vlor e el que lcz el míimo e el itervlo [x k, x k ], es decir, si (t k ) = mi{ (x) : x [x k, x k ]} = m k ( ), etoces l sum de Riem recibe u ombre especil, sum ierior, y su vlor es L(, P) = m k ( ) k, (L es l brevitur de lower.) k= m k ( ) k = P E el cso opuesto, si t k se elige como el vlor e el que lcz el máximo e el itervlo [x k, x k ], es decir, (t k ) = mx{ (x) : x [x k, x k ]} = M k ( ), etoces l sum de Riem se llm sum superior, y es U (, P) = M k ( ) k, (U es l brevitur de upper.) k= M k ( ) k = P Ejemplo. Se cosider l ució (x) = x e [, ], cuy gráic puede verse l derech. Se trt de l curt prte de u circuereci de rdio cetrd e el orige. Se l prtició P = {x =, x = /3, x = /3, x 3 = } ormd por 3 itervlos de igul tmño (todos mide /3 de logitud). Pr clculr l sum ierior L(, P) hy que ecotrr e cd itervlo el puto e el que lcz el míimo: es el puto /3 e [, /3]; el puto /3 e [/3, /3], y el puto e [/3, ]. Por tto, /3 /3 x x x x 3 L(, P) = (/3) (x x ) + (/3) (x x ) + () (x 3 x ) = ( ) ( ) /9 + 4/9 = Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Fucioes Riem itegrbles 7

8 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur L sum superior se cosigue eligiedo e cd itervlo de l prtició el vlor e el que lcz el máximo, y sí U (, P) = () (x x ) + (/3) (x x ) + (/3) (x 3 x ) = ( ) + /9 + 4/9 = ( ) Culquier sum de Riem que se hg co est prtició estrá compredid etre estos dos vlores. Si se elige los putos t =, t = 5 y t 3 = 87 (cd uo está e uos de los itervlos, uque l elecció es rbitrri) etoces S(, P) = ( ) (x x ) + ( 5) (x x ) + ( 87) (x 3 x ) = ( ) Pr u ució culquier, es evidete que, se cul se l elecció de los putos t k de l prtició, se tiee m k ( ) (t k ) M k ( ), y por tto Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur L(, P) S(, P) U (, P). x k x k x k+ Cálculo de L(, P) x k x k x k+ - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Cálculo de S(, P) x k x k x k+ Cálculo de U (, P) Pr cd prtició P P[,b] l sum ierior L(, P) correspode l áre que dej ecerrd l myor ució esclod h que está por debjo de, es decir, h. L sum superior U (, P) es el áre de l meor ució esclod k que veriic k. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Proposició. Se : [, b] R cotd. So equivletes ) es R-itegrble e [,b], es decir, existe b) Existe u úmero rel tl que pr todo ε > existe u prtició P que veriic S(, P) < ε pr P P c) Pr todo ε > existe u prtició P veriicdo U (, P) L(, P) < ε d) sup {L(, P) : P P[,b]} = i {U (, P) : P P[,b]} = Este resultdo permite probr l myorí de propieddes de l itegrl de Riem. Proposició. Si,д R[,b] y α, β R etoces α + βд R[,b] y (α + βд) = α + β д. Fucioes Riem itegrbles 8

9 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur (R[,b] es u espcio vectoril sobre el cuerpo R y R[,b] R es u uciol liel sobre él) Demostrció. Por u prte, pr cd prtició P P[,b] se tiee S(α + βд, P) = αs(, P) + βs(д, P). Como,д R[,b] etoces ddo ε > se tiee S(, P) < ε α (los csos α = o β = so triviles.) pr P P, y S(д, P) д < Por tto, si P P P etoces se tiee mbs desigulddes y etoces S(α + βд, P) α β que termi l demostrció. д α S(, P) ε β + β S(д, P) pr P P д < ε Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Proposició. Si,д R[,b] y д etoces (l itegrl es u uciol moótoo.) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Demostrció. Como д etoces L(, P) L(д, P) pr culquier prtició P P[, b]. Por tto L(, P) д. E cosecueci, д. Corolrio. Si R[,b] y P, P P[,b] etoces ) m( ) (b ) L(, P) U (, P) M( ) (b ), dode m( ) y M( ) so los vlores míimo y máximo de e [, b] д b) L(, P) L(, P P ) U (, P P ) U (, P ) (culquier sum ierior es meor que culquier sum superior) Proposició. Se < c < b. Etoces Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur y e este cso se tiee R[,b] R[,c] y R[c,b] = c Demostrció. Dd culquier prtició P P[,b] se cosider l prtició P c = P {c} (ñdirle P el puto c). Etoces Por otr prte, + L(, P) L(, P c ) U (, P c ) U (, P). U (, P c ) L(, P c ) = U ( [,c], P [,c] ) L( [,c], P [,c] ) + U ( [c,b], P [c,b] ) L( [c,b], P [c,b] ), c. dode [,c] es l restricció de l itervlo [,c] y P [,c] es l prtició P [,c]. Fucioes Riem itegrbles 9

10 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Deiició. Si < b se deie b = y =. Por tto, pr < c < b el teorem terior puede escribirse como + c b + c =. Co este resultdo, culquier ució cotiu (o creciete) e [,c] y e [c,b] es R-itegrble e [,b]. Esto prueb que ls ucioes elemetles trozos so itegrbles. Por ejemplo, u ució del tipo es R-itegrble e [, 6]. (x) = x + si x [, 3] si x (3, 5) se x si x [5, 6] Proposició. Si,д R[,b] etoces д R[,b] uque, e geerl, д es distito de ( ) ( д). Se verá más delte que co ucioes o cotds icluso puede drse el cso,д R[,b] pero д R[,b] Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Proposició. Si,д R[,b] etoces i(,д) R[,b] y sup(,д) R[,b]. Demostrció. Se trt de ver que U (sup(,д), P) L(sup(,д), P) < ε pr P prtició de [,b] suicietemete i (es decir, existe u prtició P pr l cul l desiguldd es verdd si P es más i que P ). Esto es ácil y que - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur U (sup(,д), P) L(sup(,д), P) U (, P) L(, P) + U (д, P) L(д, P) y bst plicr que,д R[,b] Corolrio. Si R[,b] etoces +,, R[,b], dode + = sup(, ), = sup(, ). Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur (so ucioes positivs que veriic = + y = + + ). Demostrció. Bst plicr el resultdo terior: si R[,b] etoces + R[,b] y R[,b] y por tto = + + R[,b]. Si embrgo, l ució cumple R[, ] y R[, ]. : x [, ] { si x Q si x Q Corolrio (desiguldd trigulr). Si R[,b] etoces. Demostrció. Es u simple cosecueci de ls desigulddes y, y que etoces y. Fucioes Riem itegrbles

11 Tmbié se puede utilizr el hecho de que = + y sí = + - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur + + = + + =. El ombre de desiguldd trigulr viee l cso y que l itegrl es u sum (de Riem) llevd l límite. Est propiedd dice que el vlor bsoluto de l sum es meor o igul que l sum de vlores bsolutos, e clr similitud co l desiguldd trigulr de úmeros x + y x + y. Teorem (del vlor medio del cálculo itegrl). Si η [m( ), M( )] que veriic = η(b ). R[, b] etoces existe u vlor Además, si es cotiu e [,b] (por tto R[,b] y es cotd) existe ξ [,b] tl que (ξ ) = η. Demostrció. Y se h visto que Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur m( )(b ) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur M( )(b ). Por tto, l ució cotiu д : x [m( ), M( )] x(b ) tom vlores meores y myores que. Por el teorem de Bolzo existe η [m( ), M( )] co д(η) =. Si es cotiu etoces lcz todos los vlores compredidos etre m( ) y M( ). Al úmero η = b se le llm vlor medio o promedio de e [,b]. El teorem segur l existeci de este vlor y demás es u vlor que lcz l ució si ést es cotiu. Ejemplos: ) el promedio de l ució (x) = x e [, ] es Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur [,] = Este vlor se lcz pr c = / 3, y que (c) = /3. ) el vlor medio de l ució (x) = se x e [, π] es [,π] = π π x = 3. se x = π. Este vlor se lcz: pr lgú c [, π] se cumple se c = /π. 3) l ució que vle e [, ] y e [, ] tiee u promedio de /3. Es u vlor que uc lcz l ució: e igú vlor x se tiee (x) = /3. 4) se puede clculr l ltur medi de l semicircuereci superior de rdio cetrd e el orige. Pr ello, bst cosiderr l semicircuereci como l gráic de (x) = x e [, ] y promedir es ució e ese itervlo. Fucioes Riem itegrbles

12 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur 5) se puede cosiderr el trozo de l prábol y = x que está por ecim del eje X y clculr l distci medi l orige. Cd puto (x, y) de ese trozo de l prábol está distci d(x, y) = x + y del orige. Además y = x y x. Por tto, se trt de promedir l ució d(x, y) = x + ( x ) e [, ]. Teorems udmetles del cálculo itegrl. E este prtdo se estudi resultdos que relcio el cálculo itegrl co el dierecil. No debe coudirse el cálculo de áres co el cálculo de primitivs, uque e lgú resultdo prece decirse todo lo cotrrio. Teorem. Si R[,b] y F : x [,b] F(x) = etoces se tiee ) F es cotiu e [,b] - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur b) Si es cotiu e c [,b], etoces F es dierecible e c y se tiee F (c) = (c) (e cd puto c e el que es cotiu, F es dierecible y F (c) = (c)) [E l deiició de F se tiee que F() = =.] Demostrció. ) Se x, y [, b] co x < y. Se veriic F(y) F(x) = y = y x y x, F(x) x b M( ) (y x) dode M( ) = M = sup { (x) : x [,b]}. Es desiguldd dice que F es cotiu. Es uiormemete cotiu (icluso es lipschitzi) y que pr x, y [,b] se cumple F(y) F(x) M x y y bst elegir δ = ε/m pr obteer l cotiuidd (o l cotiuidd uiorme). b) Si demás es cotiu e c, etoces F(x) F(c) = c c η(x c) = = = η x c x c x c x c plicdo el teorem del vlor medio del cálculo itegrl, dode η es u vlor itermedio etre m( [x,c] ) y M( [x,c] ). Si x c etoces (x) (c) (por ser cotiu e c) y sí η (c). E resume, F F(x) F(c) (c) = lim = (c), x c x c de dode se obtiee que F es dierecible e c y F (c) = (c). Deiició. Se dice que F : [,b] R es u primitiv de : [,b] R si F es dierecible e [,b] y F (x) = (x) pr todo x. El prtdo b) del teorem terior dice que si es cotiu e [,b] etoces tiee primitiv, que es F(x) = F(x) = 7 + (co F() = ) F(x) = F() + (co F() = 7) (co F() elegir) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Fucioes Riem itegrbles

13 Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Esto dice que u primitiv de es l ució F cuy expresió veriic F(x) F() = - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur ( x [, b]). Si embrgo, hy ucioes o cotius que tiee primitiv. Por ejemplo (ver Cálculo I, tem 9) l ució x F(x) = se si x x si x = es derivble e todo R, y su derivd (x) = F (x) = x se x cos x si x si x = o es cotiu (y que o es cotiu e ). E este ejemplo es o cotiu pero tiee primitiv. E culquier cso pr ser l derivd de lgu ució e u itervlo se debe cumplir el teorem del vlor itermedio de ls derivds. U ució que teg u discotiuidd de slto o puede teer primitiv. Ejemplo. L ució (x) = e x tg x es cotiu e [, ]. Por tto tiee primitiv F, cuy expresió es F(x) = e t tg t dt Est ució o es elemetl y esto es todo lo que se puede decir de ell, de mometo. Se escribe dt pr decir cuál es el rgumeto (l vrible t) de l ució cuy áre se v clculr. L otr vrible x es de l ució F. Ejemplo. Tmbié es cotiu e [, ] l ució (x) = x. Su primitiv es F(x) = t dt = x y que es el áre de u triágulo de bse x y ltur x. Ejemplo. L ució (x) = π e x / se cooce como ució de desidd de l distribució orml N (, ) de medi y desvició típic. Es u ució simétric cuy áre totl es igul : + = L ució (de distribució, como se cooce e Estdístic) F(x) = = π e t / dt x Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Fucioes Riem itegrbles 3

14 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur o es elemetl. Pr cd x el vlor de F(x) es F(x) = +, y est itegrl es el áre mrcd e l gráic terior. Estos vlores suele precer e tbls que permite coocer F(x) pr ciertos x. Como cosecueci de simples rgumetos de simetrí se puede coocer demás F(x) pr x. Teorem (regl de Brrow). Si R[,b] tiee primitiv F e [,b], etoces = F(b) F(). Demostrció. Por hipótesis, F (x) = (x) e cd x [,b]. Se P = { = x < x < < x = b} u prtició de [,b]. Etoces F(b) F() = F(x ) F(x ) + F(x ) F(x ) + + F(x ) F(x ) = F (t ) x + F (t ) x + + F (t ) x Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur = (t ) x + (t ) x + + (t ) x = S(, P). E l segud iguldd se h utilizdo el teorem del vlor medio, y sí por ejemplo F(x ) F(x ) = F (t )(x x ) = F (t ) x pr lgú t [x, x ]. Similrmete pr el resto de itervlos de l prtició. E l tercer iguldd se utiliz l hipótesis F (t ) = (t ). E totl L(, P) F(b) F() = S(, P) U (, P). - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Por tto, l ir l prtició, se tiee que F(b) F() = y que R[,b]. U cosecueci evidete de est regl de Brrow: y se h probdo que si R[,b] y < x < b etoces R[, x]. Por tto, e este último itervlo se tiee = F(x) F(), es decir F(x) = F() +. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejemplo. L ució prte eter E(x) = [myor úmero etero x] = mx{k Z : k x} e [, ] es u ució esclod (y sí es R-itegrble) E(x) = si x [, ) si x [, ) si x [, ) si x = Se puede clculr l ució F : x [, ] F(x) = E, que es cotiu. Fucioes Riem itegrbles 4

15 L ució E o tiee primitiv e [, ] y que tiee discotiuidd de slto, e cmbio sí tiee primitiv deiid trozos. Si x [, ) etoces F(x) = E = x. Si x [, ) etoces F(x) = E = E + E =. Si x [, ) etoces F(x) = E = E + E = x. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Otr orm de clculr F es escribiedo e cd trozo l primitiv de E y hlldo ls costtes que vy preciedo pr que F( ) = y F se cotiu (l últim costte C 4 se clcul por cotiuidd): F(x) = x + C si x [, ) C si x [, ) x + C 3 si x [, ) C 4 si x = Est ució F es cotiu, por tto l ució = x si x [, ) si x [, ) x si x [, ] Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur G : x [, ] G(x) = es dierecible. Se puede clculr ácilmete y se obtiee F G(x) = x / x / si x [, ) x / si x [, ) x / x si x [, ] Es u ució que tiee tres trozos, uo prbólico l izquierd que coect co trozo recto y co otro prbólico l derech. No sólo es cotiu; es dierecible y que F es cotiu. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Se cosider l ució Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur pr l cul se obtiee F(x) = (x) = x si x [, ) x si x [, ] = x / si x [, ) x / x + si x [, ] Fucioes Riem itegrbles 5

16 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Ejemplo. Pr l ució es ácil comprobr que F(x) = (x) = x si x [, ) x si x [, ] = x / si x [, ) x x / si x [, ] (F es dierecible pesr de estr deiid medite dos trozos prbólicos distitos, uque ecj bie) Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Teorem 3 (Lebesgue). Se : [,b] R u ució cotd. So equivletes ) R[,b] b) {x [,b] : o es cotiu e x} tiee medid de Lebesgue igul El prtdo b) tmbie se expres diciedo que es cotiu slvo e los putos de u cojuto de medid (de Lebesgue) cero o tmbié que es cotiu csi por doquier. Est expresió csi por doquier se suele brevir como c.p.d. Tmbié se utiliz ls breviturs c.s. (csi siempre),.e. (lmost everywhere), p.p. (presque prtout). Así que el teorem de Lebesgue se puede eucir - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur es Riem-itegrble e [,b] es cotiu c.p.d. e [,b] No se v demostrr este teorem, uque sí se v estudir qué sigiic ser u cojuto de medid de Lebesgue cero. Después se verá lgus cosecuecis de este teorem. Coteido y medid cero (medid de Jord y de Lebesgue). Si I R es u itervlo de extremos y b, se deie l logitud de I como I = b. Por ejemplo, los itervlos (3, 7], [3, 7] y (3, 7) tiee logitud 4. Si = b se puede cosiderr I = [, ] = {} como u itervlo de medid cero. Se dice que u subcojuto cotdo A R tiee coteido (o medid de Jord) cero si pr todo ε > existe itervlos I,..., I tles que A I I y I + + I ε. Co otrs plbrs, A puede ser cubierto por u ctidd iit de itervlos cuys sums de logitudes es rbitrrimete pequeñ. Por ejemplo, u cojuto ormdo por u sólo puto, A = {5}, tiee coteido cero, y que {5} (5 ε/, 5 + ε/) (como ltertiv {5} [5, 5] cuy logitud es [5, 5] =.) El mismo rgumeto sirve pr probr que todo cojuto iito tiee coteido cero. Si A = {x,..., x } se elige I = [x ε/4, x + ε/4], I = [x ε/8, x + ε/8],...así se tiee A I I y I I = ε/ + ε/ < ε (como ltertiv A [x, x ] [x, x ] cuy sum de logitudes es cero) Fucioes Riem itegrbles 6

17 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Hy cojutos iiitos que tiee coteido cero. Por ejemplo A = {/ : N} tiee coteido cero: todos los elemetos de A, slvo u ctidd iit de ellos, está coteidos e el itervlo [, ε]; el resto, l ser u ctidd iit, tiee coteido cero. Todo cojuto co coteido cero es orzosmete cotdo, y que A I I y est uió es u cojuto cotdo, y que cd itervlo que iterviee es cotdo. L uió iit de cojutos de coteido cero es u cojuto de coteido cero. Los subcojutos de cojutos de coteido cero so cojutos de coteido cero. Además, si A tiee coteido cero etoces su dhereci A tmbié tiee coteido cero. Es ácil probr esto, y que e l deiició de coteido cero se puede cosiderr los itervlos I,..., I cerrdos; si o lo so, se cierr y su logitud o vrí. Al ser todos cerrdos, l uió iit de ellos es cerrdo. Por tto (plicdo l propiedd M N M N ) A I I = A I I. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Como cosecueci de esto último se obtiee que el cojuto A = Q [, ] o tiee coteido cero, pues A = [, ]. Si embrgo, hy cojutos grdes co coteido cero. El siguiete ejemplo muestr u cojuto o umerble, co el mismo crdil que el de R, cuyo coteido es cero. Ejemplo: el cojuto terrio de Ctor. Se trt de u cojuto cotdo o umerble cuyo coteido es cero. Puede verse e más sobre este cojuto. Se comiez co C = [, ]. El siguiete cojuto es el resultdo de quitrle C su tercio cetrl bierto, y se obtiee u uevo cojuto C = [, /3] [/3, ]. A este cojuto se le quit de uevo el tercio cetrl bierto e cd trmo y se tiee C = [, /9] [/9, /3] [/3, 7/9] [8/9, ]. Se cotiu sí pr l costrucció de C 3,C 4,.... Gráicmete (uque todos está coteidos e el itervlo [, ], se dibuj sí pr ver co más clridd qué cojutos so) los primeros de estos cojutos so: - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Estos cojutos veriic C C C C 3... Se llm cojuto de Ctor. C = {C : }. Evidetemete C, por ejemplo, /3, C. Además, C C pr todo =,,... y C está ormdo por u ctidd iit de itervlos cuys logitudes sum ( ) C = ( ). 3 C C C C 3 C 4 Como cosecueci C tiee coteido cero. Este cojuto es compcto y o puede coteer igú itervlo. Fucioes Riem itegrbles 7

18 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Además, C es o umerble. Pr comprobrlo se escribe los elemetos del itervlo [, ] e bse 3. Cd úmero se escribe como x = 3... dode cd cir deciml i es, o. Es importte eteder que est escritur de úmeros como expresioes decimles puede o ser úic. Por ejemplo, e bse se puede cosiderr = E bse 3 u mismo úmero se puede escribir de vris orms: =.... Otro ejemplo: el úmero /3 se escribe e bse 3 como... =. El cojuto C es todo el itervlo [, ], C = { 3... : i =,, pr cd i } El cojuto C está ormdo por los úmeros cuy primer cir deciml es distit de, C = { 3... : } El cojuto C está ormdo por los úmeros cuy primer y segud cir deciml es distit de, C = { 3... :, } Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur etcéter El cojuto de Ctor C so todos los úmeros del itervlo [, ] cuy expresió deciml e bse 3 se puede escribir si que coteg igu cir igul. Por ejemplo, /4 escrito e bse 3 es... y es u elemeto de C. Tmbié es verdd que /3 C. Este úmero e bse 3 se escribe como y puede escribirse como..., u úmero que o cotiee igu cir igul. L mism ide pr todos los demás úmeros. Por ejemplo, /3 C pr todo, y so úmeros que se puede escribir e bse 3 si utilizr l cir. E cmbio, el úmero (escrito e bse 3) x = o es u elemeto de C. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Este cojuto C tiee el mismo crdil que [, ]. Si se escribe [, ] e bse, cd úmero es x = 3... dode cd cir deciml i es o. L plicció cmbir por e cd cir deciml C [, ] (e bse ) es u biyecció etre los elemetos de C y los elemetos de [, ] (escritos e bse ). Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Deiició. Se dice que A R tiee medid (de Lebesgue) cero si pr todo ε > existe itervlos I, I,... tles que A I I I 3... y I + I + I < ε. Se dice que A es u cojuto de medid ul. E l deiició y o se exige que l ctidd de itervlos se iit (como e l deiició de coteido cero), puede ser hst umerble. Por tto, es evidete que si A tiee coteido cero etoces A tiee medid cero. Si embrgo, el recíproco o es cierto. Si A es umerble etoces A tiee medid cero. Pr probrlo bst escribir A como A = {x, x,...} y etoces [ A x ε 4, x + ε ] [ x ε 4 8, x + ε ] [ x 3 ε 8 6, x 3 + ε ]... 6 [ x ε +, x + ε ] + = Fucioes Riem itegrbles 8

19 dode l sum de logitudes de esos itervlos es ε/+ = ε. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur El mismo rgumeto sirve pr probr que l uió umerble de cojutos de medid cero es u cojuto de medid cero. Como cosecueci, Q [, ] y N so cojutos de medid cero, y que so umerbles. El primero de ellos muestr demás u ejemplo de cojuto cotdo de medid cero que o es de coteido cero. Ejemplo. L ució : x [, ] si x Q si x Q o es R-itegrble e [, ], su cojuto de discotiuiddes es [, ] que o mide cero. E cmbio : x [, ] si x, 5 resto sí es R-itegrble e [, ]. El teorem de Lebesgue tiee vris cosecuecis. Ahor es ácil probr lgus proposicioes sobre ucioes Riem itegrbles. Corolrio. Si,д R[,b] etoces Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur λ + µд, д,, +,, i(,д), sup(,д) so ucioes Riem itegrbles. - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur L demostrció es simple. Por ejemplo, es coocido que si y д so cotius e u puto etoces д tmbié lo es. E otrs plbrs {discotiuiddes de д} {discotiuiddes de } {discotiuiddes de д}. Bst etoces plicr el teorem de Lebesgue. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Geerlizció de l itegrl. Hst hor se h estudido l itegrció (e el setido de Riem) pr ucioes cotds deiids e itervlos compctos. Ahor se trt de quitr ess restriccioes y estudir el cálculo itegrl pr ucioes o cotds o deiids e cojutos más geerles. Por ejemplo, l ució : x (, ] (x) = /x R, se puede itegrr? Pr ello se trt de sber si el áre sombred de l igur, que es u regió o cotd, es u áre iit. Se cosider l igur hst u ltur, es decir, se cosider l ució o egtiv i(, ). Est ució es cotd y cotiu y sí i(, ) R[, ]. Su itegrl vle i(, ) = / + / x = + log / /x Este vlor tiede + por lo que el áre de l regió sombred es iiit. Esto quiere decir que R[, ]. Fucioes Riem itegrbles 9

20 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Deiició. U ució o egtiv : [,b] R + (cotd o o) se dice que R[,b] si i(, ) R[,b] pr todo N y l sucesió ( i(, )) coverge. E ese cso se deie = lim i(, ) = sup i(, ) (es u sucesió creciete y su límite y su supremo coicide.) Pr u ució : [,b] R se dice que R[,b] si ls ucioes o egtivs + y so Riem itegrbles e [,b], y se deie / / x = + Ejemplo. L ució : x (, ] (x) = / x es o egtiv. Pr cd N l ució i(, ) R[, ] pues es cotiu. Se puede clculr su itegrl, i(, ) = / + = + x ] / x / = + =. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Por tto l ució (x) = / x veriic R[, ] y demás - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur =. Ejemplo. Pr l ució (x) = /x p se puede comprobr que R[, ] p <. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur El siguiete pso es poder itegrr ucioes e itervlos o cotdos. L ució : x [, + ) (x) = /x R está deiid e u itervlo iiito. Pr cd N se cosider l ució : x [, ] (x) = x. que es R-itegrble por ser cotiu. Su itegrl vle = x = log x] = log log = log + y por tto el áre (o cotd) sombred que ecierr l ució es iiit. Se tiee etoces que R[, + ). Deiició. Se dice que u ució o egtiv : [, + ) R + es R-itegrble e [, + ) si pr todo N (co > ) l ució : x [, ] (x) = (x) es R-itegrble e [, ] y l sucesió coverge. E este cso se deie + = lim = sup /x Fucioes Riem itegrbles

21 (es u sucesió creciete y su límite y su supremo coicide.) - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur Pr u ució : [, + ) R se dice que R[, + ) si ls ucioes o egtivs + y so Riem itegrbles e [, + ), y se deie + = Ejemplo: l ució (x) = /x es R-itegrble e [, + ), y su itegrl vle + /x = lim /x = lim [ ] ( = lim ) x + =. E cmbio, д(x) = / x o es R-itegrble e [, + ), y que / x = [ x ]. = +. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Ejercicio. Pr qué vlores p l ució (x) = x p es Riem itegrble e [, + )? Deiició. Se A R u cojuto cotdo, es decir, A está coteido e itervlo [,b]. Se dice que A es medible e el setido de Jord, o J-medible, si l ució crcterístic χ A : x [,b] si x A si x A b es R-itegrble e [,b]. E ese cso, se deie l medid de A como - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur µ(a) = χ A. χ A A Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Pr u cojuto A R o cotdo, se dice que A es J-medible si A [, ] es J-medible pr todo N y l sucesió µ A [, ] coverge. E ese cso se deie l medid de A como µ(a) = lim µ ( A [, ] ) = sup µ ( A [, ] ) Evidetemete, el cojuto de discotiuiddes de χ A es l roter A de A. Así, si A es cotdo, A es J-medible si y sólo si A mide cero. L roter de A siempre es cerrd: A = A A c. Si demás A es cotdo, etoces A es cotdo y cerrdo, por lo que es compcto. Por tto A mide cero si y sólo si tiee coteido cero. Deiició. Se dice : A R es R-itegrble e A, y se escribe R(A), si pr lgú itervlo [,b] que coteg A (equivletemete, pr culquier itervlo que coteg A) l ució χ A es R-itegrble e [,b]. E ese cso se deie = χ A. A χ A A b Fucioes Riem itegrbles

22 - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur - Ferdo Sáchez - Deprtmeto de Mtemátics - Uiversidd de Extremdur L ució χ A está deiid como ( χ A )(x) = (x) si x A si x A. Ejemplo. Se A = {/ : N} [, ) y (x) = x. Pr clculr A se hce lo siguiete: ) se cosider u itervlo que coteg A, por ejemplo [, ]; b) se comprueb que χ A es R-itegrble e ese itervlo (que lo es trivilmete); c) por último, A = χ A = = /3, y que el áre de sobre los putos {/ : N} es cero. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur E l gráic puede verse el specto que tiee l ució χ A. Se trt de l ució que vle x sobre los putos de A y cero e el resto. El áre que ecierr se ecuetr sólo e el itervlo [, ], y que uer de él el áre ecerrd es cero. Deprtmeto de Mtemátics Uiversidd de Extremdur Fucioes Riem itegrbles