Algunas funciones elementales

Transcripción

1 Apédice B Algus fucioes eleetles B Fució poteci -ési U fució poteci -ési es u fució de l for f ( ) dode l se es u vrile y el epoete u úero turl Es l for ás secill de ls fucioes polióics f ( ) Ls fucioes poteci -ési está defiids pr todo úero rel, por lo que su doiio es So cotius e todo su doiio El recorrido de ls fucioes poteci -ési será: -El itervlo [, ) si es pr -Todo si es ipr E u fució polióic f ( ) el tério de yor grdo es el que deteri su coportieto e el ifiito Esto se dee que, si >, l fució crece ás rápido que l fució, pr > Su coportieto e el ifiito depede de si es pr o ipr y del sigo de : pr li li ± ± f ( ) f ( ) si si > <

2 < > ± ± ± si ) ( li si ) ( li ipr f f Se represet cotiució dos ejeplos de fució poteci -ési Fig B Fució y Fig B Fució y B Bioio de Newto Es l poteci -ési de l su de dos úeros reles Su epresió desrrolld es l siguiete: i i i ) ( Los coeficietes se deoi úeros coitorios y se clcul del siguiete odo: )! (!! Ejeplo: 5 ) (4 ) ( 4 5 )! (!! Clculdo de l is for los deás coeficietes, oteeos: ) (

3 Propieddes de los úeros coitorios I, II III 4 4 Ests tres propieddes se reflej e el triágulo de Trtgli o de Pscl, fordo por los úeros coitorios Veos que se cuple: Los etreos de cd fil vle (propiedd I) El triágulo es siétrico (propiedd II) Cd úero es su del que tiee eci y el que está l izquierd de este (propiedd III) B Fució epoecil Fució logrític U fució epoecil es u fució de l for f ( ), dode l se es u úero rel positivo y el epoete es u vrile E tods ls fucioes epoeciles se verific f ( ), pues pr culquier, por lo que tods ps por el puto (,) El doiio de l fució epoecil es todo y su recorrido es el, Ls fucioes epoeciles so cotius e todo itervlo ( ) El creciieto y decreciieto de ls fucioes epoeciles depede del vlor de : Si > l fució epoecil es creciete e todo Si < < l fució epoecil es decreciete e todo El coportieto e el ifiito tié depede del vlor de l se: > li, li < li, li U fució epoecil de especil iportci es y e

4 4 Represetos dos ejeplos de fució epoecil, de ses yor y eor que respectivete Fig B Fució y Fig B4 Fució y ( ) Trs her visto ls crcterístics priciples de ls fucioes poteci - ési y epoecil, recordos ls opercioes priciples reltivs este tipo de fucioes ) El producto de potecis de l is se es igul l se elevd l su de epoetes ) El cociete de potecis de l is se es igul l se elevd l difereci de epoetes c) El producto de potecis de igul epoete es igul l producto de ls ses elevdo l epoete ( ) d) El cociete de potecis de igul epoete es igul l cociete de ls ses elevdo l epoete e) L poteci de u poteci es igul l se elevd l producto de epoetes ( )

5 5 Ls ríces se puede cosiderr potecis de epoete frcciorio Aplicádoles ls iss regls oteeos: ) L ríz del producto de dos úeros es igul l producto de ls ríces de los úeros ) L ríz del cociete de dos úeros es igul l cociete de ls ríces de los úeros c) Pr clculr l ríz de l ríz de u úero se ultiplic los ídices El logrito e se de u úero es el epoete l que hy que y elevr l se pr oteer dicho úero; es decir : log y U fució logrític es u fució de l for f ( ) log, dode es u úero rel positivo y distito de E tod fució logrític se verific f ( ), pues l ser etoces log, pr culquier Así pues, tods ps por el puto (,) L epresió y log es equivlete y, por lo que l fució logrític es l ivers de l fució epoecil Por ello sus represetcioes gráfics so siétrics co respecto l rect y El doiio de l fució logrític f ( ) log es (, ) y su recorrido es todo Ls fucioes logrítics so cotius e (, ) El creciieto y decreciieto de ls fucioes logrítics depede, coo e ls epoeciles, del vlor de Si >, f ( ) log es creciete e (, ) Adeás l fució será positiv pr los vlores de yores que, y egtiv pr los vlores de eores que Si < <, f ( ) log es decreciete e (, ) L fució será egtiv pr los vlores de yores que, y positiv pr los vlores de eores que

6 Su coportieto e el ifiito tié depede de > li log < li log Represetos cotiució dos ejeplos de fució logrític, el logrito eperio o turl y el logrito e u se eor que Fig B5 Fució y l Fig B Fució y log Coo heos hecho e ls fucioes poteci -ési y epoecil, recordos ls opercioes priciples reltivs los logritos ) El logrito de u producto de dos úeros es l su de los logritos de los úeros log ( y) log log y ) El logrito de u cociete de dos úeros es l difereci de los logritos de los úeros log log log y y c) El logrito de u poteci de es el producto del epoete por el logrito de log log d) El logrito de u ríz de es el logrito de dividido etre el ídice log log log

7 7 B Fucioes trigooétrics y sus iverss Ls fucioes trigooétrics so periódics de período π, lo cul sigific que sus vlores se repite cudo l vrile se icreet e π, es decir f( π ) f( ), Ls fucioes trigooétrics ásics so seo, coseo, tgete y sus iverss rco seo, rco coseo y rco tgete Fució seo, y se Crcterístics priciples: -Su doiio es -Su recorrido es el itervlo [, ] -Es cotiu e todo su doiio -Es periódic de período π -No eiste el líite de se cudo tiede ± -Es u fució ipr: se( ) se -Represetció: Fig B7 Fució y se Fució coseo, y cos Crcterístics priciples: -Su doiio es -Su recorrido es el itervlo [, ] -Es cotiu e todo su doiio -Es periódic de período π -No eiste el líite de cos cudo tiede ± -Es u fució pr: cos ( ) cos -Represetció: Fig B8 Fució y cos

8 8 Fució tgete, y t Crcterístics priciples: -Su doiio es -Su recorrido es π -Es cotiu e todo su doiio, ecepto e los putos πk : k Z -Es periódic de período π π -Ls rects kπ, k so sítots verticles -Es u fució ipr: t( ) t -Represetció: Fig B9 Fució y t Ls fucioes seo, coseo, tgete o so iyectivs, es decir tiee l is ige pr distitos vlores de l vrile Pr que eist sus fucioes iverss, ls defiios sólo e ciertos itervlos Fució rco seo, y rcse Crcterístics priciples: -Su doiio es el itervlo [, ] π -Su recorrido es el itervlo, π -Es cotiu e todo su doiio -Es creciete e todo su doiio -Represetció: Fig B Fució y rcse Fució rco coseo, -Su doiio es el itervlo [ ] -Su recorrido es el itervlo [,π ] y rccos Crcterístics priciples:,

9 9 -Es cotiu e todo su doiio -Es decreciete e todo su doiio -Represetció: Fig B Fució y rccos Fució rco tgete, y rct( ) Crcterístics priciples: -Su doiio es π π -Su recorrido es el itervlo, -Es cotiu e todo su doiio -Es creciete e todo su doiio π π - li rct y li rct -Represetció: Fig B Fució y rct Eiste diverss relcioes etre ls fucioes trigooétrics seo, coseo y tgete Etre ls ás utilizds se ecuetr: ) se cos ) se( ± ) se cos ± cos se Cso prticulr: se se cos c) cos( ± ) cos cos se se Cso prticulr: cos cos se

10 d) e) g) se ( ± ) t ± t t( ± ) cos ( ± ) t t t Cso prticulr: t t cos se cos cos π h) se cos π i) cos se B4 Fucioes hiperólics Ls fucioes hiperólics se defie prtir de ( ) e f e e Seo hiperólico seh -Su doiio es -Su recorrido es -Es cotiu e todo su doiio -Es siétric respecto l orige -Es creciete e todo su doiio - li seh y li seh -Es u fució ipr: seh( ) seh( ) -Represetció: Fig B Fució y seh

11 e e Coseo hiperólico cosh -Su doiio es -Su recorrido es el itervlo [, ) -Es cotiu e todo su doiio -Es siétric respecto OY co u íio e el orige - li cosh li cosh -Es u fució pr: cosh( ) cos h( ) -Represetció: Fig B4 Fució y cosh seh e e Tgete hiperólic th cosh e e -Su doiio es -Su recorrido es el itervlo (,) -Es cotiu e todo su doiio -Es siétric respecto l orige -Es creciete e todo su doiio - li th y li th -Es u fució ipr: th( ) th( ) -Represetció: Fig B5 Fució y t h Coo ocurre e ls trigooétrics, eiste diverss relcioes etre ls fucioes hiperólics Etre ls ás utilizds se ecuetr: ) cosh seh

12 ) seh( ± ) seh cosh ± cosh seh Cso prticulr: seh seh cosh c) cosh( ± ) cosh cosh ± seh seh Cso prticulr: cosh cosh seh d) seh ( ± ) th ± th th( ± ) cosh ( ± ) ± th th th Cso prticulr: th th